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专题 01 19 题新结构定义题（集合部分）(典型题型归类训练)
1．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）若项数为 的数列 满足：
，且存在 ，使得 ，则称数
列 具有性质P.
(1)①若 ，写出所有具有性质P的数列 ；
②若 ，写出一个具有性质P的数列 ；
(2)若 ，数列 具有性质P，求 的最大项的最小值；
(3)已知数列 均具有性质P，且对任意 ，当 时，都有
．记集合 ， ，求 中元素个数的最小值.
2．（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）已知 为有限个实数构成的非空集合，设
， ，记集合 和 其元素个数分别为 ，
.
设 .例如当 时， ， ， ，所以
.
(1)若 ，求 的值；
(2)设 是由3个正实数组成的集合且 ，证明： 为定值；
(3)若 是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意 ，设 ， .
已知 ，且对任意 ，求数列 的通项公式.3．（2023·北京·101中学校考模拟预测）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意 ，都有
或 ，则称A为自邻集.记集合 的所有子集中的自邻集的个数为
.
(1)直接写出 的所有自邻集；
(2)若 为偶数且 ，求证： 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若 ，求证： .
4．（2023·北京门头沟·统考一模）已知集合 .若对于集合M的任意k元子集
A，A中必有4个元素的和为 ，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作 .
(1)当 ，即集合 .
（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为 ；
（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于 ；
(2)证明： ；
(3)证明： .
5．（2023·北京西城·统考一模）给定正整数 ，设集合 ．对于
集合 中的任意元素 和 ，记 ．设 ，且集合
，对于 中任意元素 ，若 则称 具有性质 ．
(1)判断集合 是否具有性质 ？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质 的集合 ，并加以证明；(3)若集合 具有性质 ，证明： ．
6．（2022·北京海淀·首都师范大学附属中学校考三模）设 且 ，集合 ，若对
的任意 元子集 ，都存在 ，满足： ，且 为偶数，则称 为理想集，
并将 的最小值记为 .
(1)当 时，是否存在理想集？并说明理由.
(2)当 时，是否存在理想集？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由.
(3)求 .
7．（2022·北京丰台·统考二模）设 ， ，…， ， ，是
个互不相同的闭区间，若存在实数 使得 ，则称这 个闭区间为聚合
区间， 为该聚合区间的聚合点．
(1)已知 ， 为聚合区间，求t的值；
(2)已知 ， ，…， ， 为聚合区间．
（ⅰ）设 ， 是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k， ，使得
；
（ⅱ）若对任意p，q（ 且p， ），都有 ， 互不包含．求证：存在不同的i，
，使得 ．8．（2022·北京丰台·统考一模）已知集合 ( 且 ）， ，且 ．若
对任意 （ ），当 时，存在 ( )，使得 ，则称 是
的 元完美子集．
(1)判断下列集合是否是 的3元完美子集，并说明理由；
① ； ② ．
(2)若 是 的3元完美子集，求 的最小值；
(3)若 是 （ 且 ）的 元完美子集，求证： ，
并指出等号成立的条件．
9．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）在 ）个实数组成的n行n列的数表中， 表示第i
行第j列的数，记 ， 若 ∈
，且 两两不等，则称此表为“n阶H表”，记
(1)请写出一个“2阶H表”；
(2)对任意一个“n阶H表”，若整数 且 ，求证： 为偶数；
(3)求证：不存在“5阶H表”.10．（2021·北京门头沟·统考一模）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①
；② ， ；③ ，若 且 ，则 ；④
，若 且 ，则 ，则称集合D为A的一个偏序关系.
（1）设 ，判断集合 是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含
有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；
（2）证明： 是实数集R的一个偏序关系：
（3）设E为集合A的一个偏序关系， .若存在 ，使得 ， ，且 ，若
， ，一定有 ，则称c是a和b的交，记为 .证明：对A中的两个给定元
素a，b，若 存在，则一定唯一.
11．（2020·北京房山·统考二模）已知集合 的元素个数为 且元素均为正整数，若能够将集合
分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合 、 、 ，即 ， ，
， ，其中 ， ， ，且满足 ，
， 、 、 、 ，则称集合 为“完美集合”.
（1）若集合 ， ，判断集合 和集合 是否为“完美集合”？并说明理由；
（2）已知集合 为“完美集合”，求正整数 的值；
（3）设集合 ，证明：集合 为“完美集合”的一个必要条件是 或
.12．（2021·北京门头沟·统考二模）已知定义在R上的函数 的图象是一条连续不断的曲线，且在任意
区间上 不是常值函数.设 ，其中分点 将区间 分成 个小区间
，记 称为 关于区间 的n阶划
分的“落差总和”.当 取得最大值且n取得最小值 时，称 存在“最佳划分” .
（1）已知 ，求 的最大值 (不必论证)；
（2）已知，求证：在区间上存在“最佳划分”的充要条件是在区间上单调递增.
