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重难点专训07 导数与不等式的证明
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................3
题型一：简单的函数不等式证明........................................................................................................................3
题型二：同构型不等式........................................................................................................................................4
题型三：比值代换................................................................................................................................................9
题型四：指对切线放缩......................................................................................................................................14
题型五：三角函数型不等式的证明..................................................................................................................19
题型六：数列型不等式的证明..........................................................................................................................25
题型七：凹凸反转..............................................................................................................................................29
题型八：拐点偏移问题......................................................................................................................................34
重难专题分层过关练..........................................................................................................................39
巩固过关...............................................................................................................................................................39
创新提升...............................................................................................................................................................46
一、核心思维方向
导数证明不等式的核心围绕“构造验证”与“放缩借力”展开，同时需善用已有结论：
1.直接构造函数验证：通过构造对应函数不等式，借助导数分析函数的单调性、极值或最值，直接证
明不等式成立。
2.函数不等式放缩：针对求和/求积型不等式，分两种思路：
①先对单个项放缩，再求和证明；
②先对各项求和，再对和的结果放缩证明。
3.“借式子”巧凑：大题第二问证明时，常利用第（1）问结论，通过赋值、凑配得到符合证明方向的
放缩条件；同时联想待证不等式的大小关系，构造函数建立放缩关系。
二、常用构造方法
构造法是解题关键，具体分为四类：
1.直接构造法：证
时，转化为证
，构造辅助函数
，
再用导数分析
。
2.放缩构造法：
依已知条件针对性放缩；
用常见结论放缩，如：
对数：
（
，仅
取等）；
指数：
（
，仅
取等）；
延伸链：
（
且
）。
3.“形似”构造法：对不等式移项、通分、取对数，使其左右结构一致，再按该结构构造辅助函数。
4. 双函数构造法：若单函数难判导数符号、求零点，可分别构造
与
，通过证
（两者取最值的(x)可不同），得
。
三、基本证明步骤
1.作差或变形：对原不等式移项、通分等，或直接作差转化为“函数值与0 的关系”；
2.构造新函数：按上述构造方法，搭建辅助函数；
3.分析函数性质：用导数研究函数的单调性、极值或最值；
4.推导结论：结合函数性质，证得不等式。
特殊处理：若构造的函数难用导数求解，可分别求不等式左右两端函数的最值，通过“左式最小值>
右式最大值”证明。
四、特殊类型证明
1.数列不等式
核心是“函数与数列衔接”：
①先构造函数不等式；
②用正整数(
)（或数列项表达式）替代函数自变量，将函数不等式转化为数列项不等式；
③处理和/积：“无限和”可裂项相消，“无限积”可取对数化积为和，再求和证明。
2.双参不等式
关键是“减元为单参”：
1.转化关系：从已知条件梳理双参关系式，将双参不等式转化为单参不等式；
2.构造求最值：对单参不等式构造函数，用导数求其单调性与最值；
3.回归证明：将最值代入原双参关系，证得结论。
减元方式：用一参表示另一参，或对双参整体换元。
题型一：简单的函数不等式证明
典例1-1．证明不等式：
(1)
，
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）设
，
，则
．
令
，得
．
当
时，
，从而
在
内单调递增；
当
时，
，从而
在
内单调递减．
所以当
时，
在区间
上取最大值．
所以
，所以，
，
．
（2）设
，则
．令
，得
．
当
时，
，函数
在区间
上单调递增；
当
时，
，函数
在区间
上单调递减．
所以当
时，
取最小值．
所以
，所以，
．
典例1-2．求证：
．
【答案】证明见解析
【详解】设
，
分别为一阶、二阶、三阶导数，
，
，
，
则
在
单调递增，所以
，
则
在
单调递增，所以
，
则
在
单调递增，所以
，
则
，即
.
变式1-1．求证：当
时，
．
【答案】证明见解析.
【详解】令
，
，则
，所以
单调递增的，
∴
，即
，∴
.
变式1-2．求证：
．
【答案】证明见解析
【详解】证明：
，则
，
设
，
则
．
令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，
所以当
时，
，可得下表．
2
－
0
＋
减
最小值
增
则
，即
，
所以
．
题型二：同构型不等式
典例2-1．已知函数
（
）.
(1)求
在区间
上的最大值与最小值；
(2)当
时，求证：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）解：
（
）（
），
令
，则
，
当
时，
，所以
在区间
上恒成立，
在区间
上单调递增，
所以
，
.
当
时，
，则当
时，
，
在区间
上单调递减；
当
时，
，
在区间
上单调递增，
所以
，
而
，
.所以
综上所述，当
时，
，
；
当
时，所以
，
.
（2）方法一：隐零点法
因为
，
，所以
，欲证
，只需证明
，
设
，（
），
，
令
，易知
在
上单调递增，
而
，
，
所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的
使得
，
即
，因此
，
，
当
时，
，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
，
在
上单调递增；
所以
所以
，因此
.
方法二：（同构）
因为
，
，所以
，欲证
，只需证明
，
只需证明
，
因此构造函数
（
），
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增：
所以
，所以
，
所以
，
因此
.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是根据
，利用放缩法消元为
，从而只需证明
，再构造函数而得证.
典例2-2．已知
．
(1)若
的图象在x＝0 处的切线过点
，求a 的值；
(2)若
，
，求证：
．
【答案】(1)a＝1
(2)证明见解析
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
，
，
因为
的图象在x＝0 处的切线过点
，
所以
，即a＝1．
（2）要证
，即证
，
即证
，
因为
，
，所以
，
，
设
，则
可化为
，
因为
，
在
上是减函数，
所以问题转化为
，
时
，即
，
即
，
时
，
设
，因为
，则
在
上是增函数，
所以
，
所以
在
上是增函数，所以
，
所以
，
时
，
即
，
时
．
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式．证明不等式的方法是分析法，即对不等式进
行变形，寻找不等式成立的条件，难点是首先对不等式同构变形后引入函数，利用函数的单调性再化简不
等式，然后取对数后再引入新函数，确定单调性，利用函数的单调性得出证明．考查了学生逻辑思维能力，
创新意识，属于难题．
变式2-1．已知函数
，当
时，证明：
．
【答案】证明见解析
【详解】
，设
，
则
，设
在
上单调递减，
上单调递增，
∴
，
∴
其中
，
，
因为
，所以
，
令
得：
，令
得：
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
在
处取得极小值，也是最小值，
∴
，
∴
即
．
【点睛】同构法对函数进行变形，常用的变形有
，
，
，
等.
变式2-2．已知函数
在
上没有极值.
(1)求实数
的取值范围；
(2)若
对
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，所以
.
因为
在
上没有极值，且
，所以
在
上恒成立.
设
，则
.
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，要证
，只需证
对
恒成立，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，所以
；
当
时，要证
，只需证
对
恒成立，
因为
在
上单调递减，且
，所以
.
故
.
（2）由（1）知
在
上单调递增.
因为
，所以
，即
.
设
，则
，所以
在
上单调递增，
所以
等价于
.
因为
，所以
，
所以
，所以
恒成立.
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
所以
，即
，故
的取值范围为
.
【点睛】难点点睛：本题解题的难点在于第二问，解题的关键在于两点：1、利用函数单调性化简不等式，
在化简不等式时要注意括号里代数式的取值范围与函数单调区间的包含关系；2、整理不等式同构函数，
在同构函数时要注意整体思想的应用.
题型三：比值代换
典例3-1．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个零点
，且
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当
时，
，
曲线
在
处切线的斜率为
，
又
切线方程为
，
即曲线
在
处的切线方程为
；
（2）若
有两个零点
，
则
，
得
.
，令
，则
，
故
，
则
，
，
令
，则
，
令
，则
，
在
上单调递增，
，
，则
在
上单调递增，
，
故
.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单
调性、极（最）值问题处理．
典例3-2．已知函数
，
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若对任意
，不等式
恒成立，求a 的值；
(3)若实数m，n 满足
，证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）若
，则
，定义域为
，
，
则
，又
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）
，令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
要使
恒成立，需满足
.
设
，
则
，令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
故
，当且仅当
时等号成立，
若满足
，必有
，
故
.
（3）要证明
，
即证明
，
令
，由
，得
，不等式化为
.
由（2）知，当
时，
，当且仅当
时取等号，
所以
，整理得
，从而
成立；
同理，要证明
，即证明
，
即
.
令
，因为
，所以
，
所以
在
上单调递减，所以
，
即
，整理得
，从而
成立.
综上，
.
【点睛】关键点点睛：第三问，对所证不等式进行变形，先证不等式左边，只需证明
，令
，不等式化为
，
，二元问题转化为单元问题，同理再
变形不等式右边，证明出结论
变式3-1．已知函数
.
(1)若函数
在其定义域上单调递减，求实数a 的最小值.
(2)若函数
存在两个零点
，设
（i）求实数m 的取值范围；
（ii）证明：
.
【答案】(1)
．
(2)（i）
；（ii）证明见解析.
【详解】（1）函数
的定义域为
，由
在
上单调递减，
得
，
恒成立，即
恒成立，
而当
时，
，当且仅当
时取等号，因此
，
所以
的最小值为
.
（2）（ⅰ）函数
的定义域为
，
，
令
，求导得
，函数
在
上单调递减，
而
，则当
时，
，即
；当
时，
，即
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
而当
时，
，当
时，
，
由函数
存在两个零点，得
，解得
，
所以实数m 的取值范围是
.
（ⅱ）由（1）知当
时，
，当
时，
，
由（ⅰ）知
，则
，
，
由
，得
，
，整理得
，
两式相减得
，因此
；
记
，令
，求导得
，
函数
在
上单调递增，
，即
，
整理得
，而
，即
，
因此
，即
，
所以
.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
变式3-2．已知函数
，函数
是定义在
的可导函数，其导
数为
，满足
.
(1)令函数
，求证：
在
上是减函数；
(2)若
在
上单调递减，求实数
取值范围；
(3)对任意正数
，试比较
与
的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）依题意，得
.
，又
在
上恒成立，
在
上是减函数.
（2）
在
上单调递减，
恒成立，
又由
，
令
，
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，所以
，根据均值不等式
，
当且仅当
时等号成立，此时
，
，
又因为
，所以
.
（3）
，由（1）知
在
上是减函数：
所以
，即
，
要想比较
与
的大小.
考虑
，根据
可得
令
，则
，
因为
，
则
，
.
题型四：指对切线放缩
典例4-1．已知函数
.
（1）若
，求函数
在
处的切线方程；
（2）讨论
极值点的个数；
（3）若
是
的一个极小值点，且
，证明：
.
【答案】（1）
（2）当
时，
无极值点；当
时，
有一个极值点（3）证明
见解析
【解析】（1）求导得到
，
，
，得到切线方程.
（2）求导得到
，讨论
和
两种情况，
时必存在
，使
，
计算单调区间得到极值点个数.
（3）
，即
，代入得到
，设
，确定函数单调递减得到
，令
，确定单调性得到答案.
【详解】（1）当
时，
，
，所以
，
.
从而
在
处的切线方程为
，即
.
（2）
，
，
①当
时，
，
在
上是增函数，不存在极值点；
②当
时，令
，
，
显然函数
在
是增函数，又因为
，
，
必存在
，使
，
，
，
，
为减函数，
，
，
，
为增函数，
所以，
是
的极小值点，
综上：当
时，
无极值点，当
时，
有一个极值点.
（3）由（2）得：
，即
，
，
因为
，所以
，
令
，
，
在
上是减函数，
且
，由
得
，所以
.
设
，
，
，
，
，所以
为增函数，
即
，即
，所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
，
相乘得
，
所以
，
结论成立.
【点睛】本题考查了切线方程，极值点，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
典例4-2．已知函数
，曲线
在点（1，f(1)）处的切线的斜率为2
(1)设
，若函数
在[m，＋∞）上的最小值为0，求m 的值；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）
，由题得
，
所以
，所以
，
所以
，
令
，则
，
当
时．
，h(x)在（0，1）上单调递减；当
时
，h(x)在（1，＋∞）上单
调递增，
所以
，所以
，所以g(x)在（0，＋∞）上单调递增，
又
，所以
．
（2）证明：由（1）知
时，
恒成立，
令
，所以
恒成立，
所以
，故
，当且仅当
时等号成立，
所以当
时，
，
要证
，只需证
，
由（1）知
，即
，当且仅当
时等号成立，
即证当
时，
，即证
，
令
，
，则
，
令
，
，则
在（0，＋∞）上恒成立，
所以k(x)在（0，＋∞）上单调递增，所以
，即
，
所以m(x)在（0，＋∞）上单调递增，所以
，
即
成立，
所以
成立．
【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性问题，同时也考查了利用前问结论，放缩证明不等式
恒成立的问题，需要构造函数求导分析函数的单调性与最值，结合三角函数的取值范围分析，属于难题
变式4-1．设函数
．已知当
时，存在
，使得
．
(1)讨论
的导函数
的零点个数；
(2)证明：当
时，
．
【答案】(1)当
时，
在
上没有零点；当
时，
的在
上有唯一零点.
(2)证明见解析.
【详解】（1）因为
，所以，
，又因为
，
当
时，
，此时
没有零点；
当
时，存在
，使得
，且令
，
，得到
在
上单调递增，
即
在
上单调递增，又因为存在
，使得
，
又
，根据零点存在定理以及
的单调性，
可知导函数
的在
上有唯一零点.
（2）由已知得，
，
因为
，所以，
，
当
时，
，
单调递减
，当
时，
，
单调递增；
，得
，所以，
；
则
，
设
，得
，
令
，此时
，
时，
，
时，
，
，
，
所以，
，
所以，当
时，
，题目得证.
【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用导数的放缩
，通过放缩，对不等式进行化简，进而把问
题转化为证明
成立，最后通过讨论
证明不等式，
属于难题.
变式4-2．已知
，
（n 为正整数，
）．
(1)当
时，设函数
，
，证明：
有且仅有1 个零点；
(2)当
时，证明：
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）当
时，
记
，则
所以
在区间
上单调递增
而
，
所以存在
，使得
，即
当
时，
，
单调递减
当
时，
，
单调递增
又
，
，
所以
在
上没有零点，在
上有一个零点，
综上所述，函数
在
内只有一个零点.
（2）当
时，
，
要证
，
即证
，
令
，则
，
所以
在
单调递减，
，即
，
要证
只需证
，
令
，则
，
∴
在
单调递减，在
单调递增，
∴
，即
，
∴
，即
，
所以
成立，
∴原命题得证.
【点睛】本题考查利用导数证明函数的零点个数，以及利用导数证明不等式恒成立，解决第二问的关键是
利用
进行放缩，以及利用同构
构造函数进行证明，属综合困难题.
题型五：三角函数型不等式的证明
典例5-1．（1）证明：当
时，
.
（2）若
，求
的取值范围.
【答案】（1）证明见详解；（2）
.
【详解】（1）令
，
，则
，
令
，
，
则
，
所以
即
在
上单调递减，且
，
所以存在
使得
，
当
时，
；当
时，
；
故
在
单调递增，在
单调递减，
又
，
所以
在
上恒成立，
故当
时，
.
（2）令
，
因为
，所以
，解得
，
当
时，
，因为
，
，所以
，
令
，
，则
即
在
上单调递减，故
，
所以当
时，
成立；
当
时，
，因为
，
，所以
，
令
，
，则
，
由（1）知，当
时，
，即
；
当
时，因为
，所以
，
即
在
单调递增，又
，所以当
时，
，即
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
故当
时，
成立；
综上所述，
的取值范围为
.
典例5-2．已知函数
，
为
的导数
(1)讨论
的单调性；
(2)若
是
的极大值点，求
的取值范围；
(3)若
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题知
，
令
，则
，
当
时，
在区间
单调递增，
当
时，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
综上所述，当
时，
在区间
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
（2）当
时，
，
由（1）知，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
所以
是函数
的极小值点，不符合题意；
当
时，
，且
，
由（1）知，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
所以
是函数
的极小值点，不符合题意；
当
时，
，则当
时，
在
上单调递增，
所以
无极值点，不合题意；
当
时，
，且
；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减；
所以
是函数
的极大值点，符合题意；
综上所述，
的取值范围是
.
（3）要证
，
只要证
，
只要证
，
，
因为
，则
，
所以只要证对任意
，有
，
只要证对任意
，有
（※），
因为由（2）知：当
时，若
，则
，
所以
，即
①，
令函数
，则
，
所以当
时
，所以
在
单调递增；
则
，即
，
由①
②得
，
所以（※）成立，
所以
成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
变式5-1．已知函数
，其中是自然对数的底数．
(1)当
时，求
在
上的值域；
(2)当
时，讨论
的零点个数；
(3)当
时，证明：
．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当
时，
，
，
∵
，∴
，
∴
在
上单调递减，
又
，
，
所以
在
上的值域为
.
（2）
，令
得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
∴
，
当
时，
，
∴
，则
在
上有且仅有1 个零点．
当
时，令
，
，
∴
在
上单调递增，
∴
，即
，又
，
∴
在
上有1 个零点，又
，
令
，则
，
∴
在
上单调递减，
∴
，
∴
，
∴
在
上有一个零点．
综上所述，
时，
有一个零点，
时，
有2 个零点.
（3）当
时，
，
设
，
当
时，
，
又由（2）知
，∴
，
当
时，
，
设
，则
，
∴
在
单调递增，∴
，
∴
，即
在
单调递增，
，
综上，
，即当
时，
，即
.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极（最）值问题处理．
变式5-2．设函数
.
(1)当
时，讨论
的单调区间；
(2)已知
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
【答案】(1)减区间
，增区间
(2)（i）
，（ii）证明见详解
【详解】（1）当
时，
，则
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
的单调增区间为
，
单调减区间为
.
（2）（i）
，由
，解得
，
，
记
，
，
，
记
，则
，
，
因为
恒成立，故
，
则
，解得
，
所以
的取值范围是
.
（ii）当
时，等号成立；
下面证明当
时，
，
当
时，有
，故
，此时
，符合题意；
现考虑当
时，
成立，等价于证明
，
不妨先证明
，设
，则
，
故
在
上单调递增，于是
，故
，
于是
，而
，
故
，
故当
时，
成立；
于是当
时，
成立；
取
，当
时，
，
设
，
且
，
故
是奇函数，
所以
是偶函数，于是当
时，
成立，
综上，
，即
成立.
题型六：数列型不等式的证明
典例6-1．已知函数
，正实数数列
满足
，
，数列
的前n 项和为
．
(1)求证：
；
(2)求证：
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）函数
，数列
中，
，由
，得
，
则
，要证
，即证
，即证
，
只证
，令函数
，求导得
，
函数
在
上单调递增，
，因此
，
；
要证
，即证
，只证
，
令
，求导得
，
令函数
，求导得
，函数
在
上单调递增，
则
，即
，函数
在
上单调递增，
，即
，
所以
成立.
（2）由（1）知，
，则
，而
，
则当
时，
，
，而
，
所以
.
典例6-2．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
；
(3)求证：对任意的
且
，都有：
，（其中
为自然对数
的底数）
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）解：由函数
，可得
，则
，
即切线的斜率为
，切点坐标为
，
所以切线方程为
，即
.
（2）解：由函数
，要证明不等式
，
即证
，即证
，
设
，则
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以，当
时，函数
取得最大值，且
，即
，
即
，所以不等式
成立.
（3）解：由（2）知
，令
，则
，
因为
，
所以
，
即
，
又因为
在
上为单调递增函数，所以
变式6-1．已知数列
满足：
，
，
．求证：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）用数学归纳法证明
．
当
时，
；
假设当
时，
．
当
时，
．
所以
，所以
，
所以
．
由
得
，
即
，
所以
，所以
（
）．
又
，所以
．
（2）设
，
，
则
，
，
所以
在区间
上单调递增，
所以
，
所以
在区间
上单调递增，
所以
，解得
，
所以
．
变式6-2．已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若对
，函数
恰有两个零点，求实数m 的取值范围；
(3)求证：对于任意正整数n，有
．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
；
(3)证明见解析.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数
的单调递增区间为
；
当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）函数
的定义域为
，求导得
，
而
，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
又
，当
从大于0 的方向趋近于0 或
趋近于正无穷大时，
从大于0 的方向趋近于
0，
，
要函数
恰有两个零点，当且仅当
，即
，
即恒有
，令函数
，
求导得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，则
，
所以实数m 的取值范围是
.
（3）取
，由（1）知函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，当
时
，取
，得
，即
，
因此
；
设函数
，求导得
，
函数
在
上单调递增，则
，即
，
取
，得
，即
，
因此
，
所以对于任意正整数n，有
.
题型七：凹凸反转
典例7-1．已知函数
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)证明：
；
(3)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）因为
，则
，
所以
，又
，所以函数
在
处的切线方程为
.
（2）因为
，则
，
令
，则
，所以
在区间
上单调递减，
又
，
，所以
，使得
，即
，
当
时，
，当
时，
，
得到
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
，又
，得到
，
又
，当且仅当
时取等号，又
，则
，
所以
，得证.
（3）因为
，由
，得到
，
又
，得到
，即
，
所以要证
，即证
，即证
，
令
，则
在区间
上恒成立，所以
，
即证
在
上恒成立，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
得到
，所以
，即
，命题得证.
【点睛】关键点点晴，对于第（2）问，利用导数与函数单调性间的关系，结合零点存在性原理，求出函
数的“隐零点
”，进而得到
，再结合
，利用基本不等式，即可求解；对于第（3）
问，利用同构思想，将问题转化成求证
，通过换元
，转化成
在
上恒成立，构造函数
，利用导数，求出函数最小值，即可求解.
典例7-2．已知
，
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)对一切
，
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)证明：对一切
，都有
成立.
【答案】(1)函数
在
上单调递减，在
上单调递增
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）
解：因为
，所以
，
当
，
，当
，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）
解：原不等式等价于
，即
对一切
恒成立，
设
，则
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，
所以实数a 的取值范围为
；
（3）
证明：原问题等价于证明
，
由（1）可知
，
的最小值是
，当且仅当
时取到，
设
，则
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以
，当且仅当
时取到，
所以对一切
，都有
成立．
变式7-1．已知函数
．
（1）讨论
的单调性．
（2）当
时，证明：
．
【答案】（1）当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.（2）证明见详解.
【详解】（1）
的定义域为
，
.
当
时，
，所以
在
上单调递增.
当
时，若
，则
；
若
，则
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）当
时，要证
，即证
，即证
.
令函数
，则
.
令
，得
；令
，得
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
令函数
，则
.
当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
.
因为
，所以
，
即
，从而
得证.
变式7-2．已知函数
，m，
．
(1)当
时，求
的最小值；
(2)当
时，讨论
的单调性；
(3)当
时，证明：
，
．
【答案】(1)0
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当
时，
，
，
由
，可得
或
，由
，可得
，
即
在
和
上单调递增；在
上单调递减，
时，
，
时，
，
故
时，
取得极小值也即最小值，为
.
（2）当
时，
，函数的定义域为
，
，
当
时，
恒成立，故
在
上为增函数；
当
时，由
，可得
，
故当
或
时，
；
即
在
和
上单调递增；
当
时，
，
即
在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上为增函数；
当
时，
在
和
上单调递增,
在
上单调递减.
（3）当
时，
,
要证
，
，只需证
，
即证
在
上恒成立.
设
，依题意，只需证在
时，
.
因
，
，由
，可得
，由
，可得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增,
则
在
时取得极小值也是最小值，为
；
因
，
，由
，可得
，
由
，可得
，由
，可得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
在
时取得极大值也是最大值，为
.
因
，即
在
上成立，故得证.
即
，
．
【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式恒成立等知识点，属于较难题.
证明不等式型如
的恒成立问题，一般方法有：
（1）构造函数法：即直接构造
，证明
；
（2）比较最值法：即证明
即可；
（3）等价转化法：即将待证不等式左右两边同除以一个式子，使得左右函数的最值可比较.
题型八：拐点偏移问题
典例8-1．已知函数
(1)求函数
在
处切线方程；
(2)若
有两解
，
，且
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由
，则
，又
，
所以
处切线方程为：
，即
.
（2）因为
，所以当
时，
，即
单调递增，
，
，即
单调递减.
又
，
，
时，
，
先证
，
由
可知：
，要证
，
也就是要证：
，
令
，
，
则
，
所以
在区间
内单调递增，
，则
，即
，即
；
再证
，
由（1?）可知曲线
在点
处的切线方程为
，
令
，
则
，
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴
在
处取得极大值为0，
故当
时，
，即
，
，
则
，即
，
又
，
，
∴
.
综上，
成立，得证.
典例8-2．已知函数
，
．
(1)若
，求
的极值；
(2)若
有两个极值点
，
，当
时，证明：
．
【答案】(1)
的极小值是
，无极大值；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意
的定义域为
，
且
，
因为
恒成立，
所以
在
上单调递增，
又
，所以
时，
，
时，
，
即
在
上递减，在
上递增，
所以
的极小值是
，无极大值；
（2）
的定义域为
，
，
因为
是
的两个极值点，
所以
是方程
的两个相异正根，且
，
由
得
，
，
令
，
则
，
所以
在
上单调递减，故
，
即
.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的极值点问题，解题关键是利用极值点的定义确定极值点是一个方程
的解，从而利用韦达定理把极值点与参数联系起来，然后把
进行消元，变为
的函数.
变式8-1．已知函数
．
(1)若函数
有两个零点，求
的取值范围；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）
，则
，
令
，得
，
若函数
有两个零点，则直线
与函数
的图象有两个不同的交点．
设
，则
．
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
因此
．当
时，
，当
时，
，
作出函数
的大致图象与直线
，如图所示，要使二者有两个不同交点，
则
，故
的取值范围为
．
（2）因为
是函数
的两个极值点，所以
．
由（1）知
，不妨设
，
要证
，即证
，
只需证
，显然
．
由（1）知当
时，
单调递增，所以只需证
，
而
，所以即证
．
设
，
则
，
当
时，
单调递减，所以当
时，
，
所以当
时，
，原不等式得证．
【点睛】方法点睛：解答函数零点个数问题常见思路：1，转化为方程的根的个数求解；2，转化为函数图
象的交点个数求解.
变式8-2．若
是函数
的两个零点，且
，求证：
且
．
【答案】证明见解析
【详解】方法一：比值代换
因为
，由题意结合
可知，
，
，
所以
．
令
，则
，
，代入上式得
，
．对于
，其等价于
，即
．
构造函数
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，
所以
，即
得证．
对于
，其等价于
，即
，即
．
令
，则
，构造函数
，则
，
在
上单调递减，所以
，即
得证．
方法二：差值代换
由
可得
．
设函数
，则
，
当
，
，则函数在
上单调递减，
当
，
，则函数在
上单调递增，
所以
，则有
，
，则
，且
，
．
对于
，即
，即
，即
，
令
，则
，则只需证
．
令
，则
，
，
则
在
上单调递增，则
，
则
在
上单调递增，则
，即
成立．
对于
，其等价于
，即
，即
．
左边分子、分母同时除以
，得
，令
，则
，
则只需证
，即
．
令
，则
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，故
，所以
，
所以
在
上单调递减，所以
，即
成立．
巩固过关
1．已知函数
，若
有两个不同的零点
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)求证：
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【详解】（1）函数
定义域为
，由
，得
，
今
，求导得
，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
而
，当
时，
恒成立，
由函数
有两个不同的零点，得直线
与函数
的图象有两个不同的交点，则
，
所以实数
的取值范围是
.
（2）由（1）知，不妨设
，且
，
两式相减得
，两式相加得
，
欲证
，只证
，即证
，即证
，
设
，不等式
等价于
，
设
，求导得
，
函数
在
上单调递增，则
，即不等式
成立，
所以
.
2．已知函数
，其中
.
(1)当
时，求出函数
的极值并判断方程
的解的个数；
(2)当
时，证明：对于任意的实数
，都有
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）当
时，
，则
，
当
时
；当
时
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数
有极小值
，无极大值.
方程
解的个数，转化为
与
交点的个数，
由于
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
令
，解得
.且
时，
；
时，
，
所以，当
时，方程有0 个解，
当
或
时，方程有1 个解，
当
时，方程有2 个解.
（2）要证
，
不妨设
，即证
，
两边同时除以
并化简，即证
，
令
，则
，设
，
，令
，则
在
上恒成立，
得
在
上单调递增，
故
，故
在
上单调递增.
所以
，从而命题得证.
3．设函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)证明：当
时，
；
【答案】(1)单调增区间为
；单调减区间为
；
(2)证明见解析
【详解】（1）函数
的定义域为
，
导函数为
，
由
，可得
；由
，可得
．
即有
的单调增区间为
；单调减区间为
；
（2）当
时，要证明
，只需证明
．
由（1）可得
在
递减，
可得当
时，
，即有
；
设
，
当
时，
，可得
在
单调递增，即有
，
即有
，则原不等式成立；
即当
时，
．
4．已知函数
，
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【详解】（1）函数
，求导得
，则
，而
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）不等式
，
令函数
，求导得
，
而
，函数
在
上都单调递增，函数
在
上单调递增，
而
，则存在
，使得
，即
，
，
当
时，
，即
；当
时，
，即
，
因此函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，所以
.
5．已知函数
．
(1)求
的极值点；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)求证：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）
的定义域为
，
，
当
时，
，
在
上是增函数，故
在
上无极值点．
当
时，令
，则
．
当
时，
，
在
上是增函数；
当
时，
，
在
上是减函数．
所以当
时，
取得极大值．
综上可知，当
时，
无极值点；
当
时，
有唯一极大值点
．
（2）由（1）可知，当
时，
，
不恒成立，故只需考虑
．
由（1）知，
，
若
恒成立，只需
即可，
化简得
，所以
的取值范围是
．
（3）设
，
当
单调递增；
当
单调递减；
所以
，所以
因为
，所以
，
则有
，
从而
，
所以
．
6．已知
．
(1)若曲线
在
处的切线与
垂直，求实数a 的值；
(2)若函数
存在两个不同的极值点
，
，求证：
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【详解】（1）
的定义域为
，且
，
因为曲线
在点
处的切线与直线
垂直.
所以
，解得
．
（2）由题意可得
，
，
因为函数
有两个极值点
，
，
即
在
上有两个不等实根
，
，
则
，
，
由题意得
，解得
.
则
令
，其中
，
，
，
，故
在
上单调递减；
所以
，即
，
故
得证．
7．已知函数
．
(1)判断
的单调性，并说明理由；
(2)证明：
．（证明时可使用下列结论：当
时，
成
立）．
【答案】(1)
在
内单调递增，理由见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）
，令
，
则
，即
，
所以
在
上单调递增，
即当
时，
，所以
在
内单调递增．
（2）由（1）得，当
时，
，
所以当
时，
．
又当
时，
成立，
所以当
时，
，
即
．
所以当
时，
．
8．已知函数
.
(1)若
，求实数k 的取值范围；
(2)证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【详解】（1）若
，则由题
对
恒成立，
因为
，
所以当
时
，当
时
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
.
所以实数
的取值范围为：
.
（2）证明：由（1）可得
对
恒成立，且当且仅当
时
，
所以
，即
，
所以
.
创新提升
1．设
，函数
．
(1)当
时，求
的最大值；
(2)当
时，关于
的方程
在
,
上恰有两个不相等的实数根，求实数
的取值范围；
(3)求证：当
，
时
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当
时，
，而
,
，
令
，解得：
，令
，解得：
，
故
在
递增，在
递减，
故
（2）
时，
，
关于
的方程
化为
，
令
，
,
，
，
令
，解得
或1，
令
，解得
，此时函数
单调递增，
令
，解得
，此时函数
单调递减，
关于
的方程
在
,
上恰有两个不相等的实数根，则
在
,
上恰
有两个不相等的实数根
则
，即
，解得：
，
实数
的取值范围是
，
（3）设
，
则当
时，
在
单调递减，当
时，
在
单调递增，
故当
，
故
当且仅当
时取等号，
令
．则
，
依次取
，3，
，
．
累加求和可得
，
当
时，
，
，
，
故
，
即
2．已知函数
.
(1)若函数
在
处的切线方程为
，求实数
；
(2)若函数
存在两个极值点
（
）
①求a 的取值范围；
②证明：
【答案】(1)
；
(2)①
；②证明见解析
【详解】（1）因为
在
处的切线斜率为0，
所以
，即
；此时切点坐标为
，所以
.
（2）①因为
，
当
时，
在
单调递增，
只有一解，显然不符合题意；
当
时，设
，则
.
由
；由
.
所以
即
在
上单调递增，在
上单调递减.
因为函数
存在两个极值点
.
所以
需有两解，所以
为必要条件，即
为必要条件，
当
时，
时，
时，
，
分别在
及
各有一零点
，综上：
.
②因为
或
而
，
所以
，而
，
所以
，
令
，所以
，所以
在
上单调递减，
所以
，所以
.
3．已知函数
．
(1)证明：
．
(2)若
只有一个零点，求
的取值范围．
(3)设
是
的两个零点，证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）证明：
．
设
，则
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
所以
，
所以
，故
．
（2）由
，得
．
设
，则
，
当
或
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，且极大值为
在
处取得极小值，且极小值为
，
当
时，
，当
时，
．
若
只有一个零点，则
的取值范围是
．
（3）证明：因为
是
的两个零点，所以
，
则
，则
，
因为
，所以
，
所以
．
设
，
则
，当
时，
，当
时，
，
所以
，
所以
，
即
．
4．已知函数
在区间
上有定义，记
为
的导函数，
为
的导函数.若
，
则称
为
上的“
”函数.已知
是
上的“
”函数.
(1)求
的取值范围；
(2)已知直线
为曲线
在原点处的切线，求
的最大值；
(3)证明：当
时，
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由已知
，
则
，
，
又
，则
，
由已知
是
上的“
”函数，
则
，
即
，
解得
；
（2）由已知
，
，
则
，
又直线
为曲线
在原点处的切线，
则
，
设
，即
，
所以
，
，
由（1）得
，
则
恒成立，
所以
在
上单调递减，且
，
即当
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
即
的最大值为
；
（3）设
，
，
则
，
，
，
恒成立，
恒成立，
设
，
，
则
恒成立，
所以
在
上单调递增，
即
，
所以
，
即
在
上单调递增，
所以
，
即函数
在
上单调递增，
所以
，
即
成立.
