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专项06 数列重难点
分析维度 具体内容
核心考点 1. 数列基本概念：通项公式、递推公式的定义，项数、前n项和（Sn）的含义，
Sn与an的核心关系；2. 等差数列：定义、通项公式、前n项和公式、等差中
项，下标和性质、奇偶项规律、连续片段和性质；3. 等比数列：定义、通项公
式、前n项和公式、等比中项，下标和性质、公比取值范围（含q=1的特殊情
况）；4. 通项求法：公式法、累加法、累乘法、构造法（构造等差等比数列）、
Sn与an关系法；5. 数列求和：分组求和、裂项相消法、错位相减法、倒序相加
法；6. 综合应用：数列的单调性、最值求解、恒成立/存在性问题、与不等式结
合、实际应用建模。
考查形式 1. 客观题（单选题+多选题）：5-10分，多为第4-9题，考查基本量计算、简单
性质应用、通项/求和基础运算，难度低-中档；2. 解答题：12分，固定为基础解
答题（多为第17题），命题模式固定：第一问求通项公式，第二问求前n项和，
偶尔增加第三问考查最值/范围；3. 新高考特点：弱化复杂偏怪递推，强化基础运
算和方法应用，多选题增加性质辨析，常与不等式结合考查范围、最值，极少单
独命制压轴题。
命题特点 1. 基础题（送分）：等差/等比数列“知三求二”（已知a1、d/q、n、an、Sn中
三项，求其余两项）、简单通项/求和，直接套用公式即可得分；2. 中档题（核心
得分）：利用数列性质简化计算、常规通项求法（累加法、累乘法）、核心求和
方法（裂项相消、错位相减），侧重方法套路；3. 难题（低频）：构造新数列求
通项、错位相减综合运算、数列不等式证明（放缩技巧）、含参数数列的恒成
立/存在性问题，难度中等偏上，占比低；4. 命题趋势：整体稳定，重基础、重运
算、重方法，题型固定、套路性极强，减少偏题怪题，强调逻辑严谨和步骤规
范。
重难点突破 1. 重点：① 等差、等比数列的通项公式、前n项和公式（熟练记忆、灵活套
用）；② Sn与an的相互转化（牢记n≥2时an=Sn-Sn-1，必验证n=1）；③ 裂项
相消法、错位相减法（高考解答题高频必考，掌握固定步骤）；④ 等差、等比数
列的常用性质（下标和、片段和等，简化计算）；2. 难点：① 由递推关系式构
造等差/等比数列（掌握常见构造模型）；② 含参数数列的最值、参数范围求解
（结合函数单调性或不等式）；③ 数列不等式证明（放缩技巧的灵活运用）；④
奇偶项分段数列、复杂递推数列的求解（分类讨论思想）。
关联模块 1. 直接关联：函数（数列是特殊的函数，单调性、最值可借助函数思想求解）、
不等式（数列不等式证明、范围求解）、三角函数（偶尔结合周期性考查）；2.
间接关联：导数（数列最值的高阶求解）、实际应用（建模求解，如增长率、累
加问题）、概率统计（计数问题的辅助）。
备考策略 1. 基础过关：熟记等差、等比数列的所有公式，熟练完成“知三求二”运算，牢
记Sn与an转化的核心步骤（必验证n=1）；2. 方法强化：专项突破四大通项求
法、四大求和方法，尤其是裂项相消、错位相减，总结固定解题步骤，杜绝计算
失误；3. 难点突破：总结构造数列的常见模型（如an+1=pan+q），分类刷题形成
思路；针对性练习数列不等式放缩、含参问题，掌握分类讨论思想；4. 规范作
答：解答题按步骤书写（通项推导、求和过程分步写），避免跳步导致的计算错
误；5. 实战训练：多练基础解答题，兼顾中档综合题，少练偏怪题，重点培养“套路化解题”思维。
易错点提醒 1. 等比数列求和时，忘记讨论公比q=1（q=1时Sn=na1，q≠1时用等比求和公
式）；2. 利用Sn求an时，忽略验证n=1的情况（导致首项错误）；3. 裂项相消
法中，拆分公式错误、剩余项数判断失误（前后剩余项数搞反）；4. 错位相减运
算量大，容易出现系数、常数项计算错误，或最后忘记除以（1-q）；5. 混淆数
列单调性与函数单调性（数列自变量为正整数，不能直接套用函数导数判断）；
6. 等比数列中，忽略公比q≠0、项的正负性判断，导致取值范围出错；7. 构造新
数列时，变形错误（如an+1+1=p(an+1)的构造漏加常数）。
一、基础核心考点（送分题，必拿分）
（一）数列基本概念
1. 定义：数列是按一定顺序排列的一列数，项与项数一一对应，项数为正整数。
2. 核心表示：
- 通项公式：直接表示第n项an与项数n的关系（如an=2n+1），可直接求任意项。
- 递推公式：通过相邻项的关系表示（如an+1=an+2），需结合首项推导后续项。
3. 前n项和Sn：Sn=a1+a2+…+an，核心关系：an=Sn-Sn-1（n≥2），必须验证n=1时是否成立（n=1时，
a1=S1）。
4. 考法：判断数列概念正误、利用Sn与an关系求首项/通项（客观题为主）。
（二）等差数列（基础必考）
1. 定义：从第二项起，每一项与它前一项的差为固定常数d（公差），即an+1-an=d（d为常数）。
2. 核心公式：
- 通项公式：an=a1+(n-1)d（a1为首项，n为项数）。
- 前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2 或 Sn=na1+n(n-1)d/2。
3. 关键性质：
- 等差中项：若a、A、b成等差数列，则2A=a+b。
- 下标和性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m、n、p、q为正整数）。
- 连续片段和：S n、S2n-Sn、S3n-S2n仍成等差数列。
4. 考法：“知三求二”（已知a1、d、n、an、Sn中三项求其余两项）、性质应用（客观题+解答题第一问）。
（三）等比数列（基础必考）
1. 定义：从第二项起，每一项与它前一项的比为固定非零常数q（公比），即an+1/an=q（q≠0）。2. 核心公式：
- 通项公式：an=a1·q^(n-1)（a1为首项，n为项数）。
- 前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 或 Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。
3. 关键性质：
- 等比中项：若a、G、b成等比数列，则G²=ab（G≠0）。
- 下标和性质：若m+n=p+q，则am·an=ap·aq（m、n、p、q为正整数）。
4. 考法：“知三求二”、公比q的取值判断、性质应用（客观题+解答题第一问）。
二、核心应用考点（中档题，核心得分区）
（一）通项公式四大求法（高考解答题第一问高频）
1. 公式法：直接判定数列是等差或等比数列，套用对应通项公式（基础送分）。
2. 累加法：适用于an+1-an=f(n)（f(n)为可求和的简单式子，如一次函数、分式），累加消去中间项求an。
3. 累乘法：适用于an+1/an=f(n)（f(n)为可约分的简单式子），累乘消去中间项求an。
4. 构造法：适用于复杂递推式（高频模型）：
- 模型1：an+1=pan+q（p、q为常数），构造新数列bn=an+q/(p-1)，转化为等比数列。
- 模型2：an+1=pan+qn（p、q为常数），两边同除以qn+1，转化为等差数列。
（二）数列四大求和方法（高考解答题第二问必考）
1. 分组求和：适用于“等差+等比”型数列（如an=2n+3^n），分开求等差、等比数列的和，再相加。
2. 裂项相消法：高频必考，适用于分式型数列（如an=1/[n(n+1)]），拆分通项为两项之差，消去中间项求和（注
意剩余项数）。
3. 错位相减法：高频必考，适用于“等差×等比”型数列（如an=n·2^n），步骤固定：乘公比→错位相减→化简求
和（注意计算准确性）。
4. 倒序相加法：适用于对称型数列（如an= n + (n+1)，与倒序后相加可提取公因式），低频考查。
三、高阶综合考点（难题，低频拉分）
（一）数列性质综合
1. 单调性与最值：利用函数思想（数列是特殊的正整数函数），结合作差法、作商法判断单调性，求最大项、最
小项。
2. 奇偶项分段数列：当递推式含(-1)^n时，分n为奇数、偶数讨论，分别求通项、求和。
（二）综合应用问题
1. 恒成立/存在性问题：含参数数列，求参数范围（结合不等式、函数最值求解）。2. 数列与不等式结合：证明数列不等式（常用放缩技巧，如1/n²<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n）。
3. 实际应用：建模求解（如增长率、存款利息、累加计数问题），转化为等差或等比数列求解。
四、高考考法与易错提醒
（一）考法总结
1. 客观题（5-10分）：侧重基础，考查公式应用、性质辨析、简单通项/求和，难度低-中档。
2. 解答题（12分）：固定模式，第一问求通项，第二问求和，偶尔加第三问考查最值/范围，难度中档。
3. 新高考趋势：弱化复杂递推，强化基础运算和方法套路，极少出现偏怪题。
（二）易错提醒
1. 等比数列求和忘记讨论q=1的情况，导致公式套用错误。
2. 利用Sn求an时，未验证n=1，导致首项错误。
3. 裂项相消拆分错误、剩余项数判断失误；错位相减计算出错。
4. 混淆数列与函数的单调性，忽略数列自变量为正整数。
5. 构造新数列时，变形错误（如漏加、漏乘常数）。
一、单选题
1．（2026·云南曲靖·二模）已知正项数列 的前n项和为 ， ， ，则下列选项正确的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·陕西渭南·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：
.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把
这样的一列数所组成的数列 称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律： ，称为卡西尼
恒等式，根据卡西尼恒等式， （ ）
A．2025 B．-1 C．2026 D．13．（2026·江西·二模）在正项数列 中， ， ， ，若 ， 为数列
的前n项和，若 ，则正整数n的最大值为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
4．（2026·河北沧州·二模）已知三个正数 ， ， 成等比数列，且 ， ，则 （ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
5．（2026·上海浦东新·三模）已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，若
．已知 ，记 和 分别为数列 和 的前 项和，则下列结论正确
的是（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
6．（2026·湖南·一模）已知各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ，且满足 ， ， 成等差数列，则
（ ）
A．15 B．17 C．80 D．82
7．（2026·山东滨州·二模）若 ， ， 成等差数列，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2026·安徽·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，若 是数列 的最大项，则
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知数列 满足 是数列 的前n项和，则 （ ）
A．-7 B．-6 C．6 D．7
10．（2026·广东东莞·二模）等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 （ ）
A．64 B．56 C．38 D．8
二、多选题
11．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知 为等差数列，记 的前 项和为 ，前 项中所有偶数项的和为 ，
且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若 ，则
12．（2026·湖北黄石·模拟预测）设数列 满足 ， ，记数列 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
13．（2026·重庆渝中·二模）已知 是等差数列 的前 项和， 为公差，且 ， ，则下列说法正确
的是（ ）
A． B．当 时， 取最小值
C． D．14．（2026·山东滨州·二模）已知无穷数列 的前n项和为 ，且对于任意 ， （ 且
），则下列结论正确的是（ ）
A．存在 ，使得 是常数列 B．任意 ， 有最大项，无最小项
C．存在 ，使得 是周期数列 D．任意 ， 不是递增数列
15．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．任意 B．任意
C．任意 D．任意
三、填空题
16．（2026·云南曲靖·二模）记 为等比数列 的前n项和，若 ，则 _____________．
17．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知等比数列 中， ，则 ______；又数列 满足
， ，若 为数列 的前 项和，那么 ______．
18．（2026·湖南·一模）已知数列 的通项公式是 .设 为数
列 的前n项和，当 时， ______；若存在n，使得 ，则m的最小值为______.
19．（2026·河北张家口·三模）已知数列 的首项 ，且 ，则 _____．
四、解答题
20．（2026·全国·模拟预测）已知函数 .(1)当 时，求函数 在 上的值域；
(2)若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；
(3)证明： .
21．（2026·河南安阳·模拟预测）记数列 的前 项和为 ，已知 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为正整数，从集合 中随机抽取一个数，若抽到 ，则记随机变量 ，假设抽到 的概率
与 的值成正比，求 .（用 表示）
22．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ， ，求 的通项公式．
23．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记 为等比数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的公比；
(2)求 的前n项和 ．24．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
25．（25-26高二下·江西鹰潭·期中）设数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前n项和 ；
(3)令 ，记数列 的前n项和为 ，求证： ．
26．（2022·上海松江·二模）在等差数列 中，已知 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 的前 项和 ．
27．（2026·安徽·模拟预测）已知数列 中， ， ， ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)记 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．28．（2026·河北张家口·三模）记等差数列 的前n项和为 ，公差 ，且 ， ， 成等比数列， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前n项和为 ，若对任意 ， ，求 的最小整数值．
29．（2026·辽宁大连·三模）设数列 满足 ， 且 ．
(1)证明：数列 是等差数列，并求其通项公式；
(2)若 ，求正整数m的值．
30．（2025·天津宝坻·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，正项且公差不为零的等差数列 满
足 ，且 ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项的和；
(3)记 ， 为数列 的前 项积，证明：
