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专题06 导数（解答题10 种考法）
考法一 含参单调性的分类讨论
【例1-1】（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)求
在
上的最小值
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）函数
的定义域为
，
则
．
当
时，
在
上恒成立，
故此时
在
上单调递减；
当
时，由
，得
,由
，得
，
故此时
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由（1）知，当
时，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，所以
；
当
时，
(i)若
，即
时，
在
上单调递增，
此时，
；
(ii)若
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时，
；
(iii)若
，即
时，
在
上单调递减，
此时，
．
综上所述，
．
【变式】
1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）由已知
，则
，
当
时，
，
，
则曲线
在
处的切线方程为
，即
（2）由（1）知，
，
①当
时，
，
当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，
在
单调递减；
②当
时，由
，得
，
（ⅰ）当
时，
，
当
时，
，
在
，
单调递增；
当
时，
，
在
单调递减；
（ⅱ）当
时，
，
，
在
单调递增；
（ⅲ）当
时，
，
当
时，
，
在
，
单调递增；
当
时，
，
在
单调递减；
综上可得：①当
时，
在
单调递增，在
单调递减；
②当
时，
在
，
单调递增，在
单调递减；
③当
时，
在
单调递增；
④当
时，
在
，
单调递增，在
单调递减.
2．（2023 秋·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知函数
其中
．
(1)若
，求函数
的单调区间和极值;
(2)当
时，讨论函数
的单调区间．
【答案】(1)
的单调减区间为
， 单调增区间为
；极小值
（2）答案见解析
【解析】（1）函数
的定义域为
．
则
，
令
，可得
，
当
变化时，
和
的变化情况如下：
单调递减
单调递
减
单调递增
故函数
的单调减区间为
; 单调增区间为
．
当
时，函数
有极小值
.
（2）因为
，所以
，
所以函数
的定义域为
，
求导可得
令
，可得
，
当
时，
，
因为
(当且仅当
时，
)
所以函数
在
单调递增．
当
时，
，
当
变化时，
和
的变化情况如下：
单调递增
单调递减
单调递增
故函数
的单调减区间为
单调增区间为
当
时，
，
当
变化时，
和
的变化情况如下：
单调递增
单调递减
单调递增
故函数
的单调减区间为
单调增区间为
，
综上，当
时，函数
在
单调递增；当
时，函数
的单调减区间为
单调增区
间为
；当
时，函数
的单调减区间为
单调增区间为
，
3．（2023 秋·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)当
时，讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当
时：
，令
解得
，
又因为当
，
，此时函数
单调递减；
当
，
，此时函数
单调递增.
所以
的最小值为
.
（2）
，
当
时，由
，得
或
.
①若
，则
，故
在
上单调递增；
②若
，则
.故当
时，
或
；
当
时，
.
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
③若
，则
.故当
时，
或
；
当
时，
.
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
考法二 讨论零点个数
【例2】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知
为实数，函数
(1)当
时，求函数
的极值点；
(2)当
时，试判断函数
的零点个数，并说明理由．
【答案】(1)有且仅有一个极小值点
(2)零点个数为2，理由见解析
【解析】（1）当a=0 时，
，故
，
令
，故
，
与
在区间
上的情况如下：
0
+
极小
值
所以
在区间
上单调递减，在区间
单调递增，
所以函数
有且仅有一个极小值点
．
（2）函数
的零点个数为2，理由如下：
（1）当
时，
．
由于
，
所以
，
故函数
在区间
上单调递减，
，
所以函数
在区间
上有且仅有一个零点；
（2）当
时，
，
故
，
令
，得
，
，故
，
因此恒有
，所以函数
在区间
上单调递增；
又
，
所以函数
在区间
上有且仅有一个零点．
综上，函数
的零点个数为2．
【变式】
1．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）设函数
，
，其中
，曲线
在
处的切线方程为
(1)若
的图象恒在
图象的上方，求
的取值范围；
(2)讨论关于
的方程
根的个数．
【答案】(1)
；
(2)答案见解析
【解析】（1）
，则
，
则
,又因为
，解得
，
，
所以
；
由题意得，
对一切
恒成立，
分离参数
得，
对一切
恒成立，
令
，则
，
令
，则
，
，
所以函数
过点
，且在
上单调递减，
当
时，
；当
时，
．
又易知
与
同号，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，所以
，
故
的取值范围为
；
（2）由题意，原方程等价于分离参数后的方程
，
令
，由（1）知，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又当
时，
；当
时，
，
所以
的大致图象如图.观察图象可知：
当
时，方程
根的个数为；
当
时，
根的个数为
；
当
时，
根的个数为．
2.(2022·广东广州检测)已知a≥1，函数f(x)＝x ln x－ax＋1＋a(x－1)2．
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的零点个数．
【答案】见解析
【解析】(1)若a＝1，则f(x)＝x ln x－x＋1＋(x－1)2，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋2(x－1)．
当0＜x＜1 时，f′(x)＜0；当x＞1 时，f′(x)＞0．
所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)当a＝1 时，f(x)＝x ln x－x＋1＋(x－1)2，
因为f(1)＝0，且f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)有1 个零点．
当a＞1 时，f′(x)＝1＋ln x－a＋2a(x－1)＝1＋ln x＋2ax－3a，
令g(x)＝1＋ln x＋2ax－3a，因为a＞1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f′(1)＝g(1)＝1－a＜0，f′＝g＝1＋ln ＞0，所以存在实数x0∈，使得g(x0)＝0．
在(0，x0)上，f′(x)＜0，f(x)是减函数；在(x0，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)是增函数．
所以f(x)的最小值是f(x0)，其中x0满足f′(x0)＝0，即1＋ln x0＋2ax0－3a ＝0．
所以f(x0)＝x0ln x0－ax0＋1＋a(x0－1)2＝x0(3a－1－2ax0)－ax0＋1＋a(x0－1)2＝(1－x0)(a＋ax0＋1)，
因为x0∈，所以f(x0)＜0，因为f＝＋1－＞0，f(3)＝3ln 3＋a＋1＞0，所以f(x)有2 个零点．
综上所述，当a＝1 时，f(x)有1 个零点；当a＞1 时，f(x)有2 个零点
考法三 已知零点个数求参数
【例3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
恰有2 个不同的极值点，求
的取值范围；
(3)若
恰有2 个不同的零点，求
的取值范围.
【答案】(1)单调减区间为
，无增区间.
(2)
(3)
【解析】（1）解：若
，则
，可得
，
设
，则
，
当
时，
递增；当
时，
递减，
所以
，即
，所以
在
递减，
即
的单调减区间为
，无增区间.
（2）解：由函数
，可得
，
由题意可得
有两个不等的正根，
设
，
若
，则
在
递增，不符合题意；
若
，可得
，令
，可得
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
可得
，
因为
有两个不等的正根，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
（3）解：由
，可得
，即
，
设
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
所以
，
又
时，
时，
，
因为
恰有2 个不同的零点，所以
，可得
，
所以实数
的取值范围是
.
【变式】
1．（2023·河南·模拟预测）已知函数
，且
.
(1)求
在
上的最大值；
(2)设函数
，若函数
在
上有三个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)最小值为
，最大值为
.
(2)
【解析】（1）解：由函数
，可得
，
因为
，可得
，解得
，
所以
且
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
当
，函数取得极大值
；当
，函数取得极小值
，
又由
，
所以函数
在区间
上的最小值为
，最大值为
.
（2）解：由函数
和
，可得
，
因为函数
在
上有三个零点，即
有三个实数根，
等价于
与
的图象有三个不同的交点，
又由
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
，函数取得极小值
；当
，函数取得极小值
，
又由当
时，
，当
时，
，
要使得
与
的图象有三个不同的交点，可得
，
即实数
的取值范围是
.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的最大值；
(2)若
恰有一个零点，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，则
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
所以
；
（2）
，则
，
当
时，
，所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
所以
，此时函数无零点，不合题意；
当
时，
，在
上，
，
单调递增；
在
上，
，
单调递减；
又
，
由（1）得
，即
，所以
，
当
时，
，
则存在
，使得
，
所以
仅在
有唯一零点，符合题意；
当
时，
，所以
单调递增，又
，
所以
有唯一零点，符合题意；
当
时，
，在
上，
，
单调递增；
在
上，
，
单调递减；此时
，
由（1）得当
时，
，
，所以
，
此时
存在
，使得
，
所以
在
有一个零点，在
无零点，
所以
有唯一零点，符合题意；
综上，a 的取值范围为
.
3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数
，
其中
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若方程
有三个根，求
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
．
【解析】（1）解：由题意得函数
的定义域为
，
，
当
时，
，即
在
上单调递增；
当
时，由
，得
或
，由
，得
，
在
上单调递减，在
和
上单调递增；
当
时，由
得
或
，由
得
，
在
上单调递减，在
和
上单调递增，
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
和
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
和
上单调递增；
（2）方程
有三个根，即
有三个根，
有三个根，显然
不是方程的根，
则
有三个根，即
与函数
的图象有三个交点，
，令
，可得
，
由
，可得
或
，由
，可得
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
在
处取得极大值为
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
如图所示：
要使
与函数
的图象有三个交点，
只需
，
的取值范围是
．
考法四 恒成立与能成立问题
【例4-1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)讨论函数
极值点的个数；
(2)对任意的
，都有
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）由题意知：
定义域为
，
，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，当
时，
恒成立，
大致图象如下图所示，
则当
时，
恒成立，即
恒成立，
在
上单调递减，无极值点；
当
时，
与
有两个不同交点，
此时
有两个变号零点，
有两个极值点；
当
时，
与
有且仅有一个交点，
此时
有且仅有一个变号零点，
有且仅有一个极值点；
综上所述：当
时，
无极值点；当
时，
有两个极值点；当
时，
有且
仅有一个极值点.
（2）由题意知：当
时，
恒成立；
设
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
即
，
，
又
恒成立，
，即实数
的取值范围为
.
【例4-2】（2022·北京·统考高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
在
上的单调性；
(3)证明：对任意的
，有
．
【答案】(1)
(2)
在
上单调递增.
(3)证明见解析
【解析】（1）解：因为
，所以
，
即切点坐标为
，
又
，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为
，
所以
，
令
，
则
，
∴
在
上单调递增，
∴
∴
在
上恒成立，
∴
在
上单调递增.
（3）解：原不等式等价于
，
令
，
，
即证
，
∵
，
，
由（2）知
在
上单调递增，
∴
，
∴
∴
在
上单调递增，又因为
，
∴
，所以命题得证.
【变式】
1．（2023·浙江·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，所以
时
，
单调递增，
时
，
单调递减，
综上所述，当
时，
单调递减；当
时，
在
上单调递增；在
上单调递
减.
（2）若对任意
恒成立，可得
，
即
对任意
恒成立，
令
，
，
，令
，
，
因为
，所以
，所以
在
上单调递减，
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，
所以当
时
，
单调递增，
当
时
，
单调递减，
所以
，
可得
.
2．（2023 秋·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）设
，
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若
有
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)答案见解析
(3)
【解析】（1）
的定义域为
，因为
，
∴
，
∴
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
∴
，
；
（2）由题：
，
1°当
时：
，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增；
2°当
时：∵
，
∴
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增；
3°当
时：
①若
即
，
所以
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
②若
即
，
，
则
在
单调递增；
③若
即
，
所以
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
（3）欲使
恒成立，只需
，
根据(2)的结论，
1°，当
时：
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减，
∴令
，得
，此时，
；
2°当
时：①若
即
，
所以
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
②若
即
，
时，
，
单调递增；
③若
即
，
所以
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
不论上述哪种情况，均有
时
，因此，不可能有
恒成立，舍去.
综上：
的取值范围为
.
3．（2023 秋·江西·高三临川一中校联考阶段练习）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）因为
，
所以
，
因为
，当
时，
，
所以当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，由
，得
或
，
当
即
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
时，
，
在
上单调递减，
或
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
时，
，
在
上单调递减；
或
时，
，
在
上单调递增．
综上可得，
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
时，
在
上单调递增；
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增；
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增．
（2）由题可得
，所以
，
由（1）得当
时，
在
上单调递增，则
时
，不满足题意，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
，即
时
在
上单调递减，
时，
，满足题意，
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
由
时，
恒成立，则
，即
，
因为
，
，
所以
，
综上得实数
的取值范围为
．
考法五 不等式的证明
【例5-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数
，
．
(1)求
的极值；
(2)证明：当
时，
．（参考数据：
）
【答案】(1)极大值为
，无极小值
(2)证明见解析
【解析】（1）
的定义域为
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取得极大值
，
所以
的极大值为
，无极小值；
（2）设
，
则
，
令
，
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
又
，
，
，
所以存在
，使得
，即
．
当
时，
，即
，
单调递减，
当
时，
，即
，
单调递增，
所以当
时，
在
处取得极小值，即为最小值，
故
，
设
，因为
，
由二次函数的性质得函数
在
上单调递减，
故
，
所以当
时，
，即
．
【例5-2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，若不等式
恒成立，求
的取值范围；
(3)设
，证明：
．
【答案】(1)递增区间为
，递减区间为
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）当
时，
，
则
，
令
，得
；令
，得
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（2）由
，得
，
设
，
当
时，
，
所以当
时，
，不符合题意．
当
时，
，
设
，
其图象为开口向下的抛物线，对称轴为
，
当
，即
时，
因为
，
所以当
时，
，即
，
此时
单调递增，所以
，不符合题意．
当
，即
时，
在
上单调递减，
所以
，
所以
，所以
在
上单调递减，
所以
，符合题意．
综上所述，
的取值范围为
．
（3）由（2）可得当
时，
，即
，
令
，则
，
所以
，
以上各式相加得
，
即
，
所以
．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，定义域为
，所以
，
当
时，由于
，则
，故
恒成立，
所以
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
，
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增；
综上：当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，
，
要证
，即证
，即证
恒成立，
令
，则
，
令
，则
；令
，则
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，则
恒成立，
所以当
时，
恒成立，证毕.
方法二：
令
，则
，
由于
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
又
，
所以当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，则
，当且仅当
时，等号成立，
因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以要证
，即证
，即证
，
令
，则
，
令
，则
；令
，则
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，则
恒成立，
所以当
时，
恒成立，证毕.
2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
，求证：当
时，
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意知：
的定义域为
，
；
①当
时，
在
上恒成立，
在
上单调递增；
②当
时，令
，解得：
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增；在
上单调递减；
综上所述：当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递增；在
上
单调递减.
（2）要证
，只需证
，
又
，
，则只需证
；
①当
时，
，
，
恒成立；
②当
时，
，
，
，
则只需证
，即证
，
令
，则
，
令
，则
，
令
，则
，
在
上单调递增，即
在
上单调递增，
，
，
，使得
，且当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，又
，
当
时，
，即
；当
时，
，即
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
；
综上所述：当
时，
恒成立，即
.
考法六 三角函数型
【例6】（2023·全国·统考高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
在
上单调递减
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，
则
，
令
，由于
，所以
，
所以
，
因为
，
，
，
所以
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减.
（2）法一：
构建
，
则
，
若
，且
，
则
，解得
，
当
时，因为
，
又
，所以
，
，则
，
所以
，满足题意；
当
时，由于
，显然
，
所以
，满足题意；
综上所述：若
，等价于
，
所以
的取值范围为
.
法二：
因为
，
因为
，所以
，
，
故
在
上恒成立，
所以当
时，
，满足题意；
当
时，由于
，显然
，
所以
，满足题意；
当
时，因为
，
令
，则
，
注意到
，
若
，
，则
在
上单调递增，
注意到
，所以
，即
，不满足题意；
若
，
，则
，
所以在
上最靠近
处必存在零点
，使得
，
此时
在
上有
，所以
在
上单调递增，
则在
上有
，即
，不满足题意；
综上：
.
【变式】
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）设函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)设函数
，求
在
的零点个数．
【答案】(1)递增区间为
，递减区间为
.
(2)答案见解析
【解析】（1）解：由函数
，可得
，
令
，即
，可得
，
解得
；
令
，即
，可得
，
解得
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
.
（2）解：由（1）知
，
因为
，可得
，
当
时，即
时，
，
单调递增；
当
时，即
时，
，
单调递减；
当
时，即
时，
，
单调递增；
当
时，即
时，
，
单调递减；
且
，
则函数
的图象，如图所示，
又由
的零点，即方程
的解，
即函数
与
的图象交点的个数，
结合图象，可得：
当
或
时，
与
的图象没有交点，即函数
没有零点；
当
或
时，
与
的图象一个交点，即函数
有一个零点；
当
或
时，
与
的图象有两个交点，即函数
有两个零点；
当
时，
与
的图象有三个交点，即函数
有三个零点；
当
时，
与
的图象有四个交点，即函数
有四个零点.
2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数
，
的导函数为
．
(1)若
在
上单调递减，求实数
的取值范围；
(2)当
时，记函数
的极大值和极小值分别为
，
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题意，
，根据题意知，
在
上恒成立，
即
在
上恒成立．
令
，
，则
，
令
，
，则
，
则
时，
，
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
而
，
，
，故
，
，
当
时，
，
，即
在
上单调递增，
当
时，
，
，即
在
上单调递减，
故
，则
，
故实数
的取值范围为
．
（2）令
，则
，设
，
分别为函数
在
上的极大值点与极小值点，
所以
，
，则
，且
．
所以
，由
，得
，其中
，
，
故
．
设
，
，
则
，令
，解得
，
故当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
故
，即
，故
．
考法七 切线问题
【例7】（2022·全国·统考高考真题）已知函数
，曲线
在点
处
的切线也是曲线
的切线．
(1)若
，求a；
(2)求a 的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【解析】（1）由题意知，
，
，
，则
在点
处
的切线方程为
，
即
，设该切线与
切于点
，
，则
，解得
，则
，解得
；
（2）
，则
在点
处的切线方程为
，整理得
，
设该切线与
切于点
，
，则
，则切线方程为
，整理
得
，
则
，整理得
，
令
，则
，令
，解得
或
，
令
，解得
或
，则
变化时，
的变化情况如下表：
0
1
0
0
0
则
的值域为
，故
的取值范围为
.
【变式】
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知
，函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)求证：存在
，使得直线
与函数
的图像相切．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）
的定义域是
，
，
当
时，
恒成立，
在
单调递增；
当
时，令
，则
，
显然成立，
解得：
，
，
当
时，
；当
时，
，
的增区间是
和
，减区间是
．
（2）
，则
，设切点坐标为
．
由直线
与函数
的图象相切，则
，解得：
．
显然直线
过原点，则
，所以
．
整理得
，即：
，得：
．
设
，
．
当
时，
，
递减，当
时，
，
递增．
又
，
．所以存在
，使得
．
存在
，使得直线
与函数
的图像相切．
2．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数
，
．
(1)若曲线
在
处的切线与曲线
相交于不同的两点
，
，曲线
在A，B 点处的切线交于点
，求
的值；
(2)当曲线
在
处的切线与曲线
相切时，若
，
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【解析】（1）因为
，所以
，
所以曲线
在
处的切线方程为
．
由已知得
，
，不妨设
，
又曲线
在点A 处的切线方程为
，
在点B 处的切线方程为
，
两式相减得
，
将
，
，
代入得
，
化简得
，
显然
，所以
，所以
，又
，所以
．
（2）当直线
与曲线
相切时，设切点为
，
则切线方程为
，将点
代入，解得
，此时
，
，
根据题意得，
，
，
即
恒成立．
令
，则，
，令
，则
，
易知
在
上单调递增，所以
，
所以
在
上单调递增，所以
．
若
，则
，即
在
上单调递增，
则
，所以
在
上恒成立，符合题意；
若
，则
．
又
，
所以存在
，使得
，
当
时，
，
单调递减，即
，
所以此时存在
，使得
，不符合题意．
综上可得，a 的取值范围为
．
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知
，函数
.
(1)若
是增函数，求
的取值范围；
(2)证明：当
，且
时，存在三条直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切
线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
的定义域为
令
，
令
，得
；令
，得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
从而
，故
的取值范围是
.
（2）设曲线
的切点为
，
则曲线
在点
处的切线方程为
.
联立
，得
，
必有
，
记函数
，由题
，
故当
时，
.
记
，
令
，得
；令
，得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增.
当
，且
时，
，
当
时，
，故存在
，使得
，
当
，或
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减.
由
，得
，代入
并整理得：
同理
，
记
，由（1）知
为增函数，
，
，
又
，当
时，
，
有三个零点，
存在三条直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线.
考法八 极值点偏移
【例8】（2022·全国·统考高考真题）已知函数
．
(1)若
，求a 的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，则
．
【答案】(1)
(2)证明见的解析
【解析】（1）[方法一]：常规求导
的定义域为
，则
令
,得
当
单调递减
当
单调递增
，
若
,则
,即
所以
的取值范围为
[方法二]：同构处理
由
得：
令
，则
即
令
，则
故
在区间
上是增函数
故
，即
所以
的取值范围为
（2）[方法一]：构造函数
由题知,
一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证
,即证
因为
,即证
又因为
,故只需证
即证
即证
下面证明
时，
设
，
则
设
所以
,而
所以
,所以
所以
在
单调递增
即
,所以
令
所以
在
单调递减
即
,所以
；
综上,
,所以
.
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
令
，则
，
所以
在
上单调递增，故
只有1 个解
又因为
有两个零点
，故
两边取对数得：
，即
又因为
，故
，即
下证
因为
不妨设
，则只需证
构造
，则
故
在
上单调递减
故
，即
得证
【变式】
1．（2023·安徽马鞍山·统考一模）设函数
.
(1)若
对
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)已知方程
有两个不同的根
、
，求证：
，其中
为自然对数的
底数.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：由
，得
.
令
，
，则
，
令
，则
.
所以，函数
在
上单增，故
.
①当
时，则
，所以
在
上单增，
，
此时
对
恒成立，符合题意；
②当
时，
，
，
故存在
使得
，
当
时，
，则
单调递减，此时
，不符合题意.
综上，实数
的取值范围
.
（2）证明：由（1）中结论，取
，有
，即
.
不妨设
，
，则
，整理得
.
于是
，
即
.
2．（2023·安徽合肥 ）已知函数
有两个极值点
，
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由于
，则
.
设
，则
，令
，解得
.
所以当
时，
；当
时，
，所以
①当
时，
，所以函数
在
上单调递增，没有极值点.
②当
时，
，
，
此时，
有两个零点
、
，不妨设
，则
,
所以函数
有2 个极值点时，
的范围时
.
（2）由（1）知，
、
为
的两个实数根，不妨设
，则
，
在
上单调递减.
下面先证
，只需证
.
由于
，所以
，
所以
.
设
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，
，
所以
.
由于函数
在
上单调递减，所以
.
要证
，只需证
，即证
.
设函数
,则
.
设
，则
,
所以
在
上单调递增，
，即
.
所以
在
上单调递增，
.
故当
时，
,则
,
所以
,即
3（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性：
(2)若
是方程
的两不等实根，求证：
；
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意得，函数
的定义域为
.
由
得：
，
当
时，
在
上单调递增；
当
时，由
得
，由
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）因为
是方程
的两不等实根，
，
即
是方程
的两不等实根，
令
，则
，即
是方程
的两不等实根.
令
，则
，所以
在
上递增，在
上递减，
，
当
时，
；当
时，
且
.
所以0
，即0
.
令
，要证
，只需证
，
解法1（对称化构造）：令
，
则
，
令
，
则
，
所以
在
上递增，
，
所以h
，所以
，
所以
，所以
，
即
，所以
.
解法2（对数均值不等式）：先证
，令
，
只需证
，只需证
，
令
，
所以
在
上单调递减，所以
.
因为
，所以
，
所以
，即
，所以
.
考法九 交点或零点之间的关系
【例9】（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数
和
在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线
与两条曲线
和
共有四个不同的交点，其横坐标分别为
（
），证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【解析】（1）由题意可得：
，显然
，
当
时，令
，解得
；令
，解得
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
可得
在
处取到最大值
；
当
时，令
，解得
；令
，解得
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
可得
在
处取到最小值
，不合题意；
综上所述：
，
在
处取到最大值
.
因为
的定义域为
，且
，
令
，解得
；令
，解得
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
可得
在
处取到最大值
；
由题意可得：
，解得
.
（2）由（1）可得：
在
上单调递减，在
上单调递增，在
处取到最大值
，
且当x 趋近于
时，
趋近于
，当x 趋近于
时，
趋近于，
可得直线
与曲线
至多有两个交点；
在
上单调递增，在
上单调递减，在
处取到最大值
，
且当x 趋近于时，
趋近于
，当x 趋近于
时，
趋近于，
可得直线
与曲线
至多有两个交点；
若直线
与两条曲线
和
共有四个不同的交点，则
，
此时直线
与曲线
、
均有两个交点，
构建
，
构建
，且
，则
，
可得
在
上单调递减，在
上单调递增，在
处取到最大值
，
构建
，则
，
因为
，令
，解得
；令
，解得
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
可得
，
即
，当且仅当
时，等号成立，
可得：当
时，
，则
，
所以
；
当
时，
，且
在
上单调递增，
则
，可得
，
所以
；
当
时，
，且
在
上单调递减，
则
，可得
，
所以
；
综上所述：当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
结合题意可得：直线
与曲线
的两个交点横坐标为
，
与
的两个交点横坐标
为
，且
，
当
，可得
，即
，
可得
，即
，
因为
在
上单调递增，且
，
则
，可得
所以
；
当
，可得
，即
，
可得
，即
，
因为
在
上单调递增，且
，
则
，可得
，
所以
；
综上所述：
，即
.
【变式】
1．（2023·新疆·统考三模）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个不相等的实根
，求实数
的取值范围，并证明
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
；证明见解析
【解析】（1）因为
，
所以
，
当
时，
，所以
在区间
上单调递增，
当
时，令
，得
；令
，得
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
综上当
时，
在区间
上单调递增，当
时，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
（2）方程
，即
，等价于
，
令
，其中
，则
，显然
，
令
，则
，
所以
在区间
上单调递减，且由
时
可得在区间
上
，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
，
因为方程
有两个实根
，
所以关于的方程
有两个实根
，
，且
，
，所以
，
要证
，即证
，即证
，只需证
，
因为
，所以
，整理可得
，
不妨设
，则只需证
，
即
，
令
，
，其中
，
因为
，所以
在区间
上单调递增，
所以
，故
．
2．（2023·河南·校联考二模）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若方程
有两个不同的实数根
，证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）函数
的定义域是
，
.
当
时，
对任意
恒成立，
所以函数
在
上单调递增；
当
时，令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，
令
，得
，所以函数
在
上单调递增.
综上可得，
时，函数
在
上单调递增；
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）方程
即
，得
，
不妨设
，则
，
，得
，
所以
.
所以要证
，即证
，即证
，
即
.
设
，因为
，所以
，
即证
（
）.
设
，则当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，
所以
，即
，
即
，即
.
考法十 根据极值（点）求参数
【例10】（2023·新疆·校联考模拟预测）已知函数
，
是
的导
函数.
(1)若
，求证：当
时，
恒成立；
(2)若
存在极小值，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）∵
的定义域为
，
，
∴
，
.
令
，则
.
令
，则
.
由
，得
，
∴当
时，
；当
时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴当
时，
，
即当
时，
，∴
在
上单调递增.
∵
，∴
，∴当
时，
恒成立.
（2）由（1）知，
.
设
，则
.
①当
时，
恒成立，∴
在
上单调递增.
∵
，∴当
时，
，从而
；
当
时，
，从而
.
又∵
，∴
，都有
，
所以
在
上单调递增，此时
无极值；
②当
时，由
，得
，
∴当
时，
；当
时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴当
时，
取得最小值，且最小值为
.
令
，
，
∴当
时，
；当
时，
，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减.
∵
，∴当
时，
，
即当
时，
（当且仅当
时等号成立）.
（i）当
时，
，且当
时，都有
，
∴
，且当
时，
；当
时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
在
处取得极小值，符合题意.
（ii）当
时，
，且
.
∵
，∴
，∴
的图象大致如图（1）.
图（1）
由函数的单调性及零点存在定理，
得在
内存在唯一的实数
，使得
，
∴当
时，
，从而
；
当
时，
，从而
；
当
时，
，从而
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
在
处取得极小值，符合题意.
（iii）当
时，
，且
.
∵
，由（1）知，
，
∴
的图象大致如图（2）.
图（2）
由函数的单调性及零点存在定理，得在
内存在唯一的实数
，使
，
∴当
时，
，从而
；
当
时，
，从而
；
当
时，
，从而
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
在
处取得极小值，符合题意.
综上，当
存在极小值时，
的取值范围为
.
【变式】
1.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数
.
(1)证明：
恰有一个零点；
(2)设函数
.若
至少存在两个极值点，求实数
的取值范
围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：令
，得
.
又
，所以
.
令
，则
，
所以
在区间
上单调递增.
又
，
所以存在唯一的
，使得
，
即
在区间
内恰有一个零点，
故函数
恰有一个零点.
（2）由题意知
，
所以
.
因为函数
至少存在两个极值点，
所以方程
至少有两个不等实根.
令
，则
.
令
，则
，
所以函数
在区间
上单调递减.
又
，所以当
时，
，即
0，此时
单调递增；
当
时，
，即
，此时
单调递减，
且当
时，
；当
时，
；当
时，
.
要使
在区间
内至少有两个不等实根，
则函数
的图象与直线
在区间
上至少有两个交点.
作出函数
的图象，如图所示，
则
，解得
.
此时，
在区间
和区间
内各有一个零点，分别设为
，
则当
或
时，
；当
时，
，
故
为
的极小值点，
为
的极大值点，符合题意.故实数
的取值范围是
.
2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个极值点
，
，证明：
.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1）由题得
，其中
，
令
，
，其中对称轴为
，
．
①若
，则
，
此时
，则
，所以
在
上单调递增；
②若
，则
，
此时
在
上有两个根
，
，且
，
所以当
时，
，则
，
单调递增；
当
,
时，
，则
，
单调递减；
当
,
时，
，则
，
单调递增，
③当
时，当
时，
，则
，
单调递增，
当
时，
，则
，
单调递减，
④当
时，
，
此时
在
上有两个根
，
，
所以当
时，
，则
，
单调递减；
当
,
时，
，则
，
单调递增，
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
，
上单调递减，在
，
上
单调递增．
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增．
（2）由（1）知，当
时，
有两个极值点
，
，且
，
，
所以
．
令
，
，
则
，故
在
上单调递减，
所以
，所以
，
即
．
