专题 01 集合与常用逻辑用语、复数
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热点聚焦 方法精讲 能力突破
热点聚焦·析考情
锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
题型引领·讲方法
系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
能力突破·限时练
实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年：1、集合与复数：作为近三年高考高频考点，命题形式以选择题为主，呈现“内容聚焦、频率稳
定、题型固定、难度适中”的特点。核心考查方向为：集合间的交集、并集、补集运算（常结合一元一次
不等式、一元二次不等式、分式不等式及指数、对数不等式为载体），但也要注意集合创新题型的出现；
复数的基本概念（如实部、虚部、共轭复数、模）及四则运算．
2、常用逻辑用语：近三年未出现单独命题，偶尔以“隐含条件”形式融入其他考点题目中．集合内容可
能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数、对数不等式的形式考查集合的交集、并集、补集运
算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题以及与函数、方程、不等式等其他章节
知识的跨界结合．
预测2026年：集合内容可能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数对数不等式的形式考查集
合的交集、并集、补集运算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题以及其他章节
知识与充分必要条件相结合．
热点题型：
题型01 集合之间的关系及运算 题型02 集合的子集问题
题型03 集合的新定义问题 题型04 简单逻辑用语及充要条件
题型05 代数形式下的复数运算
题型01 集合之间的关系及运算
解｜题｜策｜略
分式不等式要注意分母不为0，对数不等式要注意真数大于0
【精选例题】
【例1】设集合 ， ，则A∩(C B)=（ ）
RA． B． C． D．
【答案】C【详解】 ， ，C B=(−∞,3)，A∩(C B)={1,2}.故选：C
R R
【例2】已知集合 ， ，则（ ）
A．
B．(C B)∩B=φ
C．
D．(C A)∪(C B)=C A
R R R R
【答案】B【详解】因为 ， ，所以 是 的真子集，故
，
所以(C B)∩B=φ
，故A错误，
B正确；则(C A)∪(C B)=C (A∩B)=C B
，故D错
R R R R R
误；因为 ，所以 ，故C错误.故选：B.
【例3】已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】 ，即 ，所以 ，即 ，由 ，得 ，所以
，所以 .故选：C.
【例4】已知集合 ，则 （ ）
A． B．
{x|−2≤x<1}
C． D．
【答案】D【详解】由题意 ，
或 ，所以 .故选：D.
【例5】已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】函数 在 上单调递增， 时， ，所以 ，
函数 在R上单调递减，当 时， ，所以 ，则 ，得
.故选：A
【例6】已知集合 ，集合 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C【详解】由 ，得 ，于是 或 ，解得
，即 ，由 ，得 ，解得 ，
即 ， ，所以 .故选：C
【变式训练】
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】因为集合 ，所以 ，又
，所以 .故选：C
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】因为 ，
，所以 .故选：B.
3.已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由 ，得 ，则 ；由 ，得 ，则 ，所以
.故选：B
4.已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】由 可得 ，解得 或 ；由
.所以 .故选：D.
题型02 集合中的子集问题
解｜题｜策｜略若集合A中有n个元素，则子集的个数为2n个，真子集的个数为2n −1个
【精选例题】
【例1】已知集合 ， ，则 的子集的个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】D【详解】 ，由 ，解得 ，即 ，即
，共有4个元素，则其子集个数为 个.故选：D.
【例2】已知集合 ， ，则 的子集个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】A【详解】将 代入 可得， ，解得 .又 ，所以 可取 .所以，
，共有3个元素.所以， 的子集有 ， ， ， ，
， ， ， ，共 个.故选：A.
【例3】设集合 ，则集合 的真子集个数为（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】D【详解】由 得 ，解得 ，又 ， ，由集合
中共有 个元素，故 的真子集个数为 .故选：D.
【例4】满足 的集合A的个数为（ ）
A．6 ⫋B．7 C．8 D．15
【答案】B【详解】因为集合 满足 ，则集合 中必有 ，集合 还可以有元素
，满足条件的集合有 ⫋ ，共7个.故选：B
【跟踪训练】
1.设集合 ， ，则 的真子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】B【详解】依题意， ， ，则 ，所以
的真子集的个数为 ．故选：B
2.已知集合 ，则集合 的非空真子集的个数为（ ）
A．6 B．7 C．14 D．15
【答案】A【详解】由不等式 ，解得 ，所以集合 ，所以集
合 的非空真子集的个数为 .故选：A.3.满足 的集合 的个数是 ．
【答案】 【详解】满足 的集合 有： 、 、 、 、
、 、 、 ，所以，满足条件的集合 的个数为 .故答案为： .
题型03 集合的新定义问题
【精选例题】
【例1】定义集合运算⊕，A， ， ， 表示集合A中元素
的个数，则以下说法不正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ，则 的值可能为4
C．
D．
【答案】D
【分析】根据集合B只有一个元素，分析集合A只有2个元素，设 ，可得 ，根据条件，分
析计算，可求得集合A，即可判断A的正误；设 ，根据条件，计算可得 的最大
值为8，当有部分元素重合时，举例分析，可得 ，即可判断B的正误；根据所给定义，分析可
得 ， ，即可判断C的正误；举例
时，计算可得 ， ，即可判断D的正误.
【详解】选项A：因为 ，只有一个元素，则集合A中只有2个元素，所以设 ，则
，因为 ，不妨设 ，则 ，所以
，
所以 ，解得 ，同理，若 ，则 ，所以 ，解得 ，综上 ，
故A正确；选项B：由题意，设 ，所以 中最多有4个元素，（c，d，e，f均不相
同时），
此时 ，当 与 没有共同元素时，
，当 与 有部分重
复元素时， ，例如 时， ， ，
此时 ，则 ，所以 的值可能为4，故B正确；选项C：
，当A与B没有交集时取等号，因为a有 种取法，b有 种取法，所以，因为 ，
所以 ，故C正确；选项D：当 时， ，
，所以 ，则 ， ，所以
，此时 ，故D错误.故选：D
【例2】设集合 ，那么集合 中满足条件“
”的元素个数为（ ）
A．15 B．35 C．40 D．45
【答案】D
【分析】设 中，有 个 ， 个 ，则可得 ，再分 、 及 进行讨论即可
得.
【详解】设 中，有 个 ， 个 ，则有 个 ，
则需 ，解得 ，
则当 时， ， 共有 种情况；
则当 时， ， 共有 种情况；
则当 时， ， 共有 种情况；
故共有 种情况，
即集合 中满足条件“ ”的元素个数为 .
故选：D.
【例3】若数集 具有性质 ：对任意的 ， 与
中至少有一个属于 ，则称集合 为“权集”，则（ ）
A． 为“权集” B． 为“权集”
C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1
【答案】B
【分析】根据集合的新定义，验证选项A、B，集合“权集”中不能有0，判定C错误，举例验证，判定D
错误.
【详解】因为 与 均不属于数集 ，所以A错误；
因为 都属于数集 ，所以B正确；
由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误；易知 是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误.
故选：B.
【例4】给定整数 ，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集 ，如果
，则称集合S为一个n元规范数集（注： 表示数集 中的最小数）.对于集合
， ，则（ ）
A．M是规范数集，N不是规范数集 B．M是规范数集，N是规范数集
C．M不是规范数集，N是规范数集 D．M不是规范数集，N不是规范数集
【答案】C
【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.
【详解】由题意知集合中任意两个不同数的差的绝对值的最小值若为1，则该集合是规范数集.
集合 ，当 时， ，
即 的相伴数集中最小元素小于1，故 不是规范数集；
集合 ，
因为 ，
即 的相伴数集中最小元素为1，所以 是规范数集；
综上： 不是规范数集， 是规范数集.
故选：C.
【例5】（多选题）对任意 ， ，记 ，并称 为集合 ， 的对
称差.例如：若 ， ，则 .下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若 ， 且 ，则 B．若 ， 且 ，则
C．若 ， 且 ，则 D．对任意 ， ，都有
【答案】BCD
【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可.
【详解】对于A，因为 ⊕ ，所以 , ，故 ，故A错误；
对于B， ， 且 ⊕ ，则 , ，
即 与 是相同的，所以 ，故B正确；
对于C， ， 且 ⊕ ，则 , ，
故 ，且 中元素不能出现在 中，故 ，故C正确；
对于D， ⊕ , ，其中 ， ，
故 ⊕ ， , ，
而 ⊕ , ，故 ⊕ ⊕ ，故D正确．
故选：BCD．
【例6】已知集合 .对于集合 的非空子集 ，如果存在两个元素 ， ，
满足 ，则称集合 为集合 的“好集合”.
(1)试判断 ， 是否为 的“好集合”，并说明理由；
(2) 为 的子集，且 中元素均为偶数，证明： 是 的“好集合”；
(3)若 的任意含有 个元素的子集都是 的“好集合”，求 的最小值.
【答案】(1) 不是“好集合”， 是“好集合”；(2)证明见解析；(3)
【分析】（1）根据好集合的定义判断即可；
（2）先就 、 分类讨论，后者再就 不同的取值分类讨论后可得 是 的“好集合”；
（3）先由特例得 ，再利用反证法证明任意 个元素的子集必定为 “好集合”，从而可得 的
最小值.
【详解】（1）由题设有 ，
对于 ，任意两个元素的差的绝对值的最大值为 ，
故 不存在两个元素 ， ，满足 ，故 不是“好集合”.
对于 ，因为 ，而 ，
故 存在元素 ，满足 ，故 是“好集合”.
（2） ， 中所有的偶数为 ，
对于 ，不妨设 ，
则 ，故 ，
若 ，则 为“好集合”.
若 ，则 ，
若 ，则 ，此时 ，
若 ，则 ；若 ，则 ，
若 ，则 或 ，
若 ，则 ，若 ，则 ；若 ，则 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，若 ，则 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ；若 ，则 ，
综上， 是 的“好集合”.
（3）我们首先证明： ，
取 ，此时 中元素的差的绝对值的最大值为 ，
即此集合中没有相异元素差的绝对值大于 ，不合题设，故 ；
下证：当 时，任意 个元素的子集必定为 “好集合”.
假设存在一个 个元素的子集，它不是好集合，
设该集合为 ，且 ，
由平移对称性，不妨设 ，则 ，
因为 ，故存在 即 非空，
取 为集合 中的最小元素，
若 ，则 ，
故 中无元素 ，
此时 中元素最多为： ，这些元素共 个，
而 中元素个数恰为 ，故 ，
但 ，与假设矛盾，故
若 ，则 ，
故 中无元素 ，
此时 中元素最多为： ，这些元素共 个，
而 中元素个数恰为 ，矛盾，故 ，
同理可证 ，这与 非空矛盾，
故当 时，任意 个元素的子集必定为 “好集合”.
【例7】在一个圆周上依次写出 （ 为奇数）个正实数 ，相邻两个数的乘积构成集合
，且 .
(1)若 ，求集合 ；(2)当 时，
（i）求出满足条件的一个集合 ；
（ⅱ）求证：对于满足条件的任何集合 都是无理数.
【答案】(1)
(2)（i） ；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据题中条件可设 且满足 ，解出 ，代入
求值即可；
（2）（i）令 ，记 ，则 ，继而求得 ，利用
,解出方程，进一步计算即可；
（ⅱ）记 ！，满足条件的 ，有 ，
根据集合 中，素数7只出现3次，可得 ，利用反证法证明即可.
【详解】（1）由条件设 且满足 ，
解得 ，
代入 ，经计算， 均为 这三个数的排列，
所以 ；
（2））当 时，记 ，
（i）令 ，记 ，由 得
，要使得 ，则有 ，则
，满足条件，此时，
；
（ⅱ）记 ！，对于满足条件的 ，有
，注意到在 中，素数7只出现3次，故 ，否则，若 ，则有 ，则
，
但 中有偶数个7（可能有0个7），而 中有奇数个7，矛盾，又假设存在 ，使得 ，
则 ，矛盾，所以 均为无理数.
【例8】对于正整数集合 ，定义：若任意去掉 个元素 后，剩余
的所有元素组成的集合都能划分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合
为“ -强可分集合”．
(1)判断集合 是否为“2-强可分集合”，并说明理由；
(2)求证：集合 一定不是“2-强可分集合”；
(3)若集合 是“1-强可分集合”．
①证明： 为奇数；
②求集合 中元素个数的最小值．
【答案】(1)不是“2-强可分集合”，理由见解析；(2)证明见解析；(3)①证明见解析；②7.
【分析】（1）根据强可分集合分析求解即可；
（2）根据强可分集合分析求解即可；
（3）根据强可分集合分析求解即可.
【详解】（1）因为 ，若去掉2和10，
则剩余元素之和为 ，故划分成的两个集合的元素之和应均为 ，
但是该集合的元素都是偶数，不管如何分割，元素之和不能为奇数，
所以 不是“2-强可分集合”
（2）不妨设 ，
若去掉的元素为 ，将集合 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有 ，或者 ；
若去掉的元素为 ，将集合 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有
③，或者 ④.
由①、③，得 ，矛盾；由①、④，得 ，矛盾；
由②、③，得 ，矛盾；由②、④，得 ，矛盾．
因此当 时，集合 一定不是“2-强可分集合”
（3）①设集合 所有元素之和为 ．由题可知， 均为偶数，
因此 均为奇数或偶数．
如果 为奇数，则 也均为奇数，由于 ，所以 为奇数．
如果 为偶数，则 均为偶数，此时设 ，则 也是“1-强可分集合”．重
复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“1-强可分集合”．此时各项之和也为奇数，则集合 中元素
个数 为奇数．
综上所述，集合 中元素个数为奇数.
②当 时，显然任意集合 不是“1-强可分集合”．
当 时，设 ，不妨设 ，
若去掉的元素为 ，将集合 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有
①，或者 ②；
若去掉的元素为 ，将集合 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有
③，或者 ④．
由①、③，得 ，矛盾；由①、④，得 ，矛盾；
由②、③，得 ，矛盾；由②、④，得 ，矛盾．
因此当 时，集合 一定不是“1-强可分集合”；.
当 时，集合 ，
当移除 时，剩余集合为 ，可划分为 与 ，这两个集合的和均为24，
当移除 时，剩余集合为 ，可划分为 与 ，这两个集合的和均为23，
当移除 时，剩余集合为 ，可划分为 与 ，这两个集合的和均为22，
当移除7时，剩余集合为 ，可划分为 与 ，这两个集合的和均为21，
当移除 时，剩余集合为 ，可划分为 与 ，这两个集合的和均为20，
当移除 时，剩余集合为 ，可划分为 与 ，这两个集合的和均为19，
当移除 时，剩余集合为 ，可划分为 与 ，这两个集合的和均为18，
则集合 是“ -强可分集合”．
所以集合A中元素个数 的最小值是7．
【变式训练】
1．整数集合 中，被4所除余数为 的所有整数组成一个“类”，记作 ，以下判断正确的是（ ）
A． B．C． D． ， ，则
【答案】D
【分析】由新概念“类”的定义逐一检验即可求解
【详解】对于A：因为 ，所以 ，故A错误；对于B：因为 ，所以
，故B错误；对于C：因为 ，所以 ，故C错误；对于
D： ， 则 ， ， ， ， ，
， ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，故D正确；故选：D
2．若集合 具有性质 ：“对任意 ，
与 至少有一个属于 ”，则称集合 为 型集合．已知集合 为 型集合，且 ，
则 （ ）
A．1025 B．3075 C．4050 D．4100
【答案】C
【分析】根据题意，得到 ，得到 ，再由 ，结合元素的互异性，即可求解.
【详解】由集合 为 型集合，则 ，因为对任意 ， 与 至
少有一个属于 ，则 ，所以 ，又因为 ，则 ，根据集合
元素的互异性，可得 ，所以 .故选：C.
3．设集合 中元素均为正整数，且至少有两个元素，若 满足：①对于任意 ，若 ，
都有 ；②对于任意 ，若 ，则 ．则关于下面两个命题，说法正确的是（ ）
命题 ：若S有3个元素，则 有4个元素．
命题 ：若 有4个元素，则 有7个元素．
A． 是真命题， 是真命题 B． 是真命题， 是假命题
C． 是假命题， 是真命题 D． 是假命题， 是假命题
【答案】C
【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除假命题，然后证明命题的正确性即可.
【详解】若取 ，则 ，此时 ，包含5个元素，则命题 是假命
题；
若取 ，则 ，此时 ，包含7个元素，则命题
可能是真命题；下面来证明：设集合 ，且 ， ，则，且 ，则 ，同理 ， ， ， ， ，若 ，
则 ，则 ，故 即 ，又 ，故 ，所以 ，
故 ，此时 ，故 ，矛盾，舍.若 ，则 ，故
即 ，
又 ，故 ，所以 ，故 ，此时
.
若 ，则 ，故存在 ，使得 ，故 ，故 ，故
，此时 即 中有7个元素.故选：C
4．（多选题）设集合 是实数集 的子集，如果实数 满足：对任意 ，都存在 ，使得
，称实数 为集合 的聚点，则在下列集合中，以1为聚点的集合有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而
得到答案.
【详解】对于集合 ，对 ，不存在 ，使得 ，
所以1不是集合 的聚点，A选项不正确；
对于集合 ，对于任意实数 ，存在 ，都有 ，
从而1是集合 的聚点，B选项正确；
对于集合 ， ，
对于任意实数 时，存在 ，使得 ，从而1是集合 的聚点，
C选项正确；集合 中，存在 ，因为 ，所以
∴1不是集合 的聚点，D选项不正确；
故选：BC.
5．（多选题）设集合 ，若 ，使得 （ 两两不等），
则称 为 集，下列结论正确的是（ ）
A．若 是 集，则 或
B．若集合 是 集，集合 是非空数集，则 是 集
C．若集合 是 集，集合 ，则 为 集
D． ， 且 ，使得 是 集
【答案】ACD
【分析】根据 集的定义求出 ，即可判断A，举反例判断B，根据 集的定义判断C、D.
【详解】对于A：由 集的定义及已知得， ，或 ，或 ，
解得 或 （舍去 ），故A正确；
对于B：若取 ，则 ， ，显然 不符合 集的定义，故B错误；
对于C：由 是 集，所以存在 （ 两两不等），使得 ，
因为 中的元素个数不小于 ，所以 且 ，使得 ，
且 两两不等，由 ，得 ，所以 为 集，故C正确；
对于D：设 ，
取 ，
满足 （ 两两不等），存在 ,
是 集，故D正确.
故选：ACD.
6．已知集合 ，非空集合 ，且满足: 对任意 ，均存在 ，使 . 记符
合要求的 的个数为 . 则对于正整数 ， .
【答案】
【分析】根据条件，分析可得当 时，满足要求的元素个数，可得 的个数，根据组合数的性
质，即可求得答案.【详解】因为 ，所以P中元素是 中满足 且 的元素，
对于 ，则 ，
所以满足要求的元素有 ，共有 个元素，
所以 在不考虑 顺序的情况下，共有 对，
故 .
故答案为：
7．对于给定的非空数集 ，定义集合 ，
，当 时，称 具有孪生性质.
(1)若集合 ，求集合 ， ；
(2)若集合 ， ，且 ，求 的值并证明： ；
(3)若集合 ，且集合 具有孪生性质，记 为集合 中元素的个数，求 的最大
值.
【答案】(1) ， ；(2) ，证明见解析；(3)1350
【分析】（1）根据题目所给新定义，写出集合即可；
（2）根据题目所给新定义，以及题干所给元素大小关系，求出元素差的大小关系，在根据条件列出方程，
求出结果即可；
（3）根据题目所给新定义，判断集合中元素满足的性质，分别讨论元素满足的条件，列出集合中元素个
数满足的不等式，求出结果即可.
【详解】（1）因为集合 ，所以由 ， ， ，可得 ；
， ， ，可得 .
（2）由于集合 ， ，
则 集合的元素在0， ， ， 中产生，
且 ， ，
而 ，故 中最大元素 属于 ，而 为4个元素中的最大者，
故 ，即 ，
故 ，故 中的3个元素为0， ， ，所以 只能与0或 或 重合，
而 ，故 即 .
（3）设 满足题意，设 ，
则 ，，又 ， ，
， ，即 ，
，
中最小的元素为0，最大的元素为 ， ，
，即 ，
.
实际上当 时满足题意，
证明如下：设 ， ，
则 ， ，
依题意有 ，即 ，故 的最小值为675，
于是当 时， 中元素最多，
即 时满足题意，
综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350.
8．设 为正整数，若集合 满足如下三个条件，则称 具有性质 ：
① 都是元素个数为 的数集；
②对任意 ，集合 的元素个数均为1；
③ .
(1)若集合 具有性质 ，写出集合 ；
(2)若集合 具有性质 ，判断是否存在 使得
，并说明理由；
(3)若集合 具有性质 ，求 的最大值.
【答案】(1) ；(2)不存在，理由见解析；(3)13
【分析】（1）假设 ，根据条件②来进行排除，同理排除 ，最终得出 ；
（2）用反证法证明，根据三个条件寻找矛盾即可；
（3）结合（2）先证明 ， 最多属于 中的4个集合，再列举出 时符合题意，反证 不符合
题意即可.
【详解】（1）由题意可得集合A中有3个不同的元素，
若 ，要使 与 满足条件②，则 均不属于 ，所以 ，
同理可判断 均不属于 ，则 符合题意，所以 .
（2）不存在，理由如下：
假设存在 使得 .
不妨设 ，设 ，
， ， ， .
由①②可知，a,b,c,d,e,f,g,h,l互不相同.
由③可知，存在集合 与 的交集不为 ，
且由②可知，集合 与 的交集中有且仅有一个元素，
不妨设集合 为 ，且 ，故 .
由②可知， 的元素个数均为 ，
且 均不为 或 ，
所以集合 或 ， 或 ， 或 .
由于b,d,e,f,g,h,l互不相同，集合 至少包含 个元素，与①矛盾.
所以不存在 使得 .
（3）设集合 具有性质 .
在 中存在一个集合，其中至少有两个元素分别属于其他集合，
否则，若 中的每一个集合中至多有一个元素属于其他集合，
则与②或③矛盾.
不妨设该集合为 ，设元素 分别属于其他集合，
除了集合 之外，设包含元素 的集合有 个，分别记为 ，
设集合 包含元素 .
当 时，若 ，则 ，与②矛盾，
所以 互不相同，且均不为 .
因为 的元素个数为 ，且已经包含一个元素 ，所以 .
所以除了集合 之外，包含元素 的集合至多有 个.
同理可得，除了集合 之外，包含元素 的集合至多有 个，
除了集合 之外，包含元素 的集合至多有 个，
除了集合 之外，包含元素 的集合至多有 个.
所以 .
当 时，集合 具有性质 ，其中：， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
.
所以 的最大值为 .
9．已知 是 元数组集合， 是 的非空子集.
对于任意 元数组 ，定义 与 之间的距离为
，记 为子集 的致密度，其中 表示有限
集 中的最小数.
(1)当 时，直接写出 的一个三元子集 ，使得其致密度 ；
(2)当 时，设 是 的子集.且满足致密度 ，求集合 中元素个数的最大值，并说明理由：
(3)设 ，记 的致密度为 ，用 表示集合 中元素个数的最大值，证明：
【答案】(1) ；(2)8，理由见解析；(3)证明见解析
【分析】根据致密度的定义逐项分析即可求解（1），（2）；根据组合数的性质可证得（3）.
【详解】（1） .
当 时，满足题意.
（2） 中有 个元素， 与 间的距离为4.
要想满足 ，集合T中的任意两个4元数组中至少有两个数不同.
不妨选定 是 的子集中含数组 ，则集合 中的元素有如下几种情况：
含有与 有两个不同数的数组中的任意数组；
含有与 有三个不同数的数组中的任意数组；
含有与 有四个不同数的数组中的任意数组；
同时含有与 有两个不同数的数组和与 有四个不同数的数组.
因为 ，所以集合 中最多有 个元素，即
.
故集合 中元素个数的最大值为8.（3）因为 ，所以集合 中至少可以包含两个元素，故 ，
不等式右侧为 。
对于 ， 恒成立，因此， ，原不等式得证
题型03 简单逻辑用语及充要条件
解｜题｜策｜略
①若 ，但 ，则 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件；
②若 ，但 ，则 是 的必要不充分条件， 是 的充分不必要条件；
③若 ，且 ，即 ，则 、 互为充要条件；
④若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件.
⑤若问命题P成立的一个充分不必要条件为__________，要改为________是命题P成立的充分不必要条
件
【精选例题】
【例1】命题“ ，使得 ”的否定形式是（ ）
A． , 使得 B． , 使得
C． ，使得 D． ，使得
【答案】D【详解】命题“ ，使得 ”的否定形式为“ ，使得
”.
故选：D.
【例2】已知命题 ：指数函数 是减函数，命题 ，则 是 的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【详解】命题 ：指数函数 是减函数，则 ，解得 ，即 ：
，所以 可以推出 ，充分性成立； 推不出 ，必要性不成立；故 是 的充分不必要条件.故
选：B
【例3】已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由题意知，“ ，使 ”是真命题，当 ，即
时，不等式可化为 ，符合题意；当 ，即 时，则 且 ，解得
，综上，实数m的取值范围为 ，故选：C．【例4】“方程 有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由方程 有两个不等实数根可得 ，解得 ，观察选项可得
“方程 有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是 ，故选：C.
【例5】“ ”是直线 ： 与直线 ： 平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【详解】由 ： 与 ： 平行，则 ，解得 或
，当 时， ，即 ， ，满足 ；当 时，
，即 ， ，两直线重合，不符合题意.所以“ ”是直线 ：
与直线 ： 平行的充要条件.故选：C.
【例6】《齐民要术》是中国杰出农学家贾思嗯（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的
一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”．书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功
多”．大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利”是“用力少而
成功多”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【详解】充分性：根据这句话的大意可知，如果顺应天时地利的万物规律，就能花费较少的力
取得更多成功，所以充分性成立；必要性：“用力少而成功多”的前提不一定是“顺天时，量地利”，比
如某种果实产量高，有可能是播种方式或灌溉频率等人为因素引起的，故“顺天时，量地利”是“用力少
而成功多”的充分不必要条件．故选：B
【例7】集合 ，若“ ”是“ ”的充分不必要
条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】 ，
，因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以
是 的真子集，当 时， ，所以 ，即 ，当 时， ，
此时， 是 的真子集，符合题意；当 时， ，所以 ，即 ，综
上，所以实数 的取值范围 .故选：A
【例8】已知 ， 均为非零向量，其夹角为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】∵ ，则 ，∴ ， 同向，但当 时不满足 ，
因此充分性不成立.∵ ，∴ ，即 ，即
，从而 ， 同向， ，由此可知必要性成立.故“ ”是“ ”的必
要不充分条件，故选：C.
【例9】若 ， 是两个不同的平面，直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【详解】 ， ，由面面垂直的判定定理可知， ，充分性成立， ， ，
则 或 ，必要性不成立，则“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A
【变式训练】
1．“函数 在 上单调递增”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】由题设，令 ，所以 在 上递减，在 上递
增，而 在定义域上递增，又 在 上单调递增，故
，所以题设条件的一个充分不必要条件是 .故选：A
2．下列条件中，为“关于x的不等式 对 恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】若关于x的不等式 对 恒成立，当 时，不等式等价于 恒
成立，故 满足要求，当 时，原不等式恒成立当且仅当 ，解得 ，综
上所述，若关于x的不等式 对 恒成立，则当且仅当 ，而选项中只有
是 的充分不必要条件.故选：B.
3.“ ”是“ 满足对任意 都有 成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【详解】∵对任意 都有 成立，不妨令 ，则 ，∴，即 ，可知函数 单调递减，∵ 满足对任意
都有 成立，∴可得 ，解得 ，∵ 是 的真子集，∴“
”是“ 满足对任意 都有 成立”的充分不必要条
件．故选：A．
4.下列四个选项中，使 成立的充分不必要的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】对于A，当 时，显然 ，但 ；当 时，
显然 ，但 .综上所述，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，故A错误；
对于B，由函数 在 上单调递增，且 ，则 ；当 时， 无意义，
则 不成立，综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件，故B正确；对于C，当
时，显然 ，但 ；当 时，显然 ，但 .综上所述，
“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D，根据函数 在 上单调递增，
且 ，则 ；由 ，则 .综上所述，“ ”是“ ”的既充分又必要条件，故D
错误.故选：B.
5.已知a，b都是实数，那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【详解】由对数函数性质知 ，即充分性满足，但 时 ，而
不成立（ 不存在），必要性不满足，故为充分不必要条件，故选：B．
6.已知直线 ， 设甲： ；乙： ，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【详解】由直线 ， ，当两条直线平行时，
解得 或 ，当 时， ，当
时， 所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B
7.已知平面向量 ，则“ ”是“ 与 的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若 与 的夹角为钝角，则 且 与 不共线，可得 ，解得 且
，因为 是 的真子集，所以“ ”是“ 与 的夹角为钝角”的必要
不充分条件.故选：B.
8.“函数 的图象关于 对称”是“ ， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【详解】当函数 的图象关于 对称时，有 ， ，得 ，
，易知 ， ，所以“函数 的图象关于 对称”
是“ ， ”的必要不充分条件．故选：B．
9.在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【详解】在 中， ，一方面，若 ，则 ，所以 ；另一方
面，若 ，取 ，则 ；所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：
A.
10.已知函数 ，若当 的定义域为 时实数 的取值范围为集合A，当 的
值域为 时实数 的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】A选项， 的定义域为R,则 .当 时， ，解得
，故定义域不是R，不满足题意；当 时，由 .故要想 的定义域为
R，实数 的取值范围为 ，故 ，A错误；B选项， 的值域为R，则 能
取到所有正数.当 时， 能取到所有正数，满足要求，当 时，要想 能取到所有正
数，需 且 ，解得 ，综上， ，故 ，故В错误；CD选项，所
以 ，故C错误，D正确.故选：D题型04 代数形式下复数的基本运算
解｜题｜策｜略
①复数包含实数和虚数，形如z=a+bi(a,b∈R)，实部:a，虚部：b
当b=0时为实数，当b≠0时为虚数，虚数不能比较大小（注意不能说复数不能比较大小，因为复数包
含实数）
{a=0
②纯虚数：当 时，为纯虚数
b≠0
z |z |
1 1
③复数的模： |z|=|a+bi|= √a 2 +b 2，复数模的性质： |z ⋅z |=|z ||z | ，| z |= |z |
1 2 1 2 2 2
④共轭复数：若z=a+bi(a,b∈R)，则
的共轭复数为
z=a−bi
z
⑤复平面：z=a+bi=(a,b)，|z|=|a+bi|= √a 2 +b 2 表示点(a,b)到原点的距离
【精选例题】
1
z−2i=
【例1】已知复数z满足
1−i
，则复数z在复平面内的点到原点的距离为_______.
【答案】 【详解】由 ，得 ，故该复数在复平面内的点
的坐标为 ，其到原点的距离为 ．
|z|=1 |(z+i)(z−i)|
【例2】若复数z满足 ，则 的最大值为_________
【答案】 【详解】设 ，则 ，
故 ，其中 . 当 时， .
【例3】若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则另一个复数根为
，由韦达定理可得得 ，解得 ，则 ，所以 ，故有
.故选：A．
【例4】（多选题）设 、 为复数，则下列命题正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则 或
C．若 ，则 D．若 ，则 在复平面对应的点在一条直线上
【答案】BD【详解】对于A，令 ， ，则 ，此时 ，A错误；对于B，设
， ，则 ，所以， ，即 ，
则 ；若 ，则 成立，此时 ；若 ， ，由 知 ；由
知： ，此时 ；同理可知：当 ， 时， ；若 ， ，由
得： ，则 ，此时 ；综上所述：若 ，则 或 ，B正确；对于 ，令
， ，则 ，此时 ，C错误；对于D，设 ， ，
，则 ， ，由 ，
可得 ，所以 ，又
、 不全为零，所以 表示一条直线，即 在复平面对
应的点在一条直线上，故D正确.故选：BD.
【例5】（多选题）已知复数 ，复数 所对应的向量分别为 ，其中O
为坐标原点，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABD【详解】对选项A： ，则 ，即 ，即 ，故A正确；对
选项B： ，则 ，即 ， ，
，故B正确；对选项C： ，则 ， ，当
时， ，故C错误；对选项D： ，则 且 ，解得
或 ， ，故 ，故D正确；故选：ABD.
【例6】若 ，其中 是虚数单位，则 ．
【答案】 【详解】由 ，则 ，所以 ，则
.故答案为：
【变式训练】1．已知复数 、 在复平面内对应的点分别为 、 ， （ 为坐标原点），且
，则对任意 ，下列选项中为定值的是（ ）
A． B． C． 的周长 D． 的面积
【答案】A【详解】因为复数 、 在复平面内对应的点分别为 、 ， （ 为坐标原点），则
，由 可得 ，对于方程 ，则
，解方程 可得 ，所以，
，所以， ， 中，由于 不是定值，
则 的面积、 均不为定值，故选：A.
2.已知 是复数， 是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A．
B．若 ，则 的最大值为
C．若 ，则复平面内 对应的点位于第一象限
D．若 是关于 的方程 的一个根，则
【答案】B【详解】对于A，设 ，则 ， ，
A错误；对于B，由 知，在复平面内表示复数 的点在以原点为圆心的单位圆上， 可看作该单
位圆上的点到点 的距离，因为圆心到 的距离为 ，则该单位圆上的点到点 的距离最大值为
，B正确；对于C， ，则复平面内 对应的点位于第二象限，C错误；
对于D，依题意， ，整理得 ，而 ，因此
，解得 ，D错误．故选：B.
3.若复数z满足 ( 为虚数单位），则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D． +1
【答案】C【详解】设 ，则 .由已知 可得，
.设 ， ，则 .所以，.当 ，即 时，该式有最大值 ，所以， ，所
以， .故选：C.
4．若 为虚数单位，复数 满足 ，则 的最大值为 .
【答案】 【详解】复数 满足 ，即 即复数 对
应的点 到点 的距离 满足 设 ， 表示复数 对应的点
到点 的距离数形结合可知 的最大值
故答案为：
5．为求方程 的虚根，可把原式变形为 ，由此可得原方程的一个虚
根的实部为 .
【答案】 或 【详解】
，对比系数得 ，解得
，或 ，所以原方程的虚根为 ，故
原方程的一个虚根的实部为 ，或 ．故答案为： 或 ．
6．（多选题）已知复数 ， ，则下列命题成立的有（ ）
A．若 ，则 B．
C．若 ，则 D．
【答案】BCD【详解】对于A，当 时， ，而 ，A错误；对于
B，令 ，则 ，于是 ，而
，即有 ，因此 成立，B正确；设复数 ， ，对
于C，由 ，得 ，则 ，
，因此 ，C正确；对于D，
，则 ，
，因此 ，D正确.故选：BCD7．（多选题）设复数 （ 且 ），则下列结论正确的是（ ）
A． 可能是实数 B． 恒成立
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD【详解】对于A：若 是实数，则 ，与已知矛盾，故A
错误；对于B：由A项知 ，所以 ，
，故B正确；对于C：若
，则 ，因为 ，所以 ，故C正确；对于D：
，则 ，因为 ，所以 ，所
以 ，故D正确．故选：BCD．
8．（多选题）已知复数 ， ， ， 为坐标原点， ， ，
对应的向量分别为 ， ， ，则以下结论正确的有（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 与 的夹角为 D．若 ，则 为正三角
形
【答案】ABD【详解】因为 ， ， ，所以 ，
则 ，对于A， ，故
， ，所以
，故A正确；对于B，若 ，则 ，故B正
确；对于C，设 与 的夹角为 ，若 ，则
，即 ，即 ，所以，所以 ，即 与 的夹角为 ，故C错误；对于D，若 ，则
，则 ，即 ，由C选项可知 与 的夹
角为 ，同理 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，又 ，所以
，故D正确.故选：ABD.
9．（多选题）设复数 ， 满足 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的共轭复数为 B．
C．若 是方程 的根，则 D．
【答案】AD【详解】因为 ，所以 ，故A正确；因为 ，所以
，故B不正确；因为 是方程 的
根，且 ，所以 ，所以 ，所以 ，故C错误；因
为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故D正确.故选：AD
10．已知方程 的两个虚根 、 满足 ，则m的值是 .
【答案】 【详解】由题意 有两个虚根 、 ，所以可设 ， ,
,不妨设 则 得 由 ，得 ，即 ，由
，得 ，故答案为：
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．(25-26高三上·山东济南第一中学·期中)已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先通过解不等式得集合 和 ，再利用集合的交集运算即可求解
【详解】 或 ，∴ .
故选：A.
2．已知集合 ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据题意得到 ，讨论 和 ，解方程并验证得到答案．
【详解】若 ，则 ，故 或 .
当 时， ，此时 ，集合A不满足元素的互异性，舍去；
当 时， 或 ，
时， ，集合A不满足元素的互异性，舍去；
时， ，满足条件．
综上所述： ．
故选：C．
3．集合 ， ，则 中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【分析】本题先确定全集 和集合 的元素，再求补集并统计元素个数.
【详解】集合 .
解不等式 ，得 ，又 ，故 .
则 ，其元素个数为5.
故选：C.
4．(25-26高三上·河北沧州沧县中学·期中)已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数与二次函数的性质，解得集合元素，利用交集运算，可得答案.
【详解】由 ，即 ，则 ；
由 ，虽然 ，但当 时 ，所以 .
所以 .故选：B.
5．(25-26高三上·上海行知中学·期中)已知 ， 是两条不同的直线， 为平面 内的一条直线，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据线面关系及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为 ， 是两条不同的直线， 为平面 内的一条直线，
由 推不出 ，如 且 ，此时得不到 ，故充分性不成立；
由 也推不出 ，事实上当 时， 或 与 异面均有可能，故必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件。
故选：D
6．(25-26高三上·辽宁实验中学·期中)已知集合 ，若 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合 中不等式的解集，然后根据集合的包含关系求出结果即可.
【详解】集合 .
因为 ，所以 .
因为 ， ，所以有 .
所以 的取值范围是 .
故选：C.
7．(25-26高一上·云南昭通镇雄县三校·月考)已知命题“ ”为假命题，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】A
【分析】根据存在量词命题为假命题，可得：方程 无实数根，进而利用判别式进行求解即
可.
【详解】命题“ ”为假命题，则方程 无实数根，当 时， ，符合题意，
当 时，即 ，解得： ；
综上： .
故选：A．
8．(25-26高三上·吉林长春德惠实验中学等校·)设 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.
【详解】取 ， ， ，
则 ，但 ，此时 ，
即“ ” “ ”；
取 ， ，则 ， ，
则 ，但 ，此时 ，
即“ ” “ ”.
因此，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
9．(25-26高三上·新疆部分学校·)已知p： ， ；q： ， ，则
（ ）
A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题， 是真命题
C． 是真命题，q是真命题 D． 是真命题， 是真命题
【答案】C
【分析】举例说明命题p，q的真假，进而判断其否定的真假.
【详解】对于命题p：当 时， ，
可知p是假命题，即 是真命题；
对于命题q：当 时， ，
可知q是真命题，即 是假命题.
故选：C.
10．若复数 与 都是纯虚数，则 是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设复数 ，利用复数的乘方运算，结合纯虚数与共轭复数的概念求解即得．
【详解】因为复数 是纯虚数，所以设复数 ，
则 ，
因为 是纯虚数，所以 ，解得 ，
所以 ， ．
故选：B．
11．复数 的虚部为（ ）
A．1 B．i C．－1 D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算化简，即可根据虚部的定义求解.
【详解】 ,
虚部为1，
故选：A
12．若复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数的除法运算及共轭复数概念，再由模长公式即可求解.
【详解】 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
13．(25-26高三上·河北部分重点中学·)若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．5
【答案】A【分析】利用复数的除法运算以及复数模的求法即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
二、多选题
14．设集合 ，若 ，使得 （ 两两不等），则称 为
集，下列结论正确的是（ ）
A．若 是 集，则 或
B．若集合 是 集，集合 是非空数集，则 是 集
C．若集合 是 集，集合 ，则 为 集
D． ， 且 ，使得 是 集
【答案】ACD
【分析】根据 集的定义求出 ，即可判断A，举反例判断B，根据 集的定义判断C、D.
【详解】对于A：由 集的定义及已知得， ，或 ，或 ，
解得 或 （舍去 ），故A正确；
对于B：若取 ，则 ， ，显然 不符合 集的定义，故B错误；
对于C：由 是 集，所以存在 （ 两两不等），使得 ，
因为 中的元素个数不小于 ，所以 且 ，使得 ，
且 两两不等，由 ，得 ，所以 为 集，故C正确；
对于D：设 ，
取 ，
满足 （ 两两不等），存在 ,
是 集，故D正确.故选：ACD.
15．(25-26高三上·江苏常州六校教研联合体·调研)已知 为虚数单位，以下选项不正确的是（ ）
A．若复数 满足 ，则 的虚部为
B． ， ， ，则
C． 是 的充分不必要条件
D．若复数 满足 ，则 的最大值为6
【答案】AC
【分析】选项A，通过解方程求出复数 ，再求其共轭复数，进而确定虚部；选项B，利用复数模的平方
与复数运算的关系（ ），结合已知条件进行推导计算；选项C，通过设复数的代数形式，分别分析
充分性和必要性；选项D，利用复数模的几何意义，将复数问题转化为几何中的距离问题求解.
【详解】选项A，由已知 ，则 ，所以 ，则 的虚部为 ，所以A
不正确；
选项B，由已知得 ， ， ，
而 ，可得 ，
由 ，可得 ，则 ，
所以B正确；
选项C，充分性：若 ，设 ， ，其中 ， 则
，
所以 ，而 ， ，即 ， ，显然 不一定能推出 ，所以充分性
不成立；
必要性：若 ，则 ，所以必要性成立.因此 是 的必要不充分条件，所
以C不正确；
选项D，由 可看作复平面内以原点为圆心的单位圆，而 可看作点 到该圆上点的距离，
易得 的最大值为 ，所以D正确.
故选：AC.
16．(25-26高三上·河南商丘青桐鸣大联考·月考)已知集合 ， ， ，则下
列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若集合N中仅含有2个整数元素，则D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】对于A,利用交集的定义求解即可；对于B，利用并集的定义求解即可；对于C，求出集合 的元
素，即可得到 的范围；对于D，根据子集的定义，画出数轴，从而得到 的范围.
【详解】若 ，则 ，A正确；
若 ，则 ，B正确；
若集合N仅含有2个整数元素，即 ， ，所以 ，C错误；
若 ，结合数轴可知， ，D正确．
故选：ABD．
17．(25-26高三上·海南定安县定安中学·月考)以下四个命题中，是真命题的是（ ）
A． ，
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．“ ”是“ ”的必要不充分条件
D．“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
【答案】AD
【分析】对A，配方即可判断；对B，根据真子集关系即可判断；对C，根据正切函数性质即可判断；对
D，举例法即可判断.
【详解】对于选项A： ，故A选项为真命题；
对于选项B：因为 是 的真子集，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故B选项为假命题；
对于选项C：当 ，此时 ，则充分性成立，
若 ，则 ，则必要性不成立，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故C错误；
对于选项D：若 ，满足 ，但此时 ，则充分性不成立；
若 ，满足 ，但此时 ，故必要性不成立，
则“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，故D为真命题.
故选：AD.18．若 ， ，则称集合 为幸福集合．对集合 的所有非空子集，下列叙述正
确的是（ ）
A．幸福集合个数为8 B．含 的幸福集合个数为4
C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个
【答案】BD
【分析】求出集合 所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案.
【详解】具有“幸福关系”的元素组有：1； ，2； 三组．
含一组的幸福集合有 ， ， ，共3个；
含两组的幸福集合有 ， ， ，共3个；
含三组的幸福集合有 ，共1个，
所以 的非空子集中幸福集合的个数为 ，故A错误；
其中含 的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确，C错误；
元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确.
故选：BD.
19．非空数集 ，同时满足如下两个性质：（1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ．称
A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ）
A．若A为一个“封闭集”，则
B．若A为一个“封闭集”，且 ，则
C．若 都是“封闭集”，则 是“封闭集”的充要条件是 或
D．若 都是“封闭集”，则 是“封闭集”的充要条件是 或
【答案】ABD
【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反
证法证明必要性成立，得到D正确.
【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若 ，则 ，那么 ，A正
确．
对于B，因为A为一个“封闭集”， ，所以 ，所以 ，B正确．
对于C，不妨取“封闭集” ，则 也是“封闭集”，显然 或 不成立，C错误．
对于D，充分性： 都是“封闭集”，
若 或 ，则 或 ，则 是“封闭集”．
必要性：若 是“封闭集”，令 ，
假设 或 不成立，则存在 ，同时 ，
因为 是“封闭集”，所以 ，
分两类情况讨论，
若 ，又当 时， ，所以 ，这与假设矛盾，
若 ，又当 时， ，所以 ，这与假设矛盾，
故假设不成立，原结论 是“封闭集”，则 或 成立，即必要性成立．D正确．
故选：ABD.
20．(25-26高三上·安徽华师联盟·期中)设 ， 均为非零复数，下列命题中正确的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】设 ， ，根据共轭复数的概念、求模公式和运算法则，逐一分析各个选项，即可
得答案.
【详解】选项A：设 ， ，a，b，c， ，
则 ， ， ，
所以 ，故A正确；
选项B： ，故B正确；
选项C：若 ，则 ， ，故C正确；
选项D：若 ，取 ， ，满足条件，但 ，故D错误.
故选：ABC.
21．(25-26高三上·宁夏灵武第一中学·期中)已知复数 在复平面内的对应点为 ，复数 在复平面
内的对应点为 ，且 ，则（ ）
A．B． 的共轭复数是
C． 是纯虚数
D．复数 在复平面内的对应点位于第一象限
【答案】AC
【分析】根据复数的加法计算判定A，应用共轭复数的定义判定B，应用纯虚数的定义判定C，应用复数
的乘法及几何意义判定D.
【详解】由条件知 ，A正确；
的共轭复数是 ，B错误；
是纯虚数，C正确；
在复平面内的对应点为 ，D错误.
故选:AC.
22．(25-26高三上·江苏常州高级中学·)已知复数 ，则（ ）
A． B．
C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．z是方程 的一个复数根
【答案】AC
【分析】对复数 进行化简可得 ，再逐一分析选项即可．
【详解】对于A， ，所以 ， ，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B错误；
对于C，复数 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限，故C正确；
对于D，将 代入方程 左边，
即 ，也即 不是该方程的根，故D错误．
故选：AC．
三、填空题
23．已知集合 ，集合 、 、 满足：①每个集合都恰有4个元素；②
.集合 中元素的最大值与最小值之和称为集合 的特征数，记为 ，
则 的最大值与最小值的积为 .
【答案】
【分析】判断集合 中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可.【详解】因为 、 、 满足:①每个集合都恰有4个元素；② ，
所以 、 、 一定各包含4个不同数值，
根据题意 、 、 的最小元素必有 ，最大元素必有 ，
要使 最小，则 、 、 中最小元素分别为 ，而除 外的另两个最大元素要尽量小，
如 的最小元素为 ，最大元素为 ，此时要使 、 中最大元素尽可能小，
则 ， 必属于 ，此时还剩下的最大数为 ，
则 必为 、 中的最大元素，不妨令 ，要使 中最大元素尽可能小，
则 、 必属于 ，此时还剩下的最大数为 ，即 中最大元素为 ，
如 ，特征数为 ；
，特征数为 ； ，特征数为 ；
此时 最小，最小值为 ；
同理，当集合 中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时，
特征数的和 最大，如： ，特征数为 ；
，特征数为 ； ，特征数为 ；
则 最大，最大值为 ，
故 的最大值与最小值的积为 .
故答案为： .
四、解答题
24．已知集合 具有性质 ：对任意
与 至少一个属于 .
(1)分别判断集合 与 是否具有性质 ，并说明理由.
(2) 具有性质 ，当 时，求集合 .
(3)记 ，求 .
【答案】(1) 具有性质 ， 不具有性质 ，理由见解析；(2) (3)
【分析】（1）根据定义，验证集合中的元素是否符合定义即可求解；
（2）根据 可判断 ，根据 得 ，而可得 ，即可求解；
（3）根据 以及 ，可得 ，
， ， ， ，即可利用累加法得 ，进而可求解.【详解】（1）对于集合 中，
由 ，
所以集合 具有性质 ；
对于集合 中，因为 ， ，
所以集合 不具有性质 .
（2）因为 且集合 具备性质 ，
又由 ，所以 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
根据集合元素的互异性知， ，
因为 ，所以 ，
所以集合 .
（3）因为集合 具有性质 ：
由 ，则 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
当 时 ，且 中元素不超过 ，所以 ；
当 时 ”，
所以 ，
可得 ，
即 ，
所以 ，
当 时，可得 .
25．记集合 的元素个数为 ．例如：若 ，则 ．定义集合 的相关
数 如下： 且 ，使
(1)对集合 ，分别判断5、6是否相关数，并说明理由；
(2)若 为集合 的相关数，求证： ；
(3)求集合 （整数 ）的相关数 的最小值（用 表示）．
【答案】(1)5不是集合 的“相关数”，6是集合 的“相关数”，理由见解析；(2)证明见解析；(3)【分析】（1）由相关数的定义，可通过对任意4个元素之和的计算，分析说明即可；
（2）由相关数的定义可得当 时，通过构造集合 ，使其中最小的4个元素之和都大于 ，可
得 一定不是集合 的“相关数”；
（3）结合（2）中的结论 ，再将集合 中的元素通过两种划分，说明对任意 元子集 ，必存
在集合 ，可得 满足相关数的定义即可求解.
【详解】（1）当 时， ．
①对于 的含有5个元素的子集 ，
因为 ，则任意4元子集的4个元素之和都大于 ，
所以5不是集合 的“相关数”．
② 的含有6个元素的子集只有 ，
因为 ，所以6是集合 的“相关数”．
（2）由题意， ，
若 ，设 为集合 的“相关数”，则 .
假设 ，则 必存在 元子集 ，
且满足 ，
由 ，
可知 中任意4个元素之和一定不小于 ，
即不存在集合 ，使 .
所以当 时， 一定不是集合 的“相关数”．
故假设错误，所以 .
若 为集合 的相关数，即 ，则 ；
（3）由（2）可知 ．
先将集合 的元素可划分成如下 组：
，
每组中的两个元素之和均为 ，记 ，
则对 的任意一个含有 个元素的子集 ，
划分组中必存在三组集合，每组中的元素都属于集合 ，记为 ．
再将集合 的元素除去 和 ，分成如下 组：，
每组中的元素之和都为 ，记 ．
对于 的任意一个含有 个元素的子集 ，
划分组中必存在一组，该组元素都属于集合 ，此组记为 ．
则 这一组与上述三组 中至少一组无相同元素，
不妨设 与 无相同元素，
故必存在集合 ，
此时集合中4个元素之和为 ．
故集合 的“相关数” 的最小值为 ．
