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2026 教材命题点探源 第一次模拟试卷
高三数学（全国一卷）01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1.设全集
是小于16 的平方数
，
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
2.若
，则
( )
A.1
B.
C.
D.2
3.已知双曲线
（
，
）的焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2 倍，
则双曲线C 的离心率
( )
A.
B.
C.
D.
4.已知
，则
( )
1
A.
B.
C.
D.2
5. 已知某古代天文观测仪器的核心部件为圆台形，其上底面半径为1，一个表面积为
的球形校准器
置于该圆台内，且与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则该圆台的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.当
时，函数
有两个零点，则a 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数
，若方程
有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范
围为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知
及其导函数
的定义域为R，
为偶函数，
的图象关于点
对称，则
( )
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9.已知某AI 智能设备的运行温度X（单位：℃）服从正态分布
，且满足
，
则下列说法正确的是（ ）
A. 从该批设备中任选1 台，其运行温度不低于120℃的概率是0.5
B. 从该批设备中任选1 台，其运行温度高于110℃的概率是0.7
C. 从该批设备中任选1 台，其运行温度超过110℃与不超过130℃的概率相等
2
D. 从该批设备中任选2 台，这 2 台设备运行温度都高于130℃的概率为0.18
10.已知函数
，则下列结论正确的是( )
A.函数
存在两个不同的零点
B.函数
的极大值为
，极小值为
C.若
时，
，则t 的最大值为2
D.若方程
有两个实根，则
11. 在新时代科技实践与数学建模项目中，某研究小组聚焦一类具有实际应用价值的特殊曲线，通过数据
分析、模型推演完成了曲线方程的构建，该曲线被命名为“星轨回旋曲线”，
其表达式为：
小组同步绘制了该曲线的大致图象（如图
所示，
轴水平向右为正方向，
轴竖直向上为正方向），并围绕图象特征
与代数性质展开专项探究。下列说法正确的是（ ）
A. 当探测器沿直线
飞行时，与星轨回旋曲线
的交会点最多为3 个
B. 根据题图所示的星轨分布特征，可推断参数
C.存在实数a，使得星轨回旋曲线
是偶函数图象
D. 当
时，在
的深空区域内，星轨高度y 可唯一表示为飞行距离x 的函数
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12.已知向量
，
，
，则
_________.
13.点M，N 分别是曲线
和直线
上任意一点，则
的最小值为___________.
14.有8 枚非遗文创印章，分别刻有数字 1，2，3，4，5，6，7，8。现从这 8 枚印章中随机抽取3 枚，
则抽出的 3 枚印章上的数字之和与其余5 枚印章上的数字之和相等的概率为__________.
3
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）在锐角三角形ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
.
（1）求B；
（2）求
的取值范围.
16.（15 分）如图，已知四棱锥
，底面ABCD 为直角梯形，
，
平面
，
，
，
，M 为棱PD 上一点，且
.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的正弦值.
17.（15 分）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点P 在椭圆W 上，P 到
4
W 的焦点的最大距离为
，
.
（1）求椭圆W 的标准方程；
（2）若
，判断点P 与曲线
的位置关系；
（3）若椭圆W 的右顶点为C，经过点
的直线与W 交于A，B 两点，
的面积为
，求直线
AB 的方程.
18.（17 分）已知函数
，
.
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）若存在正数a，b，且a 为函数
大于1 的零点，b 为函数
的极值点.
（ⅰ）求实数m 的取值范围；
（ⅱ）证明：
.
5
19.（17 分）航空航天零件的合格率是衡量制造质量的重要指标，典型影响因素包括材料纯度、加工精
度、检测标准等。最新行业数据显示，我国航空航天零件的整体合格率为 27.9%，高精度零件占全部合
格零件的约三分之一.改善生产工艺和加强质量检测是常用的提升方式，同时适当优化生产流程可以使零
件合格率水平提升，降低生产风险，推动高质量发展.
（1）某航空制造企业为鼓励和引导生产车间积极优化生产流程，提升零件合格率，开展 “精益生产，
质量为先” 活动.下表为开展活动后近5 个季度高精度零件的合格情况统计：
季度x
1
2
3
4
5
高精度零件合格（或达标）人数y
320
270
210
150
100
若高精度零件合格（或达标）人数y 与季度变量x（季度变量x 依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相
关关系，请预测第 6 季度高精度零件合格（或达标）的大约有多少人？
（2）企业将参加生产流程优化的车间分成了甲、乙、丙三组进行质量挑战，其规则：挑战权在任何一组，
该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为
，若甲组挑战乙
组，则下次挑战权在乙组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为
，
；若挑战权在丙组，
则挑战甲组、乙组的概率分别为
，
.
（i）经过3 次挑战，求挑战权在乙组的次数X 的分布列与数学期望；
（ii）定义：已知数列
，若对于任意给定的正数
（不论它多么小），总存在正整数
，使得当
时，
（A 是一个确定的实数），则称数列
为“聚点数列”，A 称为数列
的聚
点.经过n 次挑战后，挑战权在甲组的概率为
，证明数列
为“聚点数列”，并求出聚点A 的值.
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
6
，
.
7
