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特殊增长率基础 （讲义+笔记） 主讲教师：邓健 授课时间：2025.05.29 粉笔公考·官方微信 1 特殊增长率基础（讲义） 第一节 年均增长率 【例1】（2021 联考）2009 年～2019 年，城镇私营单位平均工资年均增长率 最高的是： A.科学研究、技术服务和地质勘查业 B.信息传输、计算机服务和软件业 C.金融业 D.建筑业 2 【例2】（2022 联考）判断下列说法是否正确： A.2017～2020 年，进口额年均同比增速钓鱼竿快于钓线轮 【例3】（2023 国考）将①甘肃、②广东、③上海和④浙江按2016-2021 年 集成电路产量年均增速（以2016 年为基期计算）从高到低排列，以下正确的是： A.④①②③ B.④①③② C.①④②③ D.①④③② 第二节 间隔增长率 【例4】（2019 山东）虽然2014～2016 年间全国医疗卫生机构床位数增长速 度持续下滑，但2016 年床位数仍然比2014 年增加了： 3 A.12.26% B.10.87% C.13.21% D.9.69% 全行业全年生产手表10.7 亿只，同比增长3.9%，完成产值约417 亿元，同 比增长4.3%，增速提高1.9 个百分点；生产时钟（含钟心）5.2 亿只，同比下降 3.7%，完成产值162 亿元，同比下降4.7%，降幅扩大1.3 个百分点；钟表零配 件、定时器及其它计时仪器产值96 亿元，同比增长14.3%，增速基本保持上年 水平。 【例5】（2017 国考）2015 年我国钟表全行业生产时钟（含钟心）的产值与 2013 年相比约： A.上升了11% B.下降了11% C.上升了8% D.下降了8% 2018 年全年全市保费收人65.4 亿元，增长0.7%。其中，寿险业务保费收入 39.5 亿元，下降5.1%；健康和意外险业务保费收入9.1 亿元，增长21.6%，增 速同比增加5 个百分点；财产险业务保费收人3.4 亿元，增长25.2%；车险业务 保费收人13.3 亿元,增长1.8%。全年支付各类赔款及给付21.2 亿元,增长5.3%。 其中，寿险业务保费赔付11.0 亿元，增长1.4%；健康和意外险业务保费赔付3.0 亿元，增长68.7%；财产险业务保费赔付0.9 亿元，增长5.7%；车险业务保费赔 付6.4 亿元，下降5.0%。 【例6】（2021 新疆）2016 年全年全市健康和意外险业务保费收人约为多少 亿元? A.7.5 B.6.9 C.6.4 D.6.1 2023 年全国著作权（包括作品著作权、计算机软件著作权、著作权质权） 登记总量达8923901 件，同比增长40.46%，增速比上年同期增加39 个百分点。 【例7】（2025 联考）2021 年全国著作权登记总量约为： A.626 万件 B.656 万件 4 C.685 万件 D.728 万件 【例8】（2019 辽宁）2018 年规模以上工业主营业务利润总额比2016 年增 长了约多少亿元? A.471 B.535 C.703 D.928 间隔增长率与其它特殊增长率的结合 ①间隔增长率+年均增长率 2021 年上半年，S 市工业战略性新兴产业总产值7164.68 亿元，比去年同期 增长19.6%，两年平均增长12.3%。其中，新能源汽车、新能源和高端装备产值 同比分别增长2.5 倍、32.1%和24.5%。 【例9】（2023 浙江）2020 年上半年，S 市工业战略性新兴产业总产值同比 增长在以下哪个范围内？ A.不到7% B.7%～10% C.10%～13% D.超过13% 5 2021 年1～2 月，在实物商品网上零售额中，吃类、穿类和用类商品分别同 比增长41.6%、44.3%和25.1%，两年平均分别增长33.8%、8.7%和16.0%。 【例10】（2024 四川）2020 年1～2 月，将吃类、穿类和用类商品的实物商 品网上零售额同比增速从高到低排列，下列排序正确的是： A.吃类、用类、穿类 B.吃类、穿类、用类 C.穿类、吃类、用类 D.穿类、用类、吃类 ②间隔+平均数 2017 年，S 市服务业小微样本企业总体实现营业收入105.39 亿元，同比增 长3.1%，比2016 年回落了15.7 个百分点，户均实现营业收入510.63 万元。 2017 年，S 市服务业小微样本企业总体资产938.58 亿元，同比增长4.2%， 增速比2016 年下降0.9 个百分点，户均资产4547.40 万元。 【例11】（2020 四川）2017 年，S 市服务业小微样本企业平均每万元资产实 现营业收入比2015 年： A.增长了不到5% B.增长了5%以上 C.下降了不到5% D.下降了5%以上 ③间隔+混合 2018 年，我国主要海洋产业保持稳步增长，全年实现产值33609 亿元，比 上年增长4.0%。滨海旅游业、海洋交通运输业和海洋渔业作为海洋经济发展的 支柱产业，其产值占主要海洋产业产值的比重分别为47.8%、19.4%和14.3%。海 洋生物医药业、海洋电力业这两个新兴产业产值增速领先，分别达9.6%、12.8%。 6 【例12】（2020 广东选调）如果2019 年我国海洋新兴产业保持2018 年的增 速，则2019 年我国海洋新兴产业产值将比2017 年多约（ ）。 A.22% B.27% C.32% D.37% 混合增长率 口诀法 ①求总体增速 【例13】 （2022 联考）2022 年1 月末，我国人民币存款余额236.07 万亿元， 同比增长9.2%，增速分别比上月末和上年同期低0.1 个和1.2 个百分点，1 月份 人民币存款增加3.83 万亿元，同比多增2627 亿元，其中，住户存款增加5.41 万亿元，非金融企业存款减少1.4 万亿元，财政性存款增加5849 亿元。1 月末， 外币存款余额1.02 万亿美元，同比增长9%。1 月份外币存款增加272 亿美元， 同比少增228 亿美元。 2022 年1 月末，我国本外币存款余额同比增速在以下哪个范围内？ A.低于5% B.5%到10%之间 7 C.10%～19%之间 D.高于19% 【例14】（2021 新疆）2018 年H 市完成邮电业务总量108.2 亿元。其中， 邮政业务总量40.8 亿元，同比增长26.5%;电信业务总量67.4 亿元，同比增长 56.7%。年末移动电话用户达到341 万户，其中，3G 移动电话用户达到25.7 万 户，4G 移动电话用户达到241.4 万户。全市互联网接人用户89.9 万户，其中， 新增互联网用户23.8 万户。 2018 年H 市邮电业务总量同比增速在下列哪一个范围内？ A.23%～41% B.41%～57% C.57%～71% D.高于71% ②求部分的增速 【例15】（2022 四川）2019 年1～2 月，我国包裹寄递量比去年同期： A.下降了不到10% B.下降了10%以上 8 C.上升了不到10% D.上升了10%以上 2022 年，全国居民人均可支配收人36883 元，比上年增长5.0%。 2022 年，全国居民人均消费支出24538 元，比上年增长1.8%。 【例16】（2023 广东）2022 年，全国居民人均收支盈余比上一年：（注：收 支盈余=收人-消费支出） A.增加了约5% B.减少了约5% C.增加了约12% D.减少了约12% 【例17】（2022 山东）2018 年我国全年规模以上港口完成货物吞吐量133 亿吨，同比增长2.7%，其中外贸货物吞吐量42 亿吨，同比增长2.0%。规模以上 港口集装箱吞吐量24955 万标准箱，同比增长5.2%。 2018 年我国全年规模以上港口完成非外贸货物吞吐量同比增速： A.低于1.5% B.在1.5%～2.5%之间 C.在2.5%～3.5%之间 D.高于3.5% 【例18】（2025 四川）2023 年上半年，全国新注册登记机动车1688 万辆， 同比增长1.9%。新注册登记汽车1175 万辆，同比增长5.8%。其中，新注册登记 载客汽车1034 万辆，同比增长5.6%；新注册登记载货汽车133 万辆，同比增长 8.1%。新注册登记新能源汽车313 万辆，同比增长41.6%。 2023 年上半年，全国新注册登记非汽车类机动车数量比上年同期： A.增长了不到2% B.增长了2%以上 C.减少了不到2% D.减少了2%以上 9 【例19】（2020 浙江）2017 年4 月，T 地区限额以上商品批发业销售额同比 增速约比当年一季度： A.高0.5 个百分点 B.低0.1 个百分点 C.低0.4 个百分点 D.低0.9 个百分点 ③部分和整体增速比大小 【例20】（2022 国考）2020 年3～12 月，J 省当月发电量同比增速快于当月 累计发电量同比增速的月份有几个？ A.5 B.6 C.7 D.8 10 【例21】（2025 联考）2024 年3～11 月，全国啤酒当期产量增长率高于累 计增长率的有几个？ A.3 B.4 C.5 D.6 线段法 【例22】（2021 联考）2020 年，东部地区互联网业务收入11227 亿元，同 比增长14.8%，增速较上年同期回落9 个百分点…… 2020 年，互联网业务累计收入居前5 名的广东（增长5.2%)北京（增长21.5%)、 上海（增长20.9%）、浙江（增长24.4%）和江苏（增长8.0%）共完成互联网业 务收人10706 亿元，同比增长15.1%，增速超过全国平均水平2.6 个百分点，占 全国（扣除跨地区企业）比重达87.6%，占比较上年同期提高0.8 个百分点。 2020 年，东部地区除广东、北京、上海、浙江和江苏之外的省市互联网业 务收入约比2019 年： A.增长9% B.增长19% C.减少9% D.减少19% 2019 年，A 地区社会消费品零售总额为6582 亿元，同比增长6.7%…… 2019 年1～11 月，A 地区社会消费品零售总额为5925 亿元，同比增长 11 6.3%…… 【例23】（2021 山东）2019 年12 月，A 地区社会消费品零售总额同比增速 约为： A.3% B.6% C.10% D.15% 12 特殊增长率基础（笔记） 【答案汇总】 1-5：B 不选CAD；6-10：BADAA；11-15：BABBB；16-20：CCDDC；21-23：AAC 友情提示： 超值6+1 的课程侧重于刷题和拔高，故题量大且难度高，适用于大家听完了 精讲精练或者理论速通之后再跟着学习； 若还没有学习的小伙伴建议标记课程，后续再看，学习效果更好，避免浪费 精力 粉笔的课程均可以无限次回放，回放还有AI 课程脉络快速定位重点，可以 倍速，且课程结束48 小时之后还会上传助教记录的上课笔记。 【注意】友情提示：超值6+1 的课程是送给所有系统班、AI 刷题班、精品 班的同学。 1.超值6+1 的课程侧重于刷题和拔高，故题量大且难度高，适用于大家听完 了精讲精练或者理论速通之后再跟着学习，若还没有学习的小伙伴建议标记课程， 后续再看，学习效果更好，避免浪费精力 2.粉笔的课程均可以无限次回放，回放还有AI 课程脉络快速定位重点，可 以倍速，且课程结束48 小时之后还会上传助教记录的上课笔记。 特色增长率 13 【注意】还有3 个小点本节课没有讲到： 1.年均增长率的计算。 2.乘积增长率。 3.混合增长率：不能用现期代替基期的个别反例，以上3 种情况考的不多且 由于课程设置和时间限制，放在了下一节进阶讲。 第一节 年均增长率 主流考法就是比较大小 识别：年均增长最快、年均增速排序 公式：（1+r 年均） n=现期量/基期量（n 为现期和基期的年份差） 技巧：n 相同，直接比较“现期/基期” 【注意】年均增长率：主流考法就是比较大小。 1.识别：年均增长最快、年均增速排序。 2.公式：（1+r 年均） n=现期量/基期量（n 为现期和基期的年份差），n 和年 均增长量的确定是一样的。 3.技巧：n 相同，直接比较“现期/基期”。 4.例：小邓2015 年有100 万，2025 年有800 万；小马2015 年有1000 亿， 小马2025 年有3000 亿，问从2015 年到2025 年，谁年均增长更快。 答：年均增长率比较，看“现期/基期”，都是2015～2025 年，年份差n 相同，则不需要考虑，只比较“现期/基期”的倍数即可，倍数越大，年均增长 14 率越大。小邓：800 万/100 万=8 倍，小马：3000 亿/1000 亿=3 倍，故小邓年均 增长率更大。 【例1】（2021 联考）2009 年～2019 年，城镇私营单位平均工资年均增长率 最高的是： A.科学研究、技术服务和地质勘查业 B.信息传输、计算机服务和软件业 C.金融业 D.建筑业 【解析】1.问年均增长率最高的，为年均增长率的比较问题。时间为2009～ 2019 年，2019 年是现期，2009 年是基期，直接比较“现期量/基期量”。A 项： 67642/26187=2 + ；B 项：85301/28166=3 + ；C 项：76107/30452=2 + ；D 项： 54167/19867=2 +，故年均增长率最高的是B 项。【选B】 15 【例2】（2022 联考）判断下列说法是否正确： A.2017～2020 年，进口额年均同比增速钓鱼竿快于钓线轮 【解析】2.综合分析的某个选项，只需判断这个选项是否正确即可。出现年 均同比增速+快慢，是年均增长率的比较，看“现期/基期”的倍数关系。2020 年为现期，2017 年为基期，注意问的是进口，钓鱼竿=5081/2184=2 +、钓线轮 =7623/1903=3 +，则钓线轮更快，错误。【不选】 【例3】（2023 国考）将①甘肃、②广东、③上海和④浙江按2016-2021 年 集成电路产量年均增速（以2016 年为基期计算）从高到低排列，以下正确的是： A.④①②③ B.④①③② C.①④②③ D.①④③② 【解析】3.年均增速比较，2016 年为基期，2021 年为现期。直接比较“现 期/基期”，看倍数，①：643/197=3 +；②：539/219=2 +；③：365/238=1 +；④： 230/74=3 +，因此①④大、②③小，此时确定不了答案，则还需除一下，比较题 16 截两位即可，①：643/197≈3.2，④：230/74≈3.1，因此大小关系是①④②③， 对应C 项。【选C】 【拓展1】（2022 北京）将①金属耐磨材料、②陶瓷耐磨材料和③树脂耐磨 材料按2014～2020 年消费量年均增速（以2014 年为基础）从高到低排列，以下 正确的是： A.①②③ B.③②① C.②③① D.①③② 【解析】拓展1.出现年均增速排序，是年均增速比较，材料给出现期、基 期，年份差n 相同，直接比较“现期/基期=2020 年/2014 年”，看倍数，倍数越 大，年均增速越快。①：416/359=1 +，②：24/30=0.8，③：48/50=0.9 +，①最大， ②最小，对应D 项。【选D】 17 【拓展2】（2024 联考）根据资料，判断“2019～2022 年，中国储能锂电池 出货量年均增速为3 类锂电池中最快”这一说法是否正确。 A.正确 B.错误 【解析】拓展2.问年均增速最快，是年均增长率比较，2022 年为现期，2019 年为基期。直接比较“现期/基期”，看倍数，储能锂电池=130/9.5=10 +、数码 锂电池=48/36.5=1 +、动力锂电池=480/71=6 +，则最快的是储能锂电池，正确。【选 A】 【注意】有同学认为71→480 是最快的，因为上升得多，资料分析涉及增长 率的比较不能看斜率，高度差体现的是增长量，要看现期/基期的倍数。 第二节 间隔增长率 4 种常规考法，后三种考的很少 识别：中间隔一年，求增长率/基期/增长量/倍数 求增长率：r 间=r1+r2+r1*r2 求间隔基期：现期/（1+r 间隔） 求间隔增长量：①r 间隔百化分，②现期/（N+1） 求间隔倍数：间隔增长率+1 18 核心就是通过时间识别出间隔，然后先计算间隔增长率，剩下的就是基本公 式 【注意】间隔增长率：4 种常规考法，后3 种考的很少。 1.中间隔一年，求增长率、基期、增长量、倍数。 2.题型： （1）求增长率：r 间=r1+r2+r1*r2。 （2）求间隔基期：现期/（1+r 间隔）。 （3）求间隔增长量： ①先求r 间隔，百化分。 ②现期/（N+1）。 （4）求间隔倍数：间隔增长率+1。 3.核心就是通过时间识别出间隔，然后先计算间隔增长率，剩下的就是基本 公式。 【例4】（2019 山东）虽然2014～2016 年间全国医疗卫生机构床位数增长速 度持续下滑，但2016 年床位数仍然比2014 年增加了： A.12.26% B.10.87% C.13.21% D.9.69% 【解析】4.“但”表示转折，转折之后是重点，2016 年比2014 年，求增长 率。 19 方法一：本题给了具体的量，可以不用间隔增长率公式，直接用（现期- 基 期）/基期=（741-660）/660=81/660≈12%，接近A 项。 方法二：给了每年的增长率，求间隔一年的增长率，是间隔增长率问题。r1 是今年的增长率，r2是去年的增长率，即2016 年比2015 年的增长率为r1=5.6%、 2015 年比 2014 年的增长率为 r2=6.3% ，代入公式： 5.6%+6.3%=5.6%*6.3%=11.9%+1 -%，结果比11.9%略大一点，对应A 项。【选A】 全行业全年生产手表10.7 亿只，同比增长3.9%，完成产值约417 亿元，同 比增长4.3%，增速提高1.9 个百分点；生产时钟（含钟心）5.2 亿只，同比下降 3.7%，完成产值162 亿元，同比下降4.7%，降幅扩大1.3 个百分点；钟表零配 件、定时器及其它计时仪器产值96 亿元，同比增长14.3%，增速基本保持上年 水平。 【例5】（2017 国考）2015 年我国钟表全行业生产时钟（含钟心）的产值与 2013 年相比约： A.上升了11% B.下降了11% C.上升了8% D.下降了8% 【解析】5.2015 年比2013 年间隔一年，求增长率，是间隔增长率。注意要 的是产值的增长率，不要找成-3.7%，根据“同比下降4.7%，降幅扩大1.3 个百 分点”，可知r1=-4.7%，降幅扩大则对降幅进行高减低加，4.7%-1.3%=3.4%，求 增长率加上负号，则r2=-3.4%，代入公式：-4.7%+（-3.4%）+△*△（乘积可以 忽略）≈-8.1%，接近D 项。【选D】 【注意】本题是2017 年国考题，比较经典，且是稍有的带降幅的题。 2018 年全年全市保费收人65.4 亿元，增长0.7%。其中，寿险业务保费收入 39.5 亿元，下降5.1%；健康和意外险业务保费收入9.1 亿元，增长21.6%，增 速同比增加5 个百分点；财产险业务保费收人3.4 亿元，增长25.2%；车险业务 保费收人13.3 亿元,增长1.8%。全年支付各类赔款及给付21.2 亿元,增长5.3%。 其中，寿险业务保费赔付11.0 亿元，增长1.4%；健康和意外险业务保费赔付3.0 20 亿元，增长68.7%；财产险业务保费赔付0.9 亿元，增长5.7%；车险业务保费赔 付6.4 亿元，下降5.0%。 【例6】（2021 新疆）2016 年全年全市健康和意外险业务保费收人约为多少 亿元? A.7.5 B.6.9 C.6.4 D.6.1 【解析】6.给2018 年，求2016 年，隔一年求具体的两，是间隔基期量。对 应材料找数据，已知现期=9.1，r1=21.6%，今年为21.6%，增速同比增加5 个百 分点，高减低加，则去年r2=21.6%-5%=16.6% 。（1 ）先求间隔增长率： r=r1+r2+r1*r2=21.6%+16.6%+21.6%*16.6%（1/6）≈38.2%+3.6%=41.8%；（2）间隔 基期=现期/（1+r 间）=91/（1+41.8%）→91/1.42，可以考虑百化分，14.3%≈1/7、 143%≈1/0.7，1.42→1/7，则原式≈9.1*0.7=6.37，对应B 项。【选B】 【注意】5%=1/20、50%=1/2、500%=1/0.2。 2023 年全国著作权（包括作品著作权、计算机软件著作权、著作权质权） 登记总量达8923901 件，同比增长40.46%，增速比上年同期增加39 个百分点。 【例7】（2025 联考）2021 年全国著作权登记总量约为： A.626 万件 B.656 万件 C.685 万件 D.728 万件 【解析】7.给2023 年，求2021 年，隔一年求基期，是间隔基期。对应材料 找数据，已知现期=8923901，根据“同比增长40.46%，增速比上年同期增加39 个百分点”，可知r1=40.46%，r2=40.46%-39%=1.46%。（1）先求间隔增长率： 40.46%+1.46%+40.46%*1.46% ≈40.46%+1.46%+0.4*4.46% ≈40.46%+1.46%+0.6% ≈42.6%；（2）间隔基期=现期/（1+r 间）=8923901/（1+42.6%）≈892 万件/1.43 ≈892÷1/0.7=892*0.7≈623，接近A 项。【选A】 21 【例8】（2019 辽宁）2018 年规模以上工业主营业务利润总额比2016 年增 长了约多少亿元? A.471 B.535 C.703 D.928 【解析】8.问题时间2018 年相较于2016 年，隔一年，求增长量，是间隔增 长量问题（考得少）。主体是“规模以上工业主营业务利润总额”，已知现期=1460.3， r1=41.8%，出现“百分点”，表示今年增速比去年高/低几个百分点，没有给文字， 正就代表高，负就代表低，即2018 年比去年低51.9 个百分点，高减低加，则 2017 年增长率r2=41.8%+51.9%=93.7%，r 间=41.8%+93.7%+41.8%*93.7%＞100%， 比如基期=100，r=100%，则增长量=基期=100，此时现期=100+100=200，说明当 r=100%，基期=增长量=现期/2；当r＞100%→增长量＞现期/2，本题现期是1460.3， 则增长量＞1460/2=730，只有D 项符合。【选D】 间隔增长率与其它特殊增长率的结合 ①间隔增长率+年均增长率 ②间隔增长率+平均数增长率。 ③间隔增长率+混合増长率。 22 别太担心，考的都很少很少，我们来见识一下，培养一下感情就好。 【注意】间隔增长率与其它特殊增长率的结合： 1.间隔增长率+年均增长率（近几年有点热门）。 2.间隔增长率+平均数增长率。 3.间隔增长率+混合増长率。 4.别太担心，考的都很少很少，我们来见识一下，培养一下感情就好。 ①间隔增长率+年均增长率 【引例】已知2021 年比2020 年增长12%，两年平均增长10%，求2020 比 2019 年增长大约多少？ A.8% B.2% C.5% D.-2% 题型识别：已知今年同比增长率r1、两年平均增长率r 均，求去年同比增长 率r2。 考场解法：精算2r 均+r2²=r1+r2+r1*r2，估算2r 均-r1。 【注意】间隔增长率+年均增长率： 1.引例：已知2021 年比2020 年增长12%，两年平均增长10%，求2020 比 2019 年增长大约多少？ A.8% B.2% C.5% D.-2% 答：“两年平均增长10%”，有同学直接用2*10%-12%=8%，这样做事对的。平 均增长不是两年的平均数，不能用“（12%+8%）/2”，“两年平均增长10%”实际 是年均增长率，代入公式： （1+r 年均）²=现期（2021 年）/基期（2019 年）=1+r1+r2+r1*r2 →1+2r 年均+r 年均²=1+r1+r2+r1*r2→2r 年均+r 年均²=r1+r2+r1*r2，r 年均²不好算，r 年均²=10% ²=1%，r1*r2=12%*8%=0.96%，r 年均²和r1*r2非常小，近似可以抵消，得到2r 年均=r1+r2， 代入数据，r2=2*10%-12%=8%，对应A 项。 2.题型识别：已知今年同比增长率r1、两年平均增长率r 均，求去年同比增 长率r2。 3.考场解法：精算2r 均+r2²=r1+r2+r1*r2，估算2r 均-r1。 23 2021 年上半年，S 市工业战略性新兴产业总产值7164.68 亿元，比去年同期 增长19.6%，两年平均增长12.3%。其中，新能源汽车、新能源和高端装备产值 同比分别增长2.5 倍、32.1%和24.5%。 【例9】（2023 浙江）2020 年上半年，S 市工业战略性新兴产业总产值同比 增长在以下哪个范围内？ A.不到7% B.7%～10% C.10%～13% D.超过13% 【解析】9.问题时间为2020 年上半年，材料时间为2021 年上半年，基期时 间，求去年的增长率。主体为“S 市工业战略性新兴产业总产值”，此类题型， 材料中一定会有“两年平均增长+%”。“两年平均增长12.3%”，r2=2r 均 -r1=2*12.3%-19.6%=24.6%-19.6%=5%，对应A 项。【选A】 【注意】 1.题型识别：已知今年同比增长率r1、两年平均增长率r 均，求去年同比增 长率r2。 2.考场解法：2r 均-r1。 2021 年1～2 月，在实物商品网上零售额中，吃类、穿类和用类商品分别同 比增长41.6%、44.3%和25.1%，两年平均分别增长33.8%、8.7%和16.0%。 【例10】（2024 四川）2020 年1～2 月，将吃类、穿类和用类商品的实物商 品网上零售额同比增速从高到低排列，下列排序正确的是： A.吃类、用类、穿类 B.吃类、穿类、用类 C.穿类、吃类、用类 D.穿类、用类、吃类 【解析】10.给2021 年1～2 月，问2020 年1～2 月，基期时间。分别给出 两年平均增长+%，直接用估算的方法，吃类：r=2r 均-r1=2*33.8%-41.6%=20 +%， 穿类：r=2r 均-r1=2*8.7%-44.3%=-20 +%，用类：r=2r 均-r1=2*16%-25.1%≈32%-25%=7%， 吃类＞用类＞穿类，对应A 项。【选A】 24 【注意】本题如果用常识属于误打误撞，虽然吃的花的钱多，但增长率不一 定高，可能去年吃的用得多，今年用得少，本题2020 年1～2 月，刚好是疫情期 间，吃饭的增速确实非常高，因为当时物价很高。 ②间隔增长率+平均数的增长率 【引例】已知2022 年老邓公司收入同比增长25%，比去年提高了5 个百分 点；2022 年老邓公司员工人数同比增长20%，比去年提高了10 个百分点。 问：2022 年老邓公司人均收入比2020 年提高了百分之多少？ A.20% B.18% C.14% D.10% 【解析】拓展.人均收入提高+%，考查平均数的增长率，r=（a-b）/（1+b）， 时间是2022 年比2020 年，则a 和b 都应该用2022 年比2020 年的增长率（间隔 增长率），人均收入= 收入（a ）/ 人数（b ），ra=25%+20%+25%*20%=50% ， rb=20%+10%+20%*10%=32%，则r=（50%-32%）/（1+32%）=18%/1.32＜18%，排除 A 项，首位商1，结果＞10%，对应C 项。【选C】 【注意】 1.题型识别：求今年比前年的平均数增长率。 2.思维：分别计算a 和b 的间隔增长率，再带入平均数增长率的公式。 2017 年，S 市服务业小微样本企业总体实现营业收入105.39 亿元，同比增 长3.1%，比2016 年回落了15.7 个百分点，户均实现营业收入510.63 万元。 2017 年，S 市服务业小微样本企业总体资产938.58 亿元，同比增长4.2%， 增速比2016 年下降0.9 个百分点，户均资产4547.40 万元。 【例11】（2020 四川）2017 年，S 市服务业小微样本企业平均每万元资产实 现营业收入比2015 年： A.增长了不到5% B.增长了5%以上 C.下降了不到5% D.下降了5%以上 【解析】11.隔一年+平均数求增长率，平均数=收入（a）/资产（b），对应 25 材料，收入：r1=3.1%，r2=3.1%+15.7%=18.8%，则ra=3.1%+18.8%+3.1%*18.8%≈ 22%；资产：r1=4.2%，r2=4.2%+0.9%=5.1%，则rb=4.2%+5.1%+4.2%*5.1%≈9.3%。 r=（a-b）/（1+b）=（22%-9.3%）/（1+9.3%）≈12.7%/1.1＞10%，对应B 项。 【选B】 【注意】 1.题型识别：求今年比前年的平均数增长率。 2.思维：分别计算a 和b 的间隔增长率，再带入平均数增长率的公式。 ③间隔增长率+混合增长率 【引例】已知2022 年小帅收入同比增长25%，21 年同比增长20%；2022 年 小邓收入同比增长20%，21 年同比增长10%。 问：2022 年小帅和小邓的总收入比2020 年可能提高了百分之多少？ A.80% B.55% C.44% D.30% 【解析】拓展.求两个人的总收入的增长率→混合增长率；问2022 年比2020 年的增长率→隔一年求增长率；分别找到各自的增长率，先算间隔增长率，再用 其他知识点求解，小帅：25%+20%+25%*20%=50%，小邓：20%+10%+20%*10%=32%， 总体的增速介于两个部分之间，即介于32%～50%之间，对应C 项。【选C】 【注意】 1.题型识别：求今年比前年的混合增长率。 2.思维：分别计算两个部分的的间隔增长率，再用混合增长率的口诀求解。 2018 年，我国主要海洋产业保持稳步增长，全年实现产值33609 亿元，比 上年增长4.0%。滨海旅游业、海洋交通运输业和海洋渔业作为海洋经济发展的 支柱产业，其产值占主要海洋产业产值的比重分别为47.8%、19.4%和14.3%。海 洋生物医药业、海洋电力业这两个新兴产业产值增速领先，分别达9.6%、12.8%。 26 【例12】（2020 广东选调）如果2019 年我国海洋新兴产业保持2018 年的增 速，则2019 年我国海洋新兴产业产值将比2017 年多约（ ）。 A.22% B.27% C.32% D.37% 【解析】12.题干相当于给了2019 年的r=2018 年的r，2019 年比2017 年， 隔一年求间隔；对应材料，海洋新兴产业=海洋生物医药业+海洋电力业，要求总 体的增速→混合增长率。生物：r1=9.6%，r2=9.6%，则r 间隔=9.6%+9.6%+9.6%*9.6% ≈20%。电力：r1=12.8%，r2=12.8%，则r 间隔=12.8%+12.8%+12.8%*12.8%≈27%。 混合之后居中，介于20%～27%之间，对应A 项。【选A】 【注意】 1.题型识别：求今年比前年的混合增长率。 2.思维：分别计算两个部分的的间隔增长率，再用混合增长率的口诀求解。 3.还可以先2018 年混合一下，2019 年混合一下，最后再计算间隔也可以。 因为两个增长率比较接近，感觉2018 年是10 +%，2019 年也是10 +%，则间隔增长 率=10 +%+10 +%+10 +%*10 +%≈22%，对应A 项。 27 第三节 混合增长率 1.识别：求和值或差值的增长率。 2.考察①：求整体的增速——已知进口、出口，求进出口（和的增长率）。 3.考察②：求部分的增速——已知上半年，1～5 月，求6 月增速（差的增 长率）。 4.考察③：部分的增速和整体增速比大小——当月增速大于当月累计增速的 有几个？ 5.无论怎么考，方法都一样： （1）总体增速居中（最小r＜总体r＜最大r）。 （2）偏向基期较大的（哪个部分的基期大，总体的增速就离谁近）。 （3）实在不行，线段法：距离与量成反比。 口诀法 ①求总体增速 【例13】 （2022 联考）2022 年1 月末，我国人民币存款余额236.07 万亿元， 同比增长9.2%，增速分别比上月末和上年同期低0.1 个和1.2 个百分点，1 月份 人民币存款增加3.83 万亿元，同比多增2627 亿元，其中，住户存款增加5.41 万亿元，非金融企业存款减少1.4 万亿元，财政性存款增加5849 亿元。1 月末， 外币存款余额1.02 万亿美元，同比增长9%。1 月份外币存款增加272 亿美元， 同比少增228 亿美元。 2022 年1 月末，我国本外币存款余额同比增速在以下哪个范围内？ A.低于5% B.5%到10%之间 C.10%～19%之间 D.高于19% 【解析】13.求增长率，对应材料，本外币=本币+外币，我国的本币就是人 民币，人民币r=9.2%，外币r=9%，求混合增长率，本外币r 介于9%～9.2%之间， 对应B 项。【选B】 【例14】（2021 新疆）2018 年H 市完成邮电业务总量108.2 亿元。其中， 28 邮政业务总量40.8 亿元，同比增长26.5%;电信业务总量67.4 亿元，同比增长 56.7%。年末移动电话用户达到341 万户，其中，3G 移动电话用户达到25.7 万 户，4G 移动电话用户达到241.4 万户。全市互联网接人用户89.9 万户，其中， 新增互联网用户23.8 万户。 2018 年H 市邮电业务总量同比增速在下列哪一个范围内？ A.23%～41% B.41%～57% C.57%～71% D.高于71% 【解析】14.求某个增速，看到一个“其中”，总分结构，考查混合增长率， 邮电=邮政+电信，混合后居中，邮电r 介于26.5%～56.7%之间，排除C、D 项。 再看偏向，邮政=40.8＜电信=67.4，则偏向56.7%，中点=（26.5%+56.7%）/2≈ 41%，则邮电r 介于41%～56.7%之间，对应B 项。【选B】 【注意】 1.混合后总体居中（最小r＜总体r＜最大r）。 2.偏向（靠近）量大的。 3.题型：求邮电的增速，邮电=邮政+电信——混合增长率。 4.方法： （1）混合之后整体居中，偏向（靠近）量大的邮政增速26.5%，电信增速 56.7%，则26.5%＜邮电增速＜56.7%，A、B 项均有交叉，无法锁定。 （2）再看偏向。 ②求部分的增速 29 【例15】（2022 四川）2019 年1～2 月，我国包裹寄递量比去年同期： A.下降了不到10% B.下降了10%以上 C.上升了不到10% D.上升了10%以上 【解析】15.问题时间2019 年1～2 月，1～2 月=一季度-3 月→一季度=1～2 月+3 月，求部分的增速，混合增长率，1～2 月增速＜一季度（-12.3%）＜3 月 （-10.8%），下降了10%以上，对应B 项。【选B】 【注意】 1.题型：求包裹1～2 月的增速，一季度=1～2 月+3 月——混合增长率。 2.方法：混合之后整体居中：一季度=-12.3%，3 月=-10.8%，1～2 月增速＜ -12.3%＜-10.8%，下降了10%以上，选B 项。 2022 年，全国居民人均可支配收人36883 元，比上年增长5.0%。 2022 年，全国居民人均消费支出24538 元，比上年增长1.8%。 【例16】（2023 广东）2022 年，全国居民人均收支盈余比上一年：（注：收 支盈余=收人-消费支出） A.增加了约5% B.减少了约5% C.增加了约12% D.减少了约12% 【解析】16.求增长率，收支盈余=收人-消费支出→收入=支出+盈余，混合 增长率，混合后居中，支出（1.8%）＜收入（5%）＜盈余r，对应C 项。偏向量 30 大的，支出的量=24538，盈余的量=36883-24538≈12000，则离支出（1.8%）更 近，左边距离=5%-1.8%=3.2%，右边距离＞3.2%，结果＞5%+3.2%=8.2%，对应C 项。【选C】 【注意】 1.题型：求盈余的增速，盈余=收入-支出——混合增长率。 2.方法： （1）混合之后整体居中（和的增长率一定放中间），先把式子变形成加和的 形式，再居中判断即可。 （2）收入=支出+盈余，收入增速5%，支出增速1.8%，则1.8%＜5%＜盈余 增速，是正数代表增加，大于5%，选C 项。 【例17】（2022 山东）2018 年我国全年规模以上港口完成货物吞吐量133 亿吨，同比增长2.7%，其中外贸货物吞吐量42 亿吨，同比增长2.0%。规模以上 港口集装箱吞吐量24955 万标准箱，同比增长5.2%。 2018 年我国全年规模以上港口完成非外贸货物吞吐量同比增速： A.低于1.5% B.在1.5%～2.5%之间 C.在2.5%～3.5%之间 D.高于3.5% 【解析】17.看到“非”，想到和差关系，求增速，混合增长率。非外贸=总 量-外贸→非外贸+外贸=总量，外贸（2%）＜总量（2.7%）＜非外贸r，排除A、 B 项。偏向量大的，外贸=42，总量=133，则非外贸=133-42=91，偏向非外贸， 右边的距离短，左边距离=2.7%-2%=0.7%，则右边距离＜0.7%，非外贸r＜ 2.7%+0.7%=3.4%，对应C 项。【选C】 31 【注意】 1.题型：求非外贸的增速，非外贸=总量-外贸——混合增长率。 2.方法：混合之后整体居中（和的增长率一定放中间）。先把式子变形成加 和的形式：总量=外贸+非外贸；总量增速2.7%，外贸增速2.0%，则2.0%＜2.7% ＜非外贸增速，C、D 项均满足，接下来要看偏向。 3.哪个部分的量大，总体增速就离他近（趋炎附势），距离就更短。 【例18】（2025 四川）2023 年上半年，全国新注册登记机动车1688 万辆， 同比增长1.9%。新注册登记汽车1175 万辆，同比增长5.8%。其中，新注册登记 载客汽车1034 万辆，同比增长5.6%；新注册登记载货汽车133 万辆，同比增长 8.1%。新注册登记新能源汽车313 万辆，同比增长41.6%。 2023 年上半年，全国新注册登记非汽车类机动车数量比上年同期： A.增长了不到2% B.增长了2%以上 C.减少了不到2% D.减少了2%以上 【解析】18.非汽车+汽车=机动车，求r，混合增长率；总体居中，非汽车r ＜机动车（1.9%）＜汽车（5.8%），排除B 项。再看偏向，汽车的量=1175，非汽 车的量=1688-1175 ≈500 ，混合后增长率偏向汽车（5.8% ），右边距离 =5.8%-1.9%=3.9%，左边距离＞3.9%，3.9%-1.9%=2%，即结果＜2%，对应D 项。 【选D】 【注意】 1.题型：求非汽车的增速，机动车=汽车+非汽车——混合增长率。 2.方法： （1）混合之后整体居中，偏向（靠近）量大的，机动车增速1.9%，汽车增 速5.8%，非汽车增速＜1.9%＜5.8%，只能排除B 项。 （2）再看偏向。 32 【例19】（2020 浙江）2017 年4 月，T 地区限额以上商品批发业销售额同比 增速约比当年一季度： A.高0.5 个百分点 B.低0.1 个百分点 C.低0.4 个百分点 D.低0.9 个百分点 【解析】19.问题时间2017 年4 月，材料给1～3 月和1～4 月，时间混合， 1～4 月=1～3 月+4 月，混合增长率，总体居中，4 月r＜1～4 月（11.8%）＜1～ 3 月（12%），要一季度的增速和4 月的增速做比较，4 月增速＜1～3 月增速，排 除A 项。4 月增速比11.8%都小，所以比12%不止小0.1 个百分点，排除B 项。C 项：如果低了0.4 个百分点，则4 月的增速为12%-0.4%=11.6%，右边距离 12%-11.8%=0.2%，则左边距离=0.2%，4 月的量不可能和1～3 月的量一样，排除 C 项。4 月的量对应10251-7913≈2300，1～3 月的量对应7913，则偏向12%，右 边距离=0.2%，左边的距离＞0.2%，所以至少低了0.4 个百分点以上，对应D 项。 【选D】 【注意】 1.题型：求4 月的增速，1～4 月=1～3 月+4 月——混合增长率。 2.方法： （1）混合之后整体居中，偏向（靠近）量大的，1～4 月增速11.8%，1～3 月增速12%；4 月增速＜11.8%＜12%，排除A、B 项。 （2）再看偏向。 33 ③部分和整体增速比大小 【例20】（2022 国考）2020 年3～12 月，J 省当月发电量同比增速快于当月 累计发电量同比增速的月份有几个？ A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】20.如果前三个月的r 是10%，前四个月的r 是12%，则新加入的4 月的r 一定比12%大。本题要求当月增速＞当月累计，比如要4 月＞1～4 月，4 月＞1～4 月＞1～3 月，就是要1～4 月＞1～3 月，看累计增速上升的即可，对 应折线图，上升的有7 个，对应C 项。【选C】 【注意】 1.切入点：看到当月和累计，比较增长率，想时间的混合。 2.结论：当月增速＞累计增速即累计增速上升。 34 3.举例：如果有3 个人考行测平均分是60 分，再加入一个小王，变成4 个 人之后平均分变为70 分，则小王的分数一定大于70 分。 【例21】（2025 联考）2024 年3～11 月，全国啤酒当期产量增长率高于累 计增长率的有几个？ A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】21.问题时间2024 年3～11 月，要当月增速＞累计增速，即看累计 增速上升，对应表格，满足的有3 个，对应A 项。【选A】 【注意】 35 1.切入点：看到当月和累计，比较增长率，想时间的混合。 2.结论：当月增速＞累计增速即累计增速上升。 3.拓展.假设问题时间改为2024 年3～10 月，11 月就不能看，满足的只有2 个。 线段法（用于混合增长率的精确计算） 解题逻辑： 混合增长率的题目先用口诀“混合之后总体居中，偏向量大的”来解决（90% 以上）；如果无法锁定唯一答案才需要用线段法计算 练习：全年消费4000 元，同比增长5%；上半年消费1000 元，同比增长2%； 下半年消费3000 元，问下半年消费同比增长率为多少？ 线段法的运用口诀： 1.部分在两边，总体在中间 2.距离和量成反比。 【注意】线段法（用于混合增长率的精确计算）： 1.解题逻辑：混合增长率的题目先用口诀“混合之后总体居中，偏向量大的” 来解决（90%以上）；如果无法锁定唯一答案才需要用线段法计算。山东、江苏的 同学需要掌握，广东和各地省考偶尔会考，国考没有考过。 2.练习：全年消费4000 元，同比增长5%；上半年消费1000 元，同比增长 2%；下半年消费3000 元，问下半年消费同比增长率为多少？ 答：上半年（2%）＜全年（5%）＜下半年r，上半年量=1000，下半年量=3000， 量之比=1000：3000=1：3，则距离之比=3：1，左边距离=5%-2%=3%，3 份对应3%， 则1 份对应1%，所以下半年r=5%+1%=6%。 36 3.线段法的运用口诀： （1）部分在两边，总体在中间。 （2）距离和量成反比。 【例22】（2021 联考）2020 年，东部地区互联网业务收入11227 亿元，同 比增长14.8%，增速较上年同期回落9 个百分点…… 2020 年，互联网业务累计收入居前5 名的广东（增长5.2%)北京（增长21.5%)、 上海（增长20.9%）、浙江（增长24.4%）和江苏（增长8.0%）共完成互联网业 务收人10706 亿元，同比增长15.1%，增速超过全国平均水平2.6 个百分点，占 全国（扣除跨地区企业）比重达87.6%，占比较上年同期提高0.8 个百分点。 2020 年，东部地区除广东、北京、上海、浙江和江苏之外的省市互联网业 务收入约比2019 年： A.增长9% B.增长19% C.减少9% D.减少19% 【解析】22.有和差关系，求r，混合增长率。东部地区=前五名+前五名之 外，前五名之外r＜东部地区（14.8%）＜前五名（15.1%），排除B 项。结合国 情，东部地区是比较发达的地区，现目前互联网行业还是增长的，猜A 项。或者 用线段法计算，前五名的量对应10706，前五名之外的量对应11227-10706≈500， 量之比=500：10700≈1：20，则距离之比=20：1，右边距离=15.1%-14.8%=0.3%， 即1 份对应0.3%，20 份对应20*0.3%=6%，所以前五名之外r=14.8%-6%=8.8%， 对应A 项。【选A】 2019 年，A 地区社会消费品零售总额为6582 亿元，同比增长6.7%…… 37 2019 年1～11 月，A 地区社会消费品零售总额为5925 亿元，同比增长 6.3%…… 【例23】（2021 山东）2019 年12 月，A 地区社会消费品零售总额同比增速 约为： A.3% B.6% C.10% D.15% 【解析】23.求混合增长率，混合后居中，偏向量大的，选不出唯一答案， 线段法，1～11 月的量对应5925，12 月的量对应6582-5925=600 +，量之比=5925： 600 +≈10：1，则距离之比=1：10，1 份对应6.7%-6.3%=0.4%，则10 份对应 10*0.4%=4%，所以12 月r=6.7%+4%=10.7%，对应C 项。【选C】 混合增长率打通关： 1.识别：求增长率，所求的主体/时间有和差关系。 2.思路： （1）若求的是整体（和）的增速：先居中排除，再看哪部分量大总体增速 就离他近。 （2）若求的是部分（差）的增速： ①先变形成加和的形式，把和的增速放中间。 ②再看偏向，哪部分量大距离就短（和总体增速差值小）。 （3）若是某月增速和累计增速比大小： ①累计增速上升——当期增速＞累计增速。 ②累计增速下降——当期增速＜累计增速。 3.前两种情况，若范围无法解题时，就需要用线段法计算求解：距离和量成 反比。 38 4.注：线段法在山东、江苏属于重点常考，广东偶尔涉及，其他省份很少考； 国考从未考过。 5.大家发学习打卡或者跟粉笔课程使用感受相关的笔记@粉笔邓健（我会给 大家互动留言，并随机抽幸运粉丝发粉笔周边盲盒礼）。 39 遇见不一样的自己 Be your better self
