文档文本内容
专题 01 19 题新结构定义题（集合部分）(典型题型归类训练)
1．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）若项数为 的数列 满足：
，且存在 ，使得 ，则称数
列 具有性质P.
(1)①若 ，写出所有具有性质P的数列 ；
②若 ，写出一个具有性质P的数列 ；
(2)若 ，数列 具有性质P，求 的最大项的最小值；
(3)已知数列 均具有性质P，且对任意 ，当 时，都有
．记集合 ， ，求 中元素个数的最小值.
【答案】(1)① ： ，2，1或1，3，1或1，3，2；
② ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）
(2)1013
(3)3
【分析】（1）直接根据性质P的概念一一列举即可；
（2）根据性质P及累加法得 和 ，两式相加即可求解；
（3）根据性质P及累加法得 ， ，求出并集中元素个数的最大值，从而求出交集中
的元素个数最小值.
【详解】（1）① ： ，2，1或1，3，1或1，3，2；
② ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）
（2）当 时， ．
由 ，累加得 ；
又由 ，累加得 ；
相加得 ，又 ，所以 .
所以数列 的最大项 的最小值为1013，
一个满足条件的数列为 ；
（3）由 ，累加得 ．
又 ，所以 ，同理， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为
此时 .
【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：
(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；
(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言；
(3)将已知条件代入新定义的要素中；
(4)结合数学知识进行解答.
2．（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）已知 为有限个实数构成的非空集合，设
， ，记集合 和 其元素个数分别为 ，
.
设 .例如当 时， ， ， ，所以
.
(1)若 ，求 的值；
(2)设 是由3个正实数组成的集合且 ，证明： 为定值；
(3)若 是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意 ，设 ， .
已知 ，且对任意 ，求数列 的通项公式.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
(3)
【分析】（1）根据题中的定义，列举出 ， 即可.
（2）先列举 ， ， ， 中可能元素，根据集合的互异性判断元素个数差即可.
（3）类比（1）（2）当数列由 到 ，为保证 成立，则必有
其成等差数列，故猜想 ，可用数学归纳法给予证明.
【详解】（1）当 时， ， ，，所以 ，
（2）法1：设 ，其中 ，
则 ，
因 ，
，
因 ，
所以 ， ， ， ，
又 ，
， ，
所以 ，
因 ， ， ，
，
因 ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
， ， ，
所以
所以 为定值.
法2： ．
设 ，由于 ，
所以对任意 ，不存在 ，使得 ，
于是 ， ，
由于 ，所以对任意 ，不存在 ，使得 ，
于是 ，从而 ，
于是 为定值．
（3）法1： ，若 ，
则 ，
,
故 ，
，
此时 ，不符合题意，
故 ，
猜想 ，下面给予证明，
当 时，显然成立，
假设当 ， 时，都有 成立，即 ，
此时 ， ，
故 ， ，
，符合题意，
，
则 ，
，
若 ，
的元素个数小于
的元素个数
则有 ，
不符合题意，故 ，
综上，对于任意的 ，都有
故数列 的通项公式 .
法2：假设存在n，使得 ，设 ．
根据条件， ，且 ， ，
，
根据假设， .
（i）如果 ，那么属于 但不属于 的元素组成的集合是，
从而 ．
属于 ，但不属于 的元素组成的集合是 ，从而
,
于是 ．矛盾！
（ii）如果 ，
那么对任意 ，
从而 ，
同样对任意 且 两两不同，
从而 ,
于是 ，矛盾！
【点睛】关键点点睛：本题的核心是利用集合的新定义，列举集合中元素，注意集合的互异性，进而得到
集合的元素个数.
3．（2023·北京·101中学校考模拟预测）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意 ，都有
或 ，则称A为自邻集.记集合 的所有子集中的自邻集的个数为
.
(1)直接写出 的所有自邻集；
(2)若 为偶数且 ，求证： 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据自邻集的定义及子集的概念一一写出结果即可；
（2）取 的一个含5个元素的自邻集 ，判定
集合 ，再证明C也是自邻集且 ，从而得出结
论；
（3）记自邻集中最大元素为 的自邻集的个数为 ， ，则当 时有 ，再分类讨论证
明 即可.
【详解】（1）由题意可得， 的所有自邻集有： ；（2）对于 的含5个元素的自邻集 ，
不妨设 .
因为对于 ，都有 或 ， ，2，3，4，5，
所以 ， ， 或 .
对于集合 ， ， ， ， ，
因为 ，所以 ， ，2，3，4，5，
，
所以 .
因为 ， ， 或 .
所以 ， ，
或 ，
所以对于任意 或 ， ，2，3，4，5，
所以集合 也是自邻集.
因为当 为偶数时， ，
所以 .
所以对于集合 的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其
对应.
所以， 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数.
（3）记自邻集中最大元素为 的自邻集的个数为 ， ，
当 时， ， ，
显然 .
下面证明： .
①自邻集含有 ， ， 这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素 后的集合为
因为 ， ，所以 仍是自邻集，且集合 中的最大元素是 ，
所以含有 ， ， 这三个元素的自邻集的个数为 .
②自邻集含有 ， 这两个元素，不含 ，且不只有 ， 这两个元素，
记自邻集除 ， 之外最大元素为 ，则 ，每个自邻集去掉 ， 这两个元素后，仍为自
邻集.
此时的自邻集的最大元素为 ，可将此时的自邻集分为 个；
其中含有最大数为2的集合个数为 ，含有最大数为3的集合个数为 ， ，
含有最大数为 的集合个数为 .
则这样的集合共有 个.
③自邻集只含有 ， 这两个元素，这样的自邻集只有1个.
综上可得 ，
所以 ，
故 时， 得证.
【点睛】思路点睛：第二问取自邻集 ，和集合 ， ， ，
， ，先由定义判定 ，且集合 也是自邻集， .即可证明结论；第三问记自邻
集中最大元素为 的自邻集的个数为 ，有 ，再分三类①自邻集含有 ， ， 这三个元
素的自邻集的个数为 ，②自邻集含有 ， 这两个元素的集合共有 个，③自邻集只含
有 ， 这两个元素，这样的自邻集只有1个来证明： 即可.
4．（2023·北京门头沟·统考一模）已知集合 .若对于集合M的任意k元子集
A，A中必有4个元素的和为 ，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作 .
(1)当 ，即集合 .
（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为 ；
（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于 ；
(2)证明： ；
(3)证明： .
【答案】(1)（i） ；（ii）
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）取 ， 验证得到答案.
（2）若 ， ， ，从大到小取 个元素，得到 中任意4个元素之和 ，得到证
明.
（3）集合 的元素按和为 分组，和把集合 的元素按和为 分组，确定 中必有一个与 没有
公共元素，设 ， 的4个元素满足条件，得到 时成立，得到证明.
【详解】（1）取 ，则 ，满足条件；
取 ，则 ； ；
； ； ；满足条件.
（2）若 ， ， ，从大到小取 个元素，
， ，或 ， ，
则 中任意4个元素之和 ，不成立，故 .
（3）当 时，把集合 的元素按和为 分组，得：
，
易得， 中至少有2个二元子集满足 ．
若把集合 的元素按和为 分组，得：
．
易得， 中至少有3个二元子集满足 ．
而集合 两两互不相交， 与 中每一个至多有一个公共元素，
所以， 中必有一个与 没有公共元素，不妨设 ，
则 的4个元素就是 的4个互异元素，而这4个元素的和为 ．
又 ，所以 ．
【点睛】关键点睛：本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能
力，其中，将集合按照和为 与和为 分组，再根据抽屉原理得到新集合，是解题的关键.
5．（2023·北京西城·统考一模）给定正整数 ，设集合 ．对于
集合 中的任意元素 和 ，记 ．设 ，且集合
，对于 中任意元素 ，若 则称 具有性质 ．
(1)判断集合 是否具有性质 ？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质 的集合 ，并加以证明；
(3)若集合 具有性质 ，证明： ．
【答案】(1)具有，理由见解析
(2)不存在，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据集合具有性质 的特征，即可根据集合 中的元素进行检验求解，
（2）假设集合 具有性质 ，分别考虑 时，集合 中的元素，即可根据 的定义求解.
（3）根据假设存在 使得 ，考虑当 时以及 时，分量为1的个数即可讨论求解.
【详解】（1）因为 ，同理 ．
又 ，同理 ．
所以集合 具有性质 ．（2）当 时，集合 中的元素个数为 ．由题设 ．
假设集合 具有性质 ，则
①当 时， ，矛盾．
②当 时， ，不具有性质 ，矛盾．
③当 时， ．
因为 和 至多一个在 中； 和 至多一个在 中；
和 至多一个在 中，故集合 中的元素个数小于 ，矛盾．
④当 时， ，不具有性质 ，矛盾．
⑤当 时， ，矛盾．
综上，不存在具有性质 的集合 ．
（3）记 ，则 ．
若 ，则 ，矛盾．若 ，则 ，矛盾．故 ．
假设存在 使得 ，不妨设 ，即 ．
当 时，有 或 成立．
所以 中分量为 的个数至多有 ．
当 时，不妨设 ．
因为 ，所以 的各分量有 个 ，不妨设 ．
由 时， 可知， ， 中至多有 个 ，
即 的前 个分量中，至多含有 个 ．
又 ，则 的前 个分量中，含有
个 ，矛盾．
所以 ． 因为 ，
所以 ．
所以 ．
【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学
思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者
函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
6．（2022·北京海淀·首都师范大学附属中学校考三模）设 且 ，集合 ，若对
的任意 元子集 ，都存在 ，满足： ，且 为偶数，则称 为理想集，
并将 的最小值记为 .(1)当 时，是否存在理想集？并说明理由.
(2)当 时，是否存在理想集？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由.
(3)求 .
【答案】(1)不存在，理由见解析；
(2)存在， ；
(3)
【分析】（1）根据理想集的定义，分3元子集、4元子集分别说明判断作答.
（2）根据理想集的定义，结合（1）中信息，说明判断5元子集，6元子集作答.
（3）根据理想集的定义，结合（1）（2）中信息，判断 的所有6元子集都符合理想集的定义作答.
【详解】（1）解：依题意， 要为理想集， ，
当 时， ，显然 ，有 ，而 不是偶数，即存在3元子集
不符合理想集定义，
而 ，在 中任取3个数，有4种结果， ； ； ； ，它们都不符合理
想集定义，
所以当 时，不存在理想集.
（2）解：当 时， ，由（1）知，存在3元子集 、4元子集 均不符合
理想集定义，
5元子集 ，在此集合中任取3个数，满足较小的两数和大于另一个数的只有 与 两种，
但这3数和不为偶数，
即存在5元子集 不符合理想集定义，
而 的6元子集是 ， 是偶数， 是偶数，
即 的6元子集 符合理想集定义， 是理想集，
所以当 时，存在理想子集 ，满足条件的 可分别为 或 ，
即 .
（3）解：当 时， ，由（1），（2）知，存在 的3元子集、4元子集、5元子
集不满足理想集定义，
要为理想集， ，显然 符合理想集的定义，满足条件的 分别为 或 ，
的6元子集中含有 的共有 个，这10个集合都符合理想集的定义，
的6元子集中含有 不含6的有5个，其中含有4的有4个，这4个集合都符合理想集的定义，不含4
的为 ，
显然有 为偶数，即 的6元子集中含有 不含6的5个都符合理想集的定义，的6元子集中含有 不含5的有5个，它们是 ，
，
它们对应的 可依次为： ； ； ； ； ，
即 的6元子集中含有 不含5的5个都符合理想集的定义，
的6元子集中含有 不含3的有5个，它们是 ，
，
它们对应的 可依次为： ； ； ； ； ，
即 的6元子集中含有 不含3的5个都符合理想集的定义，
的6元子集中含有 之一的有3个，它们是 ，对应的 可
依次为： ； ； ，
即 的6元子集中含有 之一的3个都符合理想集的定义，
因此， 的所有 个6元子集都符合理想集的定义， 是理想集，
的7元子集有 个，其中含有 的有5个，这5个集合都符合理想集的定义，不全含 的有
3个，
它们是 ，对应的 可依次为： ； ； ，
即 的所有8个7元子集都符合理想集的定义， 是理想集，
的8元子集是 ，对应的 可以为： ，因此， 是理想集，
因此， 的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集，所以 ，
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的
其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
7．（2022·北京丰台·统考二模）设 ， ，…， ， ，是
个互不相同的闭区间，若存在实数 使得 ，则称这 个闭区间为聚合
区间， 为该聚合区间的聚合点．
(1)已知 ， 为聚合区间，求t的值；
(2)已知 ， ，…， ， 为聚合区间．
（ⅰ）设 ， 是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k， ，使得
；
（ⅱ）若对任意p，q（ 且p， ），都有 ， 互不包含．求证：存在不同的i，
，使得 ．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得当且仅当 时成立即可得 ；
（2）（ⅰ）设 ，根据区间端点的大小关系证明所有区间都包含 即可；
（ⅱ）先分析可得 个互不相同的集合的区间端点的大小关系，再设 ，再根据区间端点的
最小距离为 ，累加即可证明
【详解】（1）由 可得 ，又 ， 为聚合区间，由定义可得 ，故当且仅当
时成立，故
（2）（ⅰ）由 ， 是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设 ，因为 ，
故 ，又 ，故 ，不妨设 中的最大值为 ，
中最小值为 ，则 ，即 ，
故存在区间
（ⅱ）若存在 则 或 ，与已知条件矛盾
不妨设 ，则
否则，若 ，则 ，与已知条件矛盾
取 ，设
当 时， ，
又 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
此时取 ，则 ，
当 时，同理可取 ，使得 ，
综上，存在不同的i， ，使得
【点睛】本题主要考查了新定义的集合类证明，可根据题意先画数轴分析题目中区间的关系，再凑出所需
证明的不等式即可,属于难题8．（2022·北京丰台·统考一模）已知集合 ( 且 ）， ，且 ．若
对任意 （ ），当 时，存在 ( )，使得 ，则称 是
的 元完美子集．
(1)判断下列集合是否是 的3元完美子集，并说明理由；
① ； ② ．
(2)若 是 的3元完美子集，求 的最小值；
(3)若 是 （ 且 ）的 元完美子集，求证： ，
并指出等号成立的条件．
【答案】(1) 不是 的3元完美子集； 是 的3元完美子集；理由见解析
(2)12
(3)证明见解析；等号成立的条件是 且
【分析】（1）根据 元完美子集的定义判断可得结论；
（2）不妨设 ．由 ， ， 分别由定义可求得 的最小值；
（3）不妨设 ，有 ． 是 中
个不同的元素，且均属于集合 ，此时该集合恰有 个不同的元素，显然矛盾．因
此对任意 ，都有 ，由此可得证.
【详解】（1）解：（1）①因为 ，又 ，所以 不是 的3元完美子集．
②因为 ，且 ，而 ，
所以 是 的3元完美子集．
（2）解：不妨设 ．
若 ，则 ， ， ，与3元完美子集矛盾；
若 ，则 ， ，而 ，符合题意，此时 ．
若 ，则 ，于是 ， ，所以 ．
综上， 的最小值是12．
（3）证明：不妨设 ．
对任意 ，都有 ，
否则，存在某个 ，使得 ．
由 ，得 ．
所以 是 中 个不同的元素，且均属于集合 ，
该集合恰有 个不同的元素，显然矛盾．所以对任意 ，都有 ．
于是 ．
即 ．
等号成立的条件是 且 ．
9．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）在 ）个实数组成的n行n列的数表中， 表示第i
行第j列的数，记 ， 若 ∈
，且 两两不等，则称此表为“n阶H表”，记
(1)请写出一个“2阶H表”；
(2)对任意一个“n阶H表”，若整数 且 ，求证： 为偶数；
(3)求证：不存在“5阶H表”.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】(1)根据定义列出2阶H表即可;
(2) 对“n阶H表”，整数 应用 结论得证;
(3)应用反证法结合定义可证.
【详解】（1）
1 1
-1 0
（2）对任意一个“n阶H表”， 表示第i行所有数的和， 表示第j列所有数的和 ，
均表示数表中所有数的和，所以
因为 ，所以 ， ，……， ， ， ，……， 只能取[-n，n]内的整数.
又因为 ， ，……， ， ， ，……， 互不相等，
所以{ ， ， ，……， ， ， ，……， ，……，-1，0，1，……， ，
所以
所以 偶数.
（3）假设存在一个“5阶H表”，则由（2）知5，-5，3， ，且 和 至少有一个成立，不妨设
设 ，则 ，于是 ，因而可设
①若3是某列的和，由于 ，故只能是前四列某列的和，不妨设是第一列，即 .现考虑-3，
只能是 或 ，不妨设 ，即 ，由 ， ， 两两不等知 ， ， 两两不
等，
不妨设 ，若 则 ；若 ，则 ；若 ，
则 ，均与已知矛盾.
②若3是某行的和，不妨设 ，则第4行至少有3个1，若这3个1是前四个中某三个数，
不妨设 ，则第五行前三个数只能是3个不同的数，不妨设 ， ，
则 ，矛盾，故第四行只能前四个数有2个1，第五个数为1，不妨设
1，所以 ，第五行只能是2个，3个-1或1个1，4个-1，
则 ， ， 至少有两个数相同，不妨设 ，则 ，与已知矛盾.
综上，不存在“5阶H表”.
10．（2021·北京门头沟·统考一模）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①
；② ， ；③ ，若 且 ，则 ；④
，若 且 ，则 ，则称集合D为A的一个偏序关系.
（1）设 ，判断集合 是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含
有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；
（2）证明： 是实数集R的一个偏序关系：
（3）设E为集合A的一个偏序关系， .若存在 ，使得 ， ，且 ，若
， ，一定有 ，则称c是a和b的交，记为 .证明：对A中的两个给定元
素a，b，若 存在，则一定唯一.
【答案】（1）集合 不是集合A的偏序关系， ，
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【分析】（1）根据条件显然 ， ，但 所以不满足条件④由此可判断，写出一个满
足这四个条件的集合即可.
（2）依次证明集合 满足题目中的四个条件即可.
（3）设为 ,则 ，则 ， ，假设还存在一个 ，使得 ，则可以得到
， ，由条件③可得 从而得证.【详解】（1）由
显然 ， ，但
所以不满足条件④ ，若 且 ，则
所以集合 不是集合A的偏序关系.
集合 满足条件①②③④,
所以集合 是集合A的偏序关系.
（2）
所以 ，则满足①
又 ，所以 ， ，则满足②
由于 ，则当 ，若 ，则 ，也满足③
由于 ， ，
若 则 ，若 ，则 ，所以
所以 ，所以满足④
所以 是实数集R的一个偏序关系
（3）对A中的两个给定元素a，b，若 存在，设为
所以 ， ， ，
假设还存在一个 ，使得
则 ， ， ，又对于 有 ， ，则
由 ， ， ，对于 ，有 ， ，则
由条件③ ，若 且 ，则 可得
所以对A中的两个给定元素a，b，若 存在，则一定唯一
【点睛】关键点睛：本题考查集合中的新定义问题，解答本题的关键是弄清楚定义的意义，特别是③
，若 且 ，则 ，以及 的意义，假设还存在一个 ，使得 ，
则可以得到 ， ，属于难题.
11．（2020·北京房山·统考二模）已知集合 的元素个数为 且元素均为正整数，若能够将集合
分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合 、 、 ，即 ， ，
， ，其中 ， ， ，且满足 ，
， 、 、 、 ，则称集合 为“完美集合”.
（1）若集合 ， ，判断集合 和集合 是否为“完美集合”？并说明理由；
（2）已知集合 为“完美集合”，求正整数 的值；（3）设集合 ，证明：集合 为“完美集合”的一个必要条件是 或
.
【答案】（1） 是完美集合， 不是完美集合；（2）可能值为： 、 、 中任一个；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据完美集合的定义，将 分为集合 、 、 符合条件，将 分成 个，每个中有两
个元素，根据完美集合的定义进一步判断即可；
（2）根据完美集合的概念直接求出集合 ，从而得到 的值；
（3） 中所有元素之和为 ，根据 ，等号右边
为正整数，可得等式左边 可以被 整除，从而证明结论.
【详解】（1）将 分为 、 、 满足条件，则 是完美集合.
将 分成 个，每个中有两个元素，则 ， ，
中所有元素之和为 ， ，而 为整数，不符合要求，
故 不是“完美集合”；
（2）若集合 ， ，根据完美集合的概念知集合 ；
若集合 ， ，根据完美集合的概念知集合 ；
若集合 ， ，根据完美集合的概念知集合 .
故 的可能值为 、 、 中任一个；
（3）证明： 中所有元素之和为
，
因为 ，所以， ，
所以， ，
因为 为正整数，则 可以被 整除，
所以， 或 ，即 或 .
故集合 为“完美集合”的一个必要条件是 或 .
【点睛】关键点点睛：解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论
证，把其转化为我们熟知的基本运算，解本题的关键在于理解“完美集合”的定义，弄清集合 、 中的
元素与集合 中元素之间的关系，采取逻辑推证、列举法等方法求解.12．（2021·北京门头沟·统考二模）已知定义在R上的函数 的图象是一条连续不断的曲线，且在任意
区间上 不是常值函数.设 ，其中分点 将区间 分成 个小区间
，记 称为 关于区间 的n阶划
分的“落差总和”.当 取得最大值且n取得最小值 时，称 存在“最佳划分” .
（1）已知 ，求 的最大值 (不必论证)；
（2）已知 ，求证： 在区间 上存在“最佳划分” 的充要条件是 在区间
上单调递增.
【答案】（1） （2）证明见解析
【分析】（1）根据 的定义，结合正弦函数的最大值可求出结果；
（2）根据函数的单调性结合 的定义可证充分性；利用反证法结合 的定义可证必要性.
【详解】（1）由题意可知 ，
所以
，即 .
（2）①充分性：若 在区间 上单调递增，则 ，
所以
，
故 在区间 上存在“最佳划分” ，
②必要性：若 在区间 上存在“最佳划分” ，
假设 在区间 上不单调递增，
则存在 ，当 时，有 ，
由 ，
由不等式的性质,当且仅当 ， ， 时，等号取得,不等式成立，
此时 ，
因为 ，所以 ，与 相矛盾，
所以 中等号不成立，“落差总和”会增加，故
取得最大值时的 的最小值大于 ，与条件矛盾，所以假设不成立，
所以 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上存在“最佳划分” 的充要条件是 在区间 上单调递增.【点睛】关键点点睛：正确理解的定义，并运用反证法证明必要性是解题关键.
