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第二章：函数与基本初等函数
（模拟测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．集合 ，集合 ，全集 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据真数大于零以及根式的性质可化简集合，即可由集合的交并补运算求解.
【详解】对于集合A，由 或 ，所以 ， ，
，故 .
故选：B
2．若 且 ，且 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．【答案】A
【分析】根据题意写出 ，并利用对数换底公式进行化简计算，再计算 即可.
【详解】由题意得 ，
所以 .
故选：A.
3．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求函数 的定义域，证明函数 为偶函数，排除CD，再证明当 时， ，
排除B，由此可得结论.
【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
又 ，
所以 为偶函数，排除选项C，D；当 时， ，所以 ，则 ，
所以 ，排除B．
故选：A.
4．已知函数 对任意 都有 ，且 ，当 时， .则下
列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．当 时，
D．函数 的最小正周期为2
【答案】D
【分析】根据 得到 ，所以 的周期为4，根据 得到
关于 对称，画出 的图象，从而数形结合得到AB错误；再根据 求出
时函数解析式；D选项，根据 的最小正周期，得到 的最小正周期.
【详解】因为 ，所以 ，故 ，
所以 的周期为4，
又 ，所以 ，故 关于 对称，
又 时， ，故画出 的图象如下：A选项，函数 的图象关于点 不中心对称，故A错误；
B选项，函数 的图象不关于直线 对称，B错误；
C选项，当 时， ，则 ，C错误；
D选项，由图象可知 的最小正周期为4，
又 ，故 的最小正周期为2，D正确.
故选：D
5．水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特
性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为 和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为
计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷
头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位： ）．水雾喷
头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾喷头
的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为 ，保护对象的
设计喷雾强度W为 时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（参考数据： ）（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C【分析】把给定的数据代入公式计算即可作答.
【详解】依题意， ， ， ， ，
由 ， ，得 ，
所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个.
故选：C
6．已知函数 ， 的定义域均为 ，且满足 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据递推关系可得 且 ，进而有 ，构造
易知 是周期为2，分别求得 、 ，再求 、 ，根据周期性求 ，
最后求和.
【详解】由 ，则 ，即 ，
由 ，则 ，即 ，
又 ，则 ，
，则 ，
又 ，
所以
，
即 ，即 ，
所以 ，故 ，
综上 ，则 ，故 关于 对称，
且有 ，
令 ，则 ，即 的周期为 ，
由 知 关于 对称且 ，
所以 ，即 ，则 ，
由 ，可得 ，则 ，
所以 则 ；
则 ，
依次类推可得 ， ，……， ，则 ，
所以 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据递推式得 且 ，构造 并确定其
周期，依据周期性求 .
7． ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令 ，利用导数研究函数的单调性可得到 ，即可判断 、的大小关系；构造函数 判断 与0.1的大小，构造函数 判断0.1与
大小，从而可判断b、c大小．
【详解】令 ， ，则 ，
所以当 时 ，即 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ，即 ，
令 ，则 ，
在 时， ，则 为减函数，
∴ ，即 ；
令 ， ，则 ，
故 在 为减函数，
∴ ，即 ；
∴ ，
令 ，则 ，即 ，∴ ，
所以 ．
故选：D．
【点睛】结论点睛：常用的不等式： ， ，
， ， ， .8．已知函数 ，若 有3个不同的解，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对函数变形得 ，令 ，利用导数可求得 ，则
将问题转化为 有3个不同的解等价于 有两个解 ， 且 ， ，然后利用一元
二次方程根的分布可求得结果.
【详解】 ，
令 ，则 ，
∴当 或 时， ，当 时， ，
∴ 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，可得函数的大致图象，
所以 有3个不同的解等价于 有两个解 ， 且 ， ，
整理可得 ，
∴根据根的分布，得 ，
解得 ，则a的取值范围是 ．故选：A．
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是通过对函数变形换元，将问题转化
为 有3个不同的解等价于 有两个解 ， 且 ， ，考查数学转化思想和数形
结合的思想，属于较难题.
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 2 分）
9．已知函数 和 分别为奇函数和偶函数，且 ，则（ ）
A．
B． 在定义域 上单调递增
C． 的导函数
D．
【答案】BD
【分析】根据函数的奇偶性可得 ，结合选项即可逐一求解,
【详解】由 得 ，由于函数 和 分别为奇函数和偶函数，所以
，因此 ，对于A, ,故A错误，
对于B，由于函数 在 单调递增， 在 单调递减，所以 在
单调递增，故B正确，
对于C， 当且仅当 时取等号，
而 ，所以C错误，
对于D， ，当且仅当 时取等号，所以D正确，
故选：BD
10．已知 ，满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用指数式和对数式的运算规则，结合导数和基本不等式求最值，验证各选项是否正确.
【详解】对于A，由 ，得 ，
当且仅当 时等号成立，A正确；
对于B，由 ，得 且 ，
令 ，则 ， 解得 ， 解得 ，
得 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，B正确；
对于C，当 时，满足 ， ，C错误；
对于D， ，D正确.
故选：ABD.11．函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且满足 ，
函数 的图象关于点 对称，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B．8是 的一个周期
C． 一定存在零点 D．
【答案】ACD
【分析】根据 的图象关于点 对称得 的图象关于点 对称，进而构造函数
判断 为偶函数，且关于 对称，进一步得到 的单调性，进而结合可求
解ABD,由零点存在性定理即可判断C.
【详解】对于A,由于 的图象关于点 对称，所以 ，故
，所以 的图象关于点 对称，故A正确，
由 得 ，令
所以 ，故 为偶函数，又 的图象关于点 对称，所以 ，又
，从而
，
所以 的图象关于 对称，
对于C,在 中,令 ，所以
，由于 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得 在 有零点，故C正确
对于D,由于 的图象关于 对称以及 得
，又 ，所以 ，所以
是周期为8的周期函数， ，故D正确，
对于B， ，所以8不是 的周期，
故选：ACD
【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，函数的常用性质有：奇偶性、单调性、对称性、周期性等.常见
的奇偶性与对称性结合的结论有：
(1)若函数 为偶函数，则函数 关于 对称．
(2)若函数 为奇函数，则函数 关于点 对称．
(3)若 ，则函数 关于 对称．
(4)若 ，则函数 关于点 对称．
12．对于函数 和 ，设 ，若存在 ，使得 ，则称
与 互为“零点相邻函数”.若函数 与 互为“零点相邻函数”，则
实数 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据零点的定义求函数 的零点 ，由定义可得函数 的零点 的范围，结合函数解析式，
转化为含参方程有解问题，求导，可得答案.
【详解】由题意，可得 ， ，易知 ，则 ， ，
则 在 有解，
求导得： ，令 ，解得 ，可得下表：
极大
值
则当 时， 取得最大值为 ，
，
则 的取值范围为 ，
设 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 的值可以是 ， ， .
故选：BCD.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定
义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现
象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万
变才是制胜法宝.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集 的函数 __________.①最小正周期为2；② ；③无零点.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据周期,对称性,零点等性质判断写出符合条件的一个函数即可.
【详解】 的定义域为 ，
最小正周期为 ，
因为 ，所以 ，
所以 无零点，
综上， 符合题意
故答案为： .
14．已知 ，设 ，则函数 的值域为___________．
【答案】
【分析】确定函数 的定义域，化简可得 的表达式，换元令 ，可得
，结合二次函数的性质即得答案.
【详解】由题意得 ，则 ，即 的定义域为 ，
故 ，
令 ，则 ，
函数 在 上单调递增，故 ，
故函数 的值域为 ，故答案为：
15．已知函数 且 过定点 ，且定点 在直线 上，则
的最小值为________．
【答案】
【分析】根据对数函数的性质得 ，代入直线方程得 ，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】令 ，即 ，得 ，故 ，
由 在直线 上，得 ，即 ，
因为 且 ， ，所以 且 ， ，
所以 .
当且仅当 ，即 ，即 ， 时，等号成立.
故 的最小值为 .
故答案为：
16．已知函数 ，则使得 成立的实数 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】函数 的 定义域为 ,
因为 ,
所以 ,故函数 为偶函数，
当 时, , 且 在 上单调递减,
当 时, , 且 在 上单调递减,
而 ,
故 在 上单调递减, 且 .
则使得 成立，
需 ，
所以 且 ，
所以 且 ，
所以 且
解得 或 ，
故答案为： .
四、解答题（本题共 6 小题，其中 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分， 共 70 分。解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知幂函数 在定义域上不单调．
(1)试问：函数 是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若 ，求实数a的取值范围．
【答案】(1) 为奇函数；理由见解析(2) 或
【分析】（1）由幂函数的定义可得 或 ，结合函数 的单调性排除增根，由此确定
的单调性，结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；
（2）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.
【详解】（1）由题意 ，解得 或 ，
当 时， ，
函数 在 上单调递增，不合题意；
当 时， ，
函数 的定义域为 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递减，
但 ，
所以函数 在定义域 上不单调，符合题意，
所以 ，
因为函数 的定义域关于原点对称，
且 ，
所以 为奇函数；
（2）由 及 为奇函数，
可得 ，即 ，
而 在 上递减且恒负，在 上递减且恒正，
所以 或 或 ，
解得 或 ．
18．已知函数 ， ．
(1)当 时，求 的解集；
(2)若 的最大值为3，求 的值．
【答案】(1)详见解析；
(2)
【分析】（1）根据二次不等式的解法，分类讨论即得；
（2）当 时利用基本不等式可得函数的最大值，进而可得 然后结合条件即得，当 时根据二
次函数的性质分类讨论可得函数的最值，然后结合条件检验即得.
【详解】（1）当 时， ，即 ．
当 时， ；
当 时，不等式无解；
当 时，若 ， ，若 ， ；
所以，当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解
集为 ；当 时，不等式的解集为 ．（2）①当 时， ，
又 ，则 ，当且仅当 取等号，
所以 ，即 ，
若 时，当 时， ．此时 ，
所以 不满足题意，舍去．
②当 时， 的对称轴为 ，
当 时， ， ．
当 时， 在 时增函数， ，即 （舍去）．
若 ．当 时， ，满足题意．
综上， 时， 的最大值为3．
19．已知函数 对任意的 ，都有 ，且当 时， ．
(1)求证： 是 上的增函数；
(2)若 ，解不等式 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明；
（2）利用赋值法求得 ，再利用（1）求出的函数单调性解不等式．
【详解】（1）设 ，且 ，
则 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 是 上的增函数．
（2）因为 ，所以 ．
在上式中取 ，则有 ，
因为 ，所以 ．
于是不等式 等价于 ．
又由（1）知 是 上的增函数，
所以 ，解得 或 ，
所以原不等式的解集为 ．
20．设函数 是定义域为R的偶函数.
(1)求p的值；
(2)若 在 上最小值为 ，求k的值；
(3)若不等式 对任意实数x都成立，求实数m的范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求得答案.
（2）由（1）可得 解析式，代入所求，即可得 解析式，令 ，可得 ，根据x的范围，可得t的范围，利用二次函数的性质，分别讨论 和 两种情况，结合题意，即可求
得答案.
（3）根据 ，原不等式可化为 ，令 ，可得t的范围，
根据对勾函数的性质，即可求得 的最小值，即可得答案.
【详解】（1） 是偶函数， 恒成立，
即 恒成立，即 ，
.
（2）由（1）知 ，
， .
令 ，为增函数， ，则 ，
， ，
为对称轴为直线 ，开口向上的抛物线，
①当 时， 在 递增，所以 ，
， （不合题意），
②当 时， ，
，解得 或 （舍去），
的最小值为-4时， 的值为 .
（3）不等式 ，即 ，
，当且仅当x=1时等号成立.，
令 ， ，则 ， ，
又对勾函数 在 上递增， ， .
故实数m的取值范围为 .
21．济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车
的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 ，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当
时列车为满载状态，载客量为500人，当 时，载客量会减少，减少的人数与 的
平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为 .
(1)求 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为 （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分
钟的净收益最大，并求出最大值.
【答案】(1) ；
(2)发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.
【分析】（1）由题设，有 且 ，求k值，进而写出其分段函数的形式即可.
（2）由（1）写出 解析式，讨论 、 求最大值即可.
【详解】（1）由题设，当 时，令 ，
又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，
∴ ，解得 .∴ ，
故 时， ，
所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为 人.
（2）由（1）知： ，
∵ 时， 当且仅当 等号成立，
∴ 上 ，
而 上， 单调递减，则 ，
综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.
22．已知函数 ．
(1)讨论函数 的奇偶性；
(2)若函数 为偶函数，且 不为常数．
①求实数 ， 的值；
②判断并证明 的单调性．
【答案】(1)答案见解析
(2)① ；②减函数，证明见解析
【分析】（1）分 、 、 三种情况讨论，分别判断函数的奇偶性；
（2）①利用特殊值 得到方程组，求出参数的值，再代入检验即可；②由①得到函数解析式，再利用定义法证明函数在 上的单调性，即可得解.
【详解】（1）①当 时，令 ，即 ，
所以 的定义域为 ，不关于原点对称，
所以 不具有奇偶性；
②当 时， ， ，为奇函数；
③当 时， ，所以 不为奇函数，
又 ，所以 不为偶函数．
综上，当 时， 为奇函数；
当 时， 既不是奇函数也不是偶函数．
（2）由（1）知，若 为偶函数，则 ，所以 的定义域为 ．
①因为 为偶函数，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
化简得 ，所以 或 ，
当 ， 时， ，不合题意；当 ， 时， ，
所以 ， 为偶函数．
综上 .
②由①得 ，
在 为减函数，在 为增函数．
下面证明 在 为增函数：
设 是 的任意两个数且 ，
，
因为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 在 为增函数，
因为 为偶函数，所以 在 为减函数．
