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6.4 求和方法（精讲）
一．公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和．
1.等差数列的前n 项和公式Sn＝＝na1＋d．
2.等比数列的前n 项和公式Sn＝
二．裂项相消法
1.通项特征
（1）分式：分为可拆成偶数个同类因式相乘
（2）根式：利用平方差公式进行有理化
2.解题思路
1
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三．错位相减法
1.通项特征
或
2.解题思路
四．分组转化求和法
1.通项特征
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n 项和．
(2)若an＝且数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
2.解题思路
五．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和
1.通项特征
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
2
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2.解题思路
五．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n 项中，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n 项和即可
用倒序相加法求解
1．并项求和时不能准确分组；
2．用错位相减法求和时易出现符号错误，不能准确“错项对齐”；
3．在应用裂项相消法求和时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项，后面就剩多少项，且前
后对应项的符号相反．
考法一 裂项相消求和
【例1-1】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等差数列
的公差为正数，且
，若
分别是等比数列
的前三项．
(1)分别求数列
、
的通项公式；
3
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(2)求数列
的前
项之和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，因为
，
，
是等比数列
的前三项，
所以
，即
，
化简得
，又
，所以
．得
．
由（1），可得数列
的前三项分别为
，
，
，
显然该等比数列
的公比为3，首项为3．
所以
．综上，两数列的通项公式分别为
．
（2）
．
则
【例1-2】（2023·广东广州·统考三模）已知数列
的前
项和为
，且
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
，所以
，即
，所以
．
4
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即
，又
，所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列．所以
.
（2）
，
故数列
的前
项和
，
因为
，所以
，所以
．
【例1-3】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
且
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
当
时，
，
当
时，
，所以
，即
，
又因为
，满足上式，所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，则
.
（2）因为
，
所以
.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项
5
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的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和
称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如
的一阶和数列是
，设它的n 阶和数列各
项和为
．
(1)试求
的二阶和数列各项和
与三阶和数列各项和
，并猜想
的通项公式（无需证明）；
(2)若
，求
的前n 项和
，并证明：
．
【答案】(1)
，
，
(2)
，证明见解析
【解析】（1）由题意得，
，
，
，
，
…
，
由等比数列的前n 项和公式可得，
，
所以
的通项公式
．
6
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（2）由于
，
所以
，
则
，
因为
，所以
，所以
，
又
随n 的增大而减小，
所以当
时，
取得最大值
，故
．
2．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列
满足
．
(1)证明
为等差数列，并
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】（1）证明：因为
，所以
，即
所以
是以
为首项，
为公差的等差数列，则
，
所以
；
（2）
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.
3．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列
中，
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，即
，
所以当
时，
，
将以上各式相加，得
，则
，
当
时也符合上式，故
.
（2）由题意
.
所以
4．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设
为数列
的前
项和，已知
，且满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
为数列
的前
项和，当
时，
．若对于任意
，有
，求
的取值
范围．
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【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
∴
，
，
∴
,
∴当
时，
；
当
时，也符合上式，
∴
．
（2）
，
∵
，
∴
，
当
时，满足
，
当
时，存在
，（其中，
表示不超过
的最大整数），
使得
，则
，
∴
，不满足条件，∴
．
考法二 错位相减求和
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【例2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知数列
满足
，
（
）.记
(1)求证：
是等比数列；
(2)设
，求数列
的前
项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由已知，∵
，∴
，
∵
，∴
，
又∵
，∴
，
∴易知数列
中任意一项不为，∴
，∴数列
是首项为
，公比为
的等比数列.
（2）由第（1）问，
，∴
，∴设数列
的前
项和为
，则
①，
①
得，
②，
①
②得，
，
∴
，
∴
.
10
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∴数列
的前
项和为
.
【一隅三反】
1．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
所以当
时，
，所以
，
又当
时，
，解得
，
所以
，所以
，
所以
是首项为
､公比为
的等比数列，
所以
的通项公式为
.
（2）由（1）知
，
所以
，
所以
，
两式相减，得
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，
所以
.
2．（2023 春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知正项数列
的前
项和为
，满足
，数列
的前
项积为
!.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）因为
，①
当
时，可得
，
当
时，
，②
由①
②得
，
因为
，所以
，
所以
为常数，
所以
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
；
由于数列
的前
项的乘积为
!，
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当
时，得
；
当
时，得
.
又因为
符合通项，
所以
.
（2）由（1）可知，
，
则
，①
即
，②
则①-②得：
，
即
.
3．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记正项数列
的前
项和为
，已知点
在函数
的图象上，且
，数列
满足
，
．
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；
(2)
【解析】（1）因为点
在函数
的图象上，
所以
，
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当
时，
，所以
，解得
或
，
因为
，所以
，
当
时，
，
，
两式相减得：
，即
，
因为
，所以
，
所以数列
是首项为
，公差为的等差数列，
所以
；
由
知，
是以为公比的等比数列，又
，
所以
.①
（2）因为
，
，
，
两式相减可得
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所以
.
考法三 分组转化求和
【例3-1】（2023 秋·宁夏银川·高三校考期末）已知数列
是等差数列，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，故
，故
.
（2）
，
.
【例3-2】（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知等差数列
满足
，
．
(1)求
；
(2)数列
满足
，
为数列
的前
项和，求
．
【答案】(1)
(2)
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【解析】（1）设等差数列
的公差为d，
因为
，
．则
，解得
，
所以
．
（2）由（1）可得
，
则
，
所以
.
【一隅三反】
1．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设
为公差不为0 的等差数列
的前
项和，若
成等比数
列，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
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【解析】（1）设等差数列
的公差为
由
成等比数列可得
，所以
，所以
，
因为
，所以
.①又
，所以
，②所以
，
联立①②得
，所以数列
的通项公式
.
（2）由（1）知
，所以
.
2．（2023·广东深圳·校考二模）已知
是等差数列，
，
，且
，
，
成等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，记
，求
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
是等差数列，
，
，且
，
，
成等比数列，
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所以
，即
，解得
或
（舍去），
所以
．
（2）由题意
知，
，
所以
．
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
．
综上
．
3．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列
的前
项和
满足
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
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【解析】（1）因为
，当
时
，
所以
，即
，
所以
，
所以
，即
是常数数列，又
，所以
，则
.
（2）因为
，
当
为偶数时，
；
当
为奇数时，
；
综上可得
.
考法四 并项求和
【例4-1】（2023·广东韶关·统考模拟预测）设等比数列
的前
项和为
，已知
，
.
(1)求数列
的通项公式；
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(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等比数列
的公比为
，
①，
，
当
时，有
，
当
时，
②，
由①
②得
，即
，
，
，
，
；
（2）由（1）得
，则
，
，
，
，
．
【例4-2】（2023 春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在数列
中，
，当
时，
(1)求证：数列
是等差数列；
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(2)设
，数列
的前n 项和为
，求
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为
，
所以
，两边同除以
，得
，
所以
是以
为首项，1 为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
，整理得：
，
则
，
当n 为偶数时，
，
当n 为奇数时，
，
所以
.
【例4-3】（2023·江苏苏州·校联考三模）已知数列
是公差不为0 的等差数列，
，且
成等
比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前2023 项和.
【答案】(1)
(2)1012
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【解析】（1）设等差数列
的公差为
，由题意可知，
即
解得
，所以
；
（2）由（1）可知，
，
对于任意
，有
，
所以
，
故数列
的前2023 项和为
.
【一隅三反】
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知数列
的前
项和
，其中
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前2023 项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，则
，由
，可得
，
当
时，则
，整理得
，即
；
22
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当
时，则
，可得
，
整理得
，
因为
，则
，
可得
，即
，
故数列
是以首项为1，公差为2 的等差数列，
所以
.
（2）由（1）可得：
，
当
为偶数时，则
，
所以
，
即
.
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知
的面积为1，点D，E，F 分别为线段
，
，
的
中点，记
的面积为
；点G，H，I 分别为线段
，
，
的中点，记
的面积为
；…；
以此类推，第n 次取中点后，得到的三角形面积记为
．
(1)求
，
，并求数列
的通项公式；
23
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(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可知
,
，...，
由此可知
，故
是以公比为
的等比数列，所以
.
（2）由
得
，
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
故
.
3．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）记
为数列
的前
项和，已知
，且满足
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
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【解析】（1）方法1：
，
时，
，
累加得：
，
时也成立，
.
，
是等差数列
方法2：
，
，
为常数数列，
，
，
，
是等差数列.
方法3：
当
时，
①，
②，
②-①可得：
，
是等差数列，因为
.
（2）由（1）知
，所以
，
25
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方法1：并项求和
当
为偶数时，
，
方法2：错位相减求和
①
②
①-②：
考法五 倒序相加求和
【例5】（2023 春·广西防城港·高三统考阶段练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，
并享有“数学王子”之称．小学进行
的求和运算时，他这样算的：
，
，…，
，共有50 组，所以
，这就是著名的高斯算法，课本上推导等
差数列前n 项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列
是公比不等于1 的等比数列，且
，
试根据以上提示探求：若
，则
（ ）
A．2023
B．4046
C．2022
D．4044
【答案】B
【解析】根据等比数列的下标性质由
，
∵函数
，∴
，
令
，则
，
∴
，∴
．
26
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故选：B
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
为奇函数，且
，若
，则数
列
的前2022 项和为（ ）
A．2023
B．2022
C．2021
D．2020
【答案】B
【解析】由于函数
为奇函数，则
，
即
，所以
，
所以
，
所以
因此数列
的前2022 项和为
．
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
的前n 项和为
，且
，设函数
，则
______．
【答案】
/
【解析】∵
①，
27
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∴当
时，
②，
①－②得
，∴
；
当
时，
，∴
，此时
仍然成立，
∴
．
∴当n=1 时，
；
当
时，
，
当n=1 时，上式也成立，故
．
由于
，
设
则
，
∴
．
故答案为：
．
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