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数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练
考点目录
裂项相消法
错位相减法
分组与并项求和
考点一 裂项相消法
1
例1．（25-26 高二上·浙江温州·期末）已知数列
的前
项和为
，满足
.
(1)证明：
是等比数列；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，求
的前
项和
.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）
，当
时，
，
即
，解得：
，
时，
，
，
两式相减：
，即
，
，即
，
数列
是首项为，公比为
的等比数列.
（2）
数列
是首项为，公比为
的等比数列，
是首项为，公比为
的等比数列，
考点二 错位相减法
2
，
，
，
化简得：
，
解得：
.
（3）
数列
是首项为，公比为
的等比数列，
，即
，
，
，
的前
项和
，
，
两边同时乘以
得：
，
，
整理得：
3
，即
，
，即
.
例2．（25-26 高二上·四川广安·期末）已知数列
的前
项和为
，且
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式及前
项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
，
.
【详解】（1）数列
中，
，则
，
则
，又
，
所以数列
是首项为
公比为
的等比数列，.
（2）由（1）可得：
，因此
，
数列
前
项和为
，
可得
，
两式相减可得
，
所以
.
4
例3．（25-26 高三上·辽宁·期末）记
为正项数列
的前
项和，已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)等差数列
满足
，
，
.
（i）求
的通项公式；
（ii）求
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)（i）
（ii）
【详解】（1）由
，
可知
是公比为2 的等比数列，
故
，当
时，
，
，
故
，于是
，
，故
，
由
可得
，故
；
（2）（i）记
公差为
，由
可知
，
故
，即
，
而
，
即
，
或
.
当
时，
，此时
，不合题意，舍去，
当
时，
，此时
，符合题意.
故
的通项公式为
.
5
（ii）当
时，
；
当
时，
，
，
两式相减，得到
.
又
时，
，
综上可得：
.
例4．（25-26 高三上·新疆喀什·月考）记
为数列
的前n 项和，已知
，
是公差为
的等差数列.
(1)求
的通项公式；
(2)数列
满足
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
得
，又
是公差为
的等差数列，故
，即
；
当
时，
，两式相减得
，
累乘得：
，
所以通项公式为：
.
（2）由
，代入
得：
，用错位相减法求
：
，
6
，
两式相减得：
，
整理后得：
.
变式1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列
是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64，数列
是公比大
于0 的等比数列
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为数列
是公差为2 的等差数列，其前8 项的和为64，
所以
，解得
，所以
；
数列
是公比大于0 的等比数列，设公比为
，则
，
因为
，
，所以
，解得
或
（舍），
所以
.
（2）由（1）知
，
则
，可得
，
两式相减可得
7
，
所以
.
变式2．（25-26 高三上·山东济宁·期末）记
为正项数列
的前
项和，已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
当
时，
，解得
或
（舍去）；
当
时，
，所以
，
则
，即
，
因为
为正项数列，则
，即
，
所以
是首项为3，公差为3 的等差数列，
则
.
（2）因为
，
所以
，则
，即
，
所以
，①
所以
，②
8
由①
②得，
，
所以
.
变式3．（25-26 高二上·广东广州·期末）已知数列
的前n 项和为
，且首项
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，令
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
，可得
，
两式相减可得
，即
，整理得
，
，
又
，
，则
，
所以数列
是首项为2，公比为3 的等比数列，故
.
（2）由（1），
，
，①
，②
①
②得，
，
所以
.
变式4．（25-26 高二上·贵州毕节·期末）已知数列
的前
项和为
，且
，正项等比数列
9
满足
，且
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)已知
，记数列
的前
项和为
，证明：
；
(3)已知
，求数列
的前
项和.
【答案】(1)
，
；
(2)证明见解析；
(3)
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，适合上式，则
.
设正项等比数列
的公比为
，因为
，
则
，解得
，又因为
，所以
.
（2）
，
则
.
（3）
，
设数列
的前
项和为
，
则
，
则
，
10
作差得
则
.
11
例1．（25-26 高二上·河北邢台·月考）设数列
的前
项和为
，且
.
(1)证明：
是等比数列.
(2)求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）当
时，
，所以
，由于
所以
，
当
时，
，
，
两式相减得：
，
所以
，
所以
，
所以
，又
，
所以
是以
为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，
是以
为首项，为公比的等比数列.
所以
，所以
.
所以
考点三 分组与并项求和
12
例2．（25-26 高二上·山东济南·月考）已知
是数列
的前
项和，已知对于任意
，都有
，数
列
是等差数列，
，
．
(1)求
与
的通项公式；
(2)若数列
的前
项和
，求
及
的最小值；
(3)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
(2)
，最小值为
(3)
【详解】（1）由
，则
，
故
，即
，
当
时，
，则
，
故数列
是以为首项，
为公比的等比数列，故
；
，则数列
的公差为
，故
；
（2）
，
13
则
，
当
为偶数时，
，随
的增大而增大，
当
为奇数时，
，随
的增大而减小，
故当
时，
有最小值
；
（3）由
，
则
，
则
，
则
，
故
，
14
则
.
例3．（25-26 高三上·江苏盐城·月考）已知等差数列
的公差为
，且
，设
为
的前
项和，数列
满足
.
(1)若
，
，且
，求
；
(2)若数列
也是公差为
的等差数列.
①求数列
的通项公式；②求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)①
，②
【详解】（1）由题意知
为等差数列且公差为
，
所以由等差数列公式可得
，又因
，
，
所以可得
，
为
的前
项和，
所以
，而
，
所以
，
若
，则可得
，解不等式可得
，
所以可得
（2）①因数列
也是公差为
的等差数列，所以可设
，
15
又因
，
所以可得
，
两边同时平方可得
对于任意的
都成立，
所以可得
且
，解之可得
，
所以
②由①知
，所以
，
当
,即
为偶数时，
，
当
，即
为奇数时，
，
综上可得
，即
例4．（2026·广西柳州·二模）设等差数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
16
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列
的公差为
.
由题意可得
，解得
，
，
则
.
（2）由（1）可知
，则
，
故
.
变式1．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知数列
的首项
且满足
(1)求证:
是等比数列；
(2)求数列
的前n 项和
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）因
，则
，
又
，所以
，
从而
，则
是以
为首项，公比为4 的等比数列.
17
（2）由（1）可得：
.
则
变式2．（25-26 高二上·内蒙古·期末）已知数列
满足：
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由
，得
，即
，
又
，所以
，
所以
，即数列
是首项为3，公比为3 的等比数列．
（2）由（1），得
，即
，
所以
．
18
变式3．（25-26 高二上·湖南长沙·期末）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)设数列
满足
，
为数列
的前
项和，求
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，①
当
时，
，②
由①-②得到
，
又
时，
，满足
，
所以
.
（2）由（1）知
，
所以
变式4．（25-26 高二上·天津和平·期末）已知
，正项数列
的前
项和为
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
；
19
(3)若
，数列
的前
项和为
，求
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）已知
，当
时，
，解得
或
（舍去），
当
时，
，所以
，
整理得
，
又因为正项数列
，所以
，
所以当
时，
，所以
，
满足通项公式，
所以
.
（2）证明：由（1）可知
，
所以
，
，
，
故
，
所以
，
所以
.
（3）因为
，
时，
，
时，
，
时，
，
时，
，
设数列
的前n 项和为
，
20
①
②
①-②得
所以，
.
所以，
时，
，
时，
，
时，
，
时，
，符合上述公式，
综上，
21
