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第 35 讲 立体几何中的动态问题
【典型例题】
例1．（2024·高三·天津南开·阶段练习）如图，四棱台 中，上、下底面均是正方形，且侧
面是全等的等腰梯形， ，E，F分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线 垂直于上
下底面，且 与侧棱所在直线所成的角为45°．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)边BC上是否存在点M，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若存在，求出线段BM
的长；若不存在，请说明理由．
例2．（2024·高三·湖南·阶段练习）如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，
，平面 平面 ， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若点Q是线段 的中点，M是直线 上的一点，N是直线 上的一点，是否存在点M，N使得
?请说明理由.例3．（2024·高三·上海黄浦·阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面
平面 ， ， ，E为AD的中点．
(1)求证： ；
(2)在线段PC上是否存在点M，使得 平面PEB？请说明理由
例4．（2024·高三·安徽池州·期末）如图，在五面体 中，四边形 是矩形，平面 平面
．
(1)求该五面体的体积；
(2)请判断在棱 上是否存在一点G，使得 与平面 所成角的正弦值为 ?若存在，求 的长；
若不存在，请说明理由．
例5．（2024·高三·云南楚雄·期末）已知四棱锥 的底面 是边长为2的正方形，E是 的
中点，且 ， ， .
(1)证明：平面 平面 ；(2)在棱 上是否存在点F（不含端点），使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ？如果存在，
求 的长；如果不存在，请说明理由.
例6．（2024·广东广州·二模）如图，在三棱柱 中，侧面 是菱形，且与平面 垂直，
， .
(1)证明： 平面 ；
(2)棱 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角为 ？若存在，请确定点 的位置；若
不存在，请说明理由.
例7．（2024·高三·重庆·开学考试）在四棱锥 中，已知
， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若线段 上存在点 ，满足 ，且平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求实数
的值．【过关测试】
1．（2024·高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 中，
， ， ， ．
(1)求证：平面 平面 ．
(2)设 ．
①直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长；
②线段 上是否存在一个点 ，使得点 到点 ， ， ， 的距离都相等？说明理由．
2．（2024·高三·重庆·阶段练习）如图甲，菱形 的边长为 ， ，将 沿 向上翻折，
得到如图乙所示的三棱锥 .
(1)证明： ；
(2)若 ，在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，
求出 ；若不存在，请说明理由.
3．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点 为 的中点，线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 .若存
在，求 的值；若不存在，请说明理由.
4．（2024·陕西咸阳·二模）在几何体中，底面 是边长为2的正三角形． 平面 ，若
．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)是否在线段 上存在一点 ，使得二面角 的大小为 ．若存在，求出 的长度，若不存在，
请说明理由．
5．（2024·全国·一模）如图，棱柱 的所有棱长都等于2，且 ，平面平面 ．
(1)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(2)在棱 所在直线上是否存在点P，使得 平面 ．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明
理由．
6．（2024·高三·重庆·阶段练习）如图， 是以 为直径的圆 上异于 ， 的点，平面 平面
， ， ， ， 分别是 ， 的中点，记平面 与平面 的交线为直线
.
(1)求证：直线 平面 ；
(2)直线 上是否存在点 ，使直线 分别与平面 ，直线 所成的角互余？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由．
7．（2024·天津河东·一模）在正方体 中（如图所示），边长为2，连接(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)底面正方形 的内切圆上是否存在点 使得 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在求
长度，若不存在说明理由．
8．（2024·四川成都·模拟预测）在四棱锥 中，已知 ， ，
， ， ， 是线段 上的点．
(1)求证： 底面 ；
(2)是否存在点 使得 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
9．（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，
∠AEB＝ ，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC.(1)求证：AB⊥DE.
(2)求证：AE⊥平面BCE.
(3)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
10．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，
底面 ， ，点 在棱 上， 平面 .
(1)试确定点 的位置，并说明理由；
(2)是否存在实数 ，使三棱锥 体积为 ，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由.
11．（2024·陕西西安·一模）如图，在三棱锥 中，侧面 是边长为1的正三角形，
分别为 的中点，平面 与底面 的交线为 ．
(1)证明： 平面 ；(2)若三棱锥 的体积为 ，试问在直线 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ，
异面直线 与 所成的角为 ，且满足 .若存在，求出线段 的长度；若不存在，请说明理
由.
12．（2024·贵州黔东南·二模）如图，在多面体 中，四边形 为菱形， 平面 ，
， ， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)试问线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，请判断点
的位置；若不存在，请说明理由.
13．（2024·湖南邵阳·二模）如图所示，在四棱台 中，底面 是菱形， 平面
.
(1)证明： ；
(2)若 ，棱 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角
余弦值为 .若存在，求线段 的长；若不存在，请说明理由.14．（2024·高三·湖北荆州·阶段练习）设四边形 为矩形，点 为平面 外一点，且 平面
，若
(1)求 与平面 所成角的正切值；
(2)在 边上是否存在一点 ，使得点 到平面 的距离为 ，若存在，求出 的值，若不存在，
请说明理由；
15．（2024·福建·模拟预测）在 中， ， ， 的平分线交AB于点D，
.平面α过直线AB，且与 所在的平面垂直.
(1)求直线CD与平面 所成角的大小；
(2)设点 ，且 ，记E的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论
l绕点D如何转动，总有 ？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.
16．（2024·山西运城·一模）如图，在矩形纸片 中， ， ，沿 将 折起，使点
到达点 的位置，点 在平面 的射影 落在边 上.(1)求 的长度；
(2)若 是边 上的一个动点，是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角余弦值为 ？若存在，
求 的长度；若不存在，说明理由.
17．（2024·广东梅州·一模）已知三棱柱 中， ， ，且 ，
，侧面 底面 ， 是 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 与平面 的所成角为60°.如果存在，请求出 ；如果不存在，
请说明理由.
18．（2024·四川成都·模拟预测）在四棱锥 中，已知 ，
是线段 上的点.
(1)求证： 底面 ；
(2)是否存在点 使得三棱锥 的体积为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.19．（2024·广东汕头·一模）如图，三棱台 中，侧面四边形 为等腰梯形，底面三角形
为正三角形，且 .设 为棱 上的点.
(1)若 为 的中点，求证： ；
(2)若三棱台 的体积为 ，且侧面 底面 ，试探究是否存在点 ，使直线 与平
面 所成角的正弦值为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由.
