文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
微专题16 立体几何经典题型精练
【典型例题】
例1．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥
中，
平面
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若点
为
的中点，线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
.若存
在，求
的值；若不存在，请说明理由.
例2．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
，
为侧棱
上一点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的大小；
(3)求点
到平面
的距离．
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
例3．（2024·高三·全国·专题练习）在棱长为2 的正方体
中，E、F 分别是BC、CD 的中
点．
(1)求证：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)若点G、H 分别为线段
上的动点，点P 为底面A1B1C1D1上的动点，求
的最小值．
例4．（2024·天津·一模）如图所示，在三棱柱
中，
平面
，
.
是棱
的中点，
为棱
中点，
是
的延长线与
的延长线的
交点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值.
例5．（2024·辽宁·一模）如图，在平行六面体
中，E 在线段
上，且
F，G 分别为线段
，
的中点，且底面
为正方形.
(1)求证:平面
平面
(2)若
与底面
不垂直，直线
与平面
所成角为
且
求点 A 到平面
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的距离.
例6．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知三棱柱
，其中
，
，点
是
的中点，连接
，
，异面直线
和
所成角记为
．
(1)若
，求三棱柱外接球的表面积；
(2)若
，则在过点
且与
平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，求该截面面积．
例7．（2024·高一·浙江绍兴·期末）如图1，在梯形
中，
，
是线段
上的一点，
，
，将
沿
翻折到
的位置.
(1)如图2，若二面角
为直二面角，
，
分别是
，
的中点，若直线
与平面
所
成角为
，
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值的取值范围；
(2)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点
为线段
的中点，
，
分别在线段
，
上（不包含端点），且
为
，
的公垂线，如图3 所示，记四面体
的
内切球半径为，证明：
.
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
例8．（2024·高三·重庆·阶段练习）如图所示，已知在四棱柱
中，所有的棱长均为2，侧
面
底面
为
的中点，
为棱
上的动点（含端点），过
三点的截面记为平面
.
(1)是否存在点
使得
底面
？请说明理由；
(2)当平面
与平面
所成二面角的余弦值为
时，试求平面
截得四棱柱两部分几何体的体积之
比（体积小的部分作比值的分子）.
例9．（2024·天津和平·一模）如图，四棱锥
的底面
是正方形，
平面
，
，点
分别是棱
，
的中点，点
是线段
上一点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值；
(3)若直线
与平面
所成的角的正弦值为
，求此时
的长度.
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【过关测试】
1．（2024·高三·浙江宁波·阶段练习）已知四棱锥
的底面
是直角梯形，
，
，
，
，
为
的中点，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
与平面
所成的角为
，过点
作平面
的垂线，垂足为
，求点
到平面
的距离.
2．（2024·辽宁·一模）如图，在三棱柱
中，
平面
是线段
上的一个动点，
分别是线段
的中点，记平面
与平面
的交线为.
(1)求证：
；
(2)当二面角
的大小为
时，求
.
3．（2024·河北唐山·一模）如图，三棱柱
中，侧面
为矩形，底面ABC 为等边三角形．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)证明：
；
(2)若
，
，
①证明：平面
平面ABC；
②求平面ABC 与平面
的夹角的余弦值．
4．（2024·广东江门·一模）如图，四边形
是圆柱底面的内接矩形，
是圆柱的母线.
(1)证明：在侧棱
上存在点
，使
平面
；
(2)在（1）的条件下，设二面角
为
，
，
，求三棱锥
的体积.
5．（2024·山东烟台·一模）如图，在三棱柱
中，
，
为
的中点，
平面
.
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：
；
(2)若
，求二面角
的余弦值.
6．（2024·陕西咸阳·二模）在几何体中，底面
是边长为2 的正三角形．
平面
，若
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)是否在线段
上存在一点
，使得二面角
的大小为
．若存在，求出
的长度，若不存在，
请说明理由．
7．（2024·高三·全国·专题练习）如图，PO 是三棱锥P-ABC 的高，PA＝PB，AB⊥AC，E 是PB 的中点．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：OE∥平面PAC；
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B 的正弦值．
8．（2024·江西九江·二模）如图，三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
点
满足
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)点
在
上，且
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
9．（2024·云南·模拟预测）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：
.若
，则称
为空间向量
与
的叉乘，其
中
，
，
为单位正交基底.以
为坐标
原点，分别以
的方向为
轴､
轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知
是空间直角坐标系中
异于
的不同两点.
(1)①若
，求
；
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
②证明：
.
(2)记
的面积为
，证明：
；
(3)问：
的几何意义表示以
为底面､
为高的三棱锥体积的多少倍？
10．（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知四边形
是矩形，
平面
，且
，M､N
是线段
､
上的点，满足
.
(1)若
，求证：直线
平面
；
(2)是否存在实数
，使直线
同时垂直于直线
，直线
？如果有请求出
的值，否则请说明理由；
(3)若
，求直线
与直线
所成最大角的余弦值.
11 ．（2024· 山东济南· 一模）在空间直角坐标系
中，任何一个平面的方程都能表示成
，其中
，
，且
为该平面的法向量.已知集合
，
，
.
(1)设集合
，记
中所有点构成的图形的面积为
，
中所有点构成的图形的
面积为
，求
和
的值；
(2)记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为
，
中所有点构成的几何体的体积为
，求
和
的值：
(3)记集合T 中所有点构成的几何体为W.
①求W 的体积
的值；
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
②求W 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W 的面数和棱数.
12．（2024·江苏·一模）如图，已知四棱台
的上、下底面分别是边长为2 和4 的正方形，
平面
⊥平面ABCD，
，点P 是棱
的中点，点Q 在棱BC 上．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若二面角
的正弦值为
，求BQ 的长．
13．（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知
的直角边
，点
是
从左到
右的四等分点（非中点）.已知椭圆
所在的平面⊥平面
，且其左右顶点为
，左右焦点为
，
点
在
上.
(1)求三棱锥
体积的最大值；
(2)证明：二面角
不大于60°.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
14．（2024·江西南昌·一模）如图，四棱锥
中，底面
是边长为2 的菱形，
，已
知
为棱
的中点，
在底面的投影
为线段
的中点，
是棱
上一点.
(1)若
，求证：
平面
；
(2)若
，确定点
的位置，并求二面角
的余弦值.
15．（2024·高三·全国·专题练习）如图，四面体
中，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，
，点
在
上；
①点
为
中点，求
与
所成角的余弦值；
②当
的面积最小时，求
与平面
所成的角的正弦值．
16．（2024·河南南阳·一模）如图，在几何体
中，平面
平面
，四边形
为正方形，四边形
为平行四边形，四边形
为菱形，
为棱
的中点，点
在棱
上，
平面
.
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)证明
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
17．（2024·广东佛山·模拟预测）在四棱雉
中，四边形
为矩形，
，
，点
为线段
的中点．已知点
在平面
上的射影在四边形
外，且直线
与平面
所成的角为
．
(1)设点
为线段
的中点，求证：
；
(2)求平面
与平面
的夹角
的余弦值．
18．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形
中，
，将
沿
折起，使点D 到达点P 位置，且
，连接
得三棱锥
，如图2．
(1)证明：平面
平面
；
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)在线段
上是否存在点M，使平面
与平面
的夹角的余弦值为
，若存在，求出
的值，
若不存在，请说明理由．
19．（2024·高三·重庆·开学考试）在如图所示的几何体中，
平面
平面
，记
为
中点，平面
与平面
的交线为．
(1)求证：
平面
；
(2)若三棱锥
的体积
与几何体
的体积
满足关系
为上一点，求当
最大时，
直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
20．（2024·高三·安徽·阶段练习）如图，四棱锥
的底面
是菱形，点
分别在棱
上，
．
(1)证明：
平面
；
(2)若二面角
大小为120°，求
与平面
所成角的正弦值．
21．（2024·湖北·模拟预测）如图，在梯形
中，
，
，
.将
沿对角线
折到
的位置，点P 在平面
内的射影H 恰好落在直线
上.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求二面角
的正切值；
(2)点F 为棱
上一点，满足
，在棱
上是否存在一点Q，使得直线
与平面
所成的角
为
?若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
14
