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重难点培优03 数列与不等式及数学归纳法的应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................2
题型一 数列与不等式的恒成立问题（★★★★★）................................................................................2
题型二 数列与不等式的证明问题（★★★★★）....................................................................................4
题型三 数学归纳法（★★★★）................................................................................................................6
03 实战检测・分层突破验成效..........................................................................................................8
检测Ⅰ组 重难知识巩固................................................................................................................................8
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................10
一、数列与不等式
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相
联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放
缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
1、常见放缩公式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
（9）
．
2、数学归纳法
（1）数学归纳法定义：对于某些与自然数
有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当
取第一个值
时命题成立；然后假设当
（
，
）时命题成立，证明当
时命题也
成立
奎屯
王新敞
新疆这种证明方法就叫做数学归纳法
奎屯
王新敞
新疆
注：即先验证使结论有意义的最小的正整数
，如果当
时，命题成立，再假设当
（
，
）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当
时，命题
也成立，那么就可以递推出对所有不小于
的正整数
，
，
，命题都成立．
…
（2）运用数学归纳法的步骤与技巧
①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当
取第一个值
结论正确；
（2）假设当
（
，
）时结论正确，证明当
时结论也正确
新疆
学
源头子小屋
特级教师
王新敞
http://www.xjktyg.com/wxc/
wxckt@126.com
wxckt@126.com
http://www.xjktyg.com/wxc/
王新敞
特级教师
学
源头子小屋
新疆
由（1），（2）可知，命题对于从
开始的所有正整数
都正确
奎屯
王新敞
新疆
题型
一
数列与不等式的
成
题
恒
立问
【技巧通法·提分快招】
1、以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值问题.
恒成立
；
恒成立
.
1．（2025·江西·模拟预测）已知数列
的首项
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
恒成立，求实数的取值范围.
2．（23-24 高三上·辽宁·期中）已知正项等比数列
的前
项和为
，满足
，
.
(1)求数列
的前
项和
.
(2)在（1）的条件下，若
，
，求
的最小值.
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列
的前n 项和为
，已知
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前n 项和
；
(3)若
时，
恒成立，求正整数
的最小值．
4．（2025·江西·模拟预测）已知数列
分别是等比数列和等差数列，
是数列
的前
项和.若
.
(1)求
和
及
；
(2)设
是等比数列，对任意的
，当
时，有
恒成立.
（i）当
时，求证：
；
（ii）设数列
，求数列
的前
项和
.
5．（24-25 高三上·江西抚州·月考）已知数列
的前
项积
，数列
的前
项和为
，
，满足
.
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
，若
使
成立，求实数的取值范围.
6．（2025·河北秦皇岛·一模）设
为数列
的前n 项和，已知
是公比为2 的等比数列．
(1)证明：
是等比数列；
(2)求
的通项公式以及
；
(3)设
，若
，
，求m 的取值范围．
7．（2025·河南·模拟预测）已知数列
的首项为1，其前
项和为
，等比数列
是首项为1 的递增
数列，若
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的前
项和；
(3)求使得
成立的最大整数
.
8．在平面直角坐标系
中，
轴正半轴上的点列
与曲线
上的点列
满足
，直线
在
轴上的截距为
，点
的横坐标为
，
．
(1)求证：
，
；
(2)求证：存在
，使得对任意
都有
．
题型二 数列与不等式的
题
证明问
【技巧通法·提分快招】
1、对于与数列有关的不等式的证明问题，则要灵活选择不等式的证明方法，有时采用比较法；有时采用
构造函数法；但更多采用放缩法进行证明.在运用放缩法证明时，若能够直接求和，则考虑先求和再放缩；
若不能或很难求和，则考虑先放缩再求和.
2、放缩法技巧
在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为
放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分
子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是：
；
.
1．求证：
．
2．求证：
．
3．（2025·海南·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，证明：
．
4．已知
求证：
(1)
；
(2)
．
5．已知正项数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求证：
．
6．已知数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，记
的前
项和为
，证明：
．
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数
在
上的最小值为0
(1)求实数
的值：
(2)对任意的
，数列
满足
，且
，证明：当
大于1 时，
也大于1：
(3)在（2）的条件下，若
为数列
的前
项和，求证：
8．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
满足
，
.记
的前
项和为
，且
是以
为首项，
为公比的等比数列.
(1)求
，
的值；
(2)求
的通项公式；
(3)求
的通项公式，并证明：
.
9．（2025·贵州·模拟预测）已知数列
中，
，
．
(1)求
，
的值；
(2)设
，证明
是等比数列，并求其通项公式；
(3)证明：
．
题型三 数学归纳法
【技巧通法·提分快招】
1、用数学归纳法证题的注意事项
（1）弄错起始
．
不一定恒为1，也可能
或3（即起点问题）．
（2）对项数估算错误．特别是当寻找
与
的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问
题）．
（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证
明过程也就不正确了（即伪证问题）．
（4）关键步骤含糊不清．假设
“
时结论成立，利用此假设证明
时结论也成立是数学归纳法
”
的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨
性、规范性（即规范问题）．
1．在数列
中，
，
（n 为正整数）．
(1)求
，
的值；
(2)证明：
．
2．已知数列
满足
，且
，
．
(1)求
，
，
；
(2)猜想通项公式
，并用数学归纳法证明．
3．已知函数
．
(1)求证：函数
的图象关于点
对称；
(2)求
的值；
(3)若
，求证：对任意自然数
，总有
成立．
4．已知数列
满足
，且
.
(1)证明：
；
(2)证明：
.
5．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
极值点的个数；
(3)设
，
，求证：
.
6．如图，已知实数
，曲线
与直线
的交点为
（异于原点
），在曲线
上取一点
，过点
作
平行于
轴，交直线于点
，过点
作
平行于
轴，交曲线
于点
，接着过点
作
平行于
轴，交直线于点
，过点
作
平行于
轴，交曲线
于点
，如此下去，可以得到点
，
，
，
．设点
的坐标为
，
．
(1)试用表示
，并证明
；
(2)求证：
，且
；
(3)当
，
时，求证：
．
7．已知常数
满足
，数列
满足
，
．
(1)求
，
，
；
(2)猜想
的通项公式（不用给出证明）；
(3)求证：
对
成立．
检测Ⅰ组 重难知识
固
巩
1．已知数列
的首项为3，且满足
，令
．
(1)证明：
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)若
对任意的
都成立，求
的范围．
2．已知正项等比数列
的前
项和为
，
，
.若
，且数列
满
足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
；
(3)若
对一切
恒成立，求实数的取值范围.
3．记
分别为数列
的前
项和，已知
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
4．已知
，
，
是等差数列，且
．
(1)求
，
；
(2)求证：
．
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）记
为数列
的前n 项和，已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)设递增的等差数列
满足
，且
成等比数列.设
，证明：
.
6．已知在数列
中，
，
是它的前
项和，当
时，
．
(1)求
，
，
的值，并推测
的通项公式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
7．已知在数列
中，
，求证：
(1)
是递增数列；
(2)
．
8．（23-24 高三下·北京·强基计划）
，用
表示不超过
的最大整数，并用
表示小数部
分，已知：
，
，求
.
9．已知在数列
中，
，
，求证：
(1)
；
(2)
．
检测Ⅱ组
能力提
创新
升
1．（2025·安徽滁州·二模）在数列
中，
，
，其前
项和为
．数列
是公差为
的等
差数列．
(1)求
；
(2)若
，
（
）求数列
ⅰ
的通项公式
及前
项和
；
（
）若
ⅱ
，数列
满足
，
，求证：对任意正整数
，都有
．
2．已知正项数列
满足
，
，数列
满足
，
（
且
）．
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求证：
．
3．（2025·江苏连云港·模拟预测）在数列
中，
，对于
，
，
，
成等差数列，其
公差为
．
(1)判断
是否成等比数列？并说明理由；
(2)证明：
，
，
成等比数列；
(3)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
4．（2025·天津·三模）已知数列
和
的满足
，
(1)（i）求
的值；
（ii）求
的值.
(2)若数列
满足对于
，求证：
，使得
．
5．（24-25 高三下·江苏泰州·开学考试）设数列
的前
项和为
，
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
；
(3)设
，求证：
6．已知在数列
中，
，
.
(1)求数列的通项
；
(2)求证：
；
(3)求证：
.
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，讨论
的零点的个数；
(2)若
为正整数
，记此时
的唯一零点为
，证明：
（i）数列
是递增数列；
（ii）
．
8．（24-25 高三下·河南·月考）已知数列
满足
，且
．
(1)证明：
；
(2)证明：
；
(3)证明：
．（附：当
时，
）
