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大题培优 02 数列综合大题归类
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【题型一】“函数型”裂项求和：基础型.........................................................................................................................
【题型二】“函数型”裂项求和：指数函数型.................................................................................................................
【题型三】“函数型”裂项求和：等差裂和型.................................................................................................................
【题型四】“函数型”裂项求和：指数型裂和.................................................................................................................
【题型五】“函数型”裂项求和：同构仿写型.................................................................................................................
【题型六】“函数型”裂项求和：三角函数裂项型.......................................................................................................11
【题型七】递推公式：分式型不动点...............................................................................................................................13
【题型八】插入数型...........................................................................................................................................................15
【题型九】数列跳项型.......................................................................................................................................................17
【题型十】证明数列不等式...............................................................................................................................................19
【题型十一】新结构第19题型：差分密码型.................................................................................................................21
【题型一】“函数型”裂项求和：基础型
基础原理： ，如： ；
基本题型：① ；② ；
注意（避免掉坑）
1 1 11 1
①分母分解因式： ；
n2 3n nn3 3n n3
②系数不相同就提系数： ；
③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的时首尾项（或
正负项）对应.
(1) ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
分式型分子裂差法
形如 型，如果 ，则可以分子裂差：1.（22·23·龙岩·二模）已知等差数列 的首项为1，公差 ，前 项和为 ，且 为常数．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，证明： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）由 为常数，则 为常数，即 ，然后结合等差数列的
通项公式求解即可；
（2）由（1）可得 ，然后累加求和即可得证．
【详解】（1）依题意，得： ，即
所以， ，化简得： 因为 ，所以
所以 经检验： 成立
（2）因为 所以
，
所以
．
2.（22·23·秦皇岛·模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ，数列 为等差数列，且公差
， .
(1)求数列 的通项公式以及前 项和 ；
(2)数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列通项公式运算、等比数列通项公式和求和公式运算即可求解.
（2）利用裂项相消法求出 ，而 ，从而得出证明.
【详解】（1）设 的公比为 ，由题意，可得 ，解得 ，
所以 ，所以 ；（2）由（1）得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，得证.
3.（2024下·福建·高三校联考开学考试）已知正项数列 中， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和 ，求满足 的正整数n的集合．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由题意，可得到数列 是公差为1的等差数列，进而得到数列 的通项公式；
（2）由（1）可得数列 的通项公式，利用裂项相消法即可求出 ，进而解不等式.
【详解】（1）由 ，有 ，
即 ，因为数列 是正项数列，所以 ，即 ，
可得数列 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 ，
故数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）可得 ．
所以 ，
故不等式 可化为 ，解得 ，
所以满足 的正整数n的集合为 .
【题型二】“函数型”裂项求和：指数函数型
指数裂项法
形如 型，如果 ，则可以分子裂差：1.（2023·广西玉林·校联考模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
(1)证明：当 时，数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析
【分析】（1）令 可求得 的值，当 时，由 ，可得 ，两式作差，结合
等比数列的定义可证得结论成立，据此可求得数列 的通项公式；
（2） ，利用裂项相消法可证得结论成立.
【详解】（1）证明：因为 ， ， 为数列 的前 项和，
当 时， ，
当 时，由 ①，可得 ②，
① ②可得 ，即 ，所以， ，
又因为 ，则当 时，数列 是等比数列，其公比为 ，
即当 时， ，则 ，
不满足 ，所以， .
（2）证明： ，
则
.综上，对任意的 ， .
2.（2023上·海南海口·高三校考阶段练习）在数列 和 中， ，且 是 和
的等差中项.
(1)设 ，求证：数列 为等比数列；
(2)若 的前n项和为 ，求证： .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由等差中项整理得 ，两边同时除以 ，得 即可证
明；
（2）应用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）依题 是 和 的等差中项，
则 ，即 ，
两边同时除以 ，得 ，
即 ，则 ，由 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得 ，则 ，则 ，
则
，因为 ，则 ，故 .
3.（2023上·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）已知数列 的首项 ，且满足
．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由题设递推式可得 ，根据等比数列的定义，结合已知条件，即可
证 为等比数列；
（2）由（1）有 ，进而求 ，利用裂项相消法求 .
【详解】（1）由 得 ，
又 ，所以 是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知， ，所以
所以 ，
.
【题型三】“函数型”裂项求和：等差裂和型
正负型：等差裂和型
形如 型，如果 ，则可以分子裂差：
1.（2023·河北唐山·三模）设 为数列 的前 项和， ， .
(1)求数列 的通项公式；(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用 与 的关系计算求通项；
（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法计算即可.
【详解】（1）已知 ①，
当 时， .
当 时， ②
①-②得： ，即 .
又 ，所以 ， .所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列.
所以 .
（2）设 .
.
2.（2023·江苏镇江·二模）已知数列 满足： .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）运用累乘法计算；（2）运用裂项相消法求和.
【详解】（1）由题意： ，
，
，
，将 代入上式也成立， ；
（2） ，
.
3.（2023·湖南永州·三模）记正项数列 的前 项积为 ，且 .
(1)证明：数列 是等差数列；(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据题意得到 ，由 ，化简得到 ，求得 ，结合等差数列的
定义，即可求解；
（2）由（1）可得 ，得到 ，结合裂项法，即可求解.
【详解】（1）证明：由题意得 ，当 时，可得 ，可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，即 ，
当 时，可得 ，所以 ，解得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）解：由（1）可得 ，
所以 ，
所以
.
【题型四】“函数型”裂项求和：指数型裂和
正负型：指数裂和型
形如 型，如果 ，则可以分子裂和：
1.（23·24上·湖北·期中）已知 为等比数列，且 ， 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)当 为递增数列时， ，数列 的前 项和为 ，若存在 ，求 的
取值范围.
【答案】(1) 或 (2)
【分析】（1）运用等差中项的性质和等比数列通项公式基本量运算，解方程即可得到 通项.
（2）由 递增可得 ，对 通项进行裂项展开，当n为偶数、奇数时分别求出 表达式，然后再
分别求出 的范围，由存在 ，即可求出 的取值范围.【详解】（1）设等比数列 公比为q，
由 或 ，
或 .
（2）当 为递增数列时，
所以
当 为偶数时，
在 上单调递减， ，
当 为奇数时，
在 上单调递增， ， .
2.（23·24上·黔东南·阶段练习）已知数列 满足： ， .
(1)证明： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)令 ，求 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析， (2)
【分析】（1）通过构造可证 为等比数列，根据等比数列通项公式可得 ，然后可得 ；
（2）将数列 通项公式变形为 ，直接求和可得.
【详解】（1）证明：由 ，所以 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，所以 ，即
（2）由（1）知： ，所以 .又 ，
3.（22·23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若存在 ，使 ，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）依题意可得 ，再结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得 ，再分 为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可.【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，故数列 是以12为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，则 .
（2）解：由（1）知 ，
所以 .
当 为偶数时，
，
因为 是单调递减的，所以 .
当 为奇数时，
，
又 是单调递增的，因为 ，所以 .
要使存在 ，使 ，只需 ，即 ，故 的取值范围是 .
【题型五】“函数型”裂项求和：同构仿写型
仿写规律：
① （可通分反解 ）；
② （可通分反解 ）
1.（23·24上·甘南·期中）在数列 中， 且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，若 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，化简得到 ，得出数列 为等差数列，结合等差数列的通项公式，
进而求得数列 的通项公式；（2）由 ，得到 ，结合裂项法求和，求得 ，进而证得 .
【详解】（1）解：由 ，两边同除以 ，可得 ，即 ，
因为 ，可得 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
可得 ，所以 ，
即数列 的通项公式为 .
（2）解：由 ，可得
，
所以数列 的前 项和为
，
因为 ，可得 ，即 .
2.（23·24上·合肥·阶段练习）在数 和 之间插入 个实数，使得这 个数构成递增的等比数列，将这
个数的乘积记作 ，令 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用等比数列的基本性质结合倒序相乘法可求得 ，结合对数的运算可得出数列 的通
项公式；
（2）计算得出 ，利用裂项相消法可求得 .
【详解】（1）解：在数 和 之间插入 个实数，使得这 个数构成递增的等比数列，
设插入的这 个数分别为 、 、 、 ，
由等比数列的性质可得 ，
所以， ，所以， ，
易知 ，所以， ，则 .
（2）解： ，
所以， .3.（23·24上·昆明·阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）运用累乘法求出 的通项公式；
（2）先运用裂项法求出 的解析式，再运用缩放法证明.
【详解】（1）由已知 ，
所以 ，
当 时， 满足条件，所以 ；
（2）由于 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，显然 在 上为增函数， ，又
，所以 ；综上， .
【题型六】“函数型”裂项求和：三角函数裂项型
常见的三角函数裂项：
1.正切型裂项：若 （特殊角），则 ，
；
2.正余弦和与差公式应用裂项型：
1.（2023·山东威海·二模）已知2n＋2个数排列构成以 为公比的等比数列，其中第1个数为1，第
2n＋2个数为8，设 ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设 ，求数列 的前100项和 ．【答案】(1)数列 是以公差为 的等差数列. (2)
【分析】（1）根据等比数列的性质分析可得 ，再结合等差数列的定义分析证明；
（2）根据两角差的正切公式整理得 ，结合裂项相消法运算求解.
【详解】（1）由题意可得： ，且 ，可得 ，
所以 ，可得 ，则 ，
所以数列 是以公差为 的等差数列.
（2）由（1）可得 ，则 ，
整理得 ，
则
，
所以数列 的前100项和 .
2.（22·23高三上·山东济宁·期中）已知 ，抛物线 与x轴正半轴相交于点A，在点A处的切
线在y轴上的截距为
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前项和 ．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，再求出纵截距作答.
（2）由（1）的结论求出 ，再分奇偶利用裂项相消法求解作答.
【详解】（1） ，抛物线与 轴正半轴的交点坐标为 ，由 求导得： ，
因此抛物线在点A处的切线的斜率为 ，切线方程为 ，当 时， ，
所以 .（2）由（1）知， ，则 ，
当n为偶数时，
，
当n为奇数时， ，
.
3.（22·23上·芜湖·期末）已知 是数列 的前 项和， ．且
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，已知数列 满足 ，求 的前 项的和
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合 变形，构造数列求解作答.
（2）由（1）的结论，利用差角的正弦公式变形，再利用错位相减法求解作答.
【详解】（1）因为 ， ，当 时， ，
两式相减得： ，即 ，变形得 ，
于是得数列 是常数列，因此 ，即 ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）知， ，
，
所以 .
【题型七】递推公式：分式型不动点
已知分式一次型数列递推关系 求通项的问题解法：
法一，化归法.当 时，递推关系两边取倒数，再裂项构造即可；当 时，为了保持取倒数后分母
一致性，通常可以令 ，可由 解得 的值，即可得到
构造方向 ，通过这样的转化将问题又化归为 的情形再求解.法二，特征根法求解.先构造特征方程 ，解方程得根 ，若 ，则 为等比数
列；若 ，则 为等差数列.
1.（22-23高三·河南·阶段练习）已知数列 满足 ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)证明： ．
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据条件 可得 ，利用等差数列的定义即可证明
结论；
（2）利用（1）的结论可得 ，即得 ，利用作差法可得
，由此可设 ，即得 ，且
，两式相乘可证明结论.
【详解】（1）证明：根据题意 ，
可得 ，则 ，
故 ，
故数列 是以 为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知， ，则 ，
则 ,
由于 ，
故
设 ,则 ，
且 ，
则 ，故 .
2.（2024高三·全国·专题练习）在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
【答案】
【分析】法一，由 ，令 ，解得 ，即在等式两
边同减去 ，可构造出形式 ，从而两边再同取倒数可得 ，由此配凑常
数，可构造等比数列 进而求得等比数列通项，解 可得；法二，利用特征方程 有两
个不等式根： ，确定构造方向，先构造两个等式,再作比即可构造特殊数列，即可求得特殊数
列的通项，再解出 即可.
【详解】法一，由 两边减去 得， ，
两边取倒数得， ，
两边同加 得， ，
由 ，则 ，所以有 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 ，故 ，解得 .
法二： 因为 ，
两边同减去 得 ①，
两边同加上 得 ②，
由已知 ，则 ，
①②两式相除得，
，且 ，所以，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
， .
3.（2023高三·全国·专题练习）已知数列 满足性质：对于 且 求 的通项公
式.【答案】
【分析】根据特征方程的根，构造数列 的通项公式，再得到数列 的通项公式.
【详解】依定理作特征方程 变形得 其根为
故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
，
∴
∴ 即 .
【题型八】插入数型
插入数型
1.插入数构成等差数列
在 和 之间插入 个数，使这 个数构成等差数列，可通过构造新数列 来求解
个数构成等差数列，公差记为 ，所以：
2.插入数构成等比数列
在 和 之间插入 个数，使这 个数构成等比数列，可通过构造新数列 来求解
个数构成等比数列，公差记为 ，所以：
3.插入数混合型
混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列 提供了多少项，其余都是插入进来的。
1.（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知数列 为等差数列， ，且数列 是公
比为2的等比数列， .
(1)求 ， 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，将 中的项按原有顺序依次插入到数列 中，使 与 之间
插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和 .
【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）根据条件先求解出 的公差 ，则 的通项公式可求；将 的通项公式求出，则
的通项公式可知；（2）先分析前 项的组成情况，然后采用分组求和求得结果.
【详解】（1）设 的公差为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
（2）将 及其后 中的两项看成一组，故需要 组再加上第 组的前两项，
所以
.
2.（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）若数列 满足 （n为正整数，p为
常数），则称数列 为等方差数列，p为公方差．
(1)已知数列 的通项公式分别为 判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明
理由；
(2)若数列 是首项为1，公方差为2的等方差数列，数列 满足 ，且
，求正整数m的值；
(3)在（1）､（2）的条件下，若在 与 之间依次插入数列 中的 项构成新数列 ，
，求数列 中前50项的和 ．
【答案】(1)数列 为等方差数列，数列 不是等方差数列，理由见解析；(2)40(3)11522
【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断；
（2）首先求得数列 的通项公式，再根据数列 的通项公式，结合对数换底公式，
即可求解；
（3）首先确定 的取值，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解.
【详解】（1）因为 （常数），
所以数列 为等方差数列，1为公方差；
因为 ，
所以数列 不是等方差数列．
（2）由题意得， ，
显然
，解得 ．
（3）由题意得：新数列 中， （含 ）
前共有： 项，由 ，得 ，
所以新数列 中的前50项含有数列 的前9项，含有数列 的前41项，即
3.（·江苏南京南京外国语学校校考 ）设等比数列 的前 项和为 ；数列 满足
（ ， ）．
（1）求数列 的通项公式；
（2）①试确定 的值，使得数列 为等差数列；②在①结论下，若对每个正整数 ，在 与 之间插
入 个2，符到一个数列 ．设 是数列 的前 项和，试求满足 的所有正整数 ．
【答案】（1） ；（2）见解析
【详解】分析：（1）求出数列的首项和公比，即可求数列 的通项公式；（2）①求出数列的前几项，
根据等差数列的性质建立方程即可求出 ；②讨论 的取值，根据 的关系进行求解即可．
详解：（1）当 时， ， ，
则公比 ，则
（2）①当 时，得 时，得 ； 时，得 ，
则由 ，得 ．
而当 时，由 得 ．
由 ，知此时数列 为等差数列．
②由题意知，
则当 时， ，不合题意，舍去；
当 时， ，所以 成立；
当 时，若 ，则 ，不合题意，舍去；从而 必是数列 中的某一项 ，
则：
又 ，所以 ，
即 ，所以
因为 为奇数，而 为偶数，所以上式无解．
即当 时，
综上所述，满足题意的正整数仅有 ．
【题型九】数列跳项型
1.（湖北省黄冈中学第三次模拟考试理科数学试题）设 是等差数列， 是等比数列.已知 ，， ， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）数列 满足 ，设数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）设 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，根据条件求出 ， ，再代入
通项公式即可；
（2）利用等差数列和等比数列的前 项和公式求和，即可得答案；
【详解】
（1）设 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，
由 ， ， ， ，
可得 ， ，
解得 ， ，
则 ， ， ；
（2）
.
2.（宁夏银川一中2023届高三上学期第三次月考数学（文）试题）.已知数列 的前 项和为 ， ，
且 ．
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)选取数列 的第 项构造一个新的数列 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可；
（2）先求得 的通项公式，再结合等比数列的求和公式求得 ．
【详解】（1）解：证明：∵ ，
∴ 由已知得 ，
即 ．
∴ 数列 是以2为公差的等差数列．
（2）解：由（1）知数列 是以2为公差的等差数列，
又 ，首项为 ， ， ．． ．
【题型十】证明数列不等式
数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数
列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联
系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出
数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这
n
类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般
以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．
解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：
(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；
(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；
(3)不等关系证明中进行适当的放缩．
1.（2024上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）数列 的前n项和 ，已知 ，
，k为常数.
(1)求常数k和数列 的通项公式；
(2)数列 的前n项和为 ，证明：
【答案】(1) ， (2)证明见解析
【分析】（1）利用 ， 和累加法求 ，然后根据等差数列求和公式求 ；
（2）利用裂项相消和放缩的思路证明.
【详解】（1）由 得 ， ，
两式相减的 ，整理得 ，
当 时，得 ， ，
当 时， ，
， ， ，
相加得 ，
所以 ， ，
当 ，2时符合 ，
所以 ，则 ， ，
则 ，即 .
（2）由（1）得 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
综上可得， .
2.（2023上·黑龙江大庆·高三校考阶段练习） 为数列 的前 项和.已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和为 ，证明 .
【答案】(1) (2)证明见解析；
【分析】（1）根据 关系可判断出数列 为等差数列，求出首项和公差即可得 的通项公式.
（2）利用裂项相消法求出数列 的前 项和为 ，然后再利用单调性证明 即可.
【详解】（1）由 可得 ，
两式做差得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
时， 或 （舍去）
所以 是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和为
， ，
因为 且单调递减，所以 单调递增，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 得证.
3.设数列 的首项
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，证明： ，其中 为正整数.
【答案】（1） （2）证明见解析；
【分析】（1）由 ，变形为 ，利用等比数列的定义求解.
（2）由（1）知 ，且 ，再分 为奇数和 为偶数，讨论数列的增减性，得到
且 ，从而得到 ，然后证明 即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以数列 是等比数列，
所以 ，即 ；
（2）由（1）知 ，且 ，当 为奇数时， ，
，所以数列 是递增数列，所以 ，
当 为偶数时， ， ，所以数列 是递减数列，
所以 ，所以 且 ，则 .
， ，
，
， .
所以 对任意正整数 都成立.
【题型十一】新结构第19题型：差分密码型
关于新定义问题的常见思路为：
（1）理解新定义，明确新定义中的条件、原理、方法与结论等；
（2）新定义问题要与平时所学知识相结合运用；
（3）对于不等式恒成立问题要结合均值不等式进行求解最值，把握好分类讨论的时机.1.（2024·贵州·三模）差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算
法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列 ，规定 为
数列 的一阶差分数列，其中 ；规定 为 的二阶差分数列，其中
.如果 的一阶差分数列满足 ，则称 是“绝对差异数
列”；如果 的二阶差分数列满足 ，则称 是“累差不变数列”.
(1)设数列 ，判断数列 是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；
(2)设数列 的通项公式 ，分别判断 是否为等差数列，请说明理由；
(3)设各项均为正数的数列 为“累差不变数列”，其前 项和为 ，且对 ，都有 ，
对满足 的任意正整数 都有 ，且不等式 恒成立，求实数 的最大
值.
【答案】(1)不是“绝对差异数列”， 是“累差不变数列”，理由见解析(2) 都是等差数列，理
由见解析(3)
【分析】
（1）根据“绝对差异数列”和“累差不变数列”的定义判断即可；
（2）分别求出数列 的通项，再根据等差数列的定义即可得出结论；
（3）根据等差数列的性质以及新定义求解出 ，运用基本不等式求解出 的范围，从而得出 的最值.
【详解】（1）对于数列 ，
可得：一阶差分数列为 ，不满足 ，
所以不是“绝对差异数列”，
二阶分差数列为 ，满足 ，所以是“累差不变数列”；
（2）因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
因为 ，
所以数列数列 是首项为 ，公差为 的等差数列；
（3）由题意得 ，对 ，都有 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以数列 是等差数列，
设数列 的公差为 ，则 ，
当 时， ，与 矛盾；
当 时，当 时， ，
与数列 的各项均为正数矛盾，故 ， ，
则 ，，
因为 ，所以 ，
所以 ，
则当 时，不等式 恒成立，
另一方面，当 时，令 ，
则 ， ，
则 ，
因为 ，所以当 时， ，
即有 ，与 恒成立矛盾.综上所述，实数 的最大值为 .
2.（2024·辽宁葫芦岛·一模）大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价
值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一
个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作 删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项，
并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列 的通项公式 ，
，通过“数据漏斗”软件对数列 进行 操作后得到 ，设 前n项和为 ．
(1)求 ；
(2)是否存在不同的实数 ，使得 ， ， 成等差数列？若存在，求出所有的 ；若不存
在，说明理由；
(3)若 ， ，对数列 进行 操作得到 ，将数列 中下标除以4余数为0，1
的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到 ，再将 的每一项都加上自身项数，最终得到 ，证
明：每个大于1的奇平方数都是 中相邻两项的和．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】
（1）结合题意可得 ，借助等比数列前 项和公式计算即可得 ；
（2）借助反证法，假设存在，结合等差数列的性质得到与假设矛盾之处即可得；
（3）借助题意，计算出 后，可得 ， ，即可得 ， ，再得到 ， ，
即可得 ，设出 ，从而证明 ，分 、 、 、
逐个证明即可得.
【详解】（1）
由 ， 知：当 时， ；
当 时 ，故 ， ，则 ， ；
（2）
假设存在，由 单调递增，不妨设 ， ， ， ， ，
化简得 ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
与“ ，且 ， ”矛盾，故不存在；
（3）
由题意， ，则 ， ， ，
所以保留 ， ，则 ， ， ，
又 ， ， ， ， ，
将 ， 删去，得到 ，则 ， ，
， ， ，
即： ， ， ，
即： ， ，
记 ，下面证明： ，
由 ， ， ， ，
时， ， ，
；
时， ， ，
；
时， ， ，
；
时， ， ，
，
综上，对任意的 ，都有 ，原命题得证．
3.（2024·安徽黄山·一模）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述
离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列 ，规定 为数列 的一阶差分数列，
其中 ，规定 为数列 的二阶差分数列，其中 ．
(1)数列 的通项公式为 ，试判断数列 是否为等差数列，请说明理由？
(2)数列 是以1为公差的等差数列，且 ，对于任意的 ，都存在 ，使得 ，求 的值；
(3)各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 为常数列，对满足 ， 的任意正整数
都有 ，且不等式 恒成立，求实数 的最大值．
【答案】(1) 不是等差数列， 是等差数列
(2)
(3)2
【分析】
（1）理清条件的新定义，结合等差数列性质进行判断；
（2）根据新定义和等差数列、等比数列的性质等进行分类讨论求解；
（3）根据等差数列的性质以及新定义求解出 ，运用均值不等式求解出 的范围，从而得出 的最
值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ， ， ，
故 ， ，
显然 ，
所以 不是等差数列；
因为 ，则 ， ，
所以 是首项为12，公差为6的等差数列.
（2）因为数列 是以1为公差的等差数列，
所以 ，故 ，
所以数列 是以公比为 的正项等比数列， ，
所以 ，
且对任意的 ，都存在 ，使得 ，即 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
①若 ，则 ，解得 （舍），或 ，
即当 时，对任意的 ，都存在 ，使得 .
②若 ，则 ，对任意的 ，不存在 ，使得 .
综上所述， .
（3）因为 为常数列，则 是等差数列，
设 的公差为 ，则 ，
若 ，则 ，与题意不符；
若 ，所以当 时， ，
与数列 的各项均为正数矛盾，所以 ，由等差数列前 项和公式可得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，故 ，
所以
则当 时，不等式 恒成立，
另一方面，当 时，令 ， ， ，
则 ， ，
则
，
因为 ， ，
当 时， ，
即 ，不满足不等式 恒成立，
综上， 的最大值为2.
结束
