文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
小题限时卷01（A 组+B 组+C 组）
（模式：8+3+3 满分：73 分 限时：50 分钟）
一、单选题
1．（2024·湖北·一模）已知集合
，若
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，得到
，再由集合之间的包含关系列不等式组求解即可；
【详解】由
解得
，
因为
，所以
，
所以
，解得
，即
的取值范围是
，
故选：C.
2．（24-25 高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）设等差数列
的前
项和为
，已知
，则
（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【答案】B
【分析】结合等差数列
的前
项和公式以及等差数列的性质即可求出结果.
【详解】设设等差数列
的公差为
，因为
，
，
所以
，所以
，解得
.
故选：B.
3．（2024 高三·全国·专题练习）在正方体
中，棱
的中点分别为
，
，则直线
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合正方体的结构特征找到直线
与平面
所成角，解直角三角形，即可求得答案.
【详解】连接
，在正方体
中，
平面
，
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
棱
的中点为
，则
平面
，
而
平面
，故
，
则
即为直线
与平面
所成角，
设正方体棱长为2，则
，
则
，
故
，
故选：C
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）一个三位数的百位十位个位上的数字依次记为
､
､
，当
中有两个
数字的和等于剩下的一个数字时，则称这个三位数为“有缘数”（如121，213 等）．现从
这五个
数字中任取三个数字（可以重复）组成一个三位数，其中“有缘数”的个数为（ ）
A．24
B．27
C．30
D．33
【答案】C
【分析】分类讨论，求出满足“有缘数”的数字个数，结合排列组合公式计算可得.
【详解】从
这五个数字中任取三个不同的数，其中“有缘数”的个数为
24；
从
这五个数字中任取两个不同的数，其中“有缘数”的个数为
，
所以全部“有缘数”的个数为
．
故选：C．
5．（24-25 高三上·山东淄博·阶段练习）已知
，若
在
上单调，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
在
上单调且恒为正可得．
【详解】由题意
在
上单调且恒为正，
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
或
，且
，解得
或
，
故选：D．
6．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量
，则
的最小值是
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】D
【分析】由题设
分别在以
为原点，半径为
的圆上运动，且
，数形结合及向量加法的
几何意义确定
的范围，即可得答案.
【详解】由题设，
分别在以
为原点，半径为
的圆上运动，且
，
所以
，若
是
的中点，则
，而
，如下图示，
由图知，
，而
，即
.
所以
的最小值是.
故选：D.
7．（2024·湖北·一模）已知实数
满足
，则
最大值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】A
【分析】解法（1）采用三角换元，令
，再结合余弦函数的值域求解即可；解法
（2）采用基本不等式求解即可；
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解法（1）：由
，
令
，即
，
，
，即
最大值为2；
解法（2）：
当且仅当
，即
时取等号，
，即
最大值为2，
故选：A.
8．（17-18 高三·安徽马鞍山·期末）已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，若点
是
与
在第一象限内的交点，且
,
设
与
的离心率分别为
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设椭圆与双曲线的半焦距为
,
,由题意可得
，用
表示出
，结合二次
函数的性质即可求出范围.
【详解】如图所示：
设椭圆与双曲线的焦距为
,
,由题意可得
，
，即
，即
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
由
可知
，令
，
，
所以
，故选D.
【点睛】本题主要考查了双曲线和椭圆的性质以及离心率的问题，考查了转化思想，属于中档题.
二、多选题
9．（2024·山东·模拟预测）在正方体
中，
分别为棱
的中点，则（ ）
A．
平面
B．
C．直线
与直线
所成角为
D．平面
经过棱
的三等分点
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系利用空间位置关系的向量证明可判断AB 正确；由异面直线的向量求法可得
C 错误，在棱
上取一点
，求得平面
和平面
的法向量，解方程可得
，
可判断D 正确.
【详解】在正方体
中，分别以
为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则
，
对于A，
，
设平面
的一个法向量
，
因为
平面
，
所以
平面
，A 正确；
对于B，因为
，
所以
，B 正确；
对于C，设直线
与直线
所成角为
，
则
，又
，
所以
，C 错误；
对于D，在棱
上取一点
，如下图所示：
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
设平面
的法向量
，平面
的法向量
，
则
，解得平面
的一个法向量
，
又
，解得平面
的一个法向量
，
因为平面
平面
，所以当
时，
共面，
此时
，即
解得
，
所以平面
经过棱
的三等分点
，可得D 正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条
件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量
与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
10．（2024·山东威海·一模）如图，在四边形
中，
为边
上的一列点，连接
交
于点
，且
满足
，其中数列
是首项为1 的正项数列，则
（ ）
A．数列
为等比数列
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
B．数列
的前
项和为
C．数列
为递增数列
D．
【答案】ABD
【分析】A 选项，根据向量共线定理得到
，从而
，A 正确；B 选项，在A 选
项基础上得到
，由分组求和和等比数列求和公式得到B 正确；C 选项，举出反例即可；D 选项，
在B 选项基础上得到D 正确.
【详解】A 选项，因为
为边
上的一列点，设
，
即
，所以
，
即
，所以
，
即
，所以数列
为公比为2 的等比数列，A 正确；
B 选项，因为
，所以
，
故
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
，
，
的前
项和为
，B 正确；
CD 选项，
，故
，显然
，
则数列
不是递增数列，C 错误，D 正确.
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：ABD
11．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
的最大值为4
C．
在区间
上单调递减
D．
在区间
上的极小值为
【答案】ACD
【分析】A 选项，计算出
，A 正确；B 选项，举出反例，
，由基本不等式得到
；C 选项，求导，当
时，
，当
时，变形得到
，令
，
，
求导，得到
的单调性，结合
，故
，故
，故
在
上单调递
减，C 正确；D 选项，在C 选项基础上，得到
的单调性，进而可得解.
【详解】A 选项，
，
故
的图象关于直线
对称，A 正确；
B 选项，
，
故
，
，
由于
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
，B 错误；
C 选项，
，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，故
，
故
，
在区间
上单调递减，
当
时，
，
令
，
，
则
恒成立，
故
在
上单调递减，
由于
，
，即
，
故
，故
，
故
在区间
上单调递减，
又
在
上为连续函数，故
在区间
上单调递减，C 正确；
D 选项，由C 知，
在区间
上单调递减，
当
时，
，
，
令
，
，
则
恒成立，
故
在
上单调递减，
当
时，
，
，
，
当
时，
，
，f
′ (x)>0，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，
故
恒成立，
故
在
上单调递增，
又
在
上为连续函数，故
在区间
上单调递减，
在
上单调递增，
故
在区间
上的极小值点为
，
极小值为
，D 正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：CD 选项，在处理
和
等区间上函数单调性的技巧，要变形
得到
，构造
，求导，得到函数单调性，从而只需判断
的大小，即可判断出f
′ (x)的正负，确定函数单调性.
三、填空题
12．（23-24 高三上·山东·期中）已知函数
，则
在点
处切线方程为
．
【答案】
【分析】对
求导可得
计算出
得
，再根据题意利用导数的几何意义求解即可.
【详解】对
求导可得
，则
，
解得
，
，
，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
切线方程为
，整理得
.
故答案为：
.
13．（2024·上海·模拟预测）已知正实数
满足
，
，则
.
【答案】
/
【分析】令
，则由
可得
，从而可求出的值，再结合
求出
，
即可得解.
【详解】令
，则
，
由
，得
，
所以
，解得
或
，
所以
或
，
所以
或
，
当
时，则
，
由
，得
，所以
，
由
，又a>0，解得
，
所以
；
当
时，由
，得
，所以
，
由
，又a>0，解得
，
所以
，
综上所述，
.
故答案为：
.
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
14．（24-25 高三上·福建·期中）已知函数
若存在实数
满足
，且
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到
，根据
，可将
化简为
，构造函数
，利用导数求最值即可.
【详解】结合解析式可知当
时，
；当
时，
.
因为
，所以
.
令
，得
，则
，
故
.
令
，则
，
令
得
；令
得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
当
时，
，
因为
，所以
.
所以
的取值范围为
.
故答案为：
（模式：4+2+1 满分：37 分 限时：25 分钟）
一、单选题
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车
站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2 倍，和谐号的正点率为
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（ ）
A．0.2
B．0.5
C．0.6
D．0.8
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得.
【详解】令事件A：经过的列车为和谐号；事件B，经过的列车为复兴号；事件C，列车未正点到达，
则
，
于是
，
所以该列车为和谐号的概率为
.
故选：D
2．（24-25 高三上·湖北荆州·阶段练习）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】以
为整体，利用诱导公式结合倍角公式求
，结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为
，则
，
且
，可得
，
则
，
，
所以
，
故选：A.
3．（2024·湖北·一模）已知数列
为等比数列，
，若
的前9 项和为
，则数列
的前9 项
和为（ ）
A．
B．
C．
D．
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】D
【分析】记数列
公比为
且
，利用等比数列前n 项和可得
，再由
公比
也为
及等比数列前n 项和、等比中项性质，即可求结果.
【详解】记数列
公比为
且
，则
，故
，
所以
公比也为
，
则
前9 项和
.
故选：D
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，四叶玫瑰线
的方程为
是
上在第一象
限内的一点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据曲线的方程及三角代换得到
，再由换元法可得
，利用导数求最
大值即可.
【详解】如图，
点在射线
的上方，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则可设
，
代入
，得
．
令
，则
，
所以
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以
是
的最大值点，即
．
故选：A.
二、多选题
5．（山东省名校2025 届高三上学期12 月校际联合检测数学试题）函数
的图象，如图所示，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．函数
是奇函数
C．
的图象关于点
对称
D．若
在
上有且仅有三个零点，则
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数
，结合给定图象求出
，再逐项
判断即可.
【详解】依题意，
，
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由
，得
，
解得
，而
，则
，
所以
，则
的最小正周期为
，故A 错误；
是奇函数，故B 正确；
，
令
，得
，
所以
的对称中心为
，
当
时，函数
的对称中心为
，故C 正确；
，当
时，
，
因为函数
在
上有且仅有三个零点，
所以
，解得
，故D 正确．
故选：BCD．
6．（23-24 高三上·辽宁·阶段练习）若曲线
（e 为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，
则a 的取值可以是（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】AD
【分析】设切点为
，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，
可得到
，有两条切线转化为
有两个不等的实根，即可
求出a 的取值范围，进而得到正确选项.
【详解】设切点为
，
，
所以切线的斜率
，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则此曲线在P 处的切线方程为
，
又此切线过坐标原点，所以
，
由此推出
有两个不等的实根，所以
，解得
或
，
故选：AD．
三、填空题
7．（2024·山东威海·一模）已知底面半径为3 的圆锥
，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底
面半径为1，则此圆柱的侧面积为 .
【答案】
【分析】作出圆锥的轴截面
，求出圆锥的高，利用三角形相似求出圆柱的高，再根据侧面积公式计算
可得.
【详解】如图作出圆锥的轴截面
，根据题意可知
,
,
所以可得
,
根据三角形相似可得
,
所以
,可求得
,
根据圆柱侧面积公式可得
.
故答案为：
（模式：1+1+1 满分：16 分 限时：15 分钟）
一、单选题
1．（2024·上海杨浦·一模）设无穷数列
的前
项和为
，且对任意的正整数
，则
的值可能为（ ）
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．0
C．6
D．12
【答案】A
【分析】根据
与
的关系，探索数列
的结构特点，分别求出
和
，再根据
及数列
是无穷数列对各选项进行判断.
【详解】当
时，
.
当
时，
，所以
，
两式相减得：
，因为
，所以
.
所以数列
的奇数项是以
为首项，1 为公差的等差数列，且
.
所以
.
同理，数列
的偶数项是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
.
所以
.
若
，则数列
各项均不为0，数列
是无穷数列，故A 正确；
若
，这与
矛盾，故B 错误；
若
，根据奇数项成公差为1 的等差数列，则
，则
无法求出，这与数列
是无
穷数列矛盾，故C 错误；
若
，根据奇数项成公差为1 的等差数列，则
，则
无法求出，这与数列
是无
穷数列矛盾，故D 错误.
故选：A
【点睛】关键点点睛：观察出数列的特点后，一定要注意
及数列
是无穷数列这两个条件的应用.
二、多选题
2．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
在
上单调递增
B．若
，且
，则函数
的最小正周期为
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．若
的图象向左平移
个单位长度后，得到的图象关于
轴对称，则
的最小值为3
D．若
在
上恰有4 个零点，则
的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于A，由复合函数单调性即可判断；对于B，直接可得
，由此即可判断；对于C，由题
意得
结合
的范围即可判断；对于D，根据
，
，得到
，进一步列出不等式组即可求解.
【详解】对于A，当
时，若
，则
，
由于
在
上单调递增，故
在
上单调递增；故A 正确；
对于B，若
，且
，则当且仅当
，故B 正确；
对于C，若
的图象向左平移
个单位长度后，
得到的图象所对应的函数表达式为：
，
若
的图象关于
轴对称，则
，
注意到
，
所以当且仅当
时，
的最小值为4，故C 错误；
对于D，
，
，得到
，
若
在
上恰有4 个零点，
则当且仅当
，解得
，即
的取值范围为
，故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：正弦型函数的零点问题，关键在于利用
的范围求得
，进
而结合正弦函数的图象特征求得
的取值范围.
三、填空题
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2024·上海普陀·一模）设平面上四点
、
、
、
满足：
，
，若
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】首先分析向量关系，建立平面直角坐标系，设点的坐标，根据已知条件得到
，消去m
得到
，借助三角函数的值域得到的取值范围，最后最后求
的最小值即可.
【详解】已知
，则这两个向量垂直，所以
. 则Q 再以MN 为直径的圆上.
以原点O 建立平面直角坐标系，设
，
，
，
.
由
，可得
，对于
，
从
解出
，代入
中，经过化简可以得到
.
将
代入
，得到
，进一步变形为
.
因为
，所以
.
当
时，解方程
，
令
，则方程变为
，可得
.
因为
，所以
（
舍去），则
；
当
时，
，
，
或者
，
又因为
且存在其他条件限制，所以
.
因为
，当取最小值
时，
.
故答案为：
.
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
21
