文档文本内容
重难点培优04 常见函数与函数中的新定义问题
目录（Ctrl 并单击鼠标可跟踪链接）
01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4
题型一 对勾函数（★★★★）....................................................................................................................4
题型二 反函数（★★★）............................................................................................................................5
题型三 高斯函数（★★★★）....................................................................................................................6
题型四 狄利克雷函数（★★★）................................................................................................................7
题型五 最值函数（★★★★）....................................................................................................................8
题型六 黎曼函数（★★★）........................................................................................................................9
题型七 倍值函数（★★★）......................................................................................................................11
题型八 给出其他新性质定义（★★★★★）..........................................................................................12
题型九 给出其他新概念定义★★★★★）..............................................................................................14
题型十 给出其他新运算定义（★★★★★）..........................................................................................16
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................17
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................17
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................24
1、反函数
（1）定义：一般地，函数
，设它的值域为
，根据这个函数中
的关系，用
把
表
示出来，得到
．如果
在
中的任何取值，通过
，
在
中都有唯一值和它对应，则
就表示
是关于自变量
的函数．这样的函数
叫做
的反函数，
记作
．
例如，对数函数
(
,且
)是指数函数
(
,且
)的反函数
（2）性质
①互为反函数的两个函数的图象关于直线
对称；
②若函数
的图象上有一点
，则点
必在其反函数的图象上，反之也成立；
③互为反函数的两个函数的单调性相同；
④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；
⑤单调函数必有反函数．
2、对勾函数
解析式
图像
定义域
渐近线
值域
奇偶性
奇函数
单调性
在
上是增函数，在
是减函数
在
上是增函数，在
是减函数
3、高斯函数
（1）定义：不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规
定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数.
（2）性质
①定义域：R；值域：Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
（3）图象
4、狄利克雷函数
（1）定义域R；值域{0，1}.
（2）奇偶性：偶函数.
（3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.
（4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
5、最值函数
设min{a，b}＝max{a，b}＝
直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b 的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表
示a，b 的最大值，称作最大值函数.
6、倍值函数
对于函数
的定义域为
，若存在区间
，当
时，
的值域为
，则
称函数
为
倍值函数，区间
称为函数
的“倍值区间”。特别地，当
时，函数
称
为保值函数。此类问题可转化为对应“不动点”、“稳定点”问题，也可以转化为方程同解问题，考察分
类讨论、等价转化、属性结合、函数与方程等重要思想方法，综合能力要求较高，属难题。
7、函数中的新定义问题
（1）常见题型
①利用函数中的新定义及相关知识求参数取值范围；
②利用函数中的新定义及相关知识探究问题是否成立.
（2）解决方案
联系所学函数的相关知识和方法解决问题函数中的新定义型问题
（3）常用方法
①理解函数的新定义；②将新定义问题转化为已知问题；③利用函数的性质.
（4）失误与防范
①注意函数的定义域；②注意对结果的检验；③利用方程思想.
题型一 对勾函数
【技巧通法·提分快招】
基本不等式
，当且仅当
时取到最小值，即
时，
1．（23-24 高三下·天津滨海新·月考）对任意
，不等式
恒成立，则实数a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山西·二模）若函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河北·一模）函数
在
上的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
4．（24-25 高三上·贵州·期中）（多选题）形如
的函数，我们称之为“对勾函数”.“对
勾函数”具有如下性质：该函数在
上单调递减，在
上单调递增.已知函数
在区间
上的最大值比最小值大
，则实数a 的值可以是（ ）
A．2
B．14
C．
D．
若对勾函数
对于任意的
，都有
，则实数的最大值为 ．
6．已知函数
若对
，
恒成立，则实数
的取值范围为
.
题型二 反函数
【技巧通法·提分快招】
互为反函数的两个函数的图象关于直线
对称；
1．（24-25 高三下·海南省直辖县级单位·月考）函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的反函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
的图象与函数
的图象（ ）
A．关于直线
对称
B．关于y 轴对称
C．关于x 轴对称
D．关于原点对称
4．若函数
，函数
与函数
图象关于
对称，则
的单调减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·陕西西安·期中）已知函数
，
，
．则下列说法正确
的是（ ）
A．函数
与函数
不互为反函数
B．函数
在区间
内没有零点
C．若
均为正实数，且满足
，则
D．若函数
的图象与函数
的图象和函数
的图象在第一象限内交点的横坐标分别为
，
则
6．若
、
分别是函数
，
的零点，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三 高斯函数
【技巧通法·提分快招】
高斯函数的性质
（1）定义域：R；
（2）值域：Z.
（3）不具有单调性、奇偶性、周期性.
1．（24-25 高三上·湖南常德·开学考试）高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学
王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，用
表示不超过
的最大整数，则
称
为高斯函数.例如：
，若函数
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河南新乡·二模）函数
被称为取整函数，也称高斯函数，其中
表示不大于实数
的
最大整数．若
，满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110 个．高斯函数
，其中
表示不超过实数x 的最大整数，如
．若函数
有且仅有4 个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·四川德阳·月考）（多选题）设
，用
表示不超过
的最大整数，则
称为
高斯函数，也叫取整函数.令函数
，以下结论正确的有（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
的值域为
5．（24-25 高三下·贵州贵阳·月考）（多选题）函数
的函数值表示不超过
的最大整数，十八世
纪，
被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，例如：
，
．则下列命题中正确的是（ ）
A．
，
B．对任意整数
，有
C．存在正实数
，使得
对所有
成立
D．函数
有2 个零点
6．（23-24 高三下·江西南昌·月考）（多选题）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数
学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，
用
表示不超过
的最大整数，则
称为高斯函数，例如
，
. 已知函数
，函数
，则下列4 个命题中，其中正确结论的选项是（ ）
A．函数
不是周期函数；
B．函数
的值域是
C．函数
的图象关于
对称：
D．方程
只有一个实数根；
题型四 狄利克雷函数
【技巧通法·提分快招】
狄利克雷函数的性质
（1）定义域R；值域{0，1}.
（2）奇偶性：偶函数.
（3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.
（4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
1．19 世纪德国数学家狄利克雷提出一个运用广泛的狄利克雷函数
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．
2．德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数
的结论正确的是（ ）
A．
有零点
B．
是单调函数
C．
是奇函数
D．
是周期函数
3．十九世纪德国数学家狄利克雷提出“狄利克雷函数”
，“狄利克雷函数”在现代数学
的发展过程中起着重要作用.已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（24-25 高三上·上海·月考）在整个数学当中，一个首要的概念是函数.函数的定义是在数学家的不断研
究而得到发展和完善的.德国著名数学家狄利克雷（1803—1859）给出一个数学史上著名的函数实例：
，狄利克雷函数
具体而深刻地显示了函数是数集到数集的映射这个现代函数的观点.
下面给出下列四个结论：①函数
是偶函数；②存在常数
使得函数
是奇函数；③函数
有无数个零点；④
对任意
恒成立.其中，所有正确结论的个数是
（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．（23-24 高三上·湖北·月考）（多选题）定义在实数集上的函数
称为狄利克雷函数．该
函数由
世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数
的
说法中正确的是（ ）
A．
的值域为
B．
是偶函数
C．存在无理数
，使
D．对任意有理数，有
6．（23-24 高三上·福建莆田·开学考试）（多选题）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字
命名的函数
，被称为狄利克雷函数.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意
，恒有
成立
C．任取一个不为0 的实数
，
对任意实数
均成立
D．存在三个点
，
，
，使得
为等边三角形
题型五 最值函数
1．（23-24 高三上·安徽淮北·期中）已知
，其中
，若
，则正
实数t 取值范围（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
2．（23-24 高三上·浙江·期中）已知函数
，用
表示
中的
较大者，记为
，若
的最小值为1，则实数
的值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
3．（24-25 高三下·湖北·月考）（多选题）已知
表示
中的最大者，则下列区间中是函数
的单调递增区间的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）定义
，若函数
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．若直线
与
的图象有个交点，则
D．
在区间
上的值域为
，则
的最大值为
5．（24-25 高三上·河南漯河·期末）已知函数
，用
表示函数
当
自变量
时的最大值，
表示函数
当自变量
时的最小值，则
．
6．（24-25 高三上·浙江·月考）已知函数
，
．
(1)若函数
在区间
上不单调，求实数a 的取值范围；
(2)用
表示实数m，n 中的较大者，设函数
，讨论函数
的零点个
数．
题型六 黎曼函数
1．（23-24 高三上·河南郑州·期中）已知定义在区间
上的黎曼函数为：
，若函数
是定义在
上的奇函数，且对任
意的
都有
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·北京·期中）黎曼函数
是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表
示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛应用．
在
的定义为：当
（
，且p、q 为
互质的正整数）时，
：当
或
或x 为
内的无理数时，
，下列说法错误的是
（ ）
（注：p、q 为互质的正整数（
），即
为已约分的最简真分数）（ ）
A．当
时，
B．若
，则
C．当
时，
的图象关于直线
对称
D．存在大于1 的实数m，使方程
（
）有实根
3．（多选题）波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家，他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创
了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为
，
其解析式为：
，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于
的不等式
的解集为
4．（多选题）德国数学家黎曼（Ricmann）提出的黎曼函数r（x）在分析学中有着广泛的应用.黎曼函数r
（x）的定义为
，(p N
∈
*，q Z
∈，q≠0 且p，q 互素），下列命题中，正确的有（ ）
A．存在常数T > 0，使得对任意的x R
∈，都有
B．对任意的x R
∈，有
C．存在a，b，a + b [0
∈
，1]，使得
D．给定正整数t，记S =
，则S 有
个元素
5．（23-24 高三上·河北沧州·期中）（多选题）黎曼函数R（x）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现
并提出，该函数定义在[0，1]上.当
（p，q 都是正整数，
为最简真分数）时，
，当
或
1 或x 为（0，1）内的无理数时，
.若
为偶函数，
为奇函数，当
时
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七 倍值函数
1．（2024·四川内江·模拟预测）对于函数
，若存在区间
，当
时，
的值域为
，则称
为
倍值函数.若
是
倍值函数，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·北京通州·三模）函数
的定义域为
，若存在闭区间
，使得函数
同时满足：
在
上是单调函数且
在
上的值域为
，则称区间
为
的“
倍值区
间”.现有如下四个函数：①
，②
，③
，④
.那
么上述四个函数中存在“
倍值区间”的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．（多选题）已知函数
的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D 使得
：
（1）
在
上是单调函数；
（2）
在
上的值域是
，则称区间
为函数
的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）函数
的定义域为
，若存在闭区间
，使得函数
同时满足：（1）
在
内是单调函数；（2）
在
上的值域为
，则称区间
为
的“
倍值区
间”.下列函数：①
；②
；③
；④
.其中存
在“ 倍值区间”的序号为 .
5．（24-25 高三上·云南·月考）对于定义域
的函数
，若存在区间
，使得当
时，
函数
的值域恰为
，则称函数
是
上的 “
倍值函数”，区间
叫做“
倍值区间”.
(1)已知函数
是
上的“
倍值函数”，求
的值；
(2)若函数
是“
倍值函数”，求
的取值范围；
(3)设函数
是“ 倍值函数”，且存在唯一的“ 倍值区间”
，求
的值.
题型八 给出其他新性质定义
【技巧通法·提分快招】
（1）尝试用自己的话复述新信息的核心要点，清晰流畅的表述是理解透彻的标志
（2）探索新信息与现有知识体系的联系，通过对比分析来把握新知识的内在属性和运作规律
1．（2025·山东菏泽·一模）已知函数
，若存在实数
，使得
对任意的实数x 恒成
立，则称
满足性质
，下列说法正确的为（ ）
A．若
的周期为1，则
满足性质
B．若
，则
不满足性质
C．若
（
且
）满足性质
，则
D．若偶函数
满足性质
，则
图象关于直线
对称
2．（2024·北京海淀·二模）设函数
的定义域为
，对于函数
图象上一点
，若集合
只有1 个元素，则称函数
具有性质
.下列函数中具有性质
的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·北京房山·期末）若函数
满足：对定义域内任意的
，都有
，则称函数
具有性质
.下列函数中不具有性质
的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．将函数
的图象整体沿x 轴正方向平移m 个单位长度
，再沿y 轴方向平移
个单位长度（
时沿y 轴正方向平移，
时沿y 轴负方向平移），得到新函数
的图象，若新函数图象与原函数
图象重合，称原函数在
方向上具有平移不变性．
是函数
在
方向上具
有平移不变性的充要条件．例如：
在
方向上具有平移不变性．
(1)判断以下三个函数是否具有平移不变性，若具有该性质，则直接写出一个平移方向．
①
；
②
（其中
表示不超过x 的最大整数）；
③
．
(2)已知点
关于直线
对称的点是
，点
关于点
对称的点是
，现函数
的图象既关于直线
对称，又关于点
对称，当
时，
．
（ⅰ）求点
先关于直线
对称再关于点
对称的点坐标；
（ⅱ）证明
在
方向上具有平移不变性；
（ⅲ）求
．
5．设
是定义在
上的函数，若存在正实数
，使得对任意的
，都有
成立，则
称函数
具有性质
．
(1)判断函数
，
是否具有性质
，并说明理由．
(2)是否存在正实数
，使得函数
具有性质
？若存在，求出
的取值集合；若不存
在，说明理由．
(3)若函数
同时满足下列条件，求所有可能的非空数集
：①
具有性质
；
②
，都有
．
6．（24-25 高三上·山东青岛·期末）若函数
满足：对于任意
，
，都有
，则称
具有性质
．
(1)设
，
，分别判断函数
，
是否具有性质
？并说明理由；
(2)（ⅰ）已知奇函数
是
上的增函数，证明：
具有性质
；
（ⅱ）设函数
具有性质
，求
的范围．
题型九 给出其他新概念定义
【技巧通法·提分快招】
（1）学会通过具体例子来体现抽象概念，将复杂理论以简单应用的形式展现出来，以此促进对概念的深
刻理解
（2）若新信息是对传统概念的扩展，应细致比较其与传统概念的异同，并明确在何种情境下适宜运用书
中的理论。
1．（2024·山东临沂·一模）已知函数
，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）对于集合
中的任意两个元素x，y，若实数
同时满足以下三个条
件：
①“
”的充要条件为“
”；
②
；
③
，都有
.
则称
为集合
上的距离，记为
.则下列说法错误的是（ ）
（1）
为
；
（2）
为
；
（3）若
，则
为
；
（4）若
为
，则
也为
（为自然对数的底数）.
A．（1）（4）
B．（1）（3）
C．（2）（4）
D．（2）（3）
3．（2025·浙江·二模）给定非空数集
，若函数
满足：对任意
、
，存在实数
使得
成立，则称
为“半压缩函数”.已知
，则下列四个函数中为
“半压缩函数”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·山东烟台·开学考试）若
为定义域D 上的单调函数，且存在区间
（其中
），使得当
时，
的取值范围恰为
，则称函数
是D 上的“优美函数”.
(1)写出
的一组值，使得函数
为“优美函数”，并说明理由;
(2)若函数
为“优美函数”，求实数t 的取值范围;
(3)若函数
为“优美函数”，求实数m 的取值范围.
5．（24-25 高三下·江苏苏州·月考）定义在
上的函数
，若存在实数
使得
对任意的实数
恒成立，则称函数
为“
函数”；
(1)已知
，判断它是否为“
函数”；
(2)若函数
是“
函数”，当
，
，求
在
上的
解.
(3)判断函数
是否为“
函数”，若是，求所有符合条件的
；若不是，请说
明理由.
6．（24-25 高三上·山东潍坊·期末）悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中
间自然下垂所形成的外形．如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理．悬链线函数是与e 有
关的著名函数——双曲函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数
与双曲余弦函数
．已知这
两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为R，且
在R 上是增函数；
②
为奇函数，
为偶函数；
③
（常数e 是自然对数的底数，
…）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求函数
的解析式；
(2)若关于x 的不等式
在
上恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)已知函数
在
上的最大值为
，求
的最小值．
题型十 给出其他新运算定义
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：
，设
，命题
，则（ ）
A．
，且
为假
B．
，且
为假
C．
，且
为真
D．
，且
为真
2．（24-25 高三上·山东潍坊·期末）二元函数
表示有两个自变量
的函数，其中
，如
为一个二元函数．设
为正整数，二元函数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·湖北荆州·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数
除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名
的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数
，根据上述运算法则得出
6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8 个步骤变成1（简称为8 步“雹程”）．我们记一个正整数
经过
次上述运算法则后首次得到1（若
经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记
），以下说法正确的是（ ）
A．
可看作一个定义域和值域均为
的函数
B．
在其定义域上不单调，有最小值，有最大值
C．对任意正整数
，都有
D．
4．（24-25 高三上·黑龙江·期末）定义三阶行列式运算：
，其中
.已知函
数
.
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
在区间
上的最大值为
，求
的值；
(3)若函数
，使得
成立，求实数
的取值范围.
5．（24-25 高三上·广东东莞·期末）对于任意两正数u，
，记区间
上曲线
下的曲边梯形
由直线
，
，
和曲线
所围成的封闭图形面积为
，并约定
和
，已知
(1)求
，
，
(2)对正数k 和任意两个正数u，v，猜想
与
的大小关系，并证明;
(3)（i）试应用曲边梯形的面积说明：对任意正数x，恒有
（ii）若
，试说明：当
时，
.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·云南·模拟预测）定义
.若函数
，则关于
的方程
的
根为（ ）
A．1
B．
C．2
D．11
2．已知函数
，且
的图象过点
是
的反函数，则函数
（ ）
A．既是奇函数又是减函数
B．既是奇函数又是增函数
C．既是偶函数又是减函数
D．既是偶函数又是增函数
3．（23-24 高三上·江苏扬州·期中）历史上第一个给出函数一般定义的是19 世纪德国数学家狄利克雷
（Dirichlet）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：
（其中
，且
，Qc是Q
的补集），以下对
说法错误的是（ ）
A．定义域为
B．当
时，
的值域为
；当
时，
的值域为
C．
为偶函数
D．
在实数集的任何区间上都不具有单调性
4．（24-25 高三上·上海黄浦·月考）已知函数
的定义域为
，值域为
， 函数
具有下列性质：
（1）若
，则
；（2）若
，则
.下列结论正确的是（ ）
①存在
，使得
；
②对任意
，都有
.
A．①②都正确
B．①正确、②不正确C．②正确、①不正确D．①②都不正确
5．（2025·山东·模拟预测）若存在
且
，使得对任意
，均有
成立，
则称函数
具有性质
.已知函数
的定义域为
，给出下面两个条件：条件
单
调递减且
；条件
单调递增且存在
，使得
.下面关于函数
具有
性质
的充分条件的判断中，正确的是（ ）
A．只有
是
B．只有
是
C．
和
都是
D．
和
都不是
6．对于函数y=f(x)，若存在区间[a，b]，当x [
∈a，b]时的值域为[ka，kb](k>0)，则称y=f(x)为k 倍值函数.若
f(x)=ex+3x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是（ ）
A．(e+
，+∞)
B．(e+
，+∞)
C．(e+2，+∞)
D．(e+3，+∞)
7．（24-25 高三下·安徽·开学考试）设函数
的定义域为
，若函数
满足条件： 存在
，使
在
上的最小值为
，最大值为
，其中
为正整数，则称
为“
倍缩函数”. 若函数
为“4 倍缩函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·辽宁·期末）在数学上，常用
表示不大于
的最大整数，已知函数
，则下列正确的是（ ）
A．函数
在定义域上是增函数
B．函数
的零点有无数个
C．函数
在定义域上的值域是
D．不等式
解集是
；
9．（2024·江苏苏州·模拟预测）
表示大于或者等于
的最小整数，
表示小于或者等于
的最大整数．
已知函数
，且
满足：对
有
，则
的可
能取值是（ ）
A．
B．0
C．
D．
10．“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明．“角股运算”指的是任取一个
自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3 再加上1．在这样一个变换下，
我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进
行角股运算后，最后结果为1．我们记一个正整数
经过
次角股运算后首次得到1（若
经过
有限次角股运算均无法得到1，则记
），以下说法有误的是（ ）
A．
可看作一个定义域和值域均为
的函数
B．
在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C．对任意正整数
，都有
D．
是真命题，
是假命题
11．（2024·云南昆明·模拟预测）已知
是函数
的一个零点，
是函数
的一个零点，则
的值为（ ）
A．1012
B．2024
C．4048
D．8096
12．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数
，
．用
表示
的最大值，记
．若对任意
，
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．记函数
的定义域为
，若存在非负实数
，对任意的
，总有
，则称函数
具有性质
．
①所有偶函数都具有性质
；
②
具有性质
；
③若
，则一定存在正实数
，使得
具有性质
；
④已知
，若函数
具有性质
，则
．
其中错误结论的序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
14．（23-24 高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，
享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：
设
，用
表示不超过
的最大整数，则
称为高斯函数，例如：
，
.已知函
数
，
，则下列叙述中错误的是（ ）
A．
在
上是增函数
B．
是奇函数
C．
的值域是
D．
的值域是
15．（23-24 高三上·江苏·月考）（多选题）19 世纪，德国数学家狄利克雷（
，1805-1859）
引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R 上的函数
称为狄利克雷函数，则
（ ）
A．
B．
C．若
为有理数，
，则
D．存在三个点
，
，
，使得
为正三角形
16．（23-24 高三上·河南·月考（多选题））黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学
家黎曼发现并提出，其基本定义是：
（注：分子与分母是互质
数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．黎曼函数的定义域为
C．黎曼函数的最大值为
D．若
是奇函数，且
，当
时，
，则
17．（23-24 高三上·陕西西安·期中）（多选题）函数
的定义域为D，若存在闭区间
，使得函
数
同时满足①
在
上是单调函数；②
在
上的值域为
，则称区间
为
的“k 倍值区间”．下列函数存在“3 倍值区间”的有（ ）
A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
18．（2025·湖南永州·模拟预测）已知
的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：
①
；
②
；
③当
时，
，其中
下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．
恰有两个整数解
C．若
，
，则
，
，
中至少有两个相等
D．若
，则
19．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意
，
”为假命题，则实数a 的取值范围是
．
20．若函数
在区间
上存在最小值，则实数
的取值范围是 ．
21．（24-25 高三上·上海·期中）设
是定义在
上的偶函数，且对任意整数
、
，都有
，其中
表示实数
、中的较大者.若
，
，则
的所有可能取值组成的集合为 .
22．（24-25 高三下·湖南·月考）记
表示
三个数中的最大数．若函数
的值域为
，则
的最小值为 ．
23．欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了
抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数
，如果对于其定义域
中任意给
定的实数
，都有
，并且
，就称函数
为“倒函数”.
(1)判断函数
是不是倒函数，并说明理由；
(2)若函数
是定义在
上的倒函数，且当
时，
，求函数
的解析式；
(3)在（2）的条件下，判断方程
是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有，
请说明理由.
24．意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线.直到1690 年雅各布.伯努
利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案.1961 年他的弟弟约翰
伯努利和莱布尼茨、惠更
・
斯三人各自得到了正确答案.至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是
一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.记双曲正弦函数为
，
双曲余弦函数为
，已知这两个最基本的双曲函数具有如下的性质:
①定义域均为
，且
在
上是增函数；
②
为奇函数，
为偶函数；
③
（常数是自然对数，
）利用上述性质，解决一下问题:
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数
，
为定值；
(3)证明：
有惟一的正零点
，并比较
和
的大小.
25．小明同学在课外学习时发现以下定义，定义：设函数
是定义在区间
上的连续函数，若
，都有
，则称
为区间
上的下凸函数.如图.
例如，函数
在
上为下凸函数.
通过查阅资料，小明同学了解到了琴生不等式（Jensn 不等式）：
若
是区间
上的下凸函数，则对任意的
，不等式
恒成立（当且仅当
时等号成立）.结合阅读材
料回答下面的问题：
(1)已知
在
上为下凸函数，若
，求
的最大值；
(2)用定义严格证明：二次函数
在
上是下凸函数.
(3)设
，且
，求
的最小值.
26．（24-25 高三上·广东广州·期末）函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决
一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义．
定义1：设函数
在区间
上有定义，
称为
上的下凸函数，当且仅当
，有
定义2：设函数
在区间
上有定义，
称为
上的下凸函数，当且仅当
有
将定义1，2 中的“
”改为“
”，则相应地称函数
为
上的上凸函数．可以证明定义1 与定义2 等
价．试运用以上信息解答下面的问题：
(1)若
，试根据定义1 证明
为
上的下凸函数；
(2)已知
为
上的上凸函数，若
为
的内角，求
的最大值；
(3)设
为大于或等于1 的实数，证明：
．
27．（2024·河北唐山·二模）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或
者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当
（
）时命题成立；2．假设
（
，且
）时命题成立，推导出在
时命题也成立．用模取余运算：
表示
“整数
除以整数
，所得余数为整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即
，整数是商．如
，则
；再如
，则
．当
时，则称
整除
．现从序号分别为
，
，
，
，…，
的
个人中选出一名幸运者，为了增加趣
味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到
（
）时，此人退
出圆环；直到最后剩1 个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为
．如
表示当只有1 个人时幸运者就是
；
表示当有6 个人而
时幸运者是
；
表示当
有6 个人而
时幸运者是
．
(1)求
；
(2)当
时，
，求
；当
时，解释上述递推关系式的实际
意义；
(3)由（2）推测当
（
）时，
的结果，并用数学归纳法证明．
28．（24-25 高三下·广东广州·月考）定义：
，
，已知数列
满
足
．
(1)若
，
，求
，
的值；
(2)若
，
，使得
恒成立．探究：是否存在正整数
，使得
，若存在请求出所有
的
，若不存在请说明理由；
(3)若数列
为正项数列，且集合
的元素个数为有限个，证明：不存在实数
，使
得
．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·山西·模拟预测）记
表示
，
二者中较大的一个，函数
，
，若
，
，使得
成立，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖北宜昌·二模）设
是函数
的一个零点.记
，其
中
表示不超过
的最大整数，设数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
，使得
是偶函数
B．当
时，函数
有5 个零点
C．当
时，函数
在
上最大值大于
，则
D．当
时，设
在
上的最大值为
，则
的最小值为
4．（2025·山西晋中·模拟预测）已知
，则
.
5．（24-25 高三上·山东潍坊·期末）已知函数
满足下列条件：在定义域内存在
，使得
成立，则称函数
具有某性质P；反之，若
不存在，则称函数
不具有某
性质
．若函数
具有性质
，则
的值为 ；已知函数
不具有
性质
，则a 的取值范围是 ．
6．（24-25 高三上·湖南岳阳·期末）若函数
满足：对于任意正数m,n，都有
,
，且
，则称函数
为“速增函数”．
(1)试判断函数
与
是否为“速增函数”；
(2)若函数
为“速增函数”，求a 的取值范围；
(3)若函数
为“速增函数”，且
，求证：对任意
，都有
．
