专题04 数列
考点
三年考情（2023-2025）
命题趋势
考点1 数列
的通项公式
与前n 项和
等差数列和等比数列的概念依旧是是
常考内容，常给出数列为等差（等比）数
列，或通过构造为等差（等比）数列，来
求通项公式及前n 项和。如 2023 年全国
乙卷、2023 年全国新 Ⅰ 卷、2023 年天
津卷等都有涉及。
数列求和方法：裂项相消求和、错位
相减求和、分组及并项求和等是常考内
容，常结合不等式、最值及范围进行考
查。
题型上依然涵盖选择题、
填空题和解答题，但出现了一
些变化。一方面，数列在解答
题中的位置有所变动，不再固
定为简单大题，如 2024 年有
数列考压轴的情况。另一方
面，可能会出现一些创新题
型，如 2024 年新高考 Ⅰ 卷
考查了数列的新定义问题1。
背景情境化：数列题目更
注重联系实际生活，以实际问
题为背景，要求考生从现实问
题中抽象出数列模型，如
2023 年新高考 Ⅱ 卷数列题
以环保项目为背景2。这体现
了数学在实际生活中的应用，
也考查了考生的数学建模能
力。
难度两极化：整体难度呈
现两极化趋势。基础题主要考
查数列的基本概念，难度较
低，如 2024 年高考新高考
Ⅱ 卷填空题中考查等差数列
基本量的计算，难度较易1。
但部分综合题或创新题难度较
大，对考生的逻辑推理、运算
求解、知识迁移等能力要求较
高，如 2024 年高考新高考
Ⅱ 卷大题中结合双曲线考查
等比数列的证明，难度较难。
考点2 数列
的综合应用
数列常与函数、方程、不等式、概率
等知识综合考查。如 2023 年新高考一卷
数列和概率结合；数列与不等式的综合问
题是高考考查的热点，考查不等式的恒成
立问题、与数列有关的不等式的证明问题
等，常通过构造函数证明，或者直接利用
放缩法证明。
等差、等比数列的综合：重点考查等差、
等比数列的基本运算、性质以及通项公
式、前n 项和公式的应用。如 2024 年全
国甲卷理科真题中，通过等差数列的性质
来解题。
数列求和及应用：考查数列求和方法，如
裂项相消法、错位相减法、分组及并项求
和法等，并且求和后常与不等式、函数最
值等问题相互交织。2025 年新高考一卷第
16 题，就采用错位相减法求差比数列的
和。
1
考点01 数列的通项公式与前n 项和
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=−2，若a3,a4,a6成等比数列，则a10=
（ ）
A．−20
B．−18
C．16
D．18
2．（2025·全国二卷·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n 项和，若S3=6,S5=−5,则S6=（ ）
A．−20
B．−15
C．−10
D．−5
3．（2025·天津·高考真题）Sn=−n
2+8n，则数列{|an|}的前12项和为（ ）
A．112
B．48
C．80
D．64
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，则a3+a7=（ ）
A．−2
B．7
3
C．1
D．2
9
5．（2024·全国甲卷·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5= S10，a5=1，则a1=（ ）
A．7
2
B．7
3
C．−1
3
D．−7
11
6．（2023·全国甲卷·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2+a6=10,a4a8= 45，则S5=（ ）
A．25
B．22
C．20
D．15
7．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列{an}的各项均为正数，前n 项和Sn，若a1=1，S5=5 S3−4，
则S4=（ ）
A．15
8
B．65
8
C．15
D．40
8．（2023·天津·高考真题）已知数列{an}的前n 项和为Sn，若a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N
∗)，则a4=
（ ）
A．16
B．32
C．54
D．162
9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n 项和，若S4=−5，S6=21S2，则S8=（ ）．
A．120
B．85
C．−85
D．−120
二、多选题
10．（2025·全国二卷·高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n 项和，q为{an}的公比，q>0，若
S3=7,a3=1，则（ ）
A．q = 1
2
B．a5= 1
9
2
C．S5=8
D．an+Sn=8
三、填空题
11．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4 项和为4，前8 项和为68，则该
等比数列的公比为 .
12．（2025·上海·高考真题）己知等差数列{an}的首项a1=−3，公差d =2，则该数列的前6 项和为
．
13．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其
中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10 的等比数列，底面
直径依次为 65mm,325mm,325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为 mm，升量器的高为
mm．
14．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n 项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10=
.
15．（2023·全国甲卷·高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8 S6=7 S3，则{an}的公比为 ．
16．（2023·全国乙卷·高考真题）已知{an}为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=−8，则a7= .
考点02 数列的综合应用
一、单选题
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列{an}的公差为2π
3 ，集合S ={cosan|n∈N
∗}，若S = {a,b}，
则ab=（ ）
A．－1
B．−1
2
C．0
D．1
2
2．（2023·北京·高考真题）已知数列{an}满足an+1= 1
4 (an−6)
3+6(n=1,2,3,⋯)，则（ ）
A．当a1=3时，{an}为递减数列，且存在常数M ≤0，使得an> M恒成立
B．当a1=5时，{an}为递增数列，且存在常数M ≤6，使得an< M恒成立
C．当a1=7时，{an}为递减数列，且存在常数M >6，使得an> M恒成立
D．当a1=9时，{an}为递增数列，且存在常数M >0，使得an< M恒成立
3．（2025·上海·高考真题）已知数列{an}、{bn}、{cn}的通项公式分别为an=10n−9，bn=2
n、，
cn= λ an+(1−λ)bn.若对任意的λ∈[0,1]，an、bn、cn的值均能构成三角形，则满足条件的正整数n有
（ ）
A． 4 个
B．3 个
C．1 个
D．无数个
二、填空题
4．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用
来测量物体质量的“环权”．已知9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9 的数列{an}，该数
3
列的前3 项成等差数列，后7 项成等比数列，且a1=1,a5=12,a9=192，则a7= ；数列{an}所
有项的和为 ．
5．（2024·北京·高考真题）设{an}与{bn}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
M ={k |ak =bk ,k ∈N
∗}，给出下列4 个结论：
①若{an}与{bn}均为等差数列，则M 中最多有1 个元素；
②若{an}与{bn}均为等比数列，则M 中最多有2 个元素；
③若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M 中最多有3 个元素；
④若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则M 中最多有1 个元素.
其中正确结论的序号是 .
三、解答题
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1−3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{Sn}的前n 项和.
7．（2025·全国一卷·高考真题）设数列{an}满足a1=3，an+1
n = an
n+1 +
1
n(n+1)
(1)证明：{nan}为等差数列；
(2)设f ( x)=a1 x +a2 x
2+⋯+am x
m，求f
'(−2)．
8．（2023·全国甲卷·高考真题）设Sn为数列{an}的前n 项和，已知a2=1,2Sn=nan．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{
an+1
2
n }的前n 项和T n．
9．（2023·全国乙卷·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11,S10= 40．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和T n．
10．（2024·全国甲卷·高考真题）记Sn为数列{an}的前n项和，已知4 Sn=3an+ 4．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=(−1)
n−1nan，求数列{bn}的前n项和T n．
11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C : x
2−y
2=m(m>0)，点P1(5,4)在C上，k为常数，
0<k <1．按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,...)：过Pn−1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn−1，令
Pn为Qn−1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为(xn, yn).
4
(1)若k = 1
2，求x2, y2；
(2)证明：数列{xn−yn}是公比为1+k
1−k 的等比数列；
(3)设Sn为△Pn Pn+1 Pn+2的面积，证明：对任意正整数n，Sn= Sn+1.
12．（2024·天津·高考真题）已知{an}为公比大于0 的等比数列，其前n项和为Sn，且a1=1,S2=a3−1．
(1)求{an}的通项公式及Sn；
(2)设数列{bn}满足bn=¿，其中k ∈N ∗．
（ⅰ）求证：当n=ak +1(k ∈N
∗, 且k >1)时，求证：bn−1≥ak⋅bn；
（ⅱ）求∑
i=1
Sn
bi．
13．（2023·北京·高考真题）已知数列{an},{bn}的项数均为m(m>2)，且an,bn∈{1,2,⋯,m}, {an},{bn}
的前n 项和分别为An,Bn，并规定A0= B0=0．对于k ∈{0,1,2,⋯,m}，定义
rk =max {i∣Bi≤Ak ,i∈{0,1,2,⋯,m}}，其中，max M表示数集M 中最大的数.
(1)若a1=2,a2=1,a3=3,b1=1,b2=3,b3=3，求r0,r1,r2,r3的值；
(2)若a1≥b1，且2r j≤r j+1+r j−1, j =1,2,⋯,m−1,，求rn；
(3)证明：存在p,q ,s,t ∈{0,1,2,⋯,m}，满足p>q ,s>t , 使得A p+ Bt = Aq+ Bs．
14．（2024·北京·高考真题）已知集合
M ={(i , j ,k ,w)|i∈{1,2}, j∈{3,4},k ∈{5,6},w ∈{7,8}, 且i+ j+ k + w 为偶数}．给定数列
A :a1,a2,⋯,a8，和序列Ω:T 1,T 2,⋯T s，其中T t =(it , jt ,kt ,wt)∈M (t =1,2,⋯,s)，对数列A进行如
下变换：将A的第i1, j1,k1,w1项均加1，其余项不变，得到的数列记作T 1( A)；将T 1( A)的第i2, j2,k2,w2
项均加1，其余项不变，得到数列记作T 2T 1( A)；……；以此类推，得到T s⋯T 2T 1( A)，简记为Ω( A)．
(1)给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)，写出Ω( A)；
(2)是否存在序列Ω，使得Ω( A)为a1+2,a2+6,a3+ 4 ,a4+2,a5+8,a6+2,a7+ 4 ,a8+ 4，若存在，写出一
个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；
(3)若数列A的各项均为正整数，且a1+a3+a5+a7为偶数，求证：“存在序列Ω，使得Ω( A)的各项都相
等”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8”．
15．（2024·广东江苏·高考真题）设m 为正整数，数列a1,a2,...,a4m+2是公差不为0 的等差数列，若从中
删去两项ai和a j(i< j)后剩余的4 m项可被平均分为m组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
a1,a2,...,a4 m+2是(i, j)−可分数列．
(1)写出所有的(i, j)，1≤i< j≤6，使数列a1,a2,...,a6是(i, j)−可分数列；
(2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,...,a4 m+2是(2,13)−可分数列；
(3)从1,2,...,4 m+2中任取两个数i和j(i< j)，记数列a1,a2,...,a4m+2是(i, j)−可分数列的概率为Pm，证明：
5
Pm> 1
8．
6
