专题 02 不等式的综合应用与求值技巧
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热点聚焦·析考情
锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
题型引领·讲方法
系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
能力突破·限时练
实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年：1、不等式是近3年的高考命题热点，以选择题填空题为主，考查内容、频率、题型、难度较为
稳定，重点是基本不等式，及不等式与指数对数相结合．
2、基本不等式作为求最值的工具，经常结合其他知识点运用，比如圆锥曲线的解答题，立体几何中的最
值问题．
预测2026年：不等式内容可能与指数、对数不等式的形式考查，同时还需重点关注基本不等式的基本运
用．
热点题型：
题型01 利用不等式的性质求最值 题型02 基本不等式及其应用
题型03 指数对数与不等式综合运用 题型04 与三角行三边相关的不等式问题
题型05 利用不等式性质解决
max{a,b,c}最值问题
题型06 基本不等式中的局部放缩再求最值
题型07 基本不等式中三角函数进行三角换元求最值问题
题型01 利用不等式的性质求最值
解｜题｜策｜略
常见不等式①
||a|−|b||≤|a±b|≤|a+b|
②a≥b,c≥d⇒a+c≥b+d③a≥b>0,c≥d>0⇒ac≥bd
【精选例题】
【例1】已知 ， ，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D【分析】利用不等式的性质待定系数计算即可．
【详解】设 ，则 ，解得 ．因为
， ，所以 ， ，所以 ．故选：
D
【例2】设定义在 上的函数 ，满足 ，且对任意 ，满足 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 转化为 ，由同向不等式相加，得
，也即 ，从而得到 ，然后累
加求 .
【详解】由 ①，又 ②，
由①＋②得 ，即 ③，
又①＋③得 ，即 ，已知 ，所
以 ，累加可得，
，故选：B．
【例3】（多选题）已知实数 ， 满足 ， ，则（ ）
A． 的取值范围是 B． 的取值范围是
C． 的取值范围是 D． ， ，使得
【答案】AB
【分析】通过线性组合法，将 都用 表示，从而利用不等式性质求解范围，即可判断
ABC，先求得 ， ，进而 ，即可判断
D.
【详解】由题意 ，因为 ， ，
所以 ，所以 ，即 的取值范围是 ，A正确；，因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围是 ，故B正确；设
，
则 ，解得 ，则 ，因为 ，
所以 ，即 ，故C错误；因为 ，
，所以 ， ，所以 ，
故不存在 ， ，使得 ，故D错误.故选：AB
【例4】（多选题）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C．已知 ， ，则
D．已知 ，若 ， ，则
【答案】CD
【分析】根据不等式的性质即可求解AB，利用整体法，结合不等式的性质求解C，利用作差法即可求解
D.
【详解】对于A,由 ，故 ，故A错误，对于B，由于 ，所以 ，
又 ，所以 ，又 ，故 ，故 ，
因此 ，故B错误，对于C,由于 ，结合 ，
，
则 ，故C正确，对于D, ，由于 ，
，
故 ，即 ，故D正确，故选：CD
【例5】（多选题）在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律：，其中 为非零常数， 为幂常数， 为主观感觉强度， 为物理刺激强度， .现有如下RPE
（主观感觉强度）表：
强度
自我感觉 6－8 9－11 12－14 15－17 18－20
已知在临床条件下 ，在RPE强度为 时得到的实际物理刺激强度为 ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】ABD
【分析】根据已知新定义计算判断A，B，作商计算化简判断C，D.
【详解】对于A选项， ，则 ，由 可知 ，故A正确；
对于B选项，注意到 ， ，故 ，即 ，故B正确；
对于C选项， ，则 ，当 ， ， 时，
，可得 ，故C错误；对于D选项， ，则
，可得 ，故D正确.故选:ABD.
【例6】已知实数 ， 满足 且 ，则 的最大值为 .
【答案】4
【分析】根据不等式的性质即可求解范围，进而得到最大值.
【详解】由于 ，且 ， ，故 ，即 ，
因此 的最大值为4.故答案为：4
【例7】设 为互不相等的三个实数，且 ，则有
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵ ，∴ ．
∵，又
，∴ ，即
．
故选D．
【例8】（多选题）已知正数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A， ，所以 选项正
确；
对于B，由题 ，当且仅当 等号成立，
故B选项正确；对于C，可取特殊值 满足题意，则 ，故C选项错误；对于D，
，即 ，则 ，故D正确.故选：
ABD
【例9】当 时，不等式 恒成立，则 的最大值是 ．
【答案】6
【详解】解：∵ 时，不等式 恒成立，∴ ，即 ．
设 ， ，因为 在 上单调递减，在 上单调递
增， ， ， ，所以 ，即 ，∵ ，∴
，
∴ ，∴ ，即
，∴ 的最大值为 ；故答案为： ．
【变式训练】
1．已知 ， ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件先将原式变形为 ，然后结合所给范围求解出 ，则原式的取值范围可求.
【详解】原式的分子和分母同时除以 ，得 ，由条件得 ， ，所以
，即 ，所以 ，所以 .故选：D.
2．（多选题）已知 ，且 ．则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AC
【分析】由不等式结构考虑设函数 ，利用二次函数的性质结合选项条件即可一一判断正
误.
【详解】设 ，则 即 ，因
的对称轴为 ，对于A，若 ， ，即 ，则
，即直线 在 的左侧，由 ，因函数 在 上单调递减，则必有
，故A正确；对于B，若 ， ，即 ，则 ，即直线 在 的右侧，
由 ，结合二次函数的性质可知，不能确定 的大小，故B错误；对于C，若 ， ，即
，则 ，即直线 在 的右侧，由 ，因函数 在 上单调
递增，则必有 ，故C正确；对于D，若 ， ，即 ，则 ，即直线 在
的左侧，由 ，结合二次函数的性质可知，不能确定 的大小，故D错误.故选：AC.
3．（多选题）若 ， ，则（ ）
A． 的取值范围是 B． 的取值范围是
C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
【答案】AD
【分析】利用.不等式的性质依次判断选项即可【详解】由 ， ，得 ， ，所以 ， ，
故A正确，B不正确.因为 ， ，且 ， 不能同时成立，所以 的取值范
围不是 ，故C不正确.令 ，则 解得 因为
， ，所以 ，即 的取值范围为 ，故D正
确.
故选：AD
4．已知正数a，b，c满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令 ， ，从而可得 ，根据 ，数形结合可求得取值范围.
【详解】由 ，得 ，令 ， ，则 ，从而有
，作出可行域如图所示． ，
表示过 与 两点的直线的斜率，设切点为 ，则 ，
， ，得 ，所以 ，所以 ，因为 ，又 ，所以
，整理可得 ，所以 ，解得 ，当 时 ，所以
，所以 ， ，由图形可得 ，所以 ，所以
，所以 ．故答案为： .
5．设 ，若 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用三角绝对值不等式得到 ， ，再利用不等式的性质求解即可.
【详解】因为 ， ，当且仅当 ， 时取等
号.
所以 ，又 ，所以 成立，则
， ， ，易知 ， ，所
以 ，所以 ，故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用 及其成立时的条件，得到 的取值范围，从
而得解.
6．若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出 的
取值范围，最后将 都表示成 的形式即可得解.
【详解】因为不等式 的解集为 ，所以二次函数 的对称轴
为直线 ，且需满足 ，即 ，解得 ，所以
，所以 ，所以 .故答案为：
.
7.若 是定义在 上的函数，且对任意 都有 ， ，且 ，
则
【答案】102.
【详解】因为 ，所以 ，即
，又 ，所以 ，所以
，因为对任意 都有 ，且 ，所以 ，即 ， ，即 由
知 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以
．故答案为：
题型02 基本不等式及其应用
解｜题｜策｜略
①常见不等式： x+y≥2√xy(x>0,y>0)，(x+y) 2 ≥4xy(x,y∈R)，x2 +y2 ≥±2xy
{ ax=√dcosθ
②三角换元：遇到 ，配凑成 ，可设
Ax2 +By2 +Cxy=D (ax) 2 +(bx−cy) 2 =d bx−cy=√dsinθ
Ax2 +By2
③遇到 结构，可同除
Cx2 +Dxy+Fy2 y2
④学会运用消元法，齐次化，分解因式法及万能K法
【精选例题】
【例1】设 ，则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最小值为1 B． 的最小值为4 C． 的最小值为9 D． 的最大值为
【答案】D
【分析】对于AB，利用基本不等式判断即可；对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可；对于D：先
证 ，结合题意分析求解即可.
【详解】因为 ，对于选项A：因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为1，故A错误；对于选项B：因为 ，当且仅当 时，等号成
立，
所以 的最小值2，故B错误；对于选项C：因为
，当且仅当 且 ，即
时，等号成立，所以 的最小值为 ，故C错误；对于选项D：
，可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，则 ，
即 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 ，故
D正确；故选：D.【例2】已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件得到 ，通过换元 ，得到
，再结合基本不等式即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，令 ，因为 都是正数，
所以 即 ，且 ，同时 ，所以
当且仅当 时等号成立，此时 .故选：A
【例3】已知 ，且 ，则 的最小值与最大值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应用基本不等式得 求 的范围，注意端点值的取值条件，即可得.
【详解】由 ，有 ，有 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，所以 的最小值为 ，最大值为2，
所以 的最小值与最大值之和为 .故选：D
【例4】（多选题）已知正实数 满足 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】根据 的不同取值，由题设等式，利用基本不等式“积定和最小，和定积最大”以及求解一元二
次不等式即可逐一判断各选项.
【详解】对于A，当 时， ，因 ，则 ，解得 ，故A错误；
对于B，当 时，由 ，解得 ，当且仅当 时取等号，故B正确；对于C，当 时， ，由B易得 ，
则由 ，整理得 ，
因为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，故C正确；
对于D，当 时， ，可得 ，则 ，
由 为正数可得 ， ， ，当且仅当 时等号成
立，
由 ，解得 ，故D正确.故选：BCD．
【例5】（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 的最小值为
B．已知 ， ， ，则 的最小值是
C．若 ，则 的最小值为4
D．若 ， ， ，则 的最小值为
【答案】BC
【分析】由和为定值，求积的最大值，判断选项A；先根据条件代换，再由基本不等式求解选项B；多次
利用基本不等式求解选项C；利用基本不等式“1”的妙用求解选项D.
【详解】对于A， ，解得 ，平方得 ，当且仅当 ，即
时取等号，所以 的最大值为 ，故A错误；对于B，由 ，可得 ，得 ，则
，
则 ，当且仅当
，即 时等号成立，故B正确；对于C，
，当且仅当 且 ，即 时
取等号，所以 的最小值为4，故C正确；对于D，，当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值为 ，故D错误. 故选：BC
【例6】（多选题）下列命题正确的有（ ）
A．已知 ， ，且 ，则 的最小值为9
B．已知 ， ，且 ，则 的最小值为
C．已知 ， ，且 ，则 的最小值为
D．已知 ， ，且 ，则 的最小值为
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式和二次不等式的解法求解判断A，利用基本不等式“1”的代换求解最值判断B，
先利用基本不等式求得 ，再利用二次函数性质求值最值判断C；利用基本不等式求值最值判断
D.
【详解】对于A，因为 ， ，所以 ，即
，则 ，当且仅当 时取得等号，所以A错误；
对于B， ， ，且 ，所以 ，
当且仅当 ，即 ，等号成立，所以选项B正确；对于C，因为 ， ，且 ，
则 .又 ，当且仅
当 ，等号成立.即 ，所以 时， 取到最小值为 ，所以C正确；对
于D， ，由 ， ，故 ， ，故
，即 ，当且仅当 ，即
， 时，等号成立，故 的最小值为 ，所以D正确.故选：BCD.【例7】（多选题）已知正数 ， 满足 ，则（ ）
A． 的最小值为4 B．当 时， 的最小值为2
C． 的最小值为6 D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A，方法一：由题得 ，利用常数代换技巧求解最值；方法二：对
变形为 ，然后利用基本不等式求解最值；对于 B：由
得 ，利用 求得 ；对于C，方法一： ，结合换元法利用基本
不等式求解最值；方法二： ，利用常数代换技巧求解最值；对于D，
，由 得 ，即可求解最值.
【详解】由 得 ，整理得 ，
因为 ， ，所以 ，两边同时除以 得 .对A，方法一：
，当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为
4；
方法二：由 得 ，即 ，所以
，所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立；
所以 的最小值为4，故A正确；对B，由 得 ，因为 ， 均为正数，所以
，
即 ，所以 ，又因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，即 的最小值
为2，所以B正确；对C，方法一：因为 ，所以 ，令 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为 ，
方法二： ，当且仅当 即， 时等号成立，所以选项C错误；对于D， ，又因为
，
所以 ，因为 ，所以 ，则 ，所以
，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ，所以
选项D正确.故选：ABD.
【例8】（多选题）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】对A，直接利用基本不等式即可得 ；对B，利用A中结论并结合基本不等式即可判
断；对C，构造关于 的不等式即可判断；对D，利用琴生不等式即可判断.
【详解】对A，由 ，得 ，则 ，即
，当且仅当 时等号成立，故A正确；对B，因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，故B正确；对C，因为 ，所以
，解得 ，当且仅当 时等号成立，故
C错误；对D，由函数 的图象知，该函数为凹函数，则根据琴生不等式有
，
即 ，当且仅当 时等号成立，则D正确．故选：ABD．
【例9】（多选题）已知 ， ， ，则下列正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 最大值为8 D． 的最大值为6
【答案】ABC
【分析】对选项A，根据 得到 ，再解不等式即可判断A正确.对
选项B，得到 ，再根据 求解即可.对选项D，根据题意得到 ，从而得到
，再解不等式即可.对选项C，得到 ，再结
合D选项求解即可.
【详解】选项A， ， ， ，因为 ，所以
，解得 ，当且仅当 时取等号.所以
，即 的最大值为 ，故A正确.对选项B，
，所以
，当且仅当 时取等号，
故B正确.对选项D， ，即
，即 ，解得
，当且仅当 ，即 时取等号.故D错误.对选项C，
，
由D知： ，即 的最大值为8，故C正确.故选：ABC
【例10】（多选题）下列是真命题的是（ ）．
A．已知 ，且 ，则 的最大值为5
B．已知 ， 则 的取值范围为
C．已知 且 恒成立，实数 的最大值是
D．若 则 的最大值是6．
【答案】BCD
【分析】由基本不等式求解可判断A；由不等式的性质可判断B；转化为 进行求
解可判断C；由基本不等式求解可判断D.
【详解】对于A， 且， ，则
，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 有最小值 ，故A错误；对于B，由 ，可得 ，又因为 ，
所以则 的取值范围为 ，故B正确；对于C，由题意， ， ， ，所以
转化为 ，可得 ，即
，因为 ，当且仅当
时等号成立，所以实数 的最大值是 ，故C正确；对于D，由 可
得 ，
两边同乘以 ， ，又因为
，所以 ，当且仅当 时等号成立，
令 ，则有 ，即 ，解得 ，因此 的最小值为 ，此时
且满足 ； 的最大值为 ，此时 且满足 ，故D
正确．故选：BCD
【变式训练】
1.（多选题）若 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式可判断ACD，把等式看作 的方程，令 可判断B.
【详解】由题意 ，当且仅当 或
时取得，故A正确； 把等式看作 的方程，则
，故B正确；
，当且仅当 或 时取
得，故C错误； ，
当且仅当 或 时取得，故D正确.故选：ABD
2．（多选题）已知 ， 为正实数，且 ，则下列选项正确的是（ ）A． 的最大值为 B． 的最大值为4
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】AD
【分析】利用基本不等式可判断AB的正误，利用“1”的代换可判断C的正误，利用换元法结合常数代换
可判断D的正误.
【详解】对于A： ，当且仅当 时，取等号，所以 的
最大值为 ，A正确；对于B：由 得 ，即 ，当
且仅当 时，取等号，又 ， 为正实数，所以等号不成立，即 ，B错误；对于
C： ，当且仅当 取等号，故C
错误；
对于D，换元，令 ，则 ，故
，当且仅当 取等号，故 的最
小值为 ，故D正确；故选：AD
3．（多选题）已知 ， ， ，则（ ）
A． 的最大值为2 B． 的最大值为4
C． 的最小值为 D． 的最小值为11
【答案】ACD
【分析】A选项，对不等式变形为 ，利用基本不等式得到 ，求出 的最大值；
B选项，将不等式变形为 ，利用基本不等式得到 ，求出 的最小
值；C选项，对不等式变形为 ，利用 求解 的最小值；D选项，
不等式变形为 ，利用基本不等式求出和的最小值.
【详解】对于A，由 得： ，因为 ，所以 ，所以
，
由基本不等式可得： 当且仅当 时，等号成立，此时 ，解得：
或 ，因为 ，所以 舍去，故 的最大值为2，故A正确；对于B，由 得：，因为 ，所以 ，所以 ，由基本不等式可得：
，当且仅当 时等号成立，即 ，解得： 或 ，
因为 ，所以 舍去，故 的最小值为4，故B错误；对于C，由
变形为 ，则 ，由基本不等式得：
，当且仅当 时等号成立，此时 ，令 ，则
由 ，解得： 或 （舍去）所以 的最小值为 ，故C正确；对
于D，由 可得： ，从而 ，当且
仅当 时，即 ， 等号成立，所以 ，
即 最小值为11，故D正确.故选：ACD
4．（多选题）已知 均为正实数，且 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为5
C． 的最小值为 D．若 ，则 的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用基本不等式即可解得；对于B，将2换成 ，进而利用基本不等式得到答案；
对于C，将原式变化为 ，进而化简，然后设 , ，而后用 进
行代换，最后用基本不等式得到答案；对于D，两次使用基本不等式即可得到答案.
【详解】对于A，由基本不等式可得 ，当且仅当 时，即当 时，等号成立，
所以， 的最大值为 ，A对；对于B， ，当且仅
当 时，即当 时，等号成立，所以， 的最小值为 ，B错；对于C，
，设 ，，可得 ，则上式 ，当且仅当
时，即当 时，即当 时，等号成立，所以， 的最小值为 ，C对.对于D，
因为 ， ，所以 ，当且仅
当 时等号成立，与 联立可得 ．又因为 ，由不等式的性质可得
．又因为
，当且仅当 时等号成立．所以仅当
时等号成立，综上， 的最小值为 .故选：ACD.
5．（多选题）已知 ，且 ，则下列不等式不恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】先变形等式可得 ，结合基本不等式和换元法计算判断各个选项.
【详解】因为 ， ，所以 ，化简得
，对于A，因为 ，A不成立.对于B，因为 可得
，根据基本不等式 ，设 ，则 ，即
，
当且仅当 时取等号，所以 ，B不恒成立.对于C，因为 可得 ，
根据基本不等式 （当且仅当 时取等号），所以 ，
当且仅当 时取等号，C不恒成立.对于D， ，令 ，由
上分析可知 ，所以 ，令 ，根据二次函数的性质可得 ，当且仅
当 ，即 时取等号，D恒成立.故选：ABC.
6．（多选题）已知正实数 满足 ，则（ ）A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 的最大值为
【答案】BC
【分析】根据已知条件 ，运用均值不等式，结合不等式的性质、函数单调性等知识对选项逐一进
行分析即可.
【详解】由 ，可得 ，当且仅当
，即 时，等号成立， 选项错误；由 ，可得 ，则
，当且仅当
且 ，即 时，等号成立，B选项正确；由 ，可得
，这是关于 的二次函数，开口向上，对称轴为
，
当 时， ，C选项正确；由 ，即 ，可得
，当且仅当
且 ，等号成立，但此时 ，不满足题意，选项D错误；故选：BC
7．（多选题）已知 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．当 ， 时， 的最小值为4 D．当 ， 时， 的最小值为2
【答案】ACD
【分析】对于A，根据不等式的性质验证即可；对于B，举反例判断即可；对于C，由乘1法验算即可；
对于D，由基本不等式验算即可.
【详解】对于A：若 ，由 得 ，又 ，所以 ，即 ，由 ，可得
，即 ， ，又 ，故 ，故A正确；对于B：当 时， ，满足且 ，但不满足 ，故B错误；对于C：
，
又 ， ，故 ， ，则 ，当且仅当 ， 取等，此
时 ， ，故 的最小值为4，故C正确；对于D：当 ， 时， 且 ，则
，也即 ，解得 ，当且仅当 ， 取等，此时 ， ，
故 的最小值为2，故D正确.故选：ACD.
8．（多选题）已知关于 的不等式 的解集为
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最小值为 C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】BC
【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可得 ，再利用基本
不等式逐项判断即可.
【详解】由题意知不等式 的解集为 ，所以 ，且方
程 的两根为 和1，所以 ，所以 ， ，
所以 ，故A错误；因为 ，所以 ，所以
，当 ， 时， 的最小值为 ，故B正确；因为 ，
，所以 ，即 ，解得 ，当且仅当 时，等号成立，所以 的最
大值为 ，故C正确； ，
当且仅当 ，即 时等号成立，但由C可知 ，所以等号无法取到，所以最小值不是
，故D错误.故选：BC．
9．（多选题）已知 ， ，且 ，则下列结论正确的有（ ）A． B． 的最小值为8 C． 的最小值是 D． 的最小值为2
【答案】ABD
【分析】对于A， ，又 ，可判断，对于BCD，由 ，得 ，再
结合基本不等式逐个判断即可.
【详解】由 ，得 ，又 ，所以 ，即 ，故A正确，由
，得 ，由A， ，所以 ，所以
，当且仅当 时，等号成立，故B正确，由
，令 ，得 ，解得 ，即 ，当且仅
当 时，取等号，C错误； ，当且仅当
时，取等号，故D正确，故选：ABD
10．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若 ,则 的最小值为
B．已知 ,且 ,则 的最小值为
C．已知 ,且 ,则 的最小值为
D．若 ,则 的最小值为
【答案】ABD
【分析】运用“1的妙用”、配凑法、换元法等解决基本不等式问题.
【详解】对于A： ,当且仅当 时，即 时
等号成立.故A正确.
对于B： ，所以 .
所以 ,当且仅当 时,即
时等号成立.故B正确.对于C：令 ,则 ,,当且仅当 时，即 时，等号成立.故C错误.
对于D： ,当且仅当 时取等号.
故D正确.故选：ABD
11．已知函数 ，且 ，则 的最小值是 .
【答案】2
【分析】首先证明 从而得到 ，然后利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】因为 ， 在 上单调递增， ，所以
，所以 ，当且仅当
，结合 ，即 时取得.所以 的最小值为2.故答案为：2
题型03 指数对数与不等式综合运用
解｜题｜策｜略
1
①指对数转换 ax =b⇔x=log b ，②换底公式
log
a
b=
log a
a b
1
③常见不等式放缩 ，1− ≤lnx≤x−1，
x
【精选例题】
【例1】已知 ，若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由指数与对数关系及换底公式得 ，再应用作差法、放缩法比较大小，即可得.
【详解】因为 ，则 ，
由 ，
所以 ，则 ，由
所以 ，所以 ，所以 ，则
.故选：C
【例2】已知 ， ，则下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由指数幂的运算即可判断AB，利用基本不等式即可判断C，由 ，利用指数
与对数的转化求 的范围，进而利用二次函数再给定区间的最值即可判断D.
【详解】由 ，所以 ，所以 ，故A正确；
由 ，故B错误；由 ，由
，又 ，所以 （当 时取等号），
因为 ，所以等号不能取到，故 ，故C正确；因为 ，所以
，又由 ，因为 ，所以 ，
所以 ，故D正确，故选：B
【例3】已知 是函数 图象上两个不同的点，则下列4个式子
； ； ； ，
① ② ③ ④
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2
D．3
【答案】D
【分析】求出已知两点的中点坐标及函数 的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，再逐一判断各个不等式.
【详解】如图所示，设 ， 的中点为 ，
点 在函数 的图象上，且 轴，则 ，
由图知点 在 的左侧，即 ， 正确； ，令函数 ，求导得
①
，由 ，得 ；由 ，得 ，函数 在 上递减，在 上递增，
，即 ，因此 ， 正确；则
②
，即 ，即 ， 正确， 错误，所以正确
③ ④
结论的个数是3.故选：D
【例4】已知正实数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ， ， ，结合函数单调性可得 ，
再借助反证法计算即可得解.
【详解】设 ， ， ，则 、 、 均在 上
单调递增，又 ，故 ；假设 ，则
，
与题干矛盾，所以有 ；假设 ，则 ，与题干矛盾，所以有
；
综上可得 .故选：B.
【例5】若 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】由题可得 ， ， ，根据基本不等式可得 ，当且仅当 时，
取等号. 对 进行变形，结合二次函数性质及 即可求解.
【详解】由 得 ， ， ，所以 ，当且仅当 时，取等号，所以 .
故选：C.
【例6】若实数 满足 ， ，则 的最大值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】先得到 ， ，由基本不等式可得 ，进而得到
，由 ，故 ，得到答案.
【详解】由题意可得 ， ，由基本不等式可得 ，又
，
故 ，据此可得 ，解得 ，所以 ，由 和
可得 ，即 ，则 ，由于 ，故
，
即 .故选：D．
【例7】已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性可得 ， ，利用对数的运算性质可得 ，由此可确定
答案.
【详解】由题意得， .∵函数 在 为减函数，∴
，即 ，∵函数 在 为增函数，
∴ ，即 ，∴ .∵ ，
，∴ ，∵ ，∴ ，由 得， ，
由 得， ，综上得， .故选：A.【例8】已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对数的运算化简 ，再利用基本不等式即可求得 ，由 ，可
得 ，然后构造函数 ，根据函数的单调性可就得 ，化简得
，由题设 即可得出 ，从而得解.
【详解】因为 ， ，所以 ，当且仅
当 ，即 时，可取等号，又因为 ，所以 .又因为
，所以 .令 ，易得 在 上单调递减，又
，所以 ，即 ，所以 ，即 ，所以
.故选：A.
【点睛】关键点点睛：利用基本不等式可推出 ，构造函数 ，利用函数的单调
性比较 的大小，从而推出 是解题关键.
【例9】（多选题）已知函数 ，若 ，则（ ）
A． 的最小值为2 B． 的最小值为
C． D． 的最大值为
【答案】BCD
【分析】由题意计算可得 ，再借助对勾函数的性质可得A、C；借助基本的不等式可得B；借助二次
函数性质可得D.
【详解】由题意可得 ，又 ，则 ，即 ，即有 ，且 ，
；对A：由 ，则 ，则 ，由 在 上单调递增，则
，故A错误；对B： ，当且仅当 ，即 ， 时，等
号成立，故 的最小值为 ，故B正确；对C：，取 ，由A知， ，则
在 上单调递增，故 ，故C正确；
对D： ，当且仅当 ，即 ， 时，等
号成立，故 的最大值为 ，故D正确.故选：BCD.
【例10】（多选题）已知函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】构造函数 ，由零点存在性定理可判断 ；由 在 单调性，可判断
C；令 ，以 为界分情况讨论证明 .
【详解】对于A：由 ，得 ；由 ，得 ，则问题转化为
在 有解.令 ，因为 ，由零点存在性定理可
知， ， ，即 ，A正确；对于B：由A正确可知B错误；
对于C： ，
当 时， ，所以 单调递增，所以 ， ，所以 ，
，即 ， ，所以 ， ，C正确；对于D：
令 ，则 ，所以 ，所以
，整理得 .对 ， ，若 ，则 ，可得 ，
解得 ;若 ，则 ，可得 ，解得 ；若 ，则 ，可得 ，解
得 .由A可知， ， ，即 ，此时 成立；下面证
明：对 ，当 时， ； 时， .令 ，则
，当 时， ，当且仅当 时取等号，所以 在 单调递
增，当 时， ，所以 ，得 ；
当 时， ，当且仅当 时取等号，所以 在 单调递减，当 时， ，所以 ，得 .当 时， ， 单调递增，可得 ，由
可得 ，因为 ，所以
，所以 ，即 成立；当 时， ，
单调递增，可得 ，因为 ， ，所以 ，所以
，又由 可得 ，所以 ，即 ，整理得
，又由 可得 ，所以 ，所以 ，可得
，即 ，所以此时 成立.综上可知D正确；故选：ACD.
【例11】（多选题）已知不等式 在 上恒成立（当且仅当 时等号成立），下列不等
式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据已知不等式，对 赋值可以判断四个选项.
【详解】对于A，将 替换为 ，则 ，所以 ，所以A正确；对于B，由A可得
，故 ，又由题设得 ，故 ，即 ，故B正确；
对于C，D由已知和 A得 ，令 得 ，
即 ，所以C，D错误；故选：AB.
【变式训练】
1.若 ，x， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C【详解】因为 ，所以 ．因为 ，
所以 ．所以 ，即 ．当且仅当 ， ，即
， 时等号成立，所以 的最小值为 ．故选：C．
2．若正实数a，b满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为 ， 为单调递增函数，故 ，由于 ，故 ，或
.对于ABC，分 、 ，结合对数函数的性质及作差比较法即可判断；
对于D，由 两边取自然对数得到 ，即 ，构造函数 （
且 ），通过导数判断单调性即可判断.
【详解】因为 ， 为单调递增函数，故 ，由于 ，故 ，或
，当 时， ，此时 ； ，故
； ，即 ，得 ，但 的大小不确定，
当 时， ，此时 ， ，故 ；
，即 ，得 ，但 的大小不确定，所以ABC均
不正确；对于D， ，两边取自然对数， ，因为不管 ，还是
，均有 ，所以 ，故只需证 即可，设 （ 且
），则 ，令 （ 且 ），则 ，当
时， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 在 且 上恒成立，故 在定义域上单调递减，因为
，所以 ，结论得证，D正确．故选：D．
3．若实数 ， ， 满足 ，则 ， ， 的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据给定条件，求出 的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令 ，得 ，在同一坐标系
内作出函数 的图象，
则 分别是函数 的图象与直线 交点的纵坐标，观察图象得，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，因此ABC都可能，D不可能.
故选：D
4．已知实数 满足 ，则（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】A
【分析】由 ，得 ，
得 ，故 ,再由 ，构造函数 ，由单调性求解．
【详解】 ，则
，得 ，故 ,由
，得 ，令 ，因为 都是增函数，
所以 在 上是增函数，由 ，得 ，故 ．故选：A
5．若 ， ， 均为正数，且 ，记 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把指数式转化为对数式然后应用对数的换底公式乘法运算得出 ，利用基本不
等式及换底公式求出 ，利用 求出 ，进而求出 ，从而确定选项.
【详解】设 ，则 ， ， ，所以.
因为 ，所以 ，即 ，而 ，所以 ；又因为
，所以 .故选：B.
6．已知实数 ， 满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知得 ，即有 同号或 ，结合不等式的性质判断各项的正误.
【详解】两边取对得 ，则 且 ，即 同号或 ，所以，当
时， 不成立，A错；由 ，B对；由 ，若
时， ，C错；由 ，且 ，当 时，
，此时 ，D错.故选：B
7．（多选题）已知正数 、 、 满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可.
【详解】令 ，可得 ， ， ，
，故A正确；
，故B正确；
， ，所以 ，得 ，又 ，所以 ，
得 ，所以， ，故C不正确；，故D正确；故选：ABD
8．（多选题）若 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】先证明：对任意 ， ，有 ，利用此结论，当
时，可判定AB；再运用对数运算性质判断CD.
【详解】先证明结论：对任意 ， ，有 ；证明如下：因为
，所以 为减函数，所以 ，即 ，设 ，即
，则 为减函数，所以 ，即 ，从而
，也就是 ，当 时，可得
，A正确，B错误；
应用上面的结论可得：
，故D正确，C错误.故选：AD
【点睛】关键点点睛：证明命题：对任意 ， ，有 ，是后续解
题的关键.
9．（多选题）已知函数 ，当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D． 最小值为14
【答案】ACD
【分析】根据函数解析式得到函数图象，即可判断A，根据函数
值相等以及对数的运算可判断B，根据基本不等式以及成立条件
可判断C、D.
【详解】对于A， 的图象是由 的图象向
右平移2个单位长度而得到，如图：显然A正确；对于B，，所以 ，
即 ，故B不正确；对于C，由选项B可知 ，即 ，
解得 ，当且仅当 时取等号， ， ，故C正确；对于D，
，当且仅当 ，即 时取等号，
故D正确.故选：ACD.
10．（多选题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用对数运算可知 ， ，且 ， ，进而计算 ，结合对数函数
单调性判断A；利用基本不等式判断B；作差法判断C；利用指数函数和幂函数单调性判断D.
【详解】根据题意， ， ，对于A，
，A正确；对于B，
，因为 ，所以等号不成立，即 ，B错
误；
对于C，由 ， ， ，
则 ，由 ，
可得 ，C正确；对于D，由于 ， ，所以 ，
，
则 ， ，且 ，由于 为减函数，所以 ，
由于 为增函数，所以 ，所以 ，即 ，
则 ，D正确.故选：ACD
【点睛】关键点点睛：对于D项，将 等价转化为 ，进而利用指数函数和幂函数的单调性判断是关键.
题型04 与三角行三边相关的不等式问题
解｜题｜策｜略
利用三角形两边之和大于第三边，即a+b>c
【精选例题】
【例1】设 ,若对任意的正实数 ,都存在以 为三边长的三角形,则
实数 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】显然 ，于是， 、 、 能构成三角形
对任意正整数 、 ，恒有 ①
由 ，知式①右边 .易知 时，式①右边取最小值
.
又式①左边的表达式恰为右边表达式的倒数，从而，其最大值为 .故 .故答案为:
【例2】设 ，若三个数 能组成一个三角形的三条边长，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，令 ，
则 ，所以 ，因为 能组成一个三角形的三条边长，
所以 ，即 ，因为 ，所
以令 ，则 ，即
，因为 ，当且仅当 时取等号，但是取不到，所以 ，所以 ，所以 ；
令 ，则 ，令 ， ，
则 ，所以函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 ， ，综上， .故选：
C.
【变式训练】
1． 的边分别为a，b，c，且满足 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【详解】 ，令 ，则 ，又
，
∴ ，可解得 ，
即 ，故 ，∴ .故答案为：
2.已知函数 ，对任意实数 ，使得以 ， ， 数值为边长
可构成三角形，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【详解】要想对任意实数 ，使得以 ， ， 数值为边长可构成三角形，只需
，设 ，当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单
调递增， 因为 ，所以 ，当 时，即
时，
，此时 ，因此由，而 ，所以 ；当 时，即当 时，此时
，此时 ，因此由
，而 ，所以 ，
若 时，即 时，若 ，即当 时，显然此时
，由 ，显然 ，若
，即当 时，显然此时 ，因此由
，而 ，综上所述：实数 的取值范围为
，故答案为：
3.已知 ， ， ， ， .若a，b，c构成三角形的三边，则m的取值
范围是 .
【答案】
【详解】若a，b，c为三边可构成三角形，则 ，且 成立，即 ，
且 成立，即 成立，而
，令 ，则 ，令 ，
则 ，易知在 上递减，所以 ，所以 ，
又 成立，而 ，当且仅当 时，等号
成立，所以 ；所以 .故答案为：
题型05 利用不等式性质解决max{a,b,c}最值问题
解｜题｜策｜略
{
M≥a
求类似 的最小值一类题目，我们一般设 ，则 M≥b ，再通过三个式子相
max{a,b,c} M=max{a,b,c} M≥c加或者相乘，然后用基本不等式构造一个不等式，求出最值即可
【精选例题】
【例1】已知 表示 中的最大者，若 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】设 ，由最值性质建立 的不等式，求出 的范围，得到最小值.
【详解】设 ，则 .因为 ，所以 .所以
，所以 ，所以 ，解得 ，所以 的最小值为 ，即
的最小值为 .故选：B.
【例2】设 ，已知 或 ，则 的最小值为（以 表示数
集 中最大的数）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法表示出 ，再根据不等式性质，分情况讨论求解.
【详解】令 ， ， ，其中 ，所以 ，
令 ，因此 ，若 ，则 ，即
，所以 ，则 ，若 ，则 ，即
，
所以 ，则 ，综上所述， ，当且仅当 ，且 时
等号成立，因此 的最小值为 .故选：C.
【例3】记 表示数集 中最大的数，设 为正数， ， ，则
的最小值为 .
【答案】4【分析】由不等式性质可得 ，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】由题意， ，则
，当且仅当 时，全部
取得等号，所以 ，故 的最小值为4.故答案为：4.
【例4】定义 表示实数 ， 中的较大者，若 ， ， 是正实数，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】讨论 与 的大小关系，在每种情况中分别用基本不等式和不等式的性质确定 的范围，即可得
解．
【详解】按 和 分类：记 ，当 时， ，
，当且仅当 ， ， 时，等号成
立；当 时， ， ，当且仅当 ， ，
时，等号成立．综上所述， 的最小值是 ．故答案为： .
【例5】设 ， ， 是非负实数，满足 ， ，设 ，则 的最大
值为 ．
【答案】
【分析】根据不等性质可知 ，再根据 ，进而可知
，进而转化为二次函数零点与最值问题.
【详解】由对称性，不妨设 ，则 ，所以 ，而 ，
，由 ，即 ， 为函数
的两个不大于 的零点，所以 ，解得，所以 ，当 ， ， 时取等号，故答案为：
.
【变式训练】
1． 表示 ， 中的最大者，若 ，则 的最小值为 .
【答案】2
【分析】先根据 的定义及不等式性质得 ，然后利用基本不
等式求解最小值即可.
【详解】 ，因为 ， ，
，
所以 ，
当且仅当 ， ，即 ， 时等号成立.故答案为：2
2．定义 ，设 ，已知 或 ，则 的最小值
为 .
【答案】 /0.2
【分析】不妨设 ，问题转化为求 的最小值，再根据条件求
解即可.
【详解】不妨设 ，其中 ，则 ，
所以 ，若 ，则 ，即 ，又 ，所以
，解得 ，若 ，则 ，即 ，
又 ，所以 ，解得 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
综上所述： ，所以 的最小值为 .故答案为： .
3．记 表示 三个数中的最大数．若函数 的值域为 ，
则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】先由值域为 得到不等式 ，再利用不等式的性质比较 三者大小，再借助分
数的性质及不等式放缩求解最值可得.
【详解】若函数 的值域为 ，记 ，则 ，故
，
由 ，得 ，且 ，所以 ，又 ，
所以 ，故 .则由 且 ，
可得 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
的最小值为 .故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用不等式及分数的性质求解最小值.
4．设 表示 ， ， ， 中最大的数，已知 ， 均为正数，则 的最小值
为 .
【答案】
【分析】分别求得 和 的最大值， 和 的最大值，确定这个最大值的最小值，两者比较后即可得．
【详解】 都是正数，因此 ， ，其最小值是 ，
， ，其最小值是 ， ，所以 的最小值为 ，当且仅当 时取得，
故答案为： ．
5．定义 为数集M中最大的数，已知 ，若 或 ，则
的最小值为 .
【答案】
【详解】解法一：令 ， ， ，其中 ， ， ，所以 ，若
，则 ，可得 ，令 ，
则 ，所以 ，则 ，当且仅当 ， ， 时等号成立.若
，则 ，即 ，令 ，
则 ，所以 ，则 ，当且仅当 ， ， 时等号成立，综上
可得， 的最小值为 .
解法二：根据数轴上点的距离公式，可得 分别为线段 的长，如图所示，若点
固定，即求三个线段中最长线段的长的最小值，可知当三个线段等长时，最长的线段长取最小值，不妨设
为 ， 的长为 ，则 ，即 ，若 ，则 ，即 ，解得
；若 ，则 ，即 ，解得 ，因为 ，所以
的最小值为 . 故答案为： .
题型06 基本不等式中的局部放缩再求最值
解｜题｜策｜略
遇到多变量问题求最值，有时候我们可以对局部进行放缩，然后再求最值
【精选例题】
【例1】已知正实数a，b，c， ，则 的最小值为______
ac 3c a 3
【答案】 【详解】看到这个 + ，很容易想到提出公因式 就是 + ，很明显可以利用1
b ab c b ab
的 代 换 求 出 其 最 值a 3 3−b a+b 1 4 (1 4)(a b) 1 4 b 4a √4 2
+ = + = + −1= + + −1= + + + −1≥2 + =2
b ab b ab a b a b 3 3 3 3 3a 3b 9 3
3 3
所以原式¿2c+ =2(c+1)+ −2≥2√6−2
c+1 c+1
【例2】对任意的正实数 ，且满足 ，则 的最小值为 .
【答案】 【详解】由正实数 ，且 可得
;当且仅当 时，即 时，等号成立；
又 ，当且仅当 ，即 时，
等号成立；所以当 ， 时，等号成立，此时 的最小值为 .故答案
为：
(a2 +1 ) 2
【例3】已知 且 ，求 −2√2 c+ 的最小值为 .
a>0,b>0,c>1 a+b=1 ab c−1
a2 +1 a2 +(a+b) 2 2a2 +2ab+b2 2a b
【答案】 【详解】 = = = + +2≥2√2+2
6 ab ab ab b a
2 2 2
所以原式¿(2√2+2−2√2)c+ =2c+ =2(c−1)+ +2≥6
c−1 c−1 c−1
【变式训练】
1．已知 ， ， 是正实数，且 ，则 最小值为 .
【答案】 【详解】解： ，由于 ， ， 是正实数，且 ，所以
，
当且仅当 ，即 ，所以 时等号成立，则 的最小值为 ，所以
，当且仅当 ，即
时等号成立，则 最小值为 .故答案为： .2．已知正数 满足 ， ，则 的最小值为 .
【答案】 【详解】由 ，得 ， ，则
，
，当且仅当 时取“=”，所以当 时，
的最小值为 .故答案为：
题型07 基本不等式中三角函数进行三角换元求最值问题
解｜题｜策｜略
{mx=rcosθ
①遇到形如 ，可以利用三角换元设
(mx) 2 +(ny) 2 =r2 ny=rsinθ
{ r
mx=
②遇到形如 ，可以利用三角换元设 cosθ
(mx) 2 −(ny) 2 =r2 ny=rtanθ
【精选例题】
【例1】（多选题）若x，y满足 ，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】因为 （ R），由 可变形为， ，
解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，
故A正确，B错误；由 可变形为 ，解得 ，当且仅当
时取等号，故D正确；因为 变形可得 ，设
，所以 ，因此
，所以当 时，即 时，此时 ， 取到最大值
2，故C错误.故选：AD.【例2】函数 的最大值为（ ）
A． B．4 C．3 D．5
【答案】D
【详解】由 解得 ，所以函数 的定义域是 .由于
，
故可设 ，其中 ，所以 ，
其中 ，且 ，所以 ，所以当 时， 取得最大值为
.
故选：D
【例3】已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】法一：∵ ，∴可设 ， ，∴
，代入所求式子得， ，
当且仅当 ， 时等号成立.所以 的最小值为 .
法二：设 ， ，代入已知等式得， ，
∴
，其中 ， .∴
，所以 的最小值为 .故选：D
【变式训练】
1.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C【详解】因为 ，所以 ，令 ，所以
，其中 ， ，所以当 时， 取
得最大值为 .故选：C
2.已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【详解】法一：令 ，则 ，代入原式化简得 ，因为存在实数
，则 ，即 ，化简得 ，解得 ，故
的最大值是 ，
法二： ，整理得 ，令 ， ，其中
，
则 ， ，所以 ，则 ，即
时， 取得最大值 ，
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．若 ，则 的最小值为（ ）（参考： ， .）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知等式变形得出 ，结合基本不等式可得出 的最小值.
【详解】因为 ，则 ，即
，可得 ，当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最
小值为 .
故选：C.2．已知正数 ， 满足 ，则（ ）
A． B． 的最小值为4
C． 的最小值为4 D．
【答案】D
【分析】对A，举反例；对B，利用基本不等式求解；对C，利用基本不等式取等号条件判断；对D，利
用基本不等式求得 ，得解.
【详解】对于A，由 ， ，取 ，则 ，故A错误；对于B，
，当且仅当 ，即 时，等
号成立，故B错误；对于C， ，当且仅当 ，即
时等号成立，由 ，等号不成立，故C错误；对于D，
，当且仅当 ，即 时，等号成
立，所以 ，故D正确.故选：D.
3．甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每
次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（ ）
A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定
【答案】C
【分析】设两次加油的油价分别为 ，分别计算出甲、乙两人加油的平均单价，再对两者进行
比较.
【详解】设两次加油的油价分别为 ，甲每次都将油箱加满，设油箱容量为V，可得甲加油的
平均单价为 .设乙每次加油花费的钱数都为M，则第一次加油的油量 ，第二次
加油的油量为 ，两次加油的花费为2M，总共加的油量为 ，可得乙加油的平均单价为
，因为 ，所以 ，所以乙比较经济，
故选：C4．函数 ，若存在正实数 ， ，…， ，其中 且 ，使得
，则 的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据基本不等式求出 ，则由不等式的性质可知
，将题意转化为 ，得关于 的不等式组，
解之即可.
【详解】 ，当 时， ，
， ，即 ，所以 ，
，由 知，集合
，因为 且 ，所以 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 的最大值为7.故选：B．
5．已知正实数 ， ，满足 ，则 取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，将条件化为关于 的方程 有解，利用判别式
求 的范围.
【详解】设 ，则 ，所以关于 的方程
在 上有解，对于 ，其图象开口向上
且对称轴 ，所以，只需 ，则 ，所以
.故选：B
6．设 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】将问题转化为“ 恒成立”，然后根据 的正负分类讨论，结合基本不
等式求得最值，进而求得 的取值范围.
【详解】因为 恒成立，所以 恒成立，
当 时，只需 ，因为
，当且仅当 ，即 时取得最小值
为 ，所以 ，所以 ；当 时，只需 ，
因为
，
当且仅当 ，即 时取得最大值为 ，所以 ，所以 ，综上所述， ，
故选：A.
7．已知函数 ，若对于任意实数 与 至少有一个为正数，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对参数 分类讨论，再由二次函数单调性和符号得出对应区间内的不等关系，解不等式即可.
【详解】显然 ,依题意可知当 时，若 ，则 ，若 ，则 ，因
此对于任意 ，函数 恒成立，此时由 可知 开口向下，因此
不符合题意；当 时，若 ，则 ，若 ，则 ，因此对于任意
，函数 恒成立，此时 开口向上，对称轴为 ，若
，对称轴 ，函数 在区间 上单调递减，故其最小值为 ，符合题意，
若 ，可知对称轴 ，此时需满足 ,可得 ；综上可知
;所以实数 的取值范围是 .故选：B
8．当 时，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分 和 两种情况去掉绝对值符号结合不等式的解法讨论可得.
【详解】当 时， 恒成立，当 即 时，不
等式的解集为 或 ，又当 时，关于 的不等式 恒成立，所以需满足
即 ；当 即 时，不等式的解集为 或 ，又当 时，关于 的不等式
恒成立，所以需满足 即 ；当 时， ，而
恒成立，此情况无解，综上， 时， ； 时， ，
所以实数 的取值范围是 .故选：B.
9．已知 ， ，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B．5 C． D．7
【答案】D
【分析】先根据已知条件得出 的关系，代入 后变形构造基本不等式，最后利用基本不等式求和
的最小值．
【详解】 ， ，且 ， ， ，
，当且仅当
，即 等号成立， 的最小值为7．故选：D．
10．已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件可得 ，再利用基本不等式求 的最小值，由此可得结论.
【详解】因为 ，因为 ， ， ，所以 ，所以
.又因为，当且仅当 即 时取等号.所以
.故选：D
11．已知二次函数 对任意 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式恒成立得出 ，可得出
，结合基本不等式可求得 的最小值.
【详解】因为二次函数 对任意 恒成立，所以
，可得 ，所以
，
当且仅当 时，即当 或 时，上述不等式中的两个等号同时成立，故
的最小值为 .故选：B.
二、多选题
12．生活经验告诉我们： 克糖水中有 克糖（ ， ，且 ），若再添加 克糖（ ）后，
糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”： .根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确
的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， 且 ，则C．若 ， ， 为 三条边长，则
D．若 ， ， 为 三条边长，则
【答案】ACD
【分析】对A，利用作差法比较；对B，举反例说明；对CD，根据糖水不等式可依次判断.
【详解】对于A， ，
，即 ，故A正确；对于B，当 ，
时， ， ，故B错误；对于C，由题， ，则 ，
，又 ，所以 ，
故C正确；对于D， ， ， ，
，故D正确.故选：ACD.
13．已知实数m，n满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用 在 上单调递减，可判断选项A；利用 在区间 上单调递减，可判断选
项B；由 在区间 上单调递减，可判断选项D；由 得到 ，利用
的单调性得到 ，利用不等式的性质可判断选项C.
故选:ABD.
【详解】因为 在 上单调递减，且 ，所以 ，故A正确；因为 在区间
上单调递减，所以 ，故B正确；因为 在区间 上单调递减，所以
，故D正确；因为 ，所以 ，所以 ，所以
，所以 ，即 ，故C错误.故选:ABD.
14．已知曲线C： ，下列结论正确的是（ ）A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C构成的封闭图形面积小于 的面积
C．曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2
D．曲线C的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
【答案】AC
【分析】对于A，运用点 关于 轴的对称点是 满足方程，则曲线的图象关于 轴对称；对于
B，通过放缩法得曲线C： ，进而由曲线C包含圆 可判断B；对于
C，根据已知条件可得 即可；对于D，计算边界点来界定整点个数.
【详解】对于A，设 为曲线C上任意一点，它关于x轴的对称点是 ，将 代入曲线
C的方程得 ，化简得 与原方程相同，故 也在曲线
C上，则 轴是曲线C的一条对称轴，故A正确；对于B，因为 ，所以
，即 ，所以曲线C包含圆 ，所以曲线C构成的封闭图形面积
大于 的面积，故B错误.对于C，由 ，可得
.
当 ， 时，等号成立，∴ ，即曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2，故C
正确；对于D，令 ，解得 或 ，即曲线C经过（0，0），（0，1）， ，此时曲线C的
内部无整点，由选项 的结论可知曲线 上任一点到坐标原点 的距离都不超过2，∴ ，
令 ，得 ，而 ，此时曲线 的内部有3个整点；令 ，得
，无解，令 ，得 ，即曲线C经过（2，0），不含边界无整点，令 ，得
，无解，因此曲线C的内部有3个整点，故D错误.故选：AC.
15．已知正数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，利用基本不等式 ，即可求解 的最大值；对于B，通过消元，结合二次
函数的图像性质，即可求解；对于C，令 ，代入已知条件，运用判别式法即可求解；对于D，将 变形为 ，然后展开并利用基本不等式求解.
【详解】对于A： ，此时 ，当且仅当 时等号成立，故A正确；对于
B：因为 ，所以 ，所以 ，当且
仅当 时等号成立，故B错误；对于C：令 ，即 ，则 ，
代入 得 ，则有 ，即 ，解得 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，故C正确；对于D：
，
当且仅当 ， 时等号成立，故D正确.故选：ACD
16．已知曲线C： ，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于原点对称
B．直线 与曲线C有公共点
C．曲线C上任一点的横坐标的取值范围是
D．曲线C上任一点与原点距离的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据曲线方程的特点可判断A的真假；根据一元二次方程根的判别式可判断B的真假；把方程看
成关于 的一元二次方程，利用 可求 的取值范围，判断C的真假；利用基本不等式可判断D的真假.
【详解】对A：用 代替 ， 代替 ，可得 ，即 ，与原
方程一致，故曲线 关于原点对称.故A正确；对B：当 时， ，由 ，
所以方程 无解，即直线 与曲线C无公共点.故B错误；对C：把曲线方程看成关于 的一
元二次方程， ，因为该方程有解，所以
.故C正确；对D：因为 ，
当且仅当 或 时取等号；又
，所以 ，当且仅当 或 时取等号.综上，，即曲线C上任一点与原点距离的取值范围是 .故D正确.
故选：ACD
17．已知正实数 满足 ，则（ ）
A． 的取值范围是
B． 的取值范围是
C． 的最小值为6
D． 的最小值为
【答案】ACD
【分析】选项A，从 解出 ，即可得解；选项B，由已知得到 ，
利用基本不等式求解；选项C，由 ，直接使用基本不等式求解； 选项D，由已知得到
，代入 ，利用 求解.
【详解】选项A， ， ， ， ， ， ， ，
，
， ， ， ，故选项A正确；选项B， ，
， ， ， ， ，当且仅当
时取等号，即 ，解得 ， 的取值范围是 ，故选项B错误；选项C，
， ， ， ，
， ，当且仅当 时取等号，即 ，解得 ，
的最小值为 ，故选项C正确；选项D， ， ，
， ， ， ， ，
， ，当且仅当 时取等号，即 ，解得 ， 的最小值为 ，故
选项D正确.故选：ACD.
18．已知 均为正实数，且 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质，利用已知条件 结合基本不等式对各选项进行逐一分析判断．
【详解】选项A： ，当且仅当 时取等号，又 ， ，
均为正实数， ，即 ，当且仅当 时取等号，故A正确；选项B：
， ， ，当且仅当
，即 时， ，而 ，故B错误；选项C： ，令 ，则
，等式成立，此时 ，故C错误；选项D：
， ，变形可得 ，设
，则 ，故 同号，当 时，
，当且仅当 ，即 时等号成立；当
时， ， ，则 ，与 矛盾，故 不符合题意.
，当且仅当 时等号成立，故D正确．故选： ．
三、填空题
19．已知 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】消去 后借助换元法可用 表示 ，再对 分类讨论后利用基本不等式计算即可得解.
【详解】由 ，则 ，即 ，则
，由 ， ，故 ，
即 ，令 ，则 ，有 ，
当 时， ；当 时， ，当且仅当 ，即， 时，等号成立；综上可得， 的最大值为 .故答案为： .
20．已知实数 满足 ，则 的取值范围是 ..
【答案】
【分析】由题干中的等量关系化简所求代数式，根据参数的取值范围，可得答案.
【详解】 ，则 ，
又 ，得 ，
设 ，由函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，由原式为 ，则所求范围为 .
故答案为： .
21．若 ， ，都有 ，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】先求绝对值表达式的最小值，再将不等式转化为关于 的一次函数恒成立问题，通过解不等式组
得到 的取值范围.
【详解】先求 的最小值：
由绝对值三角不等式， ，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .
原不等式等价于：对任意 ， 恒成立，
即 对任意 恒成立.
构造关于 的一次函数 ，需 且 ：
由 ，得 ，即 ，解得 .
由 ，得 ，即 ，解得 .
综上所述， ，即实数 的取值范围是 .故答案为：
22．若实数 、 、 满足 ， ，则实数 的最小值是 .
【答案】
【分析】用 、 表示出 ，利用基本不等式求出 的最小值，即可求得 的最小值.
【详解】由 可得 .由 可得 ，所以
，∵ ， ，∴ ，∴ ，且仅当
即 时取等号.∴ 时，实数 取得最小值 .故答案为：
23．已知集合 ， ，若 ，则 的取值
范围为 .
【答案】
【分析】解一元二次不等式求解集合A，然后根据交集可得 ，则 ，进而根
据二次函数性质求解范围即可.
【详解】 ，因为 ，又因为
，
所以关于 的方程 有两个实数根 ， ，且 ， ，所以有 ，
得 ，所以 ，解得 .又因为 ， ，
令 ， ，对称轴为 ，所以函数 在 上单调递增，所以函数
，即 的取值范围为 .故答案为：
24．已知正数 ， ， 满足 ，则 的最小值为 ； 的最小值为
【答案】 1 2
【分析】利用常数换元齐次化后，分离常数，利用基本不等式求得①；先固定 ，利用基本不等式使
最大化，进而化简，换元，进一步化简，最后利用二次函数的性质得到②.
【详解】对于空①：，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ；对于空②：
记 ，先固定 ， ，由基本不等式的性质知， ,当且仅当
时去等号， 取到相对于固定的 时的最大值.因为 ，所以 .表达式变为：
,设 ，则 ， ， ， ,设
.由二次函数的性质知当且仅当 时取得最大值。因此 的最小值为 .
由 ，即 ， ， .所以 ，故答案为：1；2
25．已知函数 ，且 ，则 的最小值是 .
【答案】2
【分析】首先证明 从而得到 ，然后利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】因为 ， 在 上单调递增， ，所以
，所以 ，当且仅当
，结合 ，即 时取得.所以 的最小值为2.故答案为：2
