提分小卷：选择题+填空题
限时训练01（A 组+B 组）
（考试时间：40 分钟 试卷满分：73 分）
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求的）
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为集合
，
，所以
.
故选：C.
2．在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】复数
，
其在复平面内所对应的点
位于第四象限，
故选：D．
3．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
，又
，
所以
，
故选：D.
4．将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
1
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的图象向左平移
个单位得到：
，
所以
，
故选：A.
5．在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，且
，则
的面积
为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】A
【解析】由余弦定理得
，
所以
的面积为
．
故选：A．
6．在《红楼梦》中，史湘云邀众姐妹和贾宝玉一起作诗.共编写了十首不同的咏菊诗，假设分配贾宝玉作
《访菊》《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》、《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉、史湘云、探春三
人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（ ）
A．150 种
B．360 种
C．450 种
D．800 种
【答案】C
【解析】第一类，将6 首诗按
的数量分给3 人，有
种；
第二类，将6 首诗按
的数量分给3 人，有
种，
所以不同的分工方案共有
种．
故选：C.
7．已知三棱锥
中，且 AB = CD =
，BC = AD =
，AC = BD =
，则该三棱锥外接球的表面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】将三棱锥
补成长方体，如图，
2
设长方体的长、宽、高分别为
，
由于三棱锥
的棱长满足
，
，
，
根据长方体面对角线的性质，可得
，即
，
所以长方体的体对角线长为
，因此三棱锥的外接球直径
，所以
，
所以外接球的表面积
.
故选：A
8．已知点
在函数
的图像上，若
恒成立，且
在区间
上单调，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
在区间
上单调，所以
，可得
，
解得
，且
，所以
，
又点
在函数
的图像上，所以
是函数的一个对称中心，
又
恒成立，即
是函数的一条对称轴，所以
，
若
，则
，此时
，可得
，满足条件，
若
，则
，此时
，可得
，不满足条件，
所以
，又
恒成立，所以
，
即
，即
，又
，所以
，则
.
3
故选：B
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选
对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9．2025 年9 月20 日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448 人.为了解各年
龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200 名年龄在［10，50］的观众进行调查，并绘制如下的频率分
布直方图，则（ ）
A．
B．该场观众年龄众数的估计值为35
C．该场观众年龄
分位数的估计值为36
D．该场观众年龄平均数的估计值为34
【答案】ABD
【解析】对于A，
，故A 正确；
对于B，高度最高矩形的底边中点对应横坐标为35，即众数为35，故B 正确；
对于C，所求即为中位数，前２个矩形面积之和为
，
前3 个矩形面积之和为
，则中位数在30 到40 之间.
设中位数为
，则
，即中位数为35，故C 错误；
对于D，平均数为
，
故D 正确.
故选：ABD
10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．
已知抛物线
的焦点为
，一束平行于
轴的光线从点
射入，经过抛物线上的点
反
射后，再经抛物线上另一点
反射后，沿直线
射出，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．与
之间的距离为4
【答案】ABC
4
【解析】由抛物线的光学性质可知，直线
过焦点
，设直线
，代入
得
，则
，故A 正确；
点
与
均在直线上，则点
的坐标为
，由
得
，则点
的坐标为
，则
，故B 正确；
由抛物线的定义可知，
，故C 正确；
与
平行，
与
之间的距离
，故D 错误，
故选：ABC．
11．已知函数
的定义域为
，导函数为
，满足
（为自然对数的底
数），且
，则（ ）
A．
B．
C．
单调递增
D．
在
处取得极小值
【答案】ACD
【解析】设
，则
，
可设
，则
，解得
，
故
，即
，
令
，则
，故
在
上单调递增，
∴
，即
，则
，A 正确；
因为
在
上单调递增，C 选项正确；
∵
，令
，解得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
在
处取得极小值，
， B 选项错误，D 选项正确；
故选：ACD.
三、填空题（本大题共3 小题，每小题5 分，满分15 分）
12．已知向量
，
满足
，
，则向量
在向量
上投影向量的坐标为______.
5
【答案】
【解析】因为
，
，
所以向量
在向量
上投影向量为
.
13．柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经选入国家非物质文化遗产名录．如图，若柳条
编织的米斗可近似看作上底面圆半径为2，下底面圆半径为1，体积为
的圆台，则该圆台的侧面积为
.
【答案】
【解析】设圆台的高为，又圆台的上底面圆半径
，下底面圆半径
，
则圆台的体积
，
解得
，
所以圆台的母线
，
所以圆台的侧面积
.
14．已知
为双曲线
的左、右焦点，点
在第一象限且在双曲线的渐近线
上，
为线段
与双曲线的交点，且
，若
，则双曲线的离心率为_____．
【答案】4
【解析】如图，连接
，因为
为线段
的中点，且
，
所以
是线段
的中点．
又
，所以
6
因为
所以
，因此
.
又
，所以
在
中，由余弦定理知
.
所以
.
所以
由
，得
．
所以双曲线离心率为4．
（考试时间：60 分钟 试卷满分：73 分）
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求的）
1．若复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
故选：D
2．集合
，集合
，若
，则
（ ）
A．3
B．-3
C．
D．9
【答案】C
【解析】
．
当
时，
，
，符合题意；
当
时，
，
，符合题意；
.
故选 C.
7
3．在
中，
为
的中点，则
（ ）
A．0
B．16
C．40
D．32
【答案】D
【解析】在
中，由
，得
，则
，
由
为
的中点，得
，
所以
.
故选：D
4．陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐
代金银细作中的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线
：
的右支与
轴
及直线
，
围成的曲边四边形
绕
轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分
的上口外直径为
，下底座外直径为
，则此双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得，
，
，且
、
都在双曲线
上，
所以
，解得
，则双曲线的渐近线方程为
.
故选：A.
5．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，
为三棱柱的顶点，
为所在棱的中点，设
与
所成
的角为
，则
（ ）
8
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如下图：连接
，由
为所在棱的中点，则
，
故
与
所成的角的大小也为
，即有
,
设该正三棱柱棱长为
，则
，
则
，故
.
故选：C.
6．若定义在
上的函数
满足：当
时，
，
的图象关于
对称，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
的定义域为
，且当
时，
，
所以
在
上单调递增.
由
的图象关于
对称，可得
的图象关于
对称，
即
为偶函数，则
，且函数
在
上单调递减，
于是，不等式
可化为(i)
或(ii)
，
9
由（i）可得
，解得
；
由（ii）可得
，解得
.
故该不等式的解集为
.
故选：B.
7．已知抛物线
的焦点为
，
为
的准线与
轴的交点，
，
在抛物线
上，若
为等腰直角三角形，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
,
,
,
因为
为等腰直角三角形,所以
.
因为
,所以
,所以
.所以抛物线方程为
.
过点
作
轴的垂线,过
点作
轴的垂线,两者交于点
.
由抛物线定义可知
,所以
.
所以
最小时,
取得最小值.
由图易知当
为抛物线切线时取最小值,不妨设点
在
轴下方,
因为
,所以
.
设点
,所以
,
因为
,所以
，所以
.
所以
.
因为
,所以
.
即
的最小值为
,所以
的最大值为
.
10
故选：D.
8．记
上的可导函数
的导函数为
，满足
（
）的数列
称为函数
的“牛顿数列”．若
，数列
为牛顿数列，且
，
，数列
的前n 项和为
，则满
足
的所有n 的和为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．12
【答案】C
【解析】由
可得
，根据牛顿数列的定义，
，
将
和
代入上式，得
，
则数列
组成首项为
，公比为2 的等比数列，故
，于是
，
则
，
，则
等价于
，即
，
因
为递增数列，且
，故满足条件的
有4，5 两个，它们的和为
.
故选：C.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选
对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9．某单位在定点帮扶贫困村A 村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.
村村民
年这四年的人均年纯收入
（单位：万元）与年份代号
之间的一组数据如
表所示.若
与
线性相关，且求得其线性回归方程为
，则下列说法正确的是（ ）
年份
2021
2022
2024
2025
年份代号
4
5
7
8
11
人均年纯收入
2.1
5.9
A．
B．2030 年
村人均年纯收入约为7 万元
C．预估从2025 年起，每经过1 年，村民人均年纯收入约增加1 万元
D．2025 年的人均年纯收入残差值为0.1
【答案】AC
【解析】由表中数据可知，
，
线性回归方程为
，则
，解得
，故A 正确；
由2030 年对应
，故2030 年
村人均年纯收入约为
万元，故B 错误；
线性回归方程为
，直线的斜率为1，则从2025 年起，预估每经过1 年，村民人均年纯收入约增加
1 万元，故C 正确；
2025 年的人均年纯收入残差值为
，故D 错误.
故选：AC
10．已知函数
，使得
有三个零点
，且
，则下列说
法正确的是（ ）
A．a 的取值范围为
B．
C．若
，则
D．函数
在三个零点处的切线斜率的倒数之和为0
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
有三个零点，得函数
至少有两个极值点.
因为
，所以
有两个不相等的实数根.
所以
，解得
，所以A 正确.
对于B，
的两个不相等的实数根为
.
由
，且
关于
对称.
∴
，
与
的大小关系不能判断，无法比较大小，所以B 错误.
对于C，
，所以
，所以
，所以C 正确.
对于D，由题得
，其简图如下：
12
，
所以
，
同理
，
故
．所以D 正确.
故选：ACD.
11．已知
，则下列命题中正确的是 （ ）
A．当
时，
在
上的值域为
B．当
时，
的图象可由函数
的图象向左平移
个单位长度得到
C．当
时，
的值域为
D．若存在正偶数
，使得
对任意
恒成立，则
【答案】BCD
【解析】当
时，
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，故A 错误；
向左平移
个单位长度得到
，
化简得
，
，
13
，故B 正确；
当
时，
，
又
，得
的值域为
，故C 正确；
令
，得
，
因为
，
，且
，
所以
，
存在正偶数
，使得
成立，当
时，
，
所以只需
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
由于
，
所以
，
解得：
，故D 正确.
故选：BCD
三、填空题（本大题共3 小题，每小题5 分，满分15 分）
12．在
中，
，
，请写出一个
的值是 __ ，使得满足条件的三角形恰有两个．
【答案】3(答案不唯一)
【解析】要使三角形有两个解，需满足要使三角形有两个解，需满足：
代入
，
,得，
所以，
.
因此，
可以取3(也可取2 到4 之间的任意数）
13．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1 个单位长度，点
从左下角图示处出发，每
次可沿着网格移动1 个单位长度，直至到达点
时停止移动，则移动的最短路径的条数为______；若点
14
选择移动最短的路径并最终移动到点
处，事件
：点
移动过程中会经过点
,事件
：点
前两次移
动均为横向移动，则
_________.
【答案】
【解析】点
移动到点
的最短路径为沿网格共移动5 次，其中向上移动两次，向右移动3 次，
则不同的条数为从5 次中选择两次向上移动，为
；
若点
选择移动最短的路径并最终移动到点
处，即共移动8 次，其中向上移动3 次，向右移动5 次，
事件
：点
移动过程中会经过点
,即前5 次向上移动两次，后3 次向上移动1 次，所以
，
事件
：点
移动过程中会经过点
,且点
前两次移动均为横向移动，即第3,4,5 次移动中向上移动两
次，后3 次向上移动1 次，所以
，
由条件概率知
.
14．正三棱台
的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和
三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为__________.
【答案】
【解析】
如图，上底面
边上的中线为
，下底面
边上的中线为
.
根据内切球的性质可知，球
与三个平面的切点分别在
、
、
上.
考察截面
.
15
根据勾股定理易知，
，
.
圆
与
相切于
,其中
分别为棱台上下底面的中心，
为斜高，
因
，
，
由切线长定理，易得
，
，则
,
上底面面积为
，下底面面积为
，
因此三棱台的表面积为
.
16
