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重难点培优03 数列与不等式及数学归纳法的应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................2
题型一 数列与不等式的恒成立问题（★★★★★）................................................................................2
题型二 数列与不等式的证明问题（★★★★★）..................................................................................11
题型三 数学归纳法（★★★★）..............................................................................................................20
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................28
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................28
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................37
一、数列与不等式
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相
联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放
缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
1、常见放缩公式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
（9）
．
2、数学归纳法
（1）数学归纳法定义：对于某些与自然数
有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当
取第一个值
时命题成立；然后假设当
（
，
）时命题成立，证明当
时命题也
成立
奎屯
王新敞
新疆这种证明方法就叫做数学归纳法
奎屯
王新敞
新疆
注：即先验证使结论有意义的最小的正整数
，如果当
时，命题成立，再假设当
（
，
）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当
时，命题
也成立，那么就可以递推出对所有不小于
的正整数
，
，…，命题都成立．
（2）运用数学归纳法的步骤与技巧
①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当
取第一个值
结论正确；
（2）假设当
（
，
）时结论正确，证明当
时结论也正确
新疆
源头学子小屋
特级教师
王新敞
http://www.xjktyg.com/wxc/
wxckt@126.com
wxckt@126.com
http://www.xjktyg.com/wxc/
王新敞
特级教师
源头学子小屋
新疆
由（1），（2）可知，命题对于从
开始的所有正整数
都正确
奎屯
王新敞
新疆
题型一 数列与不等式的恒成立问题
【技巧通法·提分快招】
1、以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值问题.
恒成立
；
恒成立
.
1．（2025·江西·模拟预测）已知数列
的首项
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用构造法可求
的通项公式；
（2）利用参变分离和数列的单调性可求
的最大项，从而可求参数的取值范围.
【详解】（1）数列
的首项
，可得
，
而
，故
，故
，
即数列
是首项和公比均为3 的等比数列，可得
，即
.
（2）若
恒成立，即为
，即
恒成立，
设
，可得
，.
即数列
是单调递减数列，可得
，
所以
，即实数的取值范围是
2．（23-24 高三上·辽宁·期中）已知正项等比数列
的前
项和为
，满足
，
.
(1)求数列
的前
项和
.
(2)在（1）的条件下，若
，
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的性质可求解公比，即可求解通项，进而利用错位相减法即可求和，
（2）将问题转化为求解
，利用作差法求解数列
的单调性即可求解.
【详解】（1）由于
为正项等比数列，
，故
，
故公比
，
故
，则
，
两式相减得，
所以
（2）由已知得
由
可得
，即
设
，
当
时，
；当
时，
所以当
时，
取最大值
，即
.故
的最小值是
.
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列
的前n 项和为
，已知
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前n 项和
；
(3)若
时，
恒成立，求正整数
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)11
【分析】（1）设等差数列的公差为
，利用等差数列通项公式及前
项和公式列方程组求出首项和公差，
即可得到结果.
（2）分两种情况讨论，再利用等差数列的前
项和公式计算可得结果.
（3）根据（1）、（2）可得
，解不等式可得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为
，
因为
，
，
所以
，解得
，
所以
.
（2）由（1）可得
，
，
当
时，
，
当
时，
，
故
．
（3）因为
，
,
所以
，
整理得
，解得
或
，
因为
，
，所以正整数
的最小值为
．
4．（2025·江西·模拟预测）已知数列
分别是等比数列和等差数列，
是数列
的前
项和.若
.
(1)求
和
及
；
(2)设
是等比数列，对任意的
，当
时，有
恒成立.
（i）当
时，求证：
；
（ii）设数列
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）由等差数列与等比数列的基本公式求解即可；
（2）（i）由题意
对任意
时恒成立，进行赋值即可证明；
（ii）由（i）可猜想
，然后论证猜想，最后分组求和即可解出．
【详解】（1）因为
，则
，所以公比为
，从而
，
故
；
又
，则
，公差为
，
从而
.
（2）（i）由题意
对任意
时恒成立，
则
；
又
对任意
时恒成立，
则
，
综上，
.
（ii）由（i）知，
，
猜想
，否则，若数列
的公比
，当
足够大时，无法保证
恒成立；
若数列
的公比
，当
足够大时，无法保证
恒成立，所以
，
.
5．（24-25 高三上·江西抚州·月考）已知数列
的前
项积
，数列
的前
项和为
，
，满足
.
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
，若
使
成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）由
可求得数列
的通项公式，当
时，由
可得出
，两式作差可得出
，利用累乘法可求出数列
的通项公式；
（2）求得
，利用裂项求和法可求得
，根据题意可得出关于的不等式，解之
即可.
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
满足上式，所以，
，
.
因为
，当
时，
，
两式作差得
，
即
，所以，
，
所以，当
时，
，
，
，
，
，
上述等式全部相乘得
，所以，
，
也满足
，所以，对任意的
，
.
（2）因为
.
所以，
.
由已知
，即
，解得
，
因此，实数的取值范围是
.
6．（2025·河北秦皇岛·一模）设
为数列
的前n 项和，已知
是公比为2 的等比数列．
(1)证明：
是等比数列；
(2)求
的通项公式以及
；
(3)设
，若
，
，求m 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
，
(3)
【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义求得
，再利用前n 项和与第n 项的关系推
理得证；
（2）利用（1）的信息即可求出
，
；
（3）求出
并求出其最大项，建立不等式求解．
【详解】（1）证明：由已知可得，数列
是首项为1，公比为2 的等比数列，
则
，即
，①
则
，②
②
①得：
，即
，
可得
，又
，
是等比数列．
（2）由（1）知
，
则
．
（3）由
，且
，得
，
当
时，
，当
时，
，
，
若
，则
，
若
，则
，可得
，
因此数列
的最大项为
，
由
，
，得
，
即
，整理得
，则
，即
，
的取值范围是
．
7．（2025·河南·模拟预测）已知数列
的首项为1，其前
项和为
，等比数列
是首项为1 的递增
数列，若
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的前
项和；
(3)求使得
成立的最大整数
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
；
(3)6
【分析】（1）利用
得到
，得到数列
是首项为1，公差为1 的
等差数列；
（2）在（1）基础上，得到
，先当
为偶数时，分组求和得到
，再求出当
为奇数时，
为偶数，
，从而得到答案；
（3）求出公比
，由（2）知，
，即
，令
，则
，
，得到
，又
，
，当
时，
，故使得
成立的最大整数为6.
【详解】（1）
①，
当
时，
②，
式子①-②，化简得
，
两边同时除以
得
，
中，令
得
，
即
，又
，故
，
，故对
，
数列
是首项为1，公差为1 的等差数列；
（2）
，则
，设数列
的前
项和为
，
当
为偶数时，
，
，
，
当
为奇数时，
为偶数.
，
；
（3）设等比数列
的公比为
，
由
，或
，
又
数列
是递增数列，
.
由（2）知，
即
，
令
，则
，
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
即有
，
又
，
故当
时，
，
又
，
，当
时，
，故使得
成立的最大整数为6.
8．在平面直角坐标系
中，
轴正半轴上的点列
与曲线
上的点列
满足
，直线
在
轴上的截距为
，点
的横坐标为
，
．
(1)求证：
，
；
(2)求证：存在
，使得对任意
都有
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出
，再根据直线
在
轴上的截距为
求出
，即可证明；
（2）设
，代入
化简，利用放缩方法得到
，再设
，证明当
时
即可.
【详解】（1）依题设有
，
，
由
，得
，
，
解得
，
，
又直线
在
轴上的截距为
，
即满足
，得
，
因为
，
，
所以
，
所以
．
因此，对于
，有
，
．
（2）设
，
，
则
，
因为
，所以
，
，
设
，
，则当
时，
．
所以取
，则对任意
都有：
，
故有
成立．
题型二 数列与不等式的证明问题
【技巧通法·提分快招】
1、对于与数列有关的不等式的证明问题，则要灵活选择不等式的证明方法，有时采用比较法；有时采用
构造函数法；但更多采用放缩法进行证明.在运用放缩法证明时，若能够直接求和，则考虑先求和再放缩；
若不能或很难求和，则考虑先放缩再求和.
2、放缩法技巧
在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为
放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分
子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是：
；
.
1．求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】由裂项相消法求和即可得证.
【详解】
，
.
2．求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】放缩法证明即可.
【详解】由
,则
则
,证毕.
3．（2025·海南·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）令
，求出
的值，对任意的
，由
可得
，两式作差可
得
，推导出数列
为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列
的通项公
式；
（2）利用裂项相消法求出
，结合数列的单调性可证得结论成立.
【详解】（1）因为
①，所以
，解得
，
对任意的
，
②，
-
②①得
，即
，
所以
，即
，
因为
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，即
．
（2）因为
，
所以
，
因为
，数列
为单调递增数列，所以
，
即
．
4．已知
求证：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据放缩法化简再应用裂项相消法计算证明；
（2）根据放缩法化简再应用裂项相消法计算证明.
【详解】（1）因为
，
所以
．
（2）因为
，
所以
．
5．已知正项数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用数列前
项和
与
的关系，再结合首项的值确定通项即可；
（2）采用放缩法和裂项相消法来证明不等式.
【详解】（1）因为
为正项数列，
①，
当
时，得
；
当
时，
②，
①－②得
，得
．
又
，
，所以
是首项为2，公差为2 的等差数列，所以
．
（2）解法1：因为
，
所以当
时，
，
当
时也符合，所以原不等式成立．
解法2：因为
，所以
，
所以
，
所以当
时，
，
当
时，不等式的左边
也符合，所以原不等式成立．
6．已知数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，记
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）
，
，利用累加法可求出
的通项公式
（2）由（1）可知
，结合
，得
，进而求
．设函数
，利用
函数导数判断函数单调性得
，令
，得
，结合放缩证
明
．
【详解】（1）因为
，所以
将各式相加可得
．
（2）由（1）可知
，因为
，所以
，
所以
．
设函数
，则
，
即
在
上单调递减，故
，则
．
令
，则
，
所以
，
故
．
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数
在
上的最小值为0
(1)求实数
的值：
(2)对任意的
，数列
满足
，且
，证明：当
大于1 时，
也大于1：
(3)在（2）的条件下，若
为数列
的前
项和，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）
，分类讨论，判断单调性，求出
的值；（2）由（1）可以判断单调
性，证明结论；（3）要证
，只需证
，设
判断单调性，进行放缩，进行累加证明.
【详解】（1）当
时，
，当
时，
，不成立
当
时，
，
当
时
，
当
时
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
函数
在
处取最小值，此时
，解得
.
（2）
，
设
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
.
（3）要证
，只需证
又
所以只需证
，即证
，
由于
，只需证
,
，
即证
，由（2）可知，
，
即需证
，
设
，
所以
单调递减，因为
,所以
，
即
，所以
，
即
，累加后得证.
8．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
满足
，
.记
的前
项和为
，且
是以
为首项，
为公比的等比数列.
(1)求
，
的值；
(2)求
的通项公式；
(3)求
的通项公式，并证明：
.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
，证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件可得
，取
依次计算得解.
（2）由（1）的信息，按
的奇偶分类，结合累加法及等比数列前
项和公式求解.
（3）利用
与
的关系求出通项公式，再作差比较得证.
【详解】（1）由
是以
为首项，
为公比的等比数列，得
，
则
，而
，
所以
.
（2）数列
中，
，
，
当
时，
，
，则
，
当
为奇数，
时，
，
满足上式，因此当
为奇数时，
；
当
时，
，
，则
，
当
为偶数，
时，
，
满足上式，因此当
为偶数时，
，
所以
的通项公式是
.
（3）由（2）知，
，
当
时，
，
而
满足上式，因此
，
，
所以
.
9．（2025·贵州·模拟预测）已知数列
中，
，
．
(1)求
，
的值；
(2)设
，证明
是等比数列，并求其通项公式；
(3)证明：
．
【答案】(1)
，
．
(2)证明见解析，
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合数列的递推关系式，进行计算，即可求得
，
的值；
（2）由
，分别化简求得
，
，得到
，得出
，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解；
（3）由（1）知
且
，求得
，结合
，利用等比数列的求和公式，
即可得证.
【详解】（1）解：由数列
中，
，
，
可得
，
.
（2）解：由
，
可得
，
，
所以
，
因为
，所以
，即
，
又因为
，可得
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以数列
的通项公式为
．
（3）解：由（1）知
且
，可得
，
所以
，
又由
，
因为
显然成立（当且仅当
时等号成立），所以
，
因此
.
题型三 数学归纳法
【技巧通法·提分快招】
1、用数学归纳法证题的注意事项
（1）弄错起始
．
不一定恒为1，也可能
或3（即起点问题）．
（2）对项数估算错误．特别是当寻找
与
的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问
题）．
（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证
明过程也就不正确了（即伪证问题）．
（4）关键步骤含糊不清．“假设
时结论成立，利用此假设证明
时结论也成立”是数学归纳
法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨
性、规范性（即规范问题）．
1．在数列
中，
，
（n 为正整数）．
(1)求
，
的值；
(2)证明：
．
【答案】(1)0，
(2)证明见解析
【分析】（1）代值计算即可；
（2）由数学归纳法和数列与函数的性质即可证明；
【详解】（1）
在数列
中，
，
，
，
．
（2）证明：设
，则
，
①当
时，命题成立．
②假设
时，命题成立，即
．
当
时，易知
在
上为减函数，
从而
，即
，
所以当
时结论成立，
由①②可知命题成立，即
．
2．已知数列
满足
，且
，
．
(1)求
，
，
；
(2)猜想通项公式
，并用数学归纳法证明．
【答案】(1)
，
，
．
(2)猜想
，证明见解析
【分析】(1)利用题干的迭代条件即可得到
，
，
;
(2)利用第一问的结果即可猜想，再用数学归纳法证明
【详解】（1）将已知等式展开整理得
，
解得
．
由
，知
．
故
，
，
.
（2）由
，
，
，
，猜想
．
（i）当
时，
，命题成立；
（ii）假设当
，命题成立，即
，
那么
，
即
时命题成立．
由（i）（ii）可知对一切自然数命题都成立．
3．已知函数
．
(1)求证：函数
的图象关于点
对称；
(2)求
的值；
(3)若
，求证：对任意自然数
，总有
成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设
是
图象上任意一点，验证
满足
解析式可完成证明；
（2）由（1）结合题意可得答案；
（3）等价于证明
，然后由数学归纳法可完成证明.
【详解】（1）设
是
图象上任意一点，
则点
关于点
对称的点的坐标为
．
已知
，则
，
．
故
，即函数
的图象关于点
对称．
（2）由（1）有
，即
，
所以
，
，
，
则
．
（3）
，即
，不等式
等价于
．
下面用数学归纳法证明．
当
时，左边
，右边
，
，不等式成立；
当
时，左边
，右边
，
，不等式成立；
假设当
时不等式成立，即
，
则当
时，左边
，右边
，
，
因
在
上单调递增，则
.
则
，所以对任意自然数
，总有
成立，
即对任意自然数
，总有
成立．
4．已知数列
满足
，且
.
(1)证明：
；
(2)证明：
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）通过构造函数，并求导分析单调性，证得任意
时，
，再结合不等式的性质运
算即可得证；
（2）先用数学归纳法证明
，再利用不等式性质证明数列
为递增数列，利用变形后的不等
式结合累乘法可证明
.
【详解】（1）由题意可得
.构造函数
，x
，
则
，
在
上单调递增.
所以
，即任意
时，
.
，
，且
，
且
，故
.
所以，
.
（2）下面用数学归纳法证明
.
①当
时，
成立；当
时，
成立；
②假设当
时，
，
，
则当
时，
，
且
，所以
，
综合①②可知，对任意
，
成立.
，
，
由
，则
，即
，
，
数列
为递增数列，
，即
.
当
时，
，即
，
当
时，
，
所以，对
，
得证.
5．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
极值点的个数；
(3)设
，
，求证：
.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，求得曲线在
处的切线斜率，由点斜式方程即可；
（2）对函数求导，按照
和
分类讨论函数的单调性，即可判断函数的极值点个数；
（3）由
推得
，根据（2）的分析得出
且
时，
；当
且
时，
.接着根据数学归纳法证明结论成立.
【详解】（1）当
时，
，则
，
又
，
则曲线
在
处的切线方程
；
（2）
的定义域为
，
则
，因
，故
，
由
可得
或
，
当
时，
，则
在
上单调递增，故函数
无极值点；
当
时，
，
由
可得
或
；由
可得
，
即函数
在
上单调递增；在
上单调递减.
故当
时，函数
取得极大值
，
当
时，函数
取得极小值
.
综上，当
时，函数
无极值点；当
时，函数
有2 个极值点.
（3）由
可得
，两边取对数，
即
，
.
由（2）知，当
时，函数
在
上单调递增，且
，
故当
时，
，即
，也即
；
当
时，函数
在
上单调递减，
故当
时，
，即
，也即
.
下面用数学归纳法证明：
.
①当
时，
，结论成立；
②假设当
时，结论成立，即
.
则当
时，
；
又
，
即当
时，有
，结论成立.
由①②可得，对
，
都成立.
6．如图，已知实数
，曲线
与直线
的交点为
（异于原点
），在曲线
上取一点
，过点
作
平行于
轴，交直线于点
，过点
作
平行于
轴，交曲线
于点
，接着过点
作
平行于
轴，交直线于点
，过点
作
平行于
轴，交曲线
于点
，如此下去，可以得到点
，
，
，
．设点
的坐标为
，
．
(1)试用表示
，并证明
；
(2)求证：
，且
；
(3)当
，
时，求证：
．
【答案】(1)
，证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据点
是直线和曲线的交点，联立方程组，把点
的坐标代入，解出参数
和的关系；
（2）由题意先证明
，再根据数学归纳法证明
，根据题意得
，设出
，依据此条件
证明
，即可证明原命题；
（3）由
，得出
和
之间的关系，根据曲线方程，求出
，再根据放缩法证明
不等式恒成立.
【详解】（1）点
的坐标
满足方程组
，所以
，
解得
，故
，
因为
，所以
，故
.
（2）由已知
，
，
，
即
，
，
所以
，
因为
，
，所以
.
下面用数学归纳法证明
.
（i）当
时，
成立；
（ii）假设当
时，有
成立
，
则当
时，
，
所以
，
所以当
时命题也成立，
由（i）（ii）知
成立.
（3）当
时，
，
，
，
，
所以
，
因为
，所以当
时，由（2）知
，
所以有
，
又因为
，
，
所以
，
，
故有
.
7．已知常数
满足
，数列
满足
，
．
(1)求
，
，
；
(2)猜想
的通项公式（不用给出证明）；
(3)求证：
对
成立．
【答案】(1)
，
，
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据已知递推式依次写出对应项即可；
（2）根据（1）写出
的通项公式，应用数学归纳法证明；
（3）由已知得
，结合（2）所得通项公式得
，易得
与
的
符号相同，问题化为证明
，即可证.
【详解】（1）
，
，
；
（2）猜想：
，
显然
时，
满足，
若
，
成立，
则对于
，
有
，
综上，
；
（3）因为
，
，
所以
，
由（2）知，
，
所以
的符号与
的符号相同，
依次类推，我们只需要证明
，
因为
，
而
，所以
，所以
，
，
所以
，所以
，即
.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知数列
的首项为3，且满足
，令
．
(1)证明：
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)若
对任意的
都成立，求
的范围．
【答案】(1)证明见详解，
(2)
【分析】（1）将递推关系变形，利用等比数列的定义证明，并求出通项公式；
（2）由（1）可得
，对任意
均成立，令
，判断数列
的单调性，求出最大项
得解.
【详解】（1）由
，则
，又
，
所以
，又
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
.
（2）由
，则
，即
对
均成立，
所以
，对任意
均成立，
令
，由
，
，
当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
所以
，
，即
的取值范围为
.
2．已知正项等比数列
的前
项和为
，
，
.若
，且数列
满
足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
；
(3)若
对一切
恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式和求和公式列式求值即可.
（2）利用错位相减法求和.
（3）分析数列
的单调性，求
的最大值，再解二次不等式即可.
【详解】（1）对数列
，设公比为
，由题意
，因为
，所以
.
又
.
所以
.
（2）由
.
所以
.
所以
，
所以
，
两式相减得：
，
所以
.
（3）由
.
所以数列
从第2 项开始，单调递减.
所以
.
由
或
.
所以实数的取值范围是：
.
3．记
分别为数列
的前
项和，已知
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用
和
的关系式，消去
得到
的递推关系，利用等差数列的定义求出通项即可；
（2）根据（1）的结论和
的关系式，利用裂项相消法求出
的表达式，结合数列增减性即可证明.
【详解】（1）因为
①，
当
时，
，解得
．
当
时，
②，
由 ①－②得
，
即
，所以
．
所以数列
是首项为
，公差为1 的等差数列，
则
，所以
．
（2）由（1）可知
，
从而
，
因为
，
单调递增，则
．
4．已知
，
，
是等差数列，且
．
(1)求
，
；
(2)求证：
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出
，进而求出
.
（2）利用导数证明不等式
，进而证得
，由（1）求出
并放缩裂项求出即可得
证.
【详解】（1）由
，得
，等差数列
的公差
，则
，
当
时，
，于是
，
满足上式，
所以
.
（2）令函数
，求导得
，
在
上单调递增，
，即
，取
，则
，
于是
，由（1）知，
，
所以
.
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）记
为数列
的前n 项和，已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)设递增的等差数列
满足
，且
成等比数列.设
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由
，
，两式相减可得
，从而求出
的通项公式；
（2）设数列
的公差为
，结合已知条件可得：
，所以
，利用裂项相消及不等式的性质求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
两式相减可得
，
即
，则
，
由
，可得
，
所以当
时，
，即
，
因为
不满足上式，
所以数列
的通项公式为
.
（2）设数列
的公差为
，因为
成等比数列，且
，
所以
，即
，整理得
，
解得
或
，
因为
，所以
，又因为
，所以数列
的通项公式为
.
可得
综上可得，对于任意
，都有
.
6．已知在数列
中，
，
是它的前
项和，当
时，
．
(1)求
，
，
的值，并推测
的通项公式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
【答案】(1)
，
，
，
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知条件求出
的值，归纳猜想通项
；
（2）用数学归纳法证明.
【详解】（1）因为
，所以
，解得
．
这时
，
，所以
，解得
．
这时
，
，所以
，解得
．
由
，
，
，猜想
时，
，
所以推测数列
的通项公式是
.
（2）用数学归纳法证明：
（i）当
时结论成立；
（ii）假设当
时结论成立，即
，
这时
，
所以
.
当
时，由
得
，
得
，所以
，即
时结论成立.
由（i），（ii）可知对
时结论都成立.
7．已知在数列
中，
，求证：
(1)
是递增数列；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用作差法证明数列单调性即可；
（2）首先根据题意找出数列
的递推关系
，再利用累加法求出
，最后利用分析法将要证明的不等式转化为证明
，最后利用放缩法和裂项相消求和法，当
时，
给出证明
即可.
【详解】（1）设
，
则
，
单调递增，即
是递增数列．
（2）由
，得
，
整理得
，
，…，
，
，
累加得
，
又
,所以
，
所以
．
要证原不等式成立，只需证
．
，
时，显然成立；
时，
，得证，
故
．
8．（23-24 高三下·北京·强基计划）
，用
表示不超过
的最大整数，并用
表示小数部
分，已知：
，
，求
.
【答案】
【分析】求出
，
，用归纳法证明
，从而求出
.
【详解】因为
，
，
所以
，
同理
，
猜想：
，
①当
时，
成立；
②假设
时成立，即
，
则
时，
，
所以
，猜想成立，
综上可得：对
，都有
成立；
故数列
为公差为2，首项为
的等差数列，
则
.
9．已知在数列
中，
，
，求证：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由递推公式直接计算即可；（2）将式子进行化简成与（1）相关的式子，利用累乘法与裂
项相消法求证.
【详解】（1）因为
，
，
所以
．
（2）当
时，
;
当
时，
，
．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·安徽滁州·二模）在数列
中，
，
，其前
项和为
．数列
是公差为
的等
差数列．
(1)求
；
(2)若
，
（ⅰ）求数列
的通项公式
及前
项和
；
（ⅱ）若
，数列
满足
，
，求证：对任意正整数
，都有
．
【答案】(1)
或
(2)（ⅰ）
．
；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）方法1：由
及
，利用等差数列基本量的运算求解即可；
方法2：先求出
，然后利用
化简得
，将已知条件代入
求解即可.
（2）（ⅰ）
与
相减得
，
，利用累乘法得
，即可
；
（ⅱ）由（ⅰ）得
，进而求得
，累加法结合
即可证明.
【详解】（1）方法1：
，
，
，
由
或
，
于是
或
，所以
或
．
方法2：显然
，则
，
于是
，所以
，
相减得
，即
，
所以
，
，又
，
，解得
或
.
（2）（ⅰ）当
时，
，即
，
所以
，相减整理得
，
，
所以
，
，…，
，累乘得
，
，
也满足上式，所以
．
所以
．
（ⅱ）
，
，显然
．
，
所以
，
，…，
，
累加得
，得证．
2．已知正项数列
满足
，
，数列
满足
，
（
且
）．
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得
，构造等比数列可求得
；
（2）由已知可得
，进而可得
，可得结论.
【详解】（1）由
，得
，
所以
，所以
，
所以
是以
为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，所以
．
（2）由
，得
，
由
，得
，
得
，即
，
因为
，
，
，则
,
由（1）知
，
所以
．
3．（2025·江苏连云港·模拟预测）在数列
中，
，对于
，
，
，
成等差数列，其
公差为
．
(1)判断
是否成等比数列？并说明理由；
(2)证明：
，
，
成等比数列；
(3)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
成等比数列，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，令
，
和
，依次求出
，利用等比数列定义判断即可；
（2）由
，
，
成公差为
的等差数列，得
，即可利用累加法求出
，
从而可得
，
，
，再利用等比数列定义判断即可；
（3）当
为奇数时，
，
，当
为偶数时，
，
，利用放缩法求出数列
的前
项和为
，即可证明.
【详解】（1）当
时，
成公差为1 的等差数列，
则
，
；
当
时，
成公差为2 的等差数列，则
，
；
当
时，
成公差为3 的等差数列，则
．
所以
，
，从而
，故
成等比数列.
（2）由
，
，
成公差为
的等差数列，得
，
可得：
，
，
，
，
，
累加得
因为
，
，
成公差为
的等差数列，所以
，
，又因为
，
，
成公差为
的等差数列，
所以
，
所以
，得
，
，
成等比数列．
（3）由
，由（2）知：
当
为奇数时，
，
，
当
为偶数时，
，
，
故
，且对一切正整数
，有
，
时，
，
综上，
．
4．（2025·天津·三模）已知数列
和
的满足
，
(1)（i）求
的值；
（ii）求
的值.
(2)若数列
满足对于
，求证：
，使得
．
【答案】(1)（i）
;（ii）
(2)证明见解析
【分析】（1）（i）通过将两递推式相加找到
与
的关系，进而求出
；
（ii）通过两递推式相减找到
与
的关系，再结合平方差公式求出
；
（2）根据
得到
的范围，再利用放缩法证明不等式.
【详解】（1）（i）已知
，
，将两式相加可得：
，又
，
，
所以数列
是以
为首项，为公比的等比数列.
根据等比数列通项公式可得
.
所以
.
（ii）将
与
两式相减可得：
即
，又
，
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列.
所以
.
由平方差公式
，则
设
①
则
②
-
①
②得：
所以
则
.
（2）因为
，所以
.
由
，
，可得
，
.
则
.
设
③
则
④
-
③
④得：
所以
.
则
.
当
足够大时，
会大于2025，所以
，使得
5．（24-25 高三下·江苏泰州·开学考试）设数列
的前
项和为
，
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
；
(3)设
，求证：
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据
作差计算可得；
（2）由（1）可得
，利用分组求和法及裂项相消法计算可得；
（3）首先利用作差法证明
（
），从而得到
（
），利用放缩法证明即可.
【详解】（1）因为
，即
，
当
时，
，所以
；
当
时，
，
所以
，
而
也满足上式，
；
（2）因为
，
，
，
，
；
（3）由（1）可得
，
因为
（
），
所以
（
）
所以
（
），
【点睛】关键点点睛：本题第三问解答的关键是推导出
（
）.
6．已知在数列
中，
，
.
(1)求数列的通项
；
(2)求证：
；
(3)求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用构造数列法求数列的通项；
（2）对数列
的通项进行变形，利用分组求和的方法表示出
，将所证不等式转化为
，用
求证即可；
（3）将所证不等式转化为
，用
求证即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
可得
，
因此
，
即
是一个以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
，
故
，
.
（2）因为
，
要证明
，
即证明
，
因为
，令
，得
，即
，
所以
，原不等式得证.
（3）要证明
，
即证明
，
因为
，
即
，
证明
①成立即可.
由
，得
，
令
，则
，
，
所以
，
，
又
，所以
，即①式成立，
综上得原不等式成立.
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，讨论
的零点的个数；
(2)若
为正整数
，记此时
的唯一零点为
，证明：
（i）数列
是递增数列；
（ii）
．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用分离参变量，再构造函数求导研究单调性，然后结合取值规律，可得到零点个数的判
断；
（2）（i）利用递推及放缩思想，可得到
，然后再利用函数的单调性可得到数列的
单调性；
（ii）利用
，结合零点的条件进行放缩
，
，再利用裂项相消求和，
从而原不等式可得证.
【详解】（1）令
，可得
，设
，
因为
，
所以当
时，
，则
在
单调递减；
当
时，
，则
在
单调递增；
即
，
又因为
，
，
，
所以当
时，
无零点；
当
或
时，
仅有一个零点；
当
时，
有两个零点；
（2）（i）由（1）知，当
时，
仅有一个零点；
由
的唯一零点为
，则
，
两边取自然对数得：
，
即
，两式相减得：
，
可得
，
设
，则
，因为
，所以
，
即
是在
上单调递增，
所以有
，即数列
是递增数列；
（ii）先证明：
时，
，
构造
，求导得
，
当
时，
，则
在
单调递减；
当
时，
，则
在
单调递增；
即
，所以
，即
，
又因为
，结合上面不等式有
，
所以
，又因为
，
所以有
，
即
再由
可得：
，当且仅当
时取等号；
再由
，得
，
结合上式可得：
，整理得：
，
当且仅当
时取等号，
当
时，
，
再由
，得：
，
所以有
，
则
，
当且仅当
时等号成立.
【点睛】关键点点睛：（i）利用
，再结合赋值相减可得递推关系
，然后放缩，可得简化的递推关系
，再结合函
数的单调即可得证；
（ii）关键是两个放缩思想，
，
,这两个式子都需要借助常用函数不等式
来进行证明，最后利用求和思想即可得证.
8．（24-25 高三下·河南·月考）已知数列
满足
，且
．
(1)证明：
；
(2)证明：
；
(3)证明：
．（附：当
时，
）
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先构造函数
，利用导数证明任意
，
；由
再
结合所证不等式与不等式性质证明
；
（2）先用数学归纳法证明
，再利用不等式性质证明数列
为递增数列，变形可得所求证不
等式；
（3）由题附结论转化放缩变形得
，再利用裂项求和法证明
，由此得证
，变形可得
.
【详解】（1）由题意可得
.
构造函数
，
则
，
在
单调递增.
所以
，即任意
时，
.
，
，且
，
且
，
故
.
（2）下面用数学归纳法证明
.
①当
时，
成立；当
时，
成立；
②假设当
时，
，
，
则当
时，
，
且
，所以
，
综合①②可知，对任意
，
成立.
，
，
由
，则
，即
，
，
数列
为递增数列，
，即
.
（3）要证
，由
，故即证
.
当
时，
成立；
当
时，由题附结论可知，当
时，
，
所以
，即
，
由
，故在
式两边同除以
得，
所以
，即
，
，
，
由
，可得数列
是正项递减数列，又数列
为正项递增数列，
所以
，
则
，
又
，
，
，
综上所述，对任意
，都有
，
故
，得证.
【点睛】关键点点睛：解决此题关键有两点，一是递推关系
的变形，转化为
进而利用放缩法证明不等式；二是借助裂项、放缩变形数列求和证明不等式，如：
；
.
