文档文本内容
微专题拓展14 导数新定义压轴难题
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 3
题型 1：自定义 “运算型” 导数....................................................................................................3
题型2：高等数学背景.........................................................................................................................8
题型 3：自定义 “不等式恒成立型”............................................................................................17
题型 4：自定义 “函数变换”........................................................................................................26
题型 5：切线新定义..........................................................................................................................33
题型 6：自定义 “零点 / 交点新定义”.......................................................................................40
03 课后拓展精练............................................................................................................................47
导数新定义通用万能解题步骤
1、拆定义：把题目陌生文字 / 符号翻译成数学等式，一字一句对照；
2、代换化简：将
代入新运算，消去陌生符号，化为普通导数式；
3、常规导数处理：求导→定义域→分类讨论参数→单调性→极值最值；
4、转化设问：
恒成立 ⇒ 最值不等式；
存在性 ⇒ 最值有解；
零点问题 ⇒ 数形结合 + 隐零点；
双变量不等式 ⇒ 统一变量 / 构造函数 / 极值点偏移；
5、检验边界：定义域端点、导数不存在点、参数分界点单独验证。
题型 1：自定义 “运算型” 导数
例1．阅读下列材料：
定义1：设
是两个（项数有限的）实数数列．数列A 和B 的项满足以下
三个条件：
（i）
且
；
（ii）对于任意的
，有
；
（iii）
．
那么我们就说数列
优超于数列
，写成
或
．
定义2：对函数
，若它的导函数
的导函数
，就称
下凸．
定理：若函数
下凸，且数列
优超于数列
，即
，则
．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)判断数列
与数列
是否有优超关系，并证明你的结论．
(2)若数列
超于数列
，即
，证明：
的方差不小于
的方差．
(3)若函数
，证明：
．
【解析】（1）由于
，故
，即可证明不等
关系.
（2）数列A 的方差
，
数列B 的方差
，
由
，知
，
于是只需证明
，
考虑函数
，由
知
下凸，
于是由定理知
，
即证
.
（3）对
求导，得
，
.
下面我们证明
，
设
，则
，
时，
单调递减，
时，
单调递增，
于是
，
设
，则
，
时，
单调递减，
时，
单调递增，
于是
，
根据二次函数
在
上单调递增，
则由
，
故
于起
下凸，
设
，由
知
，
于是由定理知
，
而
，故
.
例2．（2026·上海普陀·一模）设函数
的定义域为
，导函数为
，对于实数，若存在
，使得
成立，则称函数
具有性质
．
(1)若函数
，请判断该函数是否具有性质
，并说明理由；
(2)设
，若函数
具有性质
，且
的值恰有三个，求
的取值范围；
(3)若函数
，求证：该函数具有性质
的充要条件是
【解析】（1）
由
得，
设
，
当
时，
，
又
则存在
，使得
，即
故函数
具有性质
（2）由
得，
，
因为函数
具有性质
，
所以存在实数
，使得
，
即
，即
，
即存在实数
，使得
有三个实数根
设
，则
，
令
，解得
或
，列表如下：
0
0
+
0
↘
极小值0
↗
极大值
↘
因为函数
具有性质
时，
的值恰有三个，
所以满足条件的
的取值范围是
．
（3）由
得，
，
由
得，
，
设
，
先证充分性：当
时，
，
考虑函数
，则
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上严格单调递减，在
上严格单调递增，在
时有极小值
，
所以，当
时，
，函数
具有性质
，
当
且
时，
，
且当
时，
，则
，
则存在
满足
，即
成立，
所以函数
具有性质
再证必要性：即证函数
具有性质
，则
由
得
，
若
，则
，与已知矛盾；
若
，设
，则
，即函数
是严格减函数，
所以函数
是严格增函数，
又
，
，
则存在
使得
，即
，
当
时，
，即函数
严格减函数，
当
时，
，即函数
严格增函数，
所以
，
需证
，
令
，则
，
在
单调递增，
所以
，
所以
，
则不存在
，使得
成立，与
具有性质
矛盾；
综上，函数
具有性质
的充要条件为
.
例3．（2026·四川·二模）记函数
与
的复合函数为
，其导数为
.由此，我们定义函数的一种“嵌套导数”运算：对于可导函数
，定义其
1 阶嵌套导数 为
；定义其k 阶嵌套导数
且
递归地为
.
例如，
.已知函数
.
(1)求
和
的表达式；
(2)若
，求证：
对任意
恒成立；
(3)设
，方程
在区间
上有唯一实数解
.记
，试探究
的极值点个
数与
的关系，并说明理由.
【解析】（1）由
，求导得
，
.
根据嵌套导数的定义，
，
代入得：
，对
求导，
得3 阶嵌套导数：
.
（2）证明：当
时，
，
，
用数学归纳法证明：
当
时，
，当
时，
，故
；
当
时，
，故
；当
时，
.
又
对任意
恒成立，且
，故
在
上的最小值为0，且
处取到.
假设当
时，
对任意
恒成立，
则当
时，
，
由归纳假设，
单调递增，故
，又
，故
.
当
时，
，故
；当
时,
,
，
，
结合
的单调性，得
；
当
时，
.
所以
对任意
，
恒成立.
（3）由
，
，故
等价于
，无实根，
等价于
，即
，结合题意
，故
.
，求导得：
令
，得
或
，即：
，或
.
分析
的单调性：
，故
在
上单调递减，在
上单调递增，
最小值为：
.
当
，即
时，方程
无解，
仅有1 个解
，故
有1 个极值点；
当
，即
时，方程
有1 个解，
有2 个解，故
有2 个极值点；
当
，即
时，方程
有2 个解，
有3 个解，故
有3 个极值点.
综上：当
时，
有1 个极值点；当
时，
有2 个极值点；当
时，
有3 个极值
点.
题型2：高等数学背景
例4．平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率， 表明曲线偏离直线的程度. 定
义函数
的曲率函数
，（
是
的导数，
是
的导数）．
(1)求
在
处的曲率；
(2)证明：
图象上任一点曲率恒为常数；
(3)若函数
在
处的曲率相同，证明：
.
【解析】（1）函数
，
，
，
所以
，
，
故
在
处的曲率为
；
（2）
，
，
则函数
的曲率
；
（3）函数
，
，
，
故
，
则
，
令
得
，即
，
故当
时，
单调递增；当
时，
单调递减；
所以
在
取得极大值，
因为函数
，在
处的曲率相同，
不妨设
，则
，
，即
，
令
，
，则
，
所以
，即
，
所以
，整理得，
，
由
得
，
所以
，即
，
令
，则
，即
，
所以
，解得
，即
，
所以
，故
，
所以函数
在
处的曲率相同，则
．
例5．（2026·重庆·模拟预测）帕德逼近在函数近似理论中具有重要地位，它通过有理函数（两个多项式之
比）实现对给定函数的高效逼近，有效克服了传统多项式近似在大区间内误差累积的缺陷.已知函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足
，
，
.
其中
，
.已知
在
处的
阶
帕德近似为
.（其中为自然常数，
）
(1)求
，
的值；
(2)若对于
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(3)证明：当
时，
【解析】（1）
，
；
所以
；
（2）由（1）得：
.
令
，
因为
，
所以若
恒成立，则
在
附近单调递增，即
，
又
，
所以
，则
.
下面证明充分性，即当
时，不等式
对于任意的
恒成立，
由于当
时，
，
所以，当
时，则
恒成立，
当
时，
，
令
，
，
所以
，
在
上单调递增，
又
，所以
恒成立，即
在
上成立，
所以，
成立，充分性得证，
综上，当
时，不等式
对于任意的
恒成立，
即
的取值范围为
.
（3）欲证明
，只需证明
，
令
，
，
当
时，
当
时，
，
下证
，由（2）可知，
，
取
，则有
，
所以当
时，
.
例6．（2026·山东枣庄·三模）超导量子计算原型机“祖冲之三号”的问世标志着我国在量子计算硬件研发
上进入世界第一方阵.帕德逼近通过有理函数形式对复杂函数（如指数函数、对数函数等）进行高效逼近，
可在量子电路中用较少的量子门实现量子算法设计，降低算法的资源消耗和误差积累.帕德逼近是法国数学
家帕德发明的用多项式逼近特定函数的方法.给定两个正整数
，
，函数
在
处的
阶帕德
逼近定义为：
，且满足：
，
，
，…，
.注：
，
，
，
，
….
(1)求
在
处的
阶帕德逼近
；
(2)在（1）的条件下，当
，试比较
与
的大小，并证明；
(3)已知数列
满足
，
，证明：
.
【解析】（1）设
在
处的
阶帕德逼近
，
所以，
．
又
，
所以，
．
又
，
.
所以，
.
（2）
，证明如下：
当
时，令
，
则
，
所以，函数
在
上单调递增．
所以，
．故当
时，
．
（3）因为
，则
，所以
．
若
，则
，即
．
由（2）知，当
时，
，
当
时，则
．
因为
，则
，又
，
所以
，即
，
故数列
是递减数列，所以
．
首先证明不等式
，
，
设
，则
在
上恒成立，
则
在
上单调递减，则
，
则
，
，
所以
，
所以
，
故当
时，
，
累加得
，
所以
，
故
．
又当
时，
．
综上，
．
变式1．（2026·贵州安顺·模拟预测）有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁
的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画
路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记
为
的导函数，
为
的导函数，则
曲线
在点
处的曲率为
．
(1)已知函数
，求曲线
在点
处的曲率
；
(2)已知函数
，求曲线
的曲率
的范围．
【解析】（1）因为
，所以
，
，故
，
，
由曲率公式得
.
（2）因为
，所以
，
，由曲率公式得
，
故
，
则
，
令
，令
，函数化为
，
令
，则
，函数化为
，
对
进行变形，得到
，
令
，函数化为
，
此时，我们研究
的范围即可，而
，
当
时，
恒成立，故
在
上单调递增，
而
，
，
故
，即
，故
.
变式2．（2026·高三·江西·阶段检测）在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度.设光滑连续曲线
，定义
为曲线
在点
处的曲率，其中
为
的导函数，
为
的导函数.已知曲线
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的曲率；
(2)已知曲线
在不同的两点
处的曲率均为0.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）求证：
.
【解析】（1）
.
则
.
当
时，
.
则
，所以
.
（2）（i）依题意
即
（※）有两个不同的解.
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
.又
或
时，
，
所以
时方程（※）有两解.
的取值范围为
.
（ii）由（i）知可设
，且
，
.欲证
.
即证
，
构造函数
.
，
在
上单调递减，
.
即
，而
，
令
.
，通分化简得
，
欲证
，即证
.即证
.
令
在
上单调递减.
.即证得
在
上单调递增，
，
对于
时，
恒成立.
又当
时，
单调递增，
，
.即证得
.
变式3．泰勒展开式在近似计算、函数性质研究中有广泛应用，它可将一个函数在某点附近用多项式逼近．
若函数
在包含
的闭区间
上具有n 阶导数，在开区间
上具有
阶导数，则对
上任意
一点x，有
，其中
为泰勒
公式的余项．（
的n 阶导数记为
，其中
为
的导数，
为
的导数，
为
的导数．）
(1)若
，写出
在
处的泰勒展开式；
(2)当
时，判断第（1）问中
与0 的大小，并证明；
(3)证明：对任意正整数n，有
，其中，
．
【解析】（1）因为
，所以
，
，则
；
，则
；
，则
，
则
在
处的泰勒展开式为
.
（2）判断：
，证明如下：
由（1）可得
，
设
，
则
，
故
在
上单调递减，则
，
即
.
（3）对于
取对数得
，
由（2）知
，
由
可得，
，
当
时，
，
故
，
令
，则
，所以
，
又
，
所以
，
故
，故
.
题型 3：自定义 “不等式恒成立型”
例7．（2026·广西桂林·一模）对
，若函数
在
有不等式
，则称函数
是在
上的“凹函数”，反之，若不等
式
，则称函数
是在
上的“凸函数”，当且仅当
时等号成立．也可理解为若函数
在
上可导，
为
在
上的导函数，
为
在
上的导函数，当
时，函数
是在
上的“凹函数”，反之，当
时，则称函数
是在
上的“凸函数”．
(1)判断函数
的凹凸性；
(2)若
，令
，求
的最小值
；
(3)
为（2）问所得结果，证明不等式：
．
【解析】（1）由题
，
，即
，
所以
为
的凸函数．
（2）设函数
，则
，
，所以
在
为“凹函数”，
当
时，
，
即
，
当且仅当
时，等号成立，
最小值为
．
（3）证明：
即证
，
两边取对数，即证：
，
的导数为
，
当
时，
恒成立，所以
在
上为单调递增函数，
所以
，
令
，所以
，
所以
，
累加可得：
，证得不等式成立．
例8．（2026·河南许昌·模拟预测）对于函数
，
和
，
，设
，若对
任意的
，
，都有
成立，则称函数
与
“具有
性质
”.
(1)判断函数
，
与
是否“具有性质
”，并说明理由；
(2)若函数
与
“具有性质
”，且函数
在区间
上存在两个零点
，
，求证：
；
(3)已知函数
，
，
，求证：函数
与
“具有性质
”.
【解析】（1）函数
，
与
“具有性质
”，理由如下：
令
，
，
所以
，所以
在
上单调递增，
不妨设
，所以
，即
，
即
，
所以
，
所以函数
，
与
“具有性质
”.
（2）证明：由函数
在
上有两个零点
，
，得
，
又函数
与
“具有性质
”，
则
，
即
，即
，
令
，
，即
.
记
，即
，又
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
要证
，即证
，不妨设
，
即证
，只需证
，即证
.
设
，即
，
所以
，
所以函数
在
上单调递减，且
，
又
，则
，即
，则
得证，
故
.
（3）证明：不妨设
，所以
，所以
，
所以
，令
，
，
所以
，所以
在
上单调递减，
又
，所以
，即
，
所以
；
当
时，
，
令
，
，所以
，
令
，所以
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
即
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
，即
，
所以
，
综上，
，即
，
即函数
与
“具有性质
”.
例9．（2026·河北·模拟预测）若存在正数
，对任意的
，
恒成立，
则称函数
，
在
上具有性质“
”．
(1)判断函数
，
在
上是否具有性质“
”，并说明理由；
(2)若函数
，
在
上具有性质“
”，求
的取值范围；
(3)若函数
与
在
上具有性质“
”，且存在
，
，使得
，求证：
．
【解析】（1）
函数
和
在
上具有性质“
”.
理由如下：
因为
和
在
上均为偶函数，且在
上单调递增，
所以只需考虑
的情况，
令
，则
，
所以
在区间
上单调递增，且
，所以
恒成立，
则
，即
，
则
，再根据函数
是偶函数，
即
，
，
所以函数
和
在
上具有性质“
”.
（2）
，
在区间
单调递增，
在
上单调递增，
设
，若函数
和
具有性质“
”，
则
，整理为
设
，由以上可知，
在区间
上单调递增，
即
，
当
时，
恒成立，
令
，
，
，得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得最小值
，
所以
；
（3）由题意可知，存在
，
，
，又
，
则
，即
，
，
，设
，
，
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
设
，
，不妨设
，
，
，且
，
设
，
，
所以
在区间
上单调递减，且
，即
，
即
，即
，则
，
即
，则
，得
，即证.
变式4．（2026·高三·广东汕头·期末）某些函数如
和
的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧
段总在这两点连线的下方.这个性质可表示为：设
是定义在区间
上的函数，则对于
上的任意
与
任意
，总有
成立.
(1)设
，求证：
；
(2)设
，求证：
；
(3)某同学研究发现，若函数
在
上存在导函数
，则上述性质的充要条件为
在
上递增，求
证：
，其中
均为正数.
【解析】（1）
因为
，
所以
，
，
所以
，
因为
，所以
，即
，
所以
.
（2）要证
，即
成立，
只需证
（因为
），即
成立，
令
，则只需证
成立.
整理得
.
令
，
，则
.
令
，解得
.
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
所以
在
处取得最小值，所以
，故原不等式成立.
所以
.
（3）因为当
，
时，
，当且仅当
时取等号，
所以若证
，只需证
成立，
同时取自然对数得
，即证
成立，
也即证
成立.
令
，
，则
，令
，则
.
因为
，所以
，故
在
上单调递增，
所以
具有题干中的性质.
所以
，即
，故原不等式成立.
因此当
均为正数时，
.
变式5．（2026·高三·福建·阶段检测）设函数
定义在区间
上，若对任意的
、
，有
，则称
为
上的下凸函数，当且仅当
时等号成立．若函数
在区间
上存在二阶可导函数，则
为区间
上的下凸函数的充要条件是
．
(1)若函数
是
上的下凸函数，求实数
的取值范围；
(2)当
，
时，证明：
；
(3)在
中，求
的最大值．
【解析】（1）因为
，
则
，
所以
对任意的
恒成立，
所以
，
令
，其中
，则
，
由
可得
，由
可得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，故
，
因此实数
的取值范围是
.
（2）令
，则
，
所以
，所以函数
为
上的下凸函数，
则
，即
，
整理得
.
（3）令
，其中
，则
，
所以
，
所以函数
为
上的下凸函数，
又由
，
，有
，
即
，即
，
所以
，
又由
，所以
，
所以
，
又由
，有
，则
，
令
，其中
，则
，
由
可得
，由
可得
，
所以函数
的增区间为
，减区间为
，
故
，
又由
，有
，有
，
故
.
因此
的最大值为
.
题型 4：自定义 “函数变换”
例10．（2026·广西南宁·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
在
上单调递增，
则称
为“强增函数”.
(1)若
是“强增函数”，求
的取值范围；
(2)已知
，请判断
的导数
在
上的单调性，并说明理由
(3)已知
，
，
，
.证明：
.
参考结论：当
时，
.
【解析】（1）设
，则
，
由题意可知
在
上恒成立，
故
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
故
，解得
；
（2）
，令
，
则
，
设
，则
，
则当
时，
在区间
上单调递减，
当
时，
在区间
上单调递增，
故
，故
当且仅当
时取等号，
设
，
当
在区间
上单调递增，
当
在区间
上单调递减，
所以
，故
，
所以
，即
，
所以
即
在
上单调递增；
（3）令
，则
，
又
单调递增，所以
，则
在
上单调递增，
又当
所以
时，
，
所以
，即
，所以
，
所以
.
例11．（2026·云南·模拟预测）定义：
，
是函数
的两个极值点，若
，则
称
为“
函数”．
(1)若
为“
函数”，求实数
的取值范围；
(2)已知函数
有两个极值点．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
为“
函数”．
【解析】（1）已知
，对
求导得
.
令
，即
，解得
或
.
因为函数
为“
函数”，所以
.
，
，
.
则不等式为
.
解
，得
.解
，得
，所以
.
取交集得
.
则实数
的取值范围
.
（2）（i）已知
，求导得
，
令
，得
.
令
，即
，解得
.
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
所以
.
当
时，
；当
时，
.
因为函数
存在两个不同的变号零点，所以
，即
.
(ii)证明：令
.
，由均值不等式
（当且仅当
时取等号），
所以
，
在
上单调递增.
又
，当
时，
，即
.
利用单调性证明
：
因为
，且
在
上单调递减，
，
，
所以
，即
.
构造函数
并分析单调性证明
：
因为
时，
，
在
上单调递减，
，
所以
，
.
其中
，
令
，
则
，
令
，
，
在
上单调递增.
当
时，
，即
，
在
上单调递增，
.
所以
，即
.
综上，函数
为“
函数”.
例12．设函数
在区间
上的导函数为
，且
在
上存在导函数
（其中
.定义：若区间
上
恒成立，则称函数
在区间
上为凹函数．
(1)判断函数
在区间
上是否为凹函数？并说明理由；
(2)是否存在实数
，使得函数
在区间
上为凹函数？若存在，求实
数
的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设
且
，对于任意的
，不等式
成立，求
的最大值．
【解析】（1）是，理由：
时，
，
函数
在区间
上是凹函数．
（2）
，
，
若
在区间
上为凹函数，
则
在
上恒成立，
，即
在
上恒成立，
在
上恒成立，
当
时，显然成立，下面讨论
的情况，
令
，则
，
时，
在
上为增函数，
由
，得
，即
，
即
时，
恒成立，
设
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
所以
，则
，
故存在实数
，使得
在区间
上为凹函数，
的取值范围为
．
（3）
，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
在区间
上单调递增，
又
，
存在
，使
，
当
时，
在区间
上单调递减，
当
时，
在区间
上单调递增，
当
时，
的最小值为
，
由
，有
，
，又
恒成立，
，
且
的最大值为3．
变式6．（2026·高三·宁夏银川·期末）定义“下凸函数”
：在区间
上，对任意
，均有
，当且仅当
时，等号成立．若函数
在区间
上存在二阶可导函数，
则
为区间
上的“下凸函数”的充要条件是
（
为
的导函数）．
(1)若
是
上的“下凸函数”，求实数
的取值范围；
(2)证明：函数
在
上为“下凸函数”；
(3)已知正实数
满足
，求
的最小值（用含
的代数
式表示）．
【解析】（1）由
，可得
，则
.
因为
是
上的“下凸函数”，
所以
对任意的
恒成立，
即
恒成立，所以
在
上恒成立.
令
，则函数
在
上单调递减，
所以
，
所以
，即实数
的取值范围为
.
（2）由
，可得
，
.
令
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
根据“下凸函数”的充要条件可知，函数
在
上为“下凸函数”．
（3）令
，
则
，即
是增函数，所以
.
又
，
考虑函数
，求导得
，
则
.
当
时，
，则
，
故
在
上为“下凸函数”，
所以
，
即
，
即
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
因此
的最小值为
．
变式7．（2026·上海徐汇·二模）已知函数
与函数
的定义域均为
，且在
上的导函数
分别为
和
.若存在常数
，使得对任意实数
恒成立，则称
是
的“
调整函数”，并称
为调整系数.
(1)设
.求证：
是
的“2-调整函数”；
(2)设
.若存在实数
，使得
是
的“
调整函数”，求调
整系数
的取值范围；
(3)已知
是
的“1-调整函数”，函数
的值域是一个闭区间，记作集合
，函数
的值域记作集合
.若
，判断
是否一定是常值函数，并说明理由.
【解析】（1）因为
，
所以
.
所以
所以
是
的“2-调整函数”；
（2）由
，得
.
由于
是
的“
调整函数”，那么存在常数
，使得
恒成立，
即
，即
.
因为存在实数
，满足上式，所以
，即
.
1)若
，则
成立；
2)若
，则
，所以
，且
.
设
，则
在
单调递增.
当
时，因为
，
所以存在
，当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
，不满足题意；
当
时，
，
，所以
，
在
上单调递减，
所以
恒成立.
3)当
时，对
，
恒成立.
综上，调整系数
的取值范围是
.
（3）
不一定是常值函数.
例：令
，
，
，
.
此时函数
的值域是一个闭区间，为集合
，函数
的值域为集合
，满足
.
又
，满足对任意实数
恒成立，即满足
是
的“
调整函
数”，
此时
不是常值函数.
题型 5：切线新定义
例13．（2026·高三·安徽宣城·期末）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若对任意的实数
、
，曲线
与直线
总相切，则称函数
是“
函数”.若
当
时，函数
是“
函数”，求实数
的值.
【解析】（1）当
时，函数
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，
故
有极小值
，无极大值.
（2）因为
，所以
，其中
，
①当
时，
，
在
上单调递减；
②当
时，令
，得
，可得
，
又
为增函数，
所以当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
综上，当
时，
的单调递减区间为
，无单调递增区间；
当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（3）当
时，函数
是“
函数”，
则
，
设曲线
与直线
的切点为
，
对函数
求导得
，
则
，故
，即
，
所以
且
，
设
，由
解得
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，则
是方程
的唯一根，
所以
.
例14．（2026·高三·江苏·期末）已知函数
，
．
(1)当
时，
①证明：
时，
；
②求函数
的极值点个数；
(2)两函数图象在公共点处的公切线称为“合一切线”．若曲线
与曲线
存在两条互相垂直
的“合一切线”，求
、
的值．
【解析】（1）①①当
时，
，
当
时，则
，当且仅当
时，等号成立，
故函数
在
上为增函数，
故当
时，
，故原不等式得证；
②一个.
②由题意可得
，
所以
，且
.
当
时，
.
因为
，
，所以
.
因为
对任意
恒成立，
所以当
时，
，所以
是
的唯一极值点.
（2）由题意可得
，则
，
设曲线
与曲线
的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为
、
，
其斜率分别为
、
，则
.
因为
，所以
，所以
.
不妨设
，则
.
因为
，
由“合一切线”的定义可知
.
所以
.
由“合一切线”的定义可知
，所以
.
当
，
，
时，取
，
，
则
，
，
，
，符合题意.
所以
，
.
例15．（2026·辽宁大连·二模）定义：若存在
，
，使得曲线
在点
和点
处有相同的切线l，则称切线l 为曲线
的“自公切线”.已知函数
．
(1)若函数
在区间
上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)证明：当
时，曲线
不存在“自公切线”；
(3)若曲线
有且只有两条“自公切线”，求实数a 的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，
，
由题意可知，
，即
在区间
上恒成立，
设函数
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，所以
，即
.
（2）当
时，
，
，
假设
在点
和点
处存在“自公切线”l，
则l 的斜率
，
，
即
，
同时
，
故
，即
不妨设
，令
，
，
则
，
所以
在区间
上单调递减，
，故
不成立，
所以当
时，曲线
不存在“自公切线”.
（3）因为
，所以
为偶函数，
又由（2）可得，当
时，曲线
不存在“自公切线”，
所以当
时，曲线
也不存在“自公切线”．
假设
在点
和点
处存在“自公切线”l，
则
和
只可能一正一负，不妨设
，
，
则l 的斜率
，
即
同时
，
所以
，
所以
或
，即
或
，
①当
时，因为
，所以
，
所以
，令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
，
所以函数
没有零点，此时没有满足题意的
，即
没有“自公切线”；
当
时，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以
，
因为
，且
时，
，
当
，即
时，
，
没有零点，即
没有“自公切线”；
当
，即
时，
，
有一个零点，即
有一条“自公切线”；
当
，即
时，
，
有两个零点，即
有两条“自公切线”．
②当
时，
，又
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
设函数
，
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
且
，
，
，
所以当
，即
时，
有一个解，即
有一条“自公切线”；
当
，即
时，
有两个解，即
有两条“自公切线”；
当
或
，即
或
时，
无解，即
没有“自公切线”．
又因为当
时，
在情况①
中，
，
；
在情况②
中，
，
；
所以当
时，
与
同时成立，
有且只有一条“自公切线”．
综上所述，若曲线
有且只有两条“自公切线”，实数a 的取值范围是
.
变式8．定义：如果函数
在定义域内，存在极大值
和极小值
，且存在一个常数
，使
成立，则称函数
为极值可差比函数，常数
称为该函数的极值差比系数．已知函数
(1)当
时，判断
是否为极值可差比函数，若是，求极值差比系数，若不是，说明理由；
(2)是否存在
使
的极值差比系数为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由；
(3)若
，求
的极值差比系数的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极大值为
，极小值为
，
依题意，
，
因此
是极值可差比函数，其中极值差比系数为
；
（2）由题意，
的定义域为
，
，即
，
假设
是极值可差比函数，且极值差比系数为
，
设
的极大值点为
，极小值点为
．
则
，得
，
由（1）分析可得
，又
，则
．
由于
，即得
．
由题意，
，则需使
，
因
，可得
则得
，即
，移项得
（*）．
令
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，
因此（*）方程在
时无解，即不存在
使
的极值差比系数为
；
（3）由（2）知
是极值可差比函数时，需满足
；
且
的极值差比系数为
，结合题意知
．
又
，则
的极值差比系数为
.
令
，则
，且极值差比系数可化为
，
注意到
在
时单调递减，
由
，可得
，
令
，则
，
设
，
所以
在
上单调递减，则
，则
，故
在
上单调递增，
因
，
当
时，
，
即得
．
故当
时，
的极值差比系数的取值范围
．
当
时，
的极值差比系数不存在.
题型 6：自定义 “零点 / 交点新定义”
例16．（2026·高三·甘肃庆阳·期中）记函数
的导函数为
，函数
的导函数为
，若
，则称点
为函数
的广义反曲点.
(1)若
，求
的广义反曲点；
(2)已知函数
有且仅有三个广义反曲点，证明函数
的三个广义反曲点共线，
并求出直线方程.
【解析】（1）
记
，则
，所以
.
又
，所以
的广义反曲点是
.
（2）证明：函数
，则
，
记
，则
.
记
，
设
的广义反曲点的横坐标分别为
，
，
，则
，
，
是
的全部零点.
证明
的三个广义反曲点共线等价于证明
，使得
，
.
即证
，使得
，
，
是方程
的根，
即方程
有且仅有三个不相同的根
，
，
.
由
，
所以
，
即
，由
，解得
，
代入
成立，所以
满足条件.
即
的三个广义反曲点共直线
.
例17．（2026·山东·二模）函数
和
有相同的定义域，导函数分别为
，
，若在
定义域内均有
，则称
是
的“
－函数”．
(1)判断
是否为
的“
－函数”，并证明；
(2)设
和
为定义在
上的函数，已知
，
，
是
的
“
－函数”，证明：
（为常数）；
(3)若
，
，
，
，证明：
是
的“
－函数”．
【解析】（1）
是
的“
－函数”，证明：
由函数
，可得
，
又由
，可得
，
因为
，所以
是
的“
－函数”.
（2）由
为定义在
上的函数，可得函数
的定义域为
，
因为
，所以
为偶函数，
又因为
是
的“
－函数”，所以
，
因为
，
，所以
是
的“
－函数”，
即
，用
代替
，可得
，所以
，
令
，则
，所以
（为常数），
所以
（为常数）
（3）由函数
，
，
可得
，
，
设
，可得
，
设
，则
，
则
，所以
递增，即
递增，且
，
，
存在
使得
，
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
，
设
，可得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
，所以
，即
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，即
，
所以当
时，
是
的“
－函数”
例18．（2026·湖北宜昌·二模）定义：若函数
图象上恰好存在相异的两点
，满足曲线
在
和
处的切线重合，则称
为曲线
的“双重切点”，直线
为曲线
的“双重切
线”.已知函数
.
(1)当
时
（i）判断
的奇偶性，并求
在
的极值；
（ii）设
在
内的全部极值点按从小到大的顺序排列
，求证：
；
(2)当
时，直线
为曲线
的“双重切线”，记直线
的斜率所有可能的取值为
，若
，证明：
.
【解析】（1）（i）当
时，
，
因为
，故
是偶函数，
由
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
在
的极小值为
，无极大值.
（ii）由（i）得
，令
，则
，
对满足方程的
有
，所以
，
设
是
的任意正实根，则
，
则存在一个非负整数
，使
，即
为第二或第四象限角，
因为
，
所以在第二或第四象限
变化时，
变化如下，
（
为奇数）
0
+
（
为偶数）
+
0
所以满足
的正根
都为函数
的极值点，
由题可知
为方程
的全部正实根，
且满足
，
，
所以
，
因为
，
，
，
则
，由
，可得
，
故
得证.
（2）由题意得
，
当
时，
，
设
对应的切点为
，
，
对应的切点为
，
，
由于
，所以
，
，
由余弦函数的周期性，只要考虑
的情形，
又结合余弦函数的图象，只需考虑
，
情形，
则
，
，
其中
，得到
，
又
，
，
即
，
，
当
时，
，
，
令
（
），
则
，
，
在
上单调递减，又
，所以
，
所以
，此时
，则
，
故
得证.
变式9．若定义在
上的函数
和
分别存在导函数
和
，且对任意实数
，都存在
常数
，使
成立，则称函数
是函数
的“
控制函数”，称
为控制系数．
(1)求证：函数
是函数
的“
控制函数”；
(2)若函数
是函数
的“
控制函数”，求控制系数
的取值范围；
(3)若函数
，函数
为偶函数，函数
是函数
的“
控制函数”，求
证：“
”的充要条件是“存在常数，使得
恒成立”．
【解析】（1）因为
，
，所以
，
，则
，
故
，即
恒成立，
故函数
是函数
的“
控制函数”.
（2）因为
，
，
则
，
，
因为函数
是函数
的“
控制函数”，
所以，对任意的
，
，则
，
令
，
则
，
且
，
故当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以，
，所以
，
若函数
是函数
的“
控制函数”，
则实数
的取值范围是
.
（3）充分性：若存在常数使得
恒成立，则
，
因为函数
为偶函数，所以
，则
，
则
为偶函数，即
，
所以
恒成立，所以
；
必要性：若
，则
，所以函数
为偶函数，
函数
是函数
的“
控制函数”，
因此对任意的
，
，
又
，
，所以，
，
，
所以
，即
，
用
代换
可得
，故
，
综上可知
，记
，则
，
因此存在常数使得
恒成立，
综上可得，“
”的充要条件是“存在常数使得
恒成立”.
1．（2026·云南昭通·二模）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正
整数
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
．注：
已知
在
处的
阶帕德近似为
．
(1)求实数
的值；
(2)当
时，试比较
与
的大小，并证明；
(3)已知正项数列
满足：
，证明：
．
【解析】（1）由题意，
，
，
则
，
，
，
，
又
，
，
所以
，解得
，
，
所以
；
（2）
，证明如下：
由（1）得
，
，所以
，
当
时，
，
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
，
即当
时，
，得证；
（3）证明：设
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
即
，当且仅当
时等号成立，
由题意，正项数列
，
，则
，
，
所以
，
令
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
所以
，所以
，
即
，所以
，
又数列
为正项数列，
，所以
，
又由（2）可得
，所以
，
又因为
，所以
，即
，
所以
，即
，
所以
，则
，所以
，
又
，也符合上式，所以
，
要证
即证
，即证
，
又
，所以
，
又
，所以
，即
，所以
，
令
，则
，
所以
单调递增，所以
成立，
所以
成立，
所以
成立，所以
成立，所以
，得证.
综上所述，可得
.
2．帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已知函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足
.其中
.已知
在
处的
阶帕
德近似为
.
(1)求
的值；
(2)若对于任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
【解析】（1）
，
；
所以
；
所以
，
，
由
，解得
.
综上，
，
，
.
（2）由（1）得：
.
令
，
因为
，
所以若
恒成立，则
在
附近单调递增，即
，
又
，
所以
，则
.
下面证明充分性，即当
时，不等式
对于任意的
恒成立，
由于当
时，
，
所以，当
时，则
恒成立，
当
时，
，
令
，
，
所以
，
在
上单调递增，
又
，所以
恒成立，即
在
上成立，
所以，
成立，充分性得证，
综上，当
时，不等式
对于任意的
恒成立，即
的取值范围为
.
3．（2026·广东江门·一模）帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已
知函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足
.其中
.已知
在
处的
阶帕
德近似为
.
(1)求
的值；
(2)若对于任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(3)已知
是函数
的三个不同的零点，且
，求实数
的取值范
围，并证明
.
【解析】（1）
，
；
所以
；
所以
，
，
由
，可得
.
（2）由（1）得：
.
令
，
由于
，所以若
恒成立，
则
在
附近单调递增，即
，
又
，
所以
，则
.
下面证明充分性，即当
时，不等式
恒成立，
由于当
时，
，
所以若
，则
恒成立，
若
时，
，
令
，
，所以
，
则
在
上单调递增，又
，
所以
恒成立，即
在
上成立，
则有
成立，充分性得证，
所以当
时，不等式
恒成立.
（3）
，
设
，则
令
，
当
时，
，则
，故
在
上单调递增，不合题意；
当
时，由
，可得
，
此时
在
上恒成立，故
，则
在
上单调递增，不合题意；
当
时，即
时，
有两个零点
，
其中
，
令
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
由
，所以
，
又
，
即
在区间
内存在一个零点，在区间
上存在一个零点，
又
，所以当
时，
有三个不同的零点
，
4．（2026·上海·三模）若曲线
的切线与曲线
共有
个公共点（其中
），则称为曲线
的“
切线”．
(1)若曲线
在点
处的切线为
切线，另一个公共点的坐标为
，求
的值；
(2)求曲线
所有
切线的方程；
(3)设
，是否存在
，使得曲线
在点
处的切线为
切线？若存在，
探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由．
【解析】（1）曲线
在点
处的切线为
切线，另一个公共点的坐标为
，
所以切线斜率为
，
所以
.
（2）
，所以
.
设切点为
，则切线斜率为
，
所以切线方程为
，即
.
设
，
因为切线为
切线，所以
有且仅有1 个根，
所以
解得
，
所以曲线
所有
切线仅有一条，切线方程为
.
（3）存在，理由如下：因为
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
令
，
所以
，
因为
，所以
，
当
，
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
所以
的所有极大值为
，
当
时，极大值为
，即
.
当
为正整数时，极大值均小于
，所以
在
无零点.
当
为负整数时，极大值均大于
，
的所有极小值为
,
当
时，极小值
，且随着
的增大，极小值
越来越小，
因此曲线
在点
处的切线为
切线，等价于
有三个零点，等价于
，即
有解.
令
，则
，
所以
在
单调递增，又
，
，
所以存在唯一实数
，满足
，
所以存在唯一实数
，使得曲线
在点
处的切线为
切线.
5．（2026·高三·四川成都·阶段检测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac
Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤
如下：设是函数
的一个零点，任意选取
作为的初始近似值，在点
处作曲线
的切线，设与
轴交于点
，并称
为的1 次近似值；在点
处作曲线
的切线
，设
与
轴交于点
，称
为的2 次近似值.一般地，在点
处作
曲线
的切线
，记
与
轴交于点
，并称
为的
次近似值.
(1)若函数
，取
作为的初始近似值，求的2 次近似值；
(2)若函数
，取
作为的初始近似值，点
，数列
是由
，
，
，
，
构成
的，记：
，
.回答以下问题：
（i）求数列
的通项公式，并将
的长度用
表示；
（ii）求证：
.
【解析】（1）由
得
，则
，又
，得
，
故在
处的切线的方程为：
，
令
，得到
，所以
，得到
，
所以
，在
处的切线
的方程为：
，
令
，得到
，故r 的2 次近似值为
；
（2）（i）由
，得
，
，则
，
，得
，
同理：在点
处的切线斜率为
，
，将
代入得
，
所以
或
，
若
，则
重合，与题设矛盾，故舍去，
故
，故数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
得到
，
由抛物线的定义可得
，
故
；
（ii）由题意得
，
由（i）知
，
得
，
结合
时，
，
可得
，故
，
所以
，将
代入，
得
.
6．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，
.如果
当
（或
）时，两个函数
与
都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限
叫作未定式，并分别简记为
或
.当
（或
），极限
为未定式且
、
、
存在
时，有：
.这种在一定条件下通过分子分母分别
求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（
）.
(1)使用洛必达法则，求极限；
①
；②
；③
(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）：
①
；②
；③
；
(3)
且
，
，
恒成立.
①直接写出
解析式；
②求
的取值范围.
【解析】（1）①对于
，当
时，分子
，分母
，属于
型，
；
②对于
，属于
型，
；
③对于
，属于
型，
.
（2）①
；
②
；
③
.
（3）①由
，则
，又
，
，得
，
.
②对
，
恒成立，
即
，
令
，则
，
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，即
，
所以当
和
时，
，当
时，
，
即
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，即
的取值范围为
.
7．（2026·高三·河南·阶段检测）若函数
在开区间I 内满足：
，
在
处的切线的斜率均为
，则称
为I 内的“
缘分函数”．
(1)判断
是否为
内的“
缘分函数”，并说明理由；
(2)若
为
内的“
缘分函数”，求实数a 的取值范围；
(3)证明：
不是
内的“
缘分函数”
．
【解析】（1）求导得
，
为
内的“
缘分函数”当且仅当方程
在
内有两个不同
的解，
而
在
上单调递减，即
在
上单调递减，
故方程
在
内最多有一个解，
从而
不是
内的“
缘分函数”；
（2）原条件等价于
在
内有两个不同的解，
即
在
内有两个不同的解，
设
，
由对勾函数性质可知
在
上单调递减，在
上单调递增，
注意到
，
故所求为
；
（3）由题意只需证明
在
内最多有
1 个根，
令
，
即证
最多有一根，
求导得
，
当
时，
在
上都单调递增，
设
，注意到
，
从而当
时，存在唯一的
，使得
，即有
成立，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
有最小值
，
这表明
最多有一根，
综上所述，命题得证.
8．已知函数
的导函数为
，我们称函数
的导函数
为函数
的二阶导函数，若一个
连续函数
在区间
上的二阶导函数
，则称
为
上的凹函数，若二阶导函数
，
则称
为
上的凸函数.
(1)若函数
是
上的凸函数，求实数
的取值范围.
(2)已知函数
.
①若
是
上的凹函数，求实数
的取值范围；
②若
在
内有两个不同的零点
，证明：
.
【解析】（1）因为
，定义域为
，
所以
，
.
因为
是
上的凸函数，所以
在
上恒成立，
即当
时，
恒成立.
函数
图象的对称轴为直线
，
当
，即
时，只需
时，
即可，所以
，
当
，即
时，只需
时，
即可，所以
，
综上可得
.
（2）①因为
，
，所以
，
.
因为
是
上的凹函数，所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立.
令
，则
.
当
时，
，则
，
单调递增；
当
时，
，则
，
单调递减.
所以
，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
②证明：由①知，因为
在
内有两个不同的零点
，
，
所以方程
在
内有两个根
，
，即
.
因为
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
.
欲证
，即证
.
因为
且
在
上单调递减，
所以只需证明
，即证
.
欲证
，即证
，即
，
只需证
，即证
，而该式显然成立.
欲证
，即证
.
因为
，所以只需证
，
即证
，即需证
.
令
，
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，则原不等式得证.
故
.
9．在高等数学中，我们将
在
处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
（其中
表示
的n 次导
数
），以上公式我们称为函数
在
处的泰勒展开式．当
时泰勒展开式也称为麦
克劳林公式．比如
在
处的麦克劳林公式为：
，由此当
时，
可以非常容易得到不等式
请利用上述公式和所学知识完成
下列问题：
(1)写出
在
处的泰勒展开式；
(2)根据泰勒公式估算
的值，精确到小数点后两位；
(3)若
，
恒成立，求a 的范围．（参考数据
）
【解析】（1）由
，
，
，
，
其中
，
在
处的泰勒展开式为：
，
（2）记
，则
，
，
所以
，
因为
，
所以
且
，
，
．
（3）因为
，
由
在
处的泰勒展开式，先证
，
令
，
，易知
，所以
在
上单调递增，
所以
，所以
在
上单调递增，所以
，
所以
在
上单调递增，所以
，
再令
，
，易得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
，所以
恒成立，
当
时，
，所以
成立，
当
时，令
，
，易求得
，
所以必存在一个区间
，使得
在
上单调递减，
所以
时，
，不符合题意．
综上所述，
．
10．在航空领域，飞机飞行轨迹的弯曲程度对飞行安全和效率至关重要.对于一条光滑曲线
，我们
定义曲线段
的平均曲率为
，曲线在点C 处的曲率为
（若极限存在），
其中
，
分别表示
在点C 处的一阶、二阶导数值.已知函数
.
(1)求函数
在点
处的曲率；
(2)求函数
的曲率K 的最大值；
(3)设函数
，
，若存在
使得
的曲率为0，求证：
.
【解析】（1）函数
，求导得
，
，则
，
，
所以函数
在点
处的曲率
.
（2）由（1）知，
，令
，则
，
函数
在
上单调递增，因此函数
在
上单调递减，
当
，即
时，函数
的曲率K 取得最大值2.
（3）函数
，求导得
，
，
由
曲率为0，得
，则
，即
，令
，
求导得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
处取得最大值
，
又当
时，
恒成立，而
，因此
有两个解
，
当
时，
，则
，设
，
，
于是
，
，
，则
，
，
不等式
，
令
，求导得
，
因此函数
在
上单调递增，
，则
；
当
时，
，
不等式
，
，同理
，函数
在
上单调递增，
因此
，则
，
所以
.
11．牛顿法（Newton´sMethod）是牛顿在17 世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如
图，设是
的根，选取
作为的初始近似值，过点
作曲线
的切线
的方程
为
．若
，则
与
轴的交点的横坐标记为
，称
为的一阶近似值．
再过点
作曲线
的切线，并求出切线与
轴的交点横坐标，记为
，称
为的二阶近似
值．重复以上过程，得的近似值序列：
．根据已有精确度
，当
时，给出近似解．
已知函数
．
(1)若给定
，求方程
的二阶近似值；
(2)求曲线
在点
处的切线方程，并证明
；
(3)若关于
的方程
的两个根为
，证明：
．
【解析】（1）构建函数
，则
，
可得
，
当
时，
，
同理
，且
，所以
；
（2）因为
，则
，
可得
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
所求切线方程为
，即
；
（3）由
得
，
当
时，
；当
时，
，
可知
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
当
时，
；
时，
；
若方程
的两个根为
，则
，
当
时，
，则
；
可得
，即
，
设
，则
，
当
时，
；当
时，
，
可知
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
可得
，当且仅当
时取等号，
则
，即
，
所以
.
12．给定两个正整数
、
，函数
在
处的
阶帕德逼近定义为
，且
满足
，
，
，
（注：
为
的导函数，
为
的导函数，
为
的导函数，以此类推）．已知函数
．
(1)记
为
在
处的
阶帕德逼近，求
解析式；
(2)
，
，求
的取值范围．
【解析】（1）由题意得
，
，
，
，
由
，得
，
所以
，则
，
由
，得
，
所以
，由
，得
，
所以
．
（2）依题意得
在区间
内恒成立，
可得
，
令
，其中
，且
，
则
，令
，
当
时，对任意的
，
恒成立，即
，
此时，函数
在
上单调递增，则
，合乎题意；
当
时，即当
时，
对任意的
，
恒成立，即
，
此时，函数
在
上单调递增，则
，合乎题意；
当
时，则
，函数
有两个不等的零点
、
，设
，
由韦达定理可得
，必有
，
所以，当
时，
，即
，所以，函数
在
上单调递减，
此时，
，不合乎题意.
综上所述，实数
的取值范围是
.
13．（2026·上海浦东新·二模）定义域为
的可导函数
满足，在曲线
上存在三个不同的点
，使得直线
与曲线
在点
处的切线平行（或重合）．
若
成等差数列，则称
为“等差函数”；若
成等差数列且
均为整数，则称
为“整数等差函数”．
(1)设
，
，分别判断
和
是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
(2)若
为“整数等差函数”，求实数
的最小值；
(3)已知
的导函数
在
上为增函数，且存在一个正常数
， 使得对任意
，
成立，证明：
为“等差函数”的充要条件是
为常值函数．
【解析】（1）假设
成等差数列，得
，
设公差为
，则
，
对于
：直线
的斜率
，
因为
，所以曲线
在点
处的切线斜率为
，
由题意，
恒成立，
取
，
，则
成等差数列且均为整数，故
是“整数等差函数”．
对于
，直线
的斜率
，
因为
，所以曲线
在点
处的切线斜率为
，
由题意
，
若
，则
，
令
，
，则
恒成立，所以
在
上单调递减，
所以
，即
在
上恒成立，
即
恒成立，所以
无解，
故
不是“整数等差函数”．
（2）因为
为“整数等差函数”，所以
成等差数列且
均为整数，
设公差为
，则
，且
，
直线
的斜率
，
因为
，所以曲线
在点
处的切线斜率为
，
由题意，
，
又
的定义域为
，有
，
当
时,
,此时
,无最小值；
当
时,因为
，
，
所以
，
则
，可取
使等号成立，故
的最小值为
;
综上，实数
无最小值；
（3）充分性，因为
为常值函数，所以
，
任意取等差数列
，则直线
的斜率
，
曲线
在点
处的切线斜率为
，
因为
，所以
为“等差函数”．
必要性，因为
为“等差函数”，所以
成等差数列，
设公差为
，则
，
直线
的斜率
，
曲线
在点
处的切线斜率为
，
由题意，
,
，
令
，
则
，
令
，
则
，
因为
在
上为增函数，所以
，
在
上为增函数，
因为
，所以
，
在
上为增函数，
因为
，所以
在
上恒成立，
又
，由
的单调性知
，
故
，
，
，
为常数，
，
，
，
接下来，一方面，因为
，且
在
上为增函数，
所以
在
上为增函数，故
，
，
由
，可得
，
另一方面，因为
，
所以
，可得
，
以此类推，
在
上恒成立，即
为常值函数．
命题得证！
