文档文本内容
硬算课程第一节——直除（1）
课前：如何理解速算
1、清晰的思路
2、准确的方法
3、高熟练度
如何学会硬算？
1、听懂（可以再现计算步骤）
2、理解为什么这么算
3、高执行力，学了不用等于0（最常见失败原因就是完全不用学的东西去做题或者自以为
取其精华）
直除的基本功——每天应该练什么？
自行练习地点：微信小程序—行测（数资）小助手
或者自己用Excel 表打印出来练习
每天的内容如下：
1、（12~19）× （2~9）的所有结果
2、三位数乘一位数20 题
3、四位数除以四位数（五位数除以三位数）算首位
4、三位数减法20 道
必须按照固定思路进行练习，不得“见题行事”；
刚开始不要求口算，请保证准确。
1 、（12~19）× （2~9）的所有结果
请记住：所有2 位数乘1 位数都这么算
16 × 6
18 × 2
13 × 8
17 × 8
16 × 7
15 × 7
19 × 9
18 × 3
16 × 8
14 × 9
2、三位数乘一位数20 题
390
× 7
953
× 6
950
× 6
428
× 4
973
× 6
923
× 7
203
× 9
676
× 5
313
× 9
241
× 3
3、四位数除以四位数（五位数除以三位数）算首位（0 不算）
分子
分母
商
分子
分母
商
1302
÷
4256
2780
÷
5050
8645
÷
7334
2617
÷
8777
4996
÷
7072
9858
÷
3217
2476
÷
9576
2420
÷
4515
2914
÷
3908
6352
÷
9853
5188
÷
9765
8348
÷
8231
5165
÷
4535
8790
÷
4300
1171
÷
6735
7413
÷
7970
2652
÷
1835
7679
÷
6226
9698
÷
7275
1070
÷
6828
4、三位数减法20 道
765－546
926－119
789－760
998－803
746－784
206－897
784－964
418－189
864－401
423－438
硬算课程第二节——直除（2）
一、直除的完整计算
要求：算出准确前2 位即可、分子分母别动
分子
三位数分母
商
分子
三位数分母
商
20859
110
85852
179
71159
165
68911
153
84029
196
48314
609
分子
三位数分母
商
分子
三位数分母
商
69439
164
39884
801
99148
734
18781
955
23956
678
83999
464
42941
193
75145
161
二、直除的误差
要求：分子不变、分母四舍五入保留
什么叫2 个数的误差：比如452 和458，差了个6，458 比大452 大6/452，452 比458 小
6/458，我们一般把6/452 或者6/458 称之为误差
为什么要学误差：只有知道误差，才能算的又快又准，通过了解误差，决定分母如何保留，
该简单算时就简单算，避免浪费时间，该精算就精算，避免算错答案，是为“又快又准”。
学习要点：
1、误差本身无需精算、也无法精算，算出大概的首位即可（无需准确）
2、5%、1%、5‰的差距是什么概念
分子
四位数分
母
商
三位数分
母
误差
商
两位数分母
误差
商
36672
1637
22.40
164
22.36
16
22.92
38101
1166
32.68
117
32.56
12
31.75
80690
1953
41.32
195
41.38
20
40.35
21617
1283
16.85
128
16.89
13
16.63
25183
1133
22.23
113
22.29
11
22.89
94779
1904
49.78
190
49.88
19
49.88
77055
1532
50.30
153
50.36
15
51.37
52218
1059
49.31
106
49.26
11
47.47
直除的误差来源于分母，分母的误差就是分式值的误差
分子
四位数分
母
商
三位数分
母
误差
商
两位数分母
误差
商
39012
1336
29.20
134
29.11
13
30.01
82476
1369
60.25
137
60.20
14
58.91
34428
7056
4.88
706
4.88
71
4.85
61447
7240
8.49
724
8.49
72
8.53
84902
4695
18.08
470
18.06
47
18.06
88236
4130
21.36
413
21.36
41
21.52
83804
8486
9.88
849
9.87
85
9.86
分子
四位数分
母
商
三位数分
母
误差
商
两位数分母
误差
商
73576
4642
15.85
464
15.86
46
15.99
22394
2449
9.14
245
9.14
24
9.33
47784
4467
10.70
447
10.69
45
10.62
47288
6825
6.93
683
6.92
68
6.95
82775
8858
9.34
886
9.34
89
9.30
分式的误差与选项的差距
分子
四位数分
母
商
三位数分
母
商
两位数分母
商
60444
1418
42.63
142
42.57
14
43.17
A、33
B、43
C、63
D、53
A、36
B、43
C、48
D、55
A、38
B、41
C、43
D、45
A、42.3
B、43.1
C、42.6
D、43.6
A、42.55
B、43.58
C、42.63
D、43.67
硬算课程第三节——多位数乘法的计算
一大一小及其误差
先算1%
一、多位数×百分数
8772
×
8.29%
3073
×
3.94%
4890
×
1.21%
7285
×
9.47%
7845
×
1.93%
9705
×
8.06%
9125
×
3.24%
二、百分数×百分数
9.86%
×
7.09%
8.88%
×
1.52%
64.81%
×
55.96%
34.27%
×
15.02%
三、多位数×多位数（常规，特殊的暂时不讲）
A
B
C
D
8064
×
5650
4556
4432
4718
4358
2507
×
5457
1368
1347
1457
1385
2534
×
9015
2284
2245
2485
2266
7753
×
3395
2632
2531
2788
2654
1735
×
4825
837
834
840
843
硬算课程第四节——
多位数加减法、判断位数、分式乘式比大小
一、多位数加法的计算、比较
一大一小简单估、精确算（注意尾数法）、抵消法比较大小
72+16+17+73+81+84+42+70+91+88+35+45+25
如何快速估算
如何精算
如何比大小
9953
+
5180
+
5595
+
4184
+
2910
=
选项一：A、27822
B、27814
选项二：A、27800
B、27200
C、27400
D、28800
3646
+
2363
+
2934
+
767
+
486
=
A、10200
B、9600
C、9800
D、10700
6632
+
297
+
261
+
66
+
95
=
A、7350
B、7850
C、7650
D、7150
二、多位数减法（关键是你这个减法用来干嘛的）
计算、比较、当分子分母、算误差等等......
截位要截对
结果一般要有2 位数（啥时候例外）
算出准确前2 位
算出三位或更多
两位
准确两位
三位
6092
—
2999
=
7894
—
1328
=
4841
—
877
=
7361
—
3242
=
1271
—
87
=
8475
—
8451
=
三、判断位数
9471 除以2408 的位数
1949 除以6989 的位数
9471 乘2408 的位数
1949 乘6989 的位数
四、分式比大小（例题课堂上随机提供）
分子分母大小不一样
看首位
很接近1 时反向作差
分子分母增速或倍数
分母保留三位直除
五、乘式比大小（例题课堂上随机提供）
大大则大
看乘数之间的倍数或者增速
多位数乘法硬算
硬算课程第五节
分式比大小（2）与乘除法特殊计算
六、分数比较常见问题
步骤、截位、增速算反、列出增速后怎么办
七、分数比较练习
A
B
A/B 最大
294
320
380
420
817
860
550
580
A
B
A/B 最大
1086
181
1015
179
1095
199
1265
208
A
B
A/B 最大
27593
166103
24740
141392
14988
74585
19380
92854
A
B
仅两两比较，谁大
6649
5684
2997
2521
7740
7440
2150
1898
1740
1782
673
476
3103
1047
4681
3123
A
B
A/B 最大
842.6
841.3
723.5
737.1
126.2
124.4
33.7
32.2
A
B
仅两两比较，谁大
6972
20133
5584
49283
A
B
A/B 最小
51
2012
447
1382
540
1756
505
1316
A
B
A/B 最大
35
971
12
2159
2
690
61
476
A
B
A/B 最大
24780
48960
25639
48793
27331
48494
28310
48090
八、乘除法特殊计算
乘法：百化分、接近1
5051
×
9729
6721
×
9632
5496
×
9558
4321
×
9171
3385
×
9428
1111
×
1259
3321
×
2488
1988
×
1687
1429
×
4899
3385
×
9428
除法：分母接近1、反向作差、百化分
5051
÷
9729
6721
÷
9632
5496
÷
9558
4321
÷
9171
3385
÷
9428
1111
÷
1259
3321
÷
2488
1988
÷
1687
1429
÷
4899
3385
÷
9428
709240
÷
2380
781641
÷
1959
4395468
÷
8844
1454100
÷
7860
836514
÷
4426
题型1——多位数加减法的计算、比较
1. 2016年教育部隶属单位获批国家自然科学基金面上项目的总金额是（）。
A.451216万元
B.462158万元
C.446354万元
D.446893万元
2. “十二五”期间华为销售收入总计达（
）百万元。
A.1344565
B.1346358
C.1348467
D.1350118
3. 2020—2021 年，中国超算服务市场累计规模约为多少亿元？
A.354
B.328
C.396
D.371
4. 2019年末我国“10后”人数为：
A.1.52亿人
B.1.63亿人
C.1.88亿人
D.2.02亿人
截至2023年末，我国集成电路布图设计登记累计申请93147件，发证72378件，
2015～2023年我国集成电路布图设计登记申请和发证状况
5. 截至2014年末，我国集成电路布图设计登记累计申请量在以下哪个范围内？
A. 超过2.2万件
B.1.5万～2.2万件之间
C.0.8万～1.5万件之间
D.不到0.8万件
6. 如用求各市算术平均值的方式计算全省数值，则2021年四季度Z省中心城市道路汽车前
排驾乘人员安全带使用率比上季度：
A.下降了不到2个百分点
B.下降了2个百分点以上
C.提升了不到2个百分点
D.提升了2个百分点以上
7. 2013—2015年长江经济带累计进出口总额最高的省市，其在2013—2015年间的累计贸易
顺逆差状况为：
A.逆差不到1000亿美元
B.逆差超过1000亿美元
C.顺差不到1000亿美元
D.顺差超过1000亿美元
8. A市文化事业财政资金拨款最少的行政区是：
A.雅溪
B.童新
C.英远
D.东丰
9. 2013－2016年中国在欧洲和北美洲承包工程完成营业额最接近的年份是：
A.2013年
B.2014年
C.2015年
D.2016年
10.
2013－2016年中国在亚洲承包工程当年派出人数超出其余5个洲派出总人数的年份个
数是：
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
注：风暴潮编号的前2个数
字表示年份。
以下月份中，（
）风暴潮
灾害造成的直接经济损失最
为严重。
A.2021年7月
B.2021年9月
C.2022年8月
D.2022年10月
2022年，京津冀地区生产总值合计10.0万亿元，是2013年的1.8倍。京津冀三地第三产
业增加值占生产总值比重分别为83.8%、61.3%和49.4%，较2013年分别提高4.3、7.2和8.4
个百分点。
11.
2013年，北京第三产业增加值占其生产总值比重比天津高多少个百分点？
A.25.4
B.22.5
C.19.6
D.16.7
港口2007年生产统计表
12.
2006年4月到2007年12月间，港口货物吞吐量高于900万吨的月份有多少个？
A.12
B.13
C.10
D.11
13.
2016年各月网购固定篮子价格指数同比增速与上月该数字之间的差值最大的月份是:
A.2月
B.3月
C.11月
D.12月
14.
2011—2018年，国家财政赤字的变化趋势为：
A.不断缩小
B.与国家财政收入的变化趋势相反
C.不断扩大
D.先扩大后缩小
15.
以下折线图反映了2020年哪个时间段内J省单月发电量的变化趋势？
A.3—7月
B.4—8月
C.5—9月
D.6—10月
16.
深圳市湿地面积与耕地面积之比接近于（）。
A.8：5
B.8：7
C.10：5
D.10：7
题型2 增长量（上）——分式相减、相乘
注意：本课程为计算课，重点讲解比较难的计算如何处理，请各位同学关注计算本身的通
用性，对相关知识点我不会做过多解释。
本章具体：
已知现期与增速，如何快速估算、精算、比较增长量
已知现期与增速的前提下
计算增长量有3种方法：
1、增速化为1/n（分式相除与误差调整）
2、现期减去基期（1个具体的数减去1个分数的计算）
3、小增速的增量计算（1个分式乘上1个具体的数）
（一）8760亿元，增长10.6%
A.858.1
B.839.6
C.814.8
D.803.7
（二）87092亿元，比上年增长34.3％
A.22000亿元以下
B.22000亿元—22500亿元
C.22500亿元—23000亿元
D.23000亿元以上
（三）14265元，比上年增长17.0%
A.2072.7
B.2065.7
C.2425.1
D.2467.9
（四）4.2亿美元，增速为416.2％
A.0.8
B.1
C.3.2
D.3.4
（五）8517.4亿元，增长15.9%
A.1150
B.1168
C.1263
D.1190
（六）35948亿元，同比增长54.2%
A.12653
B.12635
C.7340
D.7304
（七）13140.6亿元，同比下降4.05%
A.511亿元
B.532亿元
C.555亿元
D.578亿元
（八）45123元，增长3.7%
A.1508.68元
B.1609.98元
C.1724.18元
D.1846.28元
（九）39533.52亿元，比上年增长1.6%
A.622.58
B.623.01
C.632.25
D.640.58
（十）89358元，比上年增长5.4%。
A.4578
B.4587
C.4758
D.4785
（十一）2016年末，东部、中部、西部中小企业户数分别为21.4万户、8.5万户、5.0万
户，同比分别增长0.8%、5.8%、6.6%”。分地区看，东部、中部、西部中小企业户数增长
从少到多排列正确的是：
A.东部、中部、西部
B.东部、西部、中部
C.中部、东部、西部
D.中部、西部、东部
（十二）2018年末，A省辖区个人存款1491.89亿元，增长17.9%；代理财政性存款25.38
亿元，增长17.9倍；单位贷款2202.74亿元，增长10.8%；含票据融资59.38亿元，增长32.9%”
。2018年，下列A省的4个金融指标中，同比增量最多的是：
A.个人存款
B.代理财政性存款
C.单位贷款
D.含票据融资
（十三）2018年1—2月份，国有控股企业实现利润总额2918.1亿元，同比增长29.6%；
集体企业实现利润总额36.9亿元，增长2.8%；股份制企业实现利润总额6829.5亿元，增长
21%；外商及港澳台商投资企业实现利润总额2259.6亿元，增长2%；私营企业实现利润总
额2830.8亿元，增长10%”。
2018年1—2月份按企业性质分类中实现利润总额同比增长额大于45亿元的有：
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（十四）2023年，互联网企业互联网业务累计收入居前5名的省级行政区为北京（5721.4
亿元，增长4.2%）、上海（4167.8亿元，增长17.5%）、浙江（1955.9亿元，增长4.8%）、
广东（1754.5亿元，下降4.6%）和天津（981.7亿元，增长20.3%）。
2023年，互联网企业互联网业务累计收入居前5名的省级行政区完成互联网业务收入比上
年：
A.减少了不到500亿元
B.减少了500亿元以上
C.增长了不到500亿元
D.增长了500亿元以上
（十五）2022年9月份，菜籽粕月末价格为4238元/吨，同比增速38.4%；
10月份，菜籽粕月末价格为4128元/吨，同比增速42.8%；
11月份，菜籽粕月末价格为3622元/吨，同比增速29.5%；
12月份，菜籽粕月末价格为3354元/吨，同比增速15.8%。
2022年9-12月，我国菜籽粕月末价格同比增量超过1000元/吨的月份有几个？
A.1
B.2
C.3
D.4
增长量作业
要求：具体步骤写清楚
分值：共100 分，会公布80 分以上选手
1. 28055.24，11.4%（5 分）
A.2797
B.2871
C.2983
D.3021
2. 47841，－13.9%（5 分）
A.－7723
B.－7973
C.－7877
D.－7653
3. 25465.04，－7.9%（5 分）
A.－2184
B.－2214
C.－2194
D.－2519
4. 966.03 万人，2.24%（5 分）
A.21.16
B.22.13
C.24.15
D.26.97
5. 每天56.2 万，同比增长率为0.3%，求一个月（30 天）增长量（用2 种方法做，每种10 分）
A.50428.71
B.50433.81
C.50438.24
D.50441.52
6. 现期和增速分别如下，求总的增长量（15 分）
29.85 亿，－0.6%；
2.46 亿，－10%
2.96 亿，－8.2%；
4.27 亿，－2.4%
A.减少了约0.8 亿
B.增加了约1.8 亿
C.减少了约2.8 亿
D.增加了约3.8 亿
7. 现期和增速分别如下，求总的增长量（15 分）
1935 万台，同比减少3.4%，1336.2 万台，同比减少35%，2221.5 万台，同比增长35.8%。
A.减少150 万台以上
B.增加150 万台以上
C.增加150 万台以下
D.持平
8. 增长量排序（15 分）
1
7.6 亿元和6.7%
2
3.3 亿元和12.5%
3
12.9 亿元和－0.8%
4
2.2 亿元和4.2%
9. 减少量排序（15 分）
1
1119.99 和－6.82%
2
782.88 和－8.49
3
808.49
和－6.39
4
1002.09 和－6.13
题型3——年均增长率（多位数乘法再应用）
精确计算年均增速的三种方法：
1、年均增速＜20%，二项式展开
2、年均增速≥20%，多位数乘法硬算
3、历年增速的平均值≈年均增速
2016 年：12203
2019 年：15463
A、4.5%
B、6.3%
C、8.2%
D、10.6%
2008 年：138.8
2012 年：193.4
A、8.6%
B、9.2%
C、9.7%
D、10.2%
2012 年：1954.69
2017 年：1697.88
A、−2.8%
B、−6.3%
C、−10.0%
D、−13.2%
2015 年：413
2019 年：663
A、10.26%
B、12.56%
C、13.12%
D、13.74%
2017 年：1202.30
2020 年：1320.51
A、2.2%
B、2.5%
C、2.8%
D、3.0%
（了解）截至2015 年末，全国水果（含瓜果，下同）种植总面积1536.71
万公顷，较‘十二五’（即2011—2015 年）期初增加143.38 万公顷，增长
了约10%”。
“十二五”期间全国水果种植面积的年均增长率约为：
A. 2.0%
B. 1.9%
C. 1.8%
D. 1.7%
2012 年：128.2
2014 年：194.8
A、23.3%
B、20.3%
C、22.5%
D、21.3%
2021 年：9559.09
2023 年：14717.12
A、不到15%
B、15%到30%
C、30%到45%
D、45%以上
2015 年~2020 年，创新驱动指数的增速分别为，11.2%、13.6%、21.6%、
15.8%、18.1%。
2015 年~2020 年，创新驱动指数的年均增长率约为：
A. 16.0%
B. 17.2%
C. 17.9%
D. 18.8%
年均增长率作业
要求：步骤清楚、有序，标好1、2、3 步，看清楚是几年，左右分别是基期和现期
(1)2 年的
一、4953
11797
A.54.3%
B.44.3%
C.60.3%
D.50.3%
二、1785
2798
A.20.2%
B.25.2%
C.30.2%
D.22.2%
三、1085
1179
A.4.2%
B.4.5%
C.4.8%
D.3.8%
(2)3 年的
一、5131
14566
A.48.2%
B.35.5%
C.41.6%
D.53.8%
二、1562
1829
A.5.2%
B.5.8%
C.5.6%
D.5.4%
三、4951
5102
A.1.0%
B.0.9%
C.1.1%
D.1.2%
四、8854
12803
A.13%
B.15%
C.17%
D.11%
五、4465
1243
A.−34.7%
B.−40.7%
C.−42.7%
D.−30.7%
(3)4 年的
一、2540
17711
A.52.5%
B.62.5%
C.67.5%
D.57.5%
二、7430
8412
A.3.2%
B.3.8%
C.3.6%
D.3.0%
三、
2667
4754
A.15.5%
B.17.5%
C.16.5%
D.14.5%
四、4183
5966
A.10%
B.8%
C.7%
D.9%
五、6104
4744
A.−6.1%
B.−10.1%
C.−8.1%
D.−3.1%
(4)5 年的
一、4134
2423
A.−20.1%
B.−10.1%
C.−5.1%
D.−15.1%
二、5687
7111
A.4.2%
B.5.7%
C.3.6%
D.7.0%
三、1897
9876
A.51%
B.41%
C.61%
D.71%
题型4——分式相加减的计算
一、分母如何保留，如何判断误差
分子
四位数分
母
商
三位数分
母
误差
商
两位数分母
误差
商
36672
1637
22.40
164
22.36
16
22.92
38101
1166
32.68
117
32.56
12
31.75
80690
1953
41.32
195
41.38
20
40.35
21617
1283
16.85
128
16.89
13
16.63
25183
1133
22.23
113
22.29
11
22.89
94779
1904
49.78
190
49.88
19
49.88
77055
1532
50.30
153
50.36
15
51.37
52218
1059
49.31
106
49.26
11
47.47
分子
四位数分
母
商
三位数分
母
误差
商
两位数分母
误差
商
39012
1336
29.20
134
29.11
13
30.01
82476
1369
60.25
137
60.20
14
58.91
34428
7056
4.88
706
4.88
71
4.85
61447
7240
8.49
724
8.49
72
8.53
84902
4695
18.08
470
18.06
47
18.06
88236
4130
21.36
413
21.36
41
21.52
83804
8486
9.88
849
9.87
85
9.86
分子
四位数分
母
商
三位数分
母
误差
商
两位数分母
误差
商
73576
4642
15.85
464
15.86
46
15.99
22394
2449
9.14
245
9.14
24
9.33
47784
4467
10.70
447
10.69
45
10.62
47288
6825
6.93
683
6.92
68
6.95
82775
8858
9.34
886
9.34
89
9.30
二、求差类计算（大减小）
分子1
分母1
分子2
分母2
589471
332
175270
490
A.1418
B.1518
C.1318
D.1458
分子1
分母1
分子2
分母2
948623
729
249737
264
A.355
B.555
C.855
D.155
分子1
分母1
分子2
分母2
69603
452
1838
179
A.144
B.285
C.200
D.100
分子1
分母1
分子2
分母2
83649
1.772
25852
1.673
A.31753
B.28444
C.21555
D.36555
分子1
分母1
分子2
分母2
83797
1.61
9558
1.052
A.42962
B.43144
C.42855
D.43015
分子1
分母1
分子2
分母2
4824
1.054
1626
1.995
A.3762
B.3742
C.3712
D.3782
分子1
分母1
分子2
分母2
7941
6.293
2339
7.811
A.962
B.1002
C.982
D.942
三、求和类计算
分子1
分母1
分子2
分母2
5532
1.088
4650
1.925
A.7500
B.7000
C.8000
D.8500
分子1
分母1
分子2
分母2
2165
1.182
5652
1.521
A.5548
B.5648
C.5748
D.5348
分子1
分母1
分子2
分母2
5135
7.264
4299
1.908
A.2960
B.3010
C.2911
D.3110
题型4——分式相加减的计算作业
1. 要求：分母怎么取数的、直除算了几位、减法怎么减的整个过程要体现的很清楚，但是
不用告诉我为什么这么做，只需要表达过程，不用给我讲，有疑问可以写在旁边。
2. 优秀答卷依然会被置顶表扬，每份卷子我都会认真看，题目都是真题
（求差类）第1 题：
分子1
分母1
分子2
分母2
258489
1.215
174852
1.151
A、21.7万
B、19.5万
C、8.4万
D、6.1万
（求差类）第2 题：
分子1
分母1
分子2
分母2
642.66
17.27
440.69
12.60
A、2.2
B、3.9
C、−2.2
D、−3.9
（求差类）第3 题：
分子1
分母1
分子2
分母2
340471
4.3
331092
4.4
A、3.0万
B、3.5万
C、4.0万
D、4.5万
（求差类）第4 题：
分子1
分母1
分子2
分母2
53239
1.048
8831
1.025
A、3.9万
B、4.2万
C、4.5万
D、5.1万
（求差类）第5 题：
分子1
分母1
分子2
分母2
31325
1-7.34%
4192
1-19.06%
A、26146
B、27133
C、28627
D、29614
（求差类）第6 题：
分子1
分母1
分子2
分母2
27.65 万1-4.66%
22.24
1+29.36%
A、5.4万
B、6.7万
C、10.5万
D、11.8万
（求差类）第7 题：
分子1
分母1
分子2
分母2
49303
1.034
8324
1.063
A、38258
B、39851
C、40472
D、41279
（求差类）第8 题：
分子1
分母1
分子2
分母2
1402.6 万
6585
1493 万
6491
A、−170
B、−347
C、170
D、347
（求差类）第9 题：
分子1
分母1
分子2
分母2
794 千万
5.72
741 千万
5.37
A、741万
B、822万
C、895万
D、988万
（求和类）第1 题：
分子1
分母1
分子2
分母2
28527
1.097
1679
1.109
A、不到2万
B、2到3万
C、3到4万
D、4万以上
（求和类）第2 题：
分子1
分母1
分子2
分母2
748.6
1.106
1072
1-3.2%
A、1780
B、1810
C、1840
D、1880
每日必练之误差
精确误差：比如4485 看作449，精确误差是5/4485,1‰多就行；4485 看作45，精确误差是
15/4485,3‰多就行；
估算误差：比如4485 看作449，估算误差是1/448,2‰多就行；4485 看作45，估算误差是2/448,4‰
多就行；
估算误差是只截取前3 位，分别是448 变成449 和448 变成450。
大家根据自己的水平自行选一种即可，不熟的就选估算误差，熟练的就选精算误差。误差只需要
算出首位即可，并且写出准确的级别，比如首位商1，要说明是1%还是1‰；
需要注意的是，比如1/448，首位也不一定非要准确，大概即可，你觉得不好算就1/450 也行，
无所谓的。
每天坚持练习即可，没有数量要求。
原数
四舍五入保留
为3 位
精确误差
估算误差
四舍五入保留
为2 位
精确误
差
估算误差
1165
117
12
5540
554
55
1596
160
16
9770
977
98
4010
401
40
7262
726
73
4266
427
43
6815
682
68
5338
534
53
5244
524
52
7774
777
78
多位数乘法估算以及精算练习100 题
原数
1
乘
原数
2
估算原
数1
估算
误差1
估算
原数2
估算误
差2
估算结果
用多位数乘法
展开精算结果
4263
×
5624
40
6%
60
7%
2400
2398
估算原数1：40，估算误差1：26/426,6%左右
估算原数2：60，估算误差2：38/562,7%左右
估算原数注意两点，一是保留2 位，二是两个数至少有一个数取整十
估算结果：40×60=2400，算的准不准无所谓。
用多位数乘法展开精算结果：
42×56=2100+252=2352；42×0.24=50×0.2=10，0.63×56=0.6×60=36
精算结果：2352+10+36=2398
原数
1
乘
原数
2
估算原
数1
估算
误差1
估算
原数2
估算误
差2
估算结果
用多位数乘法
展开精算结果
4263
×
5624
9861
×
6169
3406
×
3058
3768
×
4153
9525
×
2563
6755
×
3001
7196
×
1305
4331
×
2018
5154
×
3160
6820
×
2166
9793
×
4201
多位数乘小百分数估算
原数
乘
小百分数
先算出1%
再精算小数点前一位
再估算小数点后的数
3663
×
3.88%
37
111
111+32=143
3663 的1%就是37 左右（四舍五入两位）
37×3=111（精算）
37×0.88=40×0.8=32（两个数一大一小，直接取整，不用管误差）
原数
乘
小百分数
先算出1%
再精算小数点前一位
再估算小数点后的数
3663
×
3.88%
9345
×
2.44%
1702
×
8.76%
5185
×
5.33%
2084
×
1.94%
2380
×
3.05%
7690
×
7.25%
8034
×
8.08%
5465
×
7.67%
6322
×
3.08%
6205
×
2.01%
4882
×
7.61%
题型5——分式相乘
前提：看选项差距（看幅度）决定分母如何保留
1、先抄式子
2、观察能否约分
3、两边是否有1 的特殊分数
4、有1 按照拆分法做
5、没有1 就左右分别算出两位，多位数相乘，结果略大即可。
我们练习时不考虑选项位数不一致的情况。
1.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
6549
9356
8281
3254
A.2781
B.1781
C.3124
D.4664
2.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
1911
4995
8651
6159
A.5844
B.5374
C.5124
D.5664
3.
分子1
分母1 乘
分子2 分母2
3178
4142
6854
4445
A.1544
B.1183
C.1324
D.1044
4.
分子1
分母1 乘
分子2 分母2
1288
1475
1724
6440
A.184
B.234
C.254
D.214
5.
分子1
分母1 乘
分子2 分母2
3795
3381
1781
8958
A.253
B.223
C.203
D.283
6.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
1363
9248
4956
4982
A.1473
B.1467
C.1493
D.1513
7.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
1363
1356
8356
4982
A.177
B.169
C.165
D.157
8.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
7851
1950
1126
1149
A.403
B.395
C.413
D.383
9.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
1380
4928
1651
1642
A.280
B.282
C.284
D.286
10.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
1744
2021
1572
1599
A.843
B.848
C.853
D.858
（真题作业课）题型5——分式相乘
要求：写出直除过程、记录一下每个题的时间、答得好的同学会被置顶表扬
11.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
5845
2341
1006
4142
A.6
B.8
C.12
D.17
12.
分子1
分母1 乘
分子2 分母2
312
5
214
329
A.3
B.4
C.5
D.6
13.
分子1
分母1 乘
分子2 分母2
3973
271
137
22
A.3
B.5
C.9
D.17
14.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
416555
208
179
258511
A.10
B.12
C.14
D.16
15.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
464
19
114
292
A.4
B.6
C.8
D.10
16.
分子1
分母1
乘
分子2
分母2
39279
40417
1－27.1% 1－19.6%
A.97
B.99
C.62
D.88
17.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
29304
918
875
10172
A.243
B.256
C.275
D.291
18.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
81125
210752
1093
1073
A.334
B.376
C.385
D.392
19.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
105
1386
10
255
A.231
B.297
C.360
D.424
20.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
4733
28527
1097
1156
A.157
B.165
C.174
D.195
21.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
2447
4323
1169
1333
A.474
B.496
C.503
D.566
22.
分子1
分母1
乘
分子2 分母2
1516
2306
1094
109
A.6477
B.6574
C.6597
D.6691
题型6——乘式相减（增长量.下）
乘式相减的计算就是看能不能抵消，或者直接多位数乘法硬算，题目中演示。
还有一些其他的复杂计算，其实就是基础计算的排列组合，我们无法一一列全，一般来讲，
按照基础计算的方法逐个计算即可。
1424 + 5242
46452
比如上面这个，你先把分子算出来再除就行了，这就是一般复杂运算的思路。考试不会考
的太复杂，不必太在意。
942×5.9－920×6.1=
A.减少了不到100
B.减少了100 以上
C.增长了100 以上
D.增长了不到100
134735×9.1%－134091×8.9%＝
A.124
B.249
C.327
D.467
999－7866×10.89%=
A.142
B.107
C.116
D.99
845.5×83.2%－9.8×4.4%=
A.600
B.650
C.700
D.750
577×5.83－539×（5.83－0.56）=
A.227
B.396
C.528
D.640
谁大
302×73.2%－275×73.1%
313×72.5%－302×73.2%
335×71%－313×72.5%
352×70.2%－335×71%
谁大？
500×5000－550×5200
600×4500－580×4600
320×6500－300×6000
200×8000－200×7950
谁大？
52.2×4.43%－47.3×4.03%
52.2×74.07%－47.3×74.71%
52.2×20.15%－47.3×19.86%
52.2×1.35%－47.3×1.4%
“2017 年，我国对“一带一路”沿线国家进出口总额73745 亿元，其中出口43045 亿元，增
长12.1%；进口30700 亿元，增长26.8%”。与2016 年相比，2017 年我国对“一带一路”
沿线国家出口增加额比进口增加额约少：
A.1623 亿元
B.1842 亿元
C.1915 亿元
D.2012 亿元
13441 亿元、212 亿元，增长率分别为5.8%、－29.7%。求增长量之差
A.647 亿元
B.688 亿元
C.786 亿元
D.827 亿元
