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培优专题 04 数列不等式综合应用 6 大重难题型
题型01 数列的前 n项和问题
抓关键 · 破难点
◎高分技法一、分组求和法
①适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注
意在含有字母的数列中对字母的讨论．
②常见类型：
分组转化法：若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列：
n n n n n
奇偶并项求和：通项公式为a＝的数列，其中数列{b }，{c}是等比数列或等差数列．
n n n
◎高分技法二、裂项相消法
①识别：观察待求和式子是否满足分式型、指数型、根式型等结构.
②裂项：利用裂项技巧裂项，检验裂项后的式子是否需要“配凑”系数才能保证裂项前、后的式子等价.
③相消：明确正、负相消时，是从哪一项开始消去的，消去多少项，留下了多少项，一般前面留下了几项，后面相应留下几项。
-----------------------考场必备的5大裂项技巧--------------------------
◎高分技法三、错位相减法
①识别：数列各项由公差为 的等差数列 和公比为 的等比数列 对应项之积构成.
②展开： ---------------①
③乘公比： --------②
④错位相减： 得 .
⑤求和： .
刷经典 · 通方法
🎯命题方向一 分组求和法求数列的前 项和
1．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知等差数列 的前 项和为 ， 是公比大于0的等比数列，
， ， ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求数列 与 的通项公式；
(2)设 ，求 ；(3)设 （ ），求 .
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）利用基本量法可求数列 与 的通项公式；
（2）利用分组求和和裂项相消法可求 ；
（3）根据等差数列的前 项和公式可求 ，再根据分组求和可求 .
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由已知条件得 ， ，
整理得 ，代入 得 ，
即 ，故 ，
设等比数列 的公比为 ， ，故 ，
由 成等差数列得 ， 即 ，
解得 （ 舍去），故 .
（2）由题设有
故.
故 .
（3）由题设可得 ，且 为等差数列，且公差为 ，首项为 ，
故
，
故
.
2．（25-26高三上·天津·月考）已知等差数列 ， 是数列 的前 项和，满足 ， ；数
列 的各项都是正数，且满足 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前2n项和 ；
(3)在 和 中插入 个相同的数 ，构成一个新数列 ： ，求 的前2026项和．
【答案】(1) ，
(2)
(3)2646
【分析】（1）由等差数列的基本量运算求得 ，求得通项 ；进而求得 ，再根据等比数列的基本
量运算求得答案；
（2）由（1）易得 ，分奇数项和偶数项，分别利用裂项相消法和公式法求解；
（3）易得 中截至 共有 项，再由 时，有2016项，然后
由 求解.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 ，即 ，解得 ，
故 ；
所以 ， ，
因为 ，所以数列 为等比数列，设公比为 ，
则 ，得 ，又 ，所以 ，
所以 .（2）由（1），可得 ，
设 的前 项和中，偶数项的和为 ，奇数项的和为 ，
所以 ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 为奇数时， ，
，
所以 .
（3） ，
截至 共有 项，
当 时， ，
.🎯命题方向二 裂项相消法求数列的前 项和
3．（2026·天津南开·一模）已知等差数列 的公差为2，正项等比数列 的首项为2，且
， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，记数列 ， 的前 项和分别为 ， ，求使 （ ）成立的 的
最小值；
(3)在 和 之间插入 个数 ， ，…， ，使 ， ， ，…， ， 成等差数列， .求
.
【答案】(1) ， ；
(2)8；
(3)
【分析】（1）根据等差等比数列基本量的计算即可得解，
（2）利用裂项相消法求和，即可解不等式得解，
（3）根据等差数列的性质先求解 ，进而利用错位相
减法即可求解.
【详解】（1）设 的公比为 ，依题意，有
解得 ， ，所以 ， .
（2）由（1）知 ，，
所以 ，
由 ，得 ，
化简得 ，解得 ，所以 的最小值为8.
（3）依题意， ，
则
，
两式相减可得：
，
所以 .
4．（2025·天津河西·二模）已知数列 为等差数列或等比数列，前 项和为 ，且满足 ， .
(1)当数列 为等差数列时，求 的通项公式及 ；
(2)当 在 单调递增时，设 ，求 的值；
(3)当数列 为等比数列且为摆动数列时，设 ，求 的最大值和最小值.
【答案】(1) ，(2)
(3)最大值为1，最小值为
【分析】（1）根据等差数列定义列方程组解得首项和公差即得通项，再利用等差数列求和公式计算即得；
（2）经分析可知只有当 时， 在 单调递增，满足题意，再利用裂项相消法可得结果；
（3）由（2）可知当 时 为等比数列且为摆动数列时，对表达式化简分析可求得结果.
【详解】（1）当数列 为等差数列时，设其公差为 ，
由题意得 ，所以 ，
所以 ，
.
（2）若数列 为等差数列，由（1）知 ，显然 在 不单调；
故数列 为等比数列，设公比为 ，则 ，解得 或 ，
当 ， 时， ， ，易知 在 单调递增；
当 ， 时， ， ，易知 在 不单调，
所以 ，
由 ，
可得 .（3）当数列 为等比数列时，由（2）知 或 ，
又 为摆动数列，所以 ， ，
所以 ，
当 为奇数时， 单调递减，故当 时取得最大值1，且 ，
当 为偶数时， 单调递增，当 时取得最小值 ，且 ，
所以 的最大值为1，最小值为 .
🎯命题方向三 错位相减法求数列的前 项和
5．（2026·天津东丽·一模）已知数列 是等比数列，数列 为正项等差数列，其前n项和为
．
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前4n项和 ．
（i）求 ；
（ii）证明： ．
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【分析】（1）直接根据题意列方程组求公比和公差即可；（2）（i）先求 的表达式，再结合等差数列求和公式求解即可；（ii）利用错位相减
法求出 的表达式后直接比较即可．
【详解】（1）设等差数列公差为d，等比数列公比为q，
由题意可得 ，也即 ，解得 ，
所以 ．
（2）（i）由题意得 ， ，
，
显然数列 是等差数列， ．
（ⅱ）证明： ，记 ，
， ，
两式相减，得 ，
，
，
，得证．6．（2026·天津和平·一模）已知 ，等比数列 的前 项和为 ，正项等差数列 的首
项为5，且 成等比数列．
(1)求数列 与数列 的通项公式：
(2)设 ， ， ．求证：若 ，满足 ，且有序实数
对 ，则 ．
(3)设 ，求集合 的所有元素之和 ．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等差、等比数列的概念和公式求通项.
（2）结合（1）的结论，先明确 和 的表达式，再利用反证法进行证明.
（3）先分析集合 中元素的特征，表示出元素和 .
方法一：利用错位相减求和法求和；
方法二：先化简得 ，利用错位相减求和法求 ，利用公式法求 ，即可得
.
【详解】（1）设等比数列公比为 ，故 ．
设等差数列公差为 ，由已知有 ，
解得 ，即 ，
则 或 （舍），
则 .
（2）不妨先设 ，
，
可知 时也成立，
假设 ，即 成立，
若 ，不妨设 ，
则 等价于 ，
因等式左侧不是3的倍数，等式右侧为3的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾，
所以假设不成立，此时 ．同理 时， ；
若 ，则 ，不妨设 ，
因为 ，
故
．同理 时， ．
综上当 时， ．
（3）先证取不同的 的值各不相同，不妨设 ，所以 ，
而 ，
所以 ，
由（2）可知，对不同的 取值， 均不相同．
故 ．
考虑 中含有 个 个 个 ，
因此 ．
法（一）
，
两式相减得：
，
所以， ．
法（二）
，
设 ，
，
两式作差，
，所以， ，又 ，
所以， .
题型02 数列与不等式的综合应用
抓关键 · 破难点
高考对数列解答题的考查偏重于综合性，其中数列不等式的证明是数列模块中的难点。当数列结构复杂
时，不能直接求和，要对通项进行预放缩后才能利用求和公式，进而证明不等式.因此，放缩的思想就是通过
放缩将不能求和的数列变成可以求和的数列.
一、数列不等式放缩法的类型
序号 放缩法类型 具体操作
对于 “分式” 型不等式，将代数式中的分母或分子 “扩大” 或 “缩小”，
① 分式放缩
放缩成等比数列的形式，再利用等比数列求和公式化简，进而得以证明
利用基本不等式或其他重要不等式对 “和”“积”“倒数和”“平方和” 等放
② 不等式放缩
缩。
③ 添项或去项放缩 在不等式的两边同时 “加上” 或 “减去” 某一项实现放缩
对一些比较复杂的代数式 “拆开” 再重新组合，可以消去一些项，从而简化运
④ 拆项放缩
算（如裂项相消）
二、数列不等式的6大放缩实例
①
，高考对数列解答题的考查偏重于综合性，其中数列不等式的证明是数列模块中的难点。当数列结构复杂
时，不能直接求和，要对通项进行预放缩后才能利用求和公式，进而证明不等式.因此，放缩的思想就是通过
放缩将不能求和的数列变成可以求和的数列.
一、数列不等式放缩法的类型
序号 放缩法类型 具体操作
对于 “分式” 型不等式，将代数式中的分母或分子 “扩大” 或 “缩小”，
① 分式放缩
放缩成等比数列的形式，再利用等比数列求和公式化简，进而得以证明
利用基本不等式或其他重要不等式对 “和”“积”“倒数和”“平方和” 等放
② 不等式放缩
缩。
③ 添项或去项放缩 在不等式的两边同时 “加上” 或 “减去” 某一项实现放缩
对一些比较复杂的代数式 “拆开” 再重新组合，可以消去一些项，从而简化运
④ 拆项放缩
算（如裂项相消）
二、数列不等式的6大放缩实例
①
，
刷经典 · 通方法
🎯命题方向一 数列与不等式的证明
7．（2026·天津·一模）已知数列 满足 ．
(1)证明：求 的值，并证明数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)设 ，求证： ．
【答案】(1) ， ，证明见解析
(2)
(3)证明见解析【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）求出 ，即可求出 ，从而得到 ，利用错位相减法计算可得；
（3）由数列的通项公式可得 ，利用放缩法即可得到 ，再利用裂项相消法即
可证明.
【详解】（1）当 时，可得 ，
当 时，可得 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以数列 为首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）得 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
所以
，
即 ；
（3）因为，
所以
，即命题得证.
8．（2026·天津红桥·一模）在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．
为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法 ，它的作用是在第 轮对密钥片段进行一次变
换，具体变换规则如下：若 为奇数，则 将在第 轮变换中让序列 的奇数项的值增加1，偶数项的
值减少 ；若 为偶数，则 将在第 轮变换中让序列 的奇数项的值增加 ，偶数项的值减少2．若
初始密钥序列 ， ，则加密序列 的所有项之和为 ，已知数
列 的前 项和 ，且满足 ．
(1)写出 ，并求出数列 的通项公式；
(2)求数列 的通项公式；
(3)证明： ．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)证明过程见解析.【分析】（1）本小问是两个独立的问题，前一部分是新定义，按新定义求出 ；后一部分是已知数列的
和，求数列的通项，求和与通项的关系求解，是常规考法；
（2）先找到题中给出的关系，再分奇偶讨论；
（3）先放缩，再求和，最后证明不等式.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
，
，
；
因为 ，所以 ， ；
时， ，
，
， ，
所以数列 是首项为1，公比为4的等比数列，
.
（2）经过 变换后，奇数项的每一项都增加1，偶数项的每一项都减少 ，各项之和增加
；
经过 变换后，奇数项的每一项都增加 ，偶数项的每一项都减少2，各项之和增加 ；
所以经过 和 两轮变换后，各项之和增加 ，，
所以 ，
即 为偶数时， ；
为奇数时， 为偶数，令 ，则 ，
，
；
综上， .
（3） ， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
所以 ，
两式相减得 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，，
所以 ，
所以 ，
，
所以 .
🎯命题方向二 放缩法证明数列不等式
9．（2026·天津河东·一模）已知公比大于1的等比数列 ，各项均为正数的等差数列 ， ，
， ， 是 与 的等比中项.
(1)求{ ， 的通项公式；
(2) 的前n项和为 ， ，求 ；
(3)证明： .
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式和等比中项的性质列方程，解方程即可；
（2）根据等差数列求和公式得到 ，然后利用错位相减法求和即可；（3）通过放缩的思路得到 ，然后利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）设 的通项公式为 ， ， ，
，由 得 ，即 ，故 .
解得 ，
∴ ， ，
设 的通项公式为 ， ， ，
由已知 ，
整理为 ，
∴ ， .
（2） ， ， ，
①
②
①-②得：
③
④
③-④得：
， .（3） ， ，
当 时， ，成立；
当 时， ，成立；
当 时，
，
综上，原不等式成立.
10．（25-26高三上·天津南开·期末）已知数列 的前n项和 ．等比数列 满足：
， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)保持数列 中的各项顺序不变，在每两项 与 之间插入一项 （其中 ）组成新的
数列 ，记 的前n项和为 ．
（i）求 ；
（ⅱ）证明： ．
【答案】(1) ，(2)（i） ；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据 与 之间的关系求数列 的通项公式，根据等比数列的定义可得 ，即可得数
列 的通项公式；
（2）（i）整理可得 ，讨论n的奇偶性，结合错位相减法求 ；（ⅱ）根据题意利用放
缩法可得 ，结合裂项相消法分析证明.
【详解】（1）因为 ，
当 时， ；
当 时， ，满足上式；
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
因为 ，即 ，解得 ，
且 ，所以 ．
（2）（i）因为 ，
当n为偶数时，则，
可得 ，
两式相减得：
，
所以 ；
当n为奇数时， ；
综上所述： ；
（ⅱ）由（i）可知： ，
则
所以 .
🎯命题方向三 数列与不等式的恒成立或能成立问题
11．（25-26高三上·天津西青·期末）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 为递增的等比
数列， ， .(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 ；
(3)设 ， ，求使得对任意 ，均有 成立的最大
整数 .
【答案】(1) ，
(2)
(3)5
【分析】（1）讨论当 和当 时，根据递推公式可求出数列 通项公式，验证当 是否成立，
根据等比数列的定义可求出 通项公式；
（2）由（1）可得到 ，再根据错位相减法即可求出；
（3）由（1）可得 ，根据裂项相消法可求出 ，再根据不等式恒成立即可
求解.
【详解】（1）当 时，
当 时，
上式中当 时， ，所以数列 的通项公式为
设 的公比为 ， ，所以 ，
数列 为递增的等比数列，所以
（2）①
②
- ，得
① ②
，
所以
（3）由（1）可得
则
显然 随 的增大而增大，故
于是若要 恒成立，只需 ，解得 ，
所以存在最大的整数 满足题意.
12．（2026·天津河西·一模）已知数列 是等差数列，前n项和为 ，数列 是递增等比数列，且
， ， ．
(1)求 、 的通项公式；
(2)求 ；
(3)将数列 的前 项 重新排列后，得到新数列 ， ，…， ，设
的最大值为 ，求证： ．
【答案】(1) ，(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差等比数列的性质列方程，即可求解公差和公比求解，
（2）先利用并项求和可得 ，进而利用错位
相减法求和即可，
（3）先用反证法证明 取最大值时， ， ， ，…， 中不存在连续3项递增或递减，进而得
，即可利用放缩法以及裂项相消法求证.
【详解】（1）因为数列 是等差数列，前n项和为 ，数列 是等比数列
所以设公差为d，公比为q，因为 ， ， ．
所以 ，得 或 ，
又因为数列 是递增等比数列且 ，所以 ，
所以 ， ．
（2）因为
所以
设所以
所以
（3）由已知得 ， ，2，3，…， ， ，不妨设 ，
首先证明 取最大值时， ， ， ，…， 中不存在连续3项递增或递减：
假设 ， ， ，…， 中存在连续3项递增或递减，即存在
使得 或者 ，所以
此时
则将 调换到 之前
因此 时， 取最大值必有 ， ，…，
此时
所以 取最大值时 ，并且 ，
此时
当 时，
当 时，
因为
所以 ．
综上 ．
13．（25-26高三下·天津南开·月考）已知 是等差数列， ， 是公比大于0的等
比数列 .
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 ，证明 是等比数列；
(3)证明： .
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)证明见解析【分析】（1）根据等差数列和等比数列的公式，即可求解；
（2）直接计算 ，再根据等比数列的定义即可证明；
（3）根据题意先对数列进行放缩，再利用两次错位相减法求和即可求解．
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由 , ，
得： ，
故等差数列 的通项公式为： ，
设等比数列 的公比为 ，由 , ，
得： ，
因式分解得 ，解得 或 （舍去，因 ），
故等比数列 的通项公式为： ；
（2）由（1）得 ，
则 ， ，
令 ，因 （常数），且 .
故数列 是首项为8，公比为4的等比数列；
（3） ， ，
，即 ，
，设 ，
，
得 ，
令 ，
，
得
，
，
，
，
又 ， ，
即 ．
