文档文本内容
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b
ka
a
n
n
1
专题02 五大类数列题型-2024 年高考数学大题秒杀
技巧及专项训练（原卷版）
【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】
【题型2 裂项相消巧妙变形问题】
【题型3 分组求和必记常见结论】
【题型4 含(−1)n
类求和问题】
【题型5 含绝对值求和问题】
数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：
当高考数列大题出现《
与
》或《
与
》递推关系且关系式中系数为1 时，应
遵循以下步骤 第一步：作差 第二步：列举 第三步：求和 →简称《知差求和》
注意：列举时最后一项必须是
已知{
}的首项，
，
（
*
N
n
）求
通项公式。
)
(
1
n
f
a
a
n
n
1
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当高考数列大题出现《
与
》或《
与
》递推关系且关系式中系数不为1 时，
应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步：求新数列的
通项 第四步 反解
→简称《构造法》
结论:
已知数列
中,
,
,求
的通项公式.
当高考数列大题出现《
与
》或《
与
》递推关系，关系式中系数不为1 且还
存在n 时，应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步：
求新数列的通项 第四步 反解
→简称《构造法》
结论:
已知：
1
1
a
，
2
n
时，
1
2
2
1
1
n
a
a
n
n
，求
}
{
n
a
的通项公式。
2
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当高考数列大题出现《
与
》或《
与
》递推关系，关系式中系数不为1 且还
存在指数时，应遵循以下步骤 第一步：等式两边直接同除以
第二步：寻找新的
数列 第三步：秒求所配系数 第四步：寻找新的等比数列 第五步：求新数列的通项 第六
步 反解
→简称《直接除+构造法》
结论 ：
已知
}
{
n
a
中，
1
1
a
，
n
n
n
a
a
2
2
1
（
2
n
）求
n
a
。
an+2=pan+1+qan
an+2=A⋅an+1+B⋅an 型，可化为an+2+λan+1=β⋅(an+1+λan)的形式。
待定系数法，其中
在数列{an }中，a1=−1,a2=2，当n∈N ，an+2=5an+1−6an ① 求通项公式an .
3
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题型1 错位相减求和无需错位直接出答案
错位相减；
形式必须是
则
求和：Sn=1+3 x+5 x2+7 x3+¿⋅¿+(2n−1)xn−1
已知数列
的前
项和为
，且
．
（1）求
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
．
1．已知各项均为正数的数列
满足
，且
.
4
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(1)写出
，
，并求
的通项公式；
(2)记
求
.
2．记
.
(1)当
时，
为数列
的前
项和，求
的通项公式；
(2)记
是
的导函数，求
.
3．设
是等差数列，
是各项均为正数的等比数列，
，
．
(1)求数列
与
的通项公式；
(2)数列
的前
项和分别为
；
（ⅰ）证明
；
（ⅱ）求
．
5
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4．已知数列
中，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，记
为
的前
项和，证明：
时，
.
5．设等比数列
的前n 项和为
，
，
．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
6．已知数列
的前
项和为
.
(1)求
；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
7．设数列
满足：
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
6
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8．已知
是各项均为正数的数列
的前
项和，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
裂项相消巧妙变形问题
裂项相消求和
①an=f (n+1)−f (n) ②
sin1∘
cosn∘cos(n+1)∘=tan(n+1)∘−tann∘
③
an=
1
n(n+1)=1
n−1
n+1 ④
an=
(2n)2
(2n−1)(2n+1)=1+ 1
2 (
1
2n−1−
1
2n+1 )
⑤
an=
1
n(n−1)(n+2)=1
2 [
1
n(n+1)−
1
(n+1)(n+2) ]
⑥
an=
n+2
n(n+1)⋅1
2n=2(n+1)−n
n(n+1) ⋅1
2n=
1
n⋅2n−1−
1
(n+1)2n ,
S
则
n=1−
1
(n+1)2n
⑦
an=
1
(An +B)(An +C )=
1
C−B (
1
An +B −
1
An +C )
⑧
⑨
an=loga
n+1
n =loga(n+1)−logan
⑩
an=
2n
(2n−1)⋅(2n+1−1)
=
1
2n−1
−
1
2n+1−1
7
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在数列
中，
an= 1
n+1+ 2
n+1+¿⋅¿+ n
n+1 ，又
bn=
2
an⋅an+1 ，求数列
的前
项
的和.
求证：
1
cos0∘cos1∘+
1
cos1∘cos2∘+¿⋅¿+
1
cos88∘cos89∘=cos1∘
sin21∘
已知
，若数列
的前
项和
，则
________．
1．已知
是等差数列，
，且
成等比数列．
(1)求
的通项公式；
8
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(2)若数列
满足
，且
，求
的前
项和
．
2．在正项等比数列
中，
.
(1)求
的通项公式：
(2)已知函数
，数列
满足：
.
（i）求证：数列
为等差数列，并求
的通项公式
（ii）设
，证明：
，
3．已知各项均为正数的等比数列
，满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前n 项和为
．求证：
．
4．已知
为公差不为0 的等差数列
的前
项和，且
．
(1)求
的值；
(2)若
，求证：
．
9
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5．已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)记
，求数列
的前
项和.
6．已知
是数列
的前
项和，
，
是公差为1 的等差数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
.
7．已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，
，求证：
．
8．设数列
的前
项和为
，已知
，
是公差为
的等差数列．
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(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
分组求和必记常见结论
①等差数列求和公式：
Sn=n(a1+an)
2
=na1+ n(n−1)
2
d
②等比数列求和公式：
Sn={
na 1
(q=1)
a1(1−qn)
1−q
= a1−anq
1−q
(q≠1)
③
Sn=∑
k=1
n
k=1
2 n(n+1)
④
Sn=∑
k=1
n
k2=1
6 n(n+1)(2n+1)
⑤
Sn=∑
k=1
n
k3=[ 1
2 n(n+1)]2
求数列的前
项和：
1+1, 1
a +4 , 1
a2 +7,⋅¿⋅,
1
an−1 +3n−2
，
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求数列
的前
项和.
记正项等比数列
满足
，
.等差数列
满足
，
.
（1）求数列
，
的通项公式；
（2）求数列
的前
项和
.
1．已知数列
，______.在①数列
的前n 项和为
，
；②数列
的前
n 项之积为
，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：
如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”）
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前n 项和
.
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2．已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)给定
，记集合
中的元素个数为
，若
，
试求
的最小值.
3．已知
为数列
的前n 项和，且满足
，其中
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，若对任意的
，都有
，求实数m 的取值范围．
4．已知数列
满足
，
，且
．
(1)证明
为等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)设
，且数列
的前
项和为
，证明：当
时，
．
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5．已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，证明：
.
6．已知数列
满足
.
(1)设
，证明：
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
.
7．在等差数列
中，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若记
为
中落在区间
内项的个数，求
的前k 项和
.
8．已知数列
是正项等比数列，其前n 项和为
，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)记
的前n 项和为
，求满足
的最大整数n．
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含(−1)n类进行求和问题
我们估且把这种求和的方法称为“并项 法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如
通项公式为an=(−1)n⋅f (n)的摆动数列{an}前n 项和的步骤如下：
第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n 为奇数时，an+an+1的表达式；
第二步：然后对n 分奇、偶进行讨论，即当n 为偶数时，由
Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(an−1+an)求出Sn ；
第三步：当n 为奇数且n＞1时，由Sn=Sn−1+an求出Sn ，特别注意对n=1时要单独讨论，
即S1要单独求出.
第四步：将S1代入当n 为奇数且n＞1时Sn 的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段
分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示
已知数列
的通项公式
，求数列
的前
项和
.
已知数列
的通项公式
，求数列
的前
项和
.
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1．已知
为数列
的前n 项和，且满足
，其中
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，若对任意的
，都有
，求实数m 的取值范围．
2．已知数列
是递增数列，前
项和为
，
且当
时，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
3．在数列
中，
，且数列
是等差数列.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，设数列
的前
项和为
，求
.
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4．已知数列
满足：
，
.
(1)求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前20 项和
.
5．设
是数列
的前
项和，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
6．已知
是等比数列，满足
，且
成等差数列，数列
满足
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
：
(3)设
，求数列
的前
项和
．
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7．在等差数列
中，
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
8．已知
是等比数列，满足
，且
成等差数列，数列
满足
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
含绝对值求和问题
给出数列
，要求数列
的前
项和，必须分清
取什么值时
如果数列
为等差数列，
为其前
项和，
那么有：
①若
则有
②若
则有
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如果数列
为等比数列，
为其前
项和，
那么有：
T n=
|a1|(1−|q|n)
1−|q|
=
|a1|−an|q|
1−|q|
已知各项都为正数的等比数列
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，
，求
.
已知等差数列
的首项为6，公差为
，且
成等比数列.
（1）求
的通项公式；
（2）若
，求
的值.
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在公差不为零的等差数列
中，
，且
、
、
成等比数列.
（1）求数列
的通项公式；
（2）求数列
的前n 项和
.
1．已知数列
的前n 项和
，且
的最大值为
．
(1)确定常数
，并求
；
(2)求数列
的前15 项和
．
2．设等差数列
的前
项和为
，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，求
．
20
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3．已知等差数列
，记
为
的前
项和，从下面①②③中再选取一个作为
条件，解决下面问题．①
；②
；③
．
(1)求
的最小值；
(2)设
的前
项和为
，求
．
4．已知正项等比数列
满足
是
与
的等差中项．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和．
5．在等比数列
中，
，公比
，且
，又
与
的等比中项为2.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求
的前
项和
.
6．已知等差数列
的公差为整数，
，设其前n 项和为
，且
是公差为
的等差数列．
(1)求
的通项公式；
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(2)若
，求数列
的前n 项和
．
7．在等差数列
中，已知公差
，
，且
，
，
成等比数列.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求
的值.
8．已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
的前
项和为
，设
，求
的最小值.
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