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大题 02 数列及数列求和
根据近几年的高考情况，数列是高考数学中必考题目，高频考点，解答题小题都会涉及。一般考查内容之
是等差等比数列性质的简单应用。求和部分一般主要考查错位相减求和，裂项求和以及奇偶项讨论分组求
和，随着新课程改革，数列新定义问题也会作为压轴题的形式出现，主要考查学生对与新概念的认识以及
子自主学习能力问题。
题型一：数列通项公式及裂项求和
1（24-25高三下·四川乐山·期末）设等差数列 的前n项和为 ，且
，（ 为常数）
(1)求a的值；
(2)求 的通项公式；
(3)若 ，求数列 的前n项和
【思路分析】（1）利用 的关系可求得 ；
（2）由（1）可得
（3）由（2）可得 ，利用裂项相消法可求得 .
【规范答题】【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
因为 是等差数列，则 时也应满足 ，即 ，
又 ，所以 ，解得 ；
（2）由（1）得
（3） ，
2 （24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设 是等比数列的公比大于0，其前n项和为 ， 是等差
数列，已知 ， ， ， .
(1)求 ， 的通项公式
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求 并证明 .
【思路分析】
（1）利用等差和等比数列的通项公式基本量运算求解即得；
（2）利用裂项相消法求和，并利用数列的单调性证明不等式.【规范答题】（1）设 的公比 ，因为 ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍），
所以 .
设 的公差为d，因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ．
（2） ，
所以
，
因为n为正整数，所以 ，所以 ，
又因为数列 单调递减，所以 单调递增，
所以 ，所以 .
一般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用
“裂项”求和技巧简捷求解该数列的前n项和．常见的“裂项”结论有：形如
， 时，易知
当
形如
， 时，易知
当
形如
， 时，易知
当
形如
， 时，易知
当
1（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列 满足：
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前 项和，若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或【分析】（1）根据 的关系，即可作差求解，
（2）利用裂项相消法求解 ，根据单调性可得 ，进而根据 求解即可.
【详解】（1）令
又 ①
②
由① ②得到
即： ，
经检验， 也成立，故数列 的通项公式
（2）
因为 是单调递增数列，且
若 恒成立，则 ，解得 或 ，
实数 的取值范围为 或 ．
2．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列 中， ， 为数列 的前n项和，满足
(1)证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由 的关系作差得到 ，通过构造即可求证；
（2）由（1）得到 ，裂项相消求和即可；
【详解】（1）由题意，当 时， ，得 ，
，
当 时， ，①
，②
①-②得 ，
因为 ，所以 则 ，
， ，
所以 是以 为首项，3为公比的等比数列.
所以 ，则
（2）由 ，
则 ，
所以 的前n项和3．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列 的前 项和 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数列前 项和 与 的关系 求 的通项公式.（2）先求出 的表
达式，再根据其特点进行求和.
【详解】（1）当 时：已知 ，那么 ，所以 .
当 时： ，
先展开式子 .
则 ，所以 .
当 时， ，上式也成立.所以 .
（2）已知 ，把 代入可得：
.可以发现相邻两项相加为 ，除了第一项 中的 和最后一项 中的 .
所以 .
题型二：数列通项及错位相减求和
1（贵州省毕节市2024-2025学年高三下学期第二次模拟（3月）数学试题）已知数列
满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
【思路分析】（1）根据数列的递推式即可求数列的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求数列的前 项和.
【规范答题】（1）当 时， ，
当 时， ， ，
故 .
时，上式亦成立.
所以数列 的通项公式为：
（2）因为 ，
所以 ，
所以两式相减得： ，
所以： .
设 是等差数列， 是公比 的等比数列，则数列 的前n项和 的常规求法是错位相减
法，取巧可这样做：设 ，则 ，其中 ，
.推导过程请参考视频，x、y的计算公式可不记，记住 的形式，取 和 用待定
系数法来算就可以了.
1（24-25高三下·山西·阶段练习）数列 满足 ．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）计算 ，根据等比数列的定义得证；
（2）由（1）得 ，利用分组求和和错位相减
法求和.
【详解】（1）因为 ，且 ，所以数列 是等比数列．
（2）由（1）得数列 是等比数列，且公比 ，
所以 ，故 ．
所以 ．
故
,
令 ,
,
两式相减得
,
所以 ,
即 .
2．（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）等比数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合已知，根据等比数列的基本量运算列式求解首项和公比，然后利用等比数列通项公式
求解即可.
（2）利用（1）求得 ，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）等比数列 中， ，
所以公比 ，又 得 ，
所以数列 是以4为首项， 为公比的等比数列，所以 ．
（2） ，
所以 ，
故 ，
所以
，
所以
题型三：数列通项及奇偶项讨论问题
1（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
(1)证明 是等差数列；(2)求 ；
(3)求证：
【思路分析】（1）根据等差数列的定义即可证明.
（2）先根据等差数列的定义得出 和 是等差数列；再根据等差数列的通项公式
求出 ， 及 ；最后利用等差数列的通项公式即可解答.
（3）先变形得出 ；再根据裂项相消求和即可证明.
【规范答题】
（1）证明：因为在数列 中， ， ，
所以 ，
所以 是以1为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）可知 是以1为首项，3为公差的等差数列,，
所以 .
同理由 ，可得 .
又因为 ，
所以 是以2为首项，3为公差的等差数列，
故 ，
则 .所以 .
（3）证明：因为 ，
所以 .
因为
所以 ，
即 .
1（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）设数列 的前 项和为 ，已知 ，
且 为等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 .
【答案】(1) (2) .
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，当 时， ，
当 时， ，满足上式，所以 .
（2）由（1）知
则
，
所以数列 的前 项和为 .
2．（24-25高二下·河南开封·开学考试）已知 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列.且 ，
， ， .
(1)求 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ；
(3)若 ，求数列 的前2n项和 .
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)
【分析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；
(3)由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
【详解】（1） 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为 ，
由 ， ， ， ，可得 ， ，
解得： 负的舍去 ，
则 ， ；
（2）数列 的前n项和 ，
，
两式相减可得 ，
化为 ；
（3） ，
则数列 的前2n项和
.
3．（24-25高三下·广西·开学考试）已知函数 且 .
(1)计算 ， ；
(2)求通项公式 ；
(3)设 为数列 的前n项和，求 ；【答案】(1) ；5(2) (3)
【详解】（1）由题意可得： ，
所以 ； .
（2）因为 ，
当n为奇数，则 ；
当n为偶数，则 ；所以 .
（3）由（2）可知 ，
若n为奇数，则 ，可得：
当n为偶数时， ；
故当n为奇数时 ；所以 .
题型四：数列证明类问题
1（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列 满足 ，且 成等
比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ；
(3)若数列 满足 ，证明： （e为自然对数的底）．
【思路分析】（1）由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解，进而可得通项公式；（2）设 ，求导，可得 的单调性，进而可得结论；
（3）由题意需证 ，由（2）可得 ，利用放缩法与裂项相消法
可证结论.
【规范答题】（1）设等差数列 公差为 成等比数列，则 ，
所以 ，解得 或 （舍去），所以 ；
（2）设 ，当 时， 单调递减，
，所以 ，由（1）可知 ，
则有 ，所以不等式 恒立．
（3）因为 ，所以要证 ，
只需证： ，
根据（2）可知 ，那么 ，
，
所以 .1 （24-25高三下·福建福州·阶段练习）已知 为数列 的前 项和， 为数列
的前 项和， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的最大值；
【答案】(1) (2)5
【详解】（1）由 ，得 ，所以数列 为等差数列，
所以 ，所以 .
又 ，所以 ，
设 的公差为 ，
即 解得
所以 的通项公式是
（2）由（1）知 ，
所以令 ，
得 ，
设 ，则数列 是递增数列.
又 ，
所以 的最大值为5.
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
令 ， 为数列 的前n项和．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）由题意得，
①，
当 时， ②
由① ②得： ，即．
又 时， 满足 .
（2）由 得 ， .
①当n为偶数时，
此时， ，故
②当n为奇数时 ，
综上，当 时， ．
题型五： 数列型定义问题
1（2025·江苏苏州·模拟预测）设 为正整数，数列 是首项为 ，公差为 的
等差数列，若存在一组正整数 ，使得 能构成等比数列，则称数列
为 可拆数列.
(1)对任意正整数 ，判断数列 是否为 可拆数列；
(2)若对任意正整数 ，数列 是 可拆数列，求 的所有可能值；
(3)若存在无穷多个正整数 ，使得 是等比数列，求 的取值范围.
【思路分析】（1）利用 可拆数列的定义即可求解；
（2）根据定义证明命题等价于 是正有理数；
（3）利用（2）的结论即可得到结果.【规范答题】（1）根据定义，取 ，即可得到 构成等比数列 .
所以 是 可拆数列.
（2）先证明一个引理：对任意的正整数 ，数列 包含一个无穷等比数列 .
证明：由于 .
故可以取 ，则此时 .
从而得到 是等比数列.
引理证毕，回到原题.
①由于 包含构成等比数列的三项，故存在非负整数 使得 ，即 .
从而 ，这得到 一定是正有理数.
②若 是正有理数，设 ，则根据引理知数列 包含无穷等比数列.
所以 也包含无穷等比数列 ，这就意味着对任意正整数 ，存在 使得 构成等比
数列，从而 一定是 可拆数列，条件满足.
综合①②可知， 的所有可能值为全体正有理数.
（3）①在此条件下，显然对任意正整数 ，数列 都是 可拆数列，根据（2）的结论可知
.
②若 ，设 ，则同样根据（2）中的引理，知数列 包含无穷等
比数列.
所以 也包含无穷等比数列 ，条件满足.综合①②可知， 的取值范围是 .
2（2025·山西吕梁·一模）若数列 中 且对任意的
恒成立，则称数列 为“ 数列”.
(1)若数列 为“ -数列”，写出所有可能的 ；
(2)若“ -数列” 中， ，求 的最大值.
【思路分析】
【分析】（1）利用“ 数列”的定义，得到关于的不等式组，列出所有满足条件，即可得解；
（2）利用“ 数列”的定义，推得 ，进而得到 ，解得 ；
再取 ，推得 符合题意，由此得解；
【规范答题】
（1）依题意，因为数列 为“ 数列”，则 ，
注意到 ，故所有可能的 为 或 或 .
（2）一方面，注意到 ：
对任意的 ，令 ，则 且 ，
故 对任意的 恒成立（★），
当 时，注意到 ，
得 ，
此时 ，即 ，解得 ，故 ；另一方面，
取 ，则对任意的 ，故数列 为“ 数列”，
此时 ，即 符合题意.
综上，n的最大值为 .
新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下：
第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号，
第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可
以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点
第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一
般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）
第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论
1（24-25高三·云南保山·期末）已知 表示正整数 的最大奇数因数．
(1)试求 的值；
(2)求证： ， ，其中 ；
(3)记 ，求 ．
【答案】(1) (2)证明见解析(3)
【详解】（1）显然7的最大奇数因数为7，从而
由于 ，12的最大奇数因数为3，故 ．
（2） 的最大奇数因数显然是它本身，故 ，
对于 ，设 的最大奇数因数为 ，并设 ，
则 ，从而 成立．（3）
．
从而 ，
以下累加
，
，
……
，
，
又 从而 ．
2．（24-25高三·陕西西安·期末）对于数列 ，称 为数列 的一阶差分数列，其中
.对于正整数 ，称 为数列 的 阶差分数列，其中
.已知数列 满足 ，数列 满足
.
(1)求数列 的通项公式；(2)若数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1) ， ；(2)证明见解析.
（2）根据已知得 ，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求 ，即可证结论.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 是公差为1的等差数列，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，即 .
因为 ，
所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，
所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，即 .
（2）因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
故 .
.一、解答题
1．（2025·山东济宁·一模）已知数列 和 满足 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1) ； (2)证明见详解
【详解】（1）因为 ，可得 ，
即 ，
可知数列 为常数列，则 ，所以 ；
又因为 ，则有：
若 ，可得 ；
若 ，则 ，两式相减得 ；
且 符合上式，所以 .
（2）由（1）可知： ，
可得 ，
显然 ，所以 .
2．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知数列 的首项为 且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）
两边同时除以 可得
则
累加可得 则 经检验 也适合上式，
所以
（2）由（1）可知 数列 的前 项和则 ①
②由两式相减 ①-②可得：
故 ．
3．（2025·陕西榆林·模拟预测）数列 是公比为 的等比数列，且 是 与 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）依题可得： ，
即： ，解得 ，
所以 .
（2）证明：设 ，
则 ，所以 ，
4．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）已知等差数列 满足 ， 是关于 的方程 的两个根.
(1)求 ；
(2)设 求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 .
当 时， 是方程 的两根，
由韦达定理得 ，①
当 时， 是方程 的两根，
由韦达定理得 ，②
由①②，解得 ；
（2）由（1）知 ，所以 ，
则 ，对于方程 ，
由韦达定理得 ，即 ，
所以 ，
所以
.
5．（2025·陕西宝鸡·二模）已知：数列 的前 项和为 ， ，当 时 ．
(1)求证：数列 为等差数列；(2)记 表示不超过 的最大整数，设 ，求数列 前2025项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意结合 整理可得 ，即可证等差数列；
（2）由（1）可得： ，分 和 两种情况，结合取整函数的定义求数列 的通项公式，
进而求和.
【详解】（1）当 时 ，且 ，
可得 ，整理得 ，
即 ，且 ，
所以数列 为以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）可得： ，即 ，
由定义可得： ，
当 时， ，即 ，
所以 ；
当 且 时， 不是整数，
可设 ，则 ，
则 ，可得 ；
综上所述： .在 上， ， ，
所以 .
6．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 中， ， ， 对任意 都成立，
数列 的前n项和为 ．
(1)若 是等差数列，求k的值；
(2)若 ， ，求 ；
(3)是否存在实数k，使数列 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项 ， ， 按某顺序排列
后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)存在， .
【分析】（1）根据等差数列性质得 ，即可得参数值；
（2）根据已知得 ，讨论 的奇偶性求 ；
（3）由题设有 ， ， ，讨论不同的等差中项，结合已知求参数值，判断存在性.
【详解】（1）由题意，数列 是等差数列，可得 ，
即 ，即 ，故 ．
（2）由 时， ，即 ，
整理得 ，故 ．当n是偶数时， ；
当n是奇数时， ，
．
综上， ．
（3）若 是等比数列，则公比 ，
由题意 ，故 ， ， ．
①若 为等差中项，则 ，即 ， ，解得 （舍去）；
②若 为等差中项，则 ，即 ， ．
因为 ，解得 ， ；
③若 为等差中项，则 ，即 ， ．
因为 ，解得 ， ，
综上，存在实数k满足题意， ．
7．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）对一个给定的数列 的相邻两项作差，得到一个新数列 ，
，…， ，…这个数列称为 的一阶差数列．如果记该数列为 ，其中 ，再求
的相邻两项之差，那么称所得数列 ， ，…， ，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意 ，可以定义数列 的p阶差数列．如果 的p阶差数列是一个非零常数列，那么称
它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为
高阶等差数列．
(1)数列 的通项公式为 ，证明：数列 是二阶等差数列．
(2)数列 的通项公式为 ，证明：数列 的前n项和公式为 ．
(3)设数列 是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列 的通项公
式．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）数列 的通项公式为 ，设数列 的一阶差数列为 ，
则 ，
即 ，
所以数列 的一阶差数列为 ，
所以 的1阶差数列是一个以 为首项，2为等差的等差数列，
则
的2阶差数列是一个以2为首项的常数列，
根据二阶等差数列定义可知数列 是二阶等差数列.
（2）证明：．
∵ ，
∴ ，
∴ ．证毕．
（3）计算 的各阶等差数列，设 的一阶差数列为 ，二阶差数列为 ，三阶差数列为 ，
得 ：1，6，14，25，39，…； ：5，8，11，14，…； ：3，3，3，…．
∵ 是一个三阶等差数列，∴ 是一个常数列，
．
∵ ， ，2，…，
∴ ，
∴ ．
同理可解得 ，
故 ．
【点睛】关键点点睛：先计算出 的各阶等差数列，得 ：1，6，14，25，39，…； ：5，8，
11，14，…； ：3，3，3，…．再利用累加法即可求出数列的通项公式1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，用 表示 及 ，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶结合分组求和法求出 ，并与 作差比较作答；方
法2，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出 ，并与 作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据 即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得，
，
，即 ， ．
3．（2022·全国甲卷·高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而
得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二次函数的
性质计算可得．
【详解】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数
列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1) (2)见解析
【详解】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得 ，即可解出．
【详解】（1）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以
原命题得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即
，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合
中的元素个数为 ．6．（2021·全国乙卷·高考真题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）由已知 得 ,且 ，取 ,得 ,由题意得
,消积得到项的递推关系 ,进而证明数列 是等差数列;
（2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得 .
【详解】（1）[方法一]：
由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是 ． ②
由①②得 ． ③
又 ， ④
由③④得 ．
令 ，由 ，得 ．
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 ，得 ，且 ， ， ．
又因为 ，所以 ，所以
．
在 中，当 时， ．故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项， 为公差的等
差数列，且 ．
下面用数学归纳法证明．
当 时显然成立．
假设当 时成立，即 ．
那么当 时， ．
综上，猜想对任意的 都成立．
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ .7．（2021·全国·高考真题）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面①②③中选取
两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明过程见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出 ，结合 的关系求出 ，利用 是等差数列可证
；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证
明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出 ，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出 ，结合 的关系求出 ，根据 可求 ，然后可证
是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+ 与 关系式
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ， ，故 .
[方法二] ：待定系数法
设等差数列 的公差为d，等差数列 的公差为 ，
则 ，将 代入 ，化简得 对于 恒成立．
则有 ，解得 ．所以 ．
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，
所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为 ，所以 ， ，因为 也为等差数列，所以公差，所以 ，故 ，当 时，
，当 时，满足上式，故 的通项公式为 ，所
以 ， ，符合题意.
【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，
选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于 的一次函数，直接设出 ，平方后得
到 的关系式，利用 得到 的通项公式，进而得到 ，是选择①②证明③的通
式通法；法二：分别设出 与 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等
量关系 ， ，进而得到 ；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出 及 ，进
而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于 的一次函数，直接设出
，结合 的关系求出 ，根据 可求 ，然后可证 是等差数列；法二：利
用 是等差数列即前两项的差 求出公差，然后求出 的通项公式，利用
，求出 的通项公式，进而证明出结论.
8．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列 的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前 项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然 为偶数，则 ，
所以 ，即 ，且 ，
所以 是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是 ．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知 ，所以 ．
由 （ 为奇数）及 （ 为偶数）可知，
数列从第一项起，
若 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以 ，则 ．
[方法三]：累加法
由题意知数列 满足 ．
所以 ，
，
则 ．
所以 ，数列 的通项公式 ．（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列 满足 ，
所以 ．
所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由 知数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列 的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论 的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列 的通项公式，然后累加求数列 的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前 项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前 项和公式和分组的方法进行求和是一
种不错的选择.
9．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
