第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第 3 节 不等式及其性质
【高考预测】近三年高考数学不等式及其性质考查频次稳定，多以小题单独
考查 + 大题工具隐性考查双线呈现，每年必考，小题常考查不等式基本性质、
比大小、一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式求解，大题常在函数导
数、数列、解析几何中用作放缩、范围求解与最值推导；高频考点集中在实数
大小比较、不等式同向变形、均值不等式基础应用、含参不等式解集分析。预
测 2027 年仍延续稳中不变的考向，小题依旧聚焦不等式性质辨析、代数式比
大小、常规不等式解法，强化与集合、函数定义域、常用逻辑用语交汇命题，
大题持续作为解题核心工具渗透考查，侧重考查代数变形能力、分类讨论思想、
均值不等式配凑技巧及含参不等式的逻辑分析与运算求解能力。
【双基自测●明考向】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)a>b ac3>bc3.( )
(2)a=b ac=bc.( )
⇔
a
(3)若 ⇔>1,则a>b.( )
b
1 1 1
(4)a<x<b<0 < < .( )
b x a
【答案】(1⇒)× (2)× (3)× (4)√
【解析】(1)由不等式的性质,ac3>bc3 ⇏a>b;
反之,c≤0时,a>b ac3>bc3.
(2)由等式的性质,⇏a=b ac=bc;
反之,c=0时,ac=bc ⇏⇒ a=b.
a
(3)a=-3,b=-1,则 >1,但a<b.
b
2.(人教A必修一P43T8改编)(多选)下列命题为真命题的是( )
A.若ac2>bc2,则a>b
B.若a>b>0,则a2>b2C.若a<b<0,则a2<ab<b2
1 1
D.若a<b<0,则 >
a b
【答案】ABD
【解析】C中,若a=-2,b=-1,
则a2>ab>b2,故C错误.其余均为真命题.
3.(苏教必修一P53例3改编)设M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小关系为
.
【答案】M>N
【解析】M-N=x2+y2+1-2x-2y+2
=(x-1)2+(y-1)2+1>0.故M>N.
4.(人教B必修一P81习题2-2BT3改编)已知a∈(1,3),b∈(2,3),则a-2b的取值范
围是 .
【答案】(-5,-1)
【解析】由b∈(2,3)得-6<-2b<-4,
又1<a<3,故-5<a-2b<-1.
【核心梳理●明考点】
1.两个实数比较大小的方法
{a−b>0⇔a>b,
(1)作差法 a−b=0⇔a=b,
a−b<0⇔a<b.
a
{ >1(a∈R,b>0)⇔a>b(a∈R,
b
b>0),
a
(2)作商法 =1⇔a=b(a,b≠0),
b
a
<1(a∈R,b>0)⇔a<b(a∈R,
b
b>0).
2.不等式的性质(1)对称性:a>b b<a;
(2)传递性:a>b,b>c a>c;
⇔
(3)同向可加性:a>b a+c>b+c;a>b,c>d a+c>b+d;
⇒
(4)可乘性:a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac<bc;a>b>0,c>d>0 ac>bd;
⇔ ⇒
(5)可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥1);
⇒ ⇒ ⇒
(6)可开方性:a>b>0 √n a>√n b(n∈N,n≥2).
⇒
⇒
1.真分数的性质
b b+m
若a>b>0,m>0,则 < ;
a a+m
b b−m
> (b-m>0).
a a−m
2.倒数性质
1 1
(1)ab>0,a>b < ;
a b
⇔ a b
(2)a>b>0,d>c>0 > .
c d
⇒
【考点突破●明方向】
考点一 比较两个数(式)的大小
3 2 18
例1 (1)若实数m,n,p满足m=4 ,n=5 ,p= ,则( )
e5 e3 e2
A.p<m<n B.p<n<m
C.m<p<n D.n<p<m
e2 025+1 e2 026+1
(2)已知M= ,N= ,则M,N的大小关系为 .
e2 026+1 e2 027+1
【答案】(1)A (2)M>N
3
【解析】(1)因为实数m,n,p满足m=4 e5,
2 18
n=5 ,p= ,
e3 e2
则m>0,n>0,p>0,3
m 4e5 4 1
所以
n
=
2
=
5
·
e
− 15<1,所以m<n;
5e3
3
4e5
m 2 13
又
p
= 18 =
9
· e5>1,所以m>p.
e2
所以p<m<n.
e2 025+1 e2 026+1
(2)法一 M-N= -
e2 026+1 e2 027+1
(e2 025+1)(e2 027+1)−(e2 026+1) 2
=
(e2 026+1)(e2 027+1)
e2 025+e2 027−2e2 026
=
(e2 026+1)(e2 027+1)
e2 025 (e−1) 2
= >0.
(e2 026+1)(e2 027+1)
∴M>N.
ex+1
法二 令f(x)=
ex+1+1
1 1 1
(ex+1+1)+1− 1 1−
=e e= + e ,
e
ex+1+1 ex+1+1
显然f(x)是R上的减函数,
∴f(2 025)>f(2 026),即M>N.
【名师点拨】比较大小的常用方法
(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.
(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.
【变式训练】1 (1)(多选)下列不等式中正确的是( )
A.x2-2x>-3(x∈R)
B.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R)
C.a2+b2>2(a-b-1)a a+2 026
D. < (b>a>0)
b b+2 026
(2)已知c>1,且x=❑√c+1-❑√c,y=❑√c-❑√c−1,则x,y之间的大小关系是( )
A.x>y
B.x=y
C.x<y
D.x,y的关系随c而定
【答案】(1)AD (2)C
【解析】(1)∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,
∴x2-2x>-3,故A正确;
a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).
∵(a-b)2≥0,a+b的符号不确定,
∴a3+b3与a2b+ab2的大小不确定,故B错误;
∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(a-b-1),故C错误;
a+2 026 a 2 026(b−a)
用作差法比较得 - = ,
b+2 026 b b(b+2 026)
2 026(b−a)
∵b>a>0,∴ >0,
b(b+2 026)
a a+2 026
∴ < ,故D正确.
b b+2 026
x ❑√c+1−❑√c ❑√c+❑√c−1
(2)法一 由题设,易知x>0,y>0,又 = = <1,∴x<y.
y ❑√c−❑√c−1 ❑√c+1+❑√c
法二 设f(x)=❑√x-❑√x−1,定义域为[1,+∞),
1
则f(x)= ,故f(x)为减函数,
❑√x+❑√x−1
又c+1>c>1,则f(c+1)<f(c),即x<y.
考点二 不等式的基本性质
例2 (1)(多选)(2026·株洲模拟)已知a>b>0>c,则下列各选项正确的是( )
b b−c 1 1
A. < B. >
a a−c a+c b+ca b c c
C. > D.a+ >b+
b−c a−c b a
(2)(多选)(2026·聊城联考)下列命题中的真命题是( )
A.若a>b>0,c∈R,则ac2>bc2
B.若a<b,则a3<b3
√ a √ b
C.若c>a>b>0,则❑ >❑
c−a c−b
1 1
D.若ln(a+2)<ln(b+2),则 <
a b
【答案】(1)AC (2)BC
b b−c b(a−c)−a(b−c) (a−b)c
【解析】(1)由a>b>0>c,得 - = = <0,
a a−c a(a−c) a(a−c)
b b−c
则 < ,A正确;
a a−c
取a=2,b=1,c=-3,满足a>b>0>c,
1 1 1
而 =-1<- = ,B错误;
a+c 2 b+c
由a>b>0>c,得a-c>b-c>0,
1 1 a b
则 > >0,故 > ,C正确;
b−c a−c b−c a−c
取a=2,b=1,c=-3,满足a>b>0>c,
c 1 c
而a+ =-1<- =b+ ,D错误.
b 2 a
(2)当c=0时,ac2=bc2,故A错误;
由a<b,函数f(x)=x3为增函数,
所以a3<b3,故B正确;
由c>a>b>0,得0<c-a<c-b,
1 1
所以 > >0,
c−a c−b
a b
又a>b>0,所以 > >0,
c−a c−b
√ a √ b
因此❑ >❑ ,故C正确;
c−a c−b由ln(a+2)<ln(b+2),得0<a+2<b+2,
即-2<a<b,
1 1
当a=1,b=2时, < 不成立,故D错误.
a b
【名师点拨】解决此类题目常用的三种方法:
(1)直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件;
(2)利用特殊值排除法;
(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、
对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
1 1
【变式训练】2 (1)(多选)若 < <0,则下列不等式正确的是( )
a b
1 1
A. < B.|a|+b>0
a+b ab
1 1
C.a- >b- D.ln a2>ln b2
a b
(2)(2026·绵阳诊断)下列四个条件中,使a>b成立的充要条件是( )
A.❑√a>❑√b B.|a|>b
C.a2>b2 D.2a>2b
【答案】(1)AC (2)D
1 1
【解析】(1)由 < <0,可知b<a<0.
a b
A中,因为a+b<0,ab>0,
1 1 1 1
所以 <0, >0,则 < ,故A正确;
a+b ab a+b ab
B中,因为b<a<0,所以-b>-a>0,
故-b>|a|,即|a|+b<0,故B错误;
1 1
C中,因为b<a<0,又 < <0,
a b
1 1 1 1
则- >- >0,所以a- >b- ,故C正确;
a b a b
D中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上单调递减,可得b2>a2>0,而y=ln x在定义域
(0,+∞)上单调递增,所以ln b2>ln a2,故D错误.
(2)当a=1,b=-1时,a>b成立,但❑√b无意义,故❑√a>❑√b不是a>b成立的必要条件,故A
错误;
当a=-2,b=1时,满足|a|>b,但a>b不成立,所以|a|>b不是a>b成立的充分条件,故B
错误;
当a=-3,b=1时,a2>b2成立,但a>b不成立,
所以a2>b2不是a>b成立的充分条件,故C错误;
由y=2x在R上单调递增,可得2a>2b是a>b成立的充要条件,故D正确.
考点三 不等式性质的应用
例3 (1)(多选)(2026·大庆调研)已知1<x<6,2<y<3,则下列结论正确的是( )
A.3<x+2y<9 B.-1<x-y<3
1 x
C.2<xy<18 D. < <6
2 y−1
(2)(2026·淮南段考)已知0<x+y<5,2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是( )
( 9 25) ( 5 15)
A. − , B. − ,
2 2 2 2
(5 15) ( 9 5)
C. , D. − ,
2 2 2 2
【答案】(1)CD (2)C
【解析】(1)因为2<y<3,所以4<2y<6,
因为1<x<6,所以5<x+2y<12,故A错误;
因为2<y<3,所以-3<-y<-2,
因为1<x<6,所以-2<x-y<4,故B错误;
因为1<x<6,2<y<3,所以2<xy<18,故C正确;
因为2<y<3,所以1<y-1<2,
1 1
所以 < <1,
2 y−1
又1<x<6,
1 x
所以 < <6,故D正确.故选CD.
2 y−1(2)设2x-3y=m(x+y)+n(x-y),则2x-3y=(m+n)x+(m-n)y,
1
{m=− ,
{ m+n=2, 2
即 解得
m−n=−3, 5
n= ,
2
所以由0<x+y<5,2<x-y<3,
5 1 5 15
可得- <- (x+y)<0,5< (x-y)< ,
2 2 2 2
5 1 5 15
则- +5<- (x+y)+ (x-y)<0+ ,
2 2 2 2
5 15
即 <2x-3y< ,故选C.
2 2
【名师点拨】利用不等式性质求代数式的取值范围的注意点:一是必须严格运用
不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围,解
决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一
次性”不等关系的运算求解范围.
【变式训练】3 (多选)(2026·西安调研)已知-2≤a+b≤4,2≤a-b≤6,则下列结论正
确的是( )
A.0≤a≤5 B.-4≤b≤1
C.-8≤3a+2b≤17 D.ab的最大值为5
【答案】AB
【解析】根据题意,-2≤a+b≤4,①
2≤a-b≤6,②
则①+②得0≤a≤5,A正确;
由②得-6≤b-a≤-2,与①相加得-4≤b≤1,故B正确;
设3a+2b=x(a+b)+y(a-b),
则3a+2b=(x+y)a+(x-y)b,
5
{x= ,
{x+ y=3, 2
即 解得
x−y=2, 1
y= ,
25 1
则3a+2b= (a+b)+ (a-b),
2 2
结合①②可得-4≤3a+2b≤13,故C错误;
由①可得0≤(a+b)2≤16,
即0≤a2+2ab+b2≤16,
由②可得4≤(a-b)2≤36,
即4≤a2-2ab+b2≤36,
则-36≤-a2+2ab-b2≤-4,
所以-9≤ab≤3,故D错误.故选AB.
【限时训练】
（30分钟）
一、单选题
1.若a=(x+1)(x+3),b=2(x+2)2,则下列结论正确的是( )
A.a>b
B.a<b
C.a≥b
D.a,b的大小关系不确定
【答案】B
【解析】因为b-a=2(x+2)2-(x+1)(x+3)=2x2+8x+8-(x2+4x+3)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0,
所以a<b.
1 1
2.已知a,b∈R,若a>b, < 同时成立,则( )
a b
A.ab>0 B.ab<0
C.a+b>0 D.a+b<0
【答案】A
1 1
【解析】因为 < ,
a b
1 1 b−a
所以 - = <0,
a b ab
又a>b,所以b-a<0,所以ab>0.
3.(2026·宁波九校联考)下列命题为真命题的是( )A.若a<b<0,则a2<ab<b2
B.若a>b>0,则ac2>bc2
1 1
C.若 < ,则a>b
a b
a a+c
D.若a>b>c>0,则 >
b b+c
【答案】D
【解析】对于A,a<b<0,取a=-2,b=-1,
则a2=4,ab=2,b2=1,
则a2>ab>b2,故A是假命题;
对于B,当c=0时,ac2=bc2,故B是假命题;
1 1
对于C,取b=1,a=-1,满足 < ,但a<b,故C是假命题;
a b
a+c a c(b−a) a a+c
对于D,由a>b>c>0,得 - = <0,所以 > ,故D是真命题.故选D.
b+c b b(b+c) b b+c
1 1 a b
4.已知ab=1,M= + ,N= + ,则M与N的大小关系是( )
1+a 1+b 1+a 1+b
A.M>N B.M<N
C.M=N D.无法确定
【答案】C
1−a 1−b (1−a)(1+b)+(1+a)(1−b) 2−2ab
【解析】法一 ∵M-N= + = = ,
1+a 1+b (1+a)(1+b) (1+a)(1+b)
且ab=1,∴M-N=0,∴M=N.
1
法二 ∵ab=1,∴b= ,
a
1
1 1 a
∵M= + 1= + =1,
1+a 1+ 1+a a+1
a
1
a a a 1
N= + = + =1,∴M=N.
1+a 1 1+a a+1
1+
a
1 1 ab ab b a
法三 由题意知,M= + = + = + =N.
1+a 1+b ab+a ab+b 1+b 1+a5.(2026·北京海淀区模拟)实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则下列不等式正确
的是( )
1
A.ab>c B.abc>
2
C.c+2b<a D.a+c>2b
【答案】D
1 1 1 1 1
【解析】由题图可得-1<a<- ,- <b<0, <c<1,所以 <-a<1,0<-b< ,
2 2 2 2 2
1
则0<ab< <c,故A错误;
2
1
0<abc< ,故B错误;
2
1
因为- <b<0,所以-1<2b<0,
2
1 1
又 <c<1,所以- <c+2b<1,
2 2
1
又-1<a<- ,所以c+2b>a,故C错误;
2
1 1
因为-1<a<- , <c<1,
2 2
且由题图可知|a|<|c|,
1
即-a<c,所以0<a+c< ,又-1<2b<0,
2
所以a+c>2b,故D正确.
6.(2026·北京大兴统考)在一次调查中,某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务
的月总时长之间有如下关系:甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和,甲、
乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和,丁的服务时长大于乙、丙服务时长之
和,则这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为( )
A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙
C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁
【答案】A【解析】设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为
a,b,c,d,a≥0,b≥0,c≥0,d≥0,
{a+c=b+d, ①
根据题意得 a+b>c+d,②
d>b+c,③
显然d>b,d>c,由②+①可得a>d,
由②-①可得b>c,故a>d>b>c,
即这四名同学按服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙.
7.(2026·河南名校联考)若c>a>b>0,则下列不等式成立的是( )
A.abbc>acbb B.2ln b>ln a+ln c
c c
C.a- >b- D.log c>log c
a b a b
【答案】C
a
【解析】对于A,因为c>a>b>0,所以 >1,
b
abbc (a) b (a) −c (a) b−c
b-c<0,则 = = <1,
acbb b b b
所以abbc<acbb,故A错误;
对于B,由c>a>b>0得ln b<ln a<ln c,
则ln a-ln b+ln c-ln b>0,
可得2ln b<ln a+ln c,故B错误;
对于C,因为c>a>b>0,
c c c c
所以 > >0,- <- <0,
b a b a
c c
又b<a,所以a- >b- ,故C正确;
a b
对于D,若c=1,则log c=log c=0,故D错误.
a b
二、多选题
8.已知实数x,y满足-3<x+2y<2,-1<2x-y<4,则( )
A.-1<x<2 B.-2<y<1
C.-3<x+y<3 D.-1<x-y<3【答案】ABD
1
【解析】x= [(x+2y)+2(2x-y)]∈(-1,2),故A正确;
5
2 1
y= (x+2y)- (2x-y)∈(-2,1),故B正确;
5 5
3(x+2y)+(2x−y)
x+y= ∈(-2,2),故C错误;
5
−(x+2y)+3(2x−y)
x-y= ∈(-1,3),故D正确.
5
9.(2026·南通部分学校联考)已知实数a,b满足a>b2+1,则下列不等关系一定正确
的是( )
A.a>2b B.a>2b+1
C.a>b-1 D.2a>b2-b+1
【答案】ACD
【解析】对于A,b2+1-2b=(b-1)2≥0,
所以b2+1≥2b,又a>b2+1,
所以a>2b,故A正确;
对于B,取a=2.5,b=1,满足a>b2+1,但a<2b+1,故B错误;
( 1) 2 7
对于C,(b2+1)-(b-1)= b− + >0,则a>b2+1>b-1,故C正确;
2 4
对于D,由a>b2+1,得2a>2b2+2,
( 1) 2 3
因为(2b2+2)-(b2-b+1)=b2+b+1= b+ + >0,
2 4
所以2a>2b2+2>b2-b+1,故D正确.
故选ACD.
三、填空题
π
10.已知0<β<α< ,则α-β的取值范围是 .
2
( π)
【答案】 0,
2
π π
【解析】∵0<β< ,∴- <-β<0,
2 2π π π
又0<α< ,∴- <α-β< ,
2 2 2
π
又β<α,∴α-β>0,即0<α-β< .
2
y2 y 1
11.(2026·郑州调研)如果x<0,0<y<1,那么 , , 的大小关系是 .
x x x
y2 y 1
【答案】 > >
x x x
【解析】法一 因为三个式子的值很明显都是负数,
y2
x y2 y
且 =y∈(0,1),所以 > ;
y x x
x
y
x y 1
同理 =y∈(0,1),所以 > .
1 x x
x
1 y y2
综上, < < .
x x x
y2 y y(y−1)
法二 因为 - = >0,
x x x
y2 y
所以 > ;
x x
y 1 y−1
因为 - = >0,
x x x
y 1 y2 y 1
所以 > ,所以 > > .
x x x x x
c
12.已知a>b>c,2a+b+c=0,则 的取值范围是 .
a
【答案】(-3,-1)
【解析】因为a>b>c,2a+b+c=0,
故a>0,c<0,
c b c b c
所以 <0,1> > ,2+ + =0,
a a a a ab c
所以 =- -2,
a a
c c
所以有1>-2- > ,
a a
c
解不等式得-3< <-1,
a
c
故 的取值范围是(-3,-1).
a
四、解答题
a2−b2 a−b
13.(1)设a>b>0,比较 与 的大小;
a2+b2 a+b
e e
(2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证: > .
a−c b−d
(1)解 ∵a>b>0,
a2−b2 a−b
∴ >0, >0,
a2+b2 a+b
a2−b2
a2+b2 (a+b) 2 2ab
∴ = =1+ >1,
a−b a2+b2 a2+b2
a+b
a2−b2 a−b
∴ > .
a2+b2 a+b
(2)证明 ∵c<d<0,∴-c>-d>0,
又a>b>0,
∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,
又e<0,
e e e(b−d)−e(a−c)
∴ - =
a−c b−d (a−c)(b−d)
e(b−d−a+c) e(b−a+c−d)
= = >0,
(a−c)(b−d) (a−c)(b−d)
e e
∴ > .
a−c b−d
14.已知实数a,b满足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4.
(1)求实数a的取值范围;(2)求3a-2b的取值范围.
1
解 (1)a= [(a+b)+(a-b)],
2
由-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,
得-4≤(a+b)+(a-b)≤6,
1
∴-2≤ [(a+b)+(a-b)]≤3,
2
即-2≤a≤3,
故实数a的取值范围为[-2,3].
(2)设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)
=(m+n)a+(m-n)b,
1
{m= ,
{ m+n=3, 2
则 解得
m−n=−2, 5
n= ,
2
1 5
∴3a-2b= (a+b)+ (a-b),
2 2
∵-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4.
3 1 5 5
∴- ≤ (a+b)≤1,- ≤ (a-b)≤10,
2 2 2 2
∴-4≤3a-2b≤11,
即3a-2b的取值范围为[-4,11].
