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培优专题 02 数列
题型1 裂项相消复杂型
①等差型
（1）
（2）
（3）
②根式型
（1）
（2）（3）
③指数型
（1）
（2）
（3）
④等差裂和型
形如 型，如果 ，则可以分子裂差：
一、解答题
1．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知 是等差数列 的前 项和，且 .
(1)写出等差数列的通项公式和求和公式.
(2)求 ；
(3)若 ，记数列 前 项和为
2．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知函数 ，点 在曲线
上，且 ．
(1)求证：数列 为等差数列；(2)设 ，记 ，求 ．
3．（2025·山东济宁·一模）已知数列 和 满足 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求证： ．
4．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列 中， ， 为数列 的前n项和，满足
(1)证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和
5．（24-25高三上·河北·期末）数列 满足： ， .
(1)求数列 通项；
(2) 恒成立，求m最小值.
6．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）已知等差数列 满足 ， 是关于 的方程 的
两个根.
(1)求 ；(2)设 求数列 的前 项和 ．
题型2 错位相减法
一、错位相减法求数列 的前n项和
（1）适用条件
若 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，求数列{a ·b}的前n项和 ．
n n
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出 与 的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出 ；
一、解答题
1．（2025·新疆·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 是等差数列， ，
．
(1)求 的通项公式；(2)记 ，求 ．
2．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知数列 的首项为 且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 求数列 的前 项和 ．
3．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）设数列 的前 项和 满足： ．
(1)求数列 的通项；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 ，求实数 的取值范围．
4．（24-25高三下·山西·阶段练习）数列 满足 ．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
5．（2025·江西萍乡·一模）已知数列 ， 满足
，其中 .
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ， ，求数列 的前n项和；
(3)若 ，证明： .题型3 并项求和法
并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
一、解答题
1．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）记 为数列 的前 项和，已知 .
(1)求 ，并证明 是等差数列；
(2)求 .
2．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 前 项的和 .
3．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列 的前 项和 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
4．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式以及 ；(2)若 ，求
题型4 倒序相加法
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可
用倒序相加法（等差数列前 项和公式的推导即用此方法）．
一、解答题
1．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知数列 满足： ，数列
满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
2．（2024·上海·模拟预测）已知 ，数列 的前 项和为 ，点 均在函数
的图象上.
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，令 ，求数列 的前2024项和 .
3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）记 为数列 的前 项和，已知： ，
（ ）．
(1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)求和： ．
题型5 奇偶数列问题
1、常见类型
① ，求 的值；则
② ，求 的值
（1）n为奇数时，有 个奇数项，有 个偶数项，则
（2）n为偶数时，有 个奇数项，有 个偶数项，则
2、其他类型
①数列中连续两项和或积的问题： 或
②含有 类型
一、解答题1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
2．（24-25高三下·福建福州·阶段练习）已知 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和，
.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的最大值；
3．（2024·广东韶关·二模）已知数列 的前n项和为 ， ， ， ．
(1)证明： ；
(2)设 ，求数列 的前2n项和 ．
4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列 满足： 公差 且 恰为等比数列
的前三项．
(1)求数列 与 的通项公式：
(2)若数列 满足： 求数列 前n项和 ;
(3)求 的前n项和5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
令 ， 为数列 的前n项和．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
题型6 插入数或项构成新数列问题
1、插入数构成等差数列
在 和 之间插入 个数，使这 个数构成等差数列，可通过构造新数列 来求解
个数构成等差数列，公差记为 ，所以：
2、插入数构成等比数列
在 和 之间插入 个数，使这 个数构成等比数列，可通过构造新数列 来求解
个数构成等比数列，公差记为 ，所以：
3、插入数混合型
混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列 提供了多少项，其余都是插入进来的。
一、解答题
1．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 .(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列.在数列 中是否存在 项
、 、 （其中 、 、 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的 项；若不存在，请说明
理由.
2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列 满足
(1)求 的通项公式；
(2)在 和 之间插入 个数，使得这 个数依次构成公差为 的等差数列，求数列 的前 项和
.
3．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知等比数列 的前n项和为 ，
(1)求数列 的通项公式;
(2)在数列 的相邻项 与 之间插入k个相同的数 ，使其与原数列构成新数列 ，设
为数列 的前n项和，求
4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知 是公比大于0的等比数列，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ；(3)若 ，在 与 之间插入 个 ，得到一个新数列 . 是否存在正整数 ，使得数
列 的前 项之和 ? 若存在，求出 的值; 若不存在，说明理由.
5．（24-25高三下·山东德州·开学考试）已知数列 的前 项和为 满足 ，且
，数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)若将数列 中的所有项按原顺序依次插入数列 中，组成一个新的数列 ：
，在 与 之间插入 项 中的项， 中 之前（不包括 ）
所有项的和记为 .若 .求使得 成立的最大整数 的值.
（其中 表示不超过 的最大整数）
题型7 数列与不等式交汇
一、解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：
1、数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；
2、解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；3、不等关系证明中进行适当的放缩．
二、常见放缩公式
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
（7） ；
（8） ．
一、解答题
1．（2025·四川巴中·一模）已知数列 的通项公式为 .
(1)求证： ；
(2)令 ，证明： .
2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，设数列 的前 项和 ，求证： .3．（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列 满足 ，且 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ；
(3)若数列 满足 ，证明： （e为自然对数的底）．
4．（24-25高三上·河南安阳·期末）已知数列 满足 ，且 .
(1)证明 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求 的前 项和 ；
(3)若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
5．（2025·云南昆明·一模）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ， ，且
.
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)若 ，求 的取值范围.
6．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）设数列 的前 项和为 ，(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)设 ，求证：
题型8 数列中的新定义问题
数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五
种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的
透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，
掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
一、解答题
1．（2025·山西吕梁·一模）若数列 中 且对任意的
恒成立，则称数列 为“ 数列”.
(1)若数列 为“ -数列”，写出所有可能的 ；
(2)若“ -数列” 中， ，求 的最大值.
2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）对一个给定的数列 的相邻两项作差，得到一个新数列 ，
，…， ，…这个数列称为 的一阶差数列．如果记该数列为 ，其中 ，再求的相邻两项之差，那么称所得数列 ， ，…， ，…为原数列的二阶差数列．依此类
推，对任意 ，可以定义数列 的p阶差数列．如果 的p阶差数列是一个非零常数列，那么称
它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为
高阶等差数列．
(1)数列 的通项公式为 ，证明：数列 是二阶等差数列．
(2)数列 的通项公式为 ，证明：数列 的前n项和公式为 ．
(3)设数列 是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列 的通项公
式．
3．（2025·江西九江·一模）已知 是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前 项和为 ， ．
集合 ， 中元素个数为 ，将 中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列
．若 ，则称数列 为 数列．
(1)若 ，写出一个 数列
(2)若 是公比为偶数的等比数列，证明： 为 数列：
(3)若 数列 是等差数列，求 的最小正整数．
4．（2025·山东聊城·一模）若各项为正数的无穷数列 满足：对于 都有 ，其中 为
非零常数，则称数列 为“平方等差数列”.
(1)判断无穷数列 和 是否是“平方等差数列”，并说明理由；(2)若 是“平方等差数列”.
（ⅰ）证明：存在正整数 ，使得不等式 成立；
（ⅱ）证明：存在正整数 ，使得 .
5．（24-25高三下·北京·开学考试）设数列： ，已知
，定义 数表 ，其中 .
(1)若 ，写出 ；
(2)若A，B是不同的数列，求证： 数表 满足“ ”的充分必要条
件为“ ”；
(3)若数列A与B中的1共有n个，求证： 数表 中1的个数不大于 ．
