文档文本内容
2026 年高考考前平稳发挥练手卷
数学（全国Ⅱ卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，得 ，所以 ，所以 ，
所以 .
2．复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【详解】已知复数 是纯虚数，则实部 ，解得 ；
虚部 ，解得 ，
综上， ．
3．设 是两条直线， 是两个平面，下列说法错误的是（ ）
A．如果 ，那么
B．若 ，则
C．若 ， ，则D．若 ，则
【答案】B
【分析】由线、面之间的位置关系的判定定理和性质逐一判断即可.
【详解】对于A，如果 ，则 ，故A正确；
对于B，若 ，则 或 ，故B错误；
对于C，因为 ，所以存在直线 ，使得 ，
又 ，所以 或 ，
当 时，因为 ， ，所以由线面平行性质定理可知 ，
所以由平行传递性可得 ；
当 时，因为 ， ，所以直线 与直线 重合，故 .
综上，若 ， ，则 ，故C正确；
对于D，若 ， ，所以 或 ，
当 时，存在直线 ，使得 ，
又因为 ，所以 ，则 ；
当 时，因为 ，所以 .
综上，若 ，则 ，故D正确.
4．记公差不为0的等差数列 ，其前 项和为 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知有 、 ，结合等差数列的通项公式、前n项和公式依次判断各项的正误.
【详解】若 的公差为 ，且 ， ，
所以 ，即 ，由 ，则 ，A错，
由 ，则 ，B对，
由 ，而 的符号未知，C错，
由 ，D错.
5．已知平面向量 ， 均为单位向量，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据单位向量的概念以及平面向量的数量积运算法则和性质求解即可.
【详解】因为 ， 均为单位向量， ， ，
由 可知， ，展开得 ，即 ，
代入 得 ，解得 ，
因此 .
所以 .
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定角的范围，求出 值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 ，最后用半角公式
即可求解.
【详解】已知 ，因此 ，所以 ，
所以 ，
化简得 ①；
而 ，
化简得 ②；
联立①②，相加得： 相减得： ，
由 ，得 ，
根据半角公式 ，代入 得 .
7．已知椭圆 的焦点分别为 ， ，点 为 上任意一点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解.
【详解】已知椭圆 的焦点分别为 ， ，点 为 上任意一点，所以 ，
则根据椭圆的定义可知 ，
由基本不等式得 ，当且仅当 时取等号，此时点 在椭圆的短轴的
端点处，符合题意，
因此 的最大值是 .
8．已知函数 ，正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．9【答案】D
【详解】因为函数 的定义域为 ， ，所以 是奇函数；
又 ，所以 ，
又 ，所以 在 上单调递增，所以 ，即 ；
又 均为正数，所以 ，
当且仅当 时，即 ， 时等号成立，
故 的最小值为9，故D正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表：
月份 1 2 3 4 5
销售额 万元 1.8 2.2 2.8 3.1
根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为 ，则（ ）
A．变量 与 正相关
B．
C．样本数据 的下四分位数为1.8
D．当 时， 的预测值为4.1万元
【答案】ABD
【分析】根据回归系数 ，可判定A正确；根据回归直线方程经过样本中心 ，列出方程，求得 的值，可
判定B正确；根据百分位数的计算方法，可判定C错误；根据回归直线方程，求得预测值，可判定D正确.
【详解】对于A，由回归直线方程 ，可得 ，
所以变量 与 正相关，所以A正确；
对于B，因为回归直线方程经过样本中心 ，
因为 ，所以 ，
又由 ，解得 ，所以B正确；对于C，将样本数据 的数据排序为： ，
由 ，则样本数据 的下四分位数为第 个数据 ，所以C不正确；
对于D，当 时， ，所以 的预测值为 万元，所以D正确.
10．函数 的部分图象如图所示.则（ ）
A．
B．图象关于 轴对称
C． 在 内单调递增
D． 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
【答案】AD
【分析】根据图象特征及所过点确定函数解析式，结合三角函数的性质判断选项ABC，根据三角函数平移变换判
断选项D.
【详解】由图像可知，函数最小值为 ，且 ，因此 .
由图可得：函数过点 和 ，代入 得：
，结合 ，得 ；
，结合五点法作图可得 ，解得 ，
由 ， 可得 ， ，
所以当 时，故 ，A正确.
选项B：代入 ，得 ，
函数关于 中心对称，B错误.
选项C：令 ，
解得：单调递增区间为 .
当 时，增区间为 ，而 ，区间包含递减部分 ，因此 在该区间
不是单调递增，C错误.
选项D： 向左平移 个单位，
可得 ，D正确.
11．在棱长为2的正方体 中，点 是棱 的中点，点 在正方形 内部（不含边界）运动，
若 平面 ，则（ ）
A．点 的轨迹经过线段 的中点
B．点 的轨迹长度为
C．直线 与直线 为异面直线D．三棱锥 的体积为定值
【答案】ACD
【分析】取 的中点 ，连接 ，根据条件可得点 的轨迹为线段 （不含端点），即可判断出A和
B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解.
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ， ，则 ，
且 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又因为 是 中点，则 ，
且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
又 平面 ，则 平面 ，又点 在正方形 内部（不含边界）运动，且平面 平面
，
所以点 的轨迹为线段 （不含端点）.
对于A，连接 ，由正方体的性质易知 与 相交，且交点为 的中点，所以A正确；
对于B，因为 ，所以点 的轨迹长度为 ，故B错误；
对于C，因为 平面 ， 平面 ， ，
所以直线 与直线 为异面直线，故C正确；
对于D，因为 平面 ，点 是棱 的中点，则 ，所以D正确；
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 ，若 ，且 ，则m的值为________.
【答案】
【分析】把x凑成 的形式，再用二项式定理展开，通过对应系数相等建立方程求解
【详解】因为 ，所以 ，利用二项式定理展开得
，
即 ，
又因为 ，对应系数要相等，则
又因为 且 ，即 ，解得 .
13．已知曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ________．
【答案】1
【分析】根据导数的几何意义先求得 的切线方程，再设出该切线与 的切点，再利用公切线
的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解．
【详解】由 ，则 ，
所以曲线 在点 处的斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
设直线 与曲线 相切的切点为 ，且 ，则 ，解得 ．
14．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 在第一象限相交于 ， 两点，若 ，
则 __________．
【答案】 /
【分析】设 ，直线 方程 ，联立方程利用韦达定理结合 ，解得
，利用弦长公式得到 .
【详解】
设 ，直线 方程 ，
联立 ，得 ，
由韦达定理得 （*），
因为 ，且 ，
则 ，代入（*），解得 ，
所以 .四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15． 的内角A，B，C的对边分别为 ．已知 ， ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用平方差公式化简已知等式,结合三角形面积公式进行边角替换,再借助余弦定理把边的关系转
化为角的正余弦关系式,通过三角恒等变形求出角 ,接着代入条件求出 ,结合三角形内角范围舍去不合理解,最
终确定角 的值.
（2）由三角形面积公式结合已求角 算出 关系式,设正弦定理比值为参数 ,利用内角和与两角和正弦公式求出
,用 表示出 后代入 等式解出 ,进而求出三边边长,最后相加得到三角形周长.
【详解】（1）由 ，
又 ，所以 ．即 ，
由余弦定理得 ，得 ，即 ．
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ．
所以 ．
因此 或 （舍去），所以 ．
（2）因为 的面积为 ，所以 ．
所以 ①
由正弦定理设 ，因为 .
所以 ．所以， ， ．
代入①式，解得 ，所以 ， ， ．
所以 的周长为 ．
16．已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时， ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)当 时，函数 在 单调递增；当 时，函数 在 上单调递减，在
上单调递增；
(2)
【分析】（1）求导，分 ， 两种情况讨论求解即可；
（2）令 ，求导，分 ， 两种情况，根据函数单调性与 求解即可.
【详解】（1） ．
当 时， 恒成立，故函数 在 单调递增；
当 时，令 得 ．
故当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上，当 时，函数 在 单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，
在 上单调递增；（2）令 ， ， ，
， ， ．
令 ， ，
而 在 恒成立，即 在 单调递增，
故当 ，即 时， ， 在 单调递增，
在 恒成立；
当 ，即 时，当 时， ，
所以，存在 ，使得 时， ， 时， ，
所以 在 单调递减，在 上单调递增，
故由 可知， 时， 与 在 恒成立矛盾；
综上，实数 的取值范围是 ．
17．如图，四棱台 的上下底面均为正方形，且 底面ABCD， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若线段 上存在点P，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
（ⅰ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（ⅱ）求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ） （ⅱ）
【分析】（1）根据题意先证 平面 ，再根据面面垂直的判定即可证明；
（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，设点 ，利用向量法求平面角求出 ，确定点 ；（ⅰ）根据
空间向量法求线面角即可；（ⅱ）
【详解】（1）解：证明：因为 平面ABCD， 平面ABCD，
因此 ，又因为正方形ABCD，所以 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）以点A为原点，AB，AD， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
， ， ， ， ， .
若存在点P，设点 ， ，
设平面PBD的法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，易得平面 的法向量为 ，
由已知有 ，即 ，
整理有 ，解得 ，或 （舍）；所以 ， ， ，
（ⅰ）设直线 与平面 所成角为 ，
，
所以，直线 与平面PBD所成角的正弦值为 ；
（ⅱ）易知 ，设点 到平面 的距离为d，故 .
点 到平面PBD的距离为 .
18．设椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ， ，下顶点为 ，直线 的方程为 ．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)设 为椭圆上异于其顶点的一点， 到直线 的距离为 ，且三角形 的面积为 ．
（ⅰ）求椭圆 的方程；
（ⅱ）若斜率为 的直线 与椭圆 相切，过焦点 ， 分别作 ， ，垂足分别为 ， ，四
边形 的面积为 ，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii） .
【分析】（1）由直线 的方程为 得其斜率为 ，即 ，结合 ，可得离心率；
（2）（i）先求得点 的坐标，根据三角形面积求得 的值，从而可得椭圆的方程；（ii） 设直线 的方程为
，联立椭圆的方程，由判别式为零，结合点到直线的距离公式表示出四边形 的面积，求解方程可得 的值，从而得直线 的方程．
【详解】（1）由已知 ，则 ． ， ．
（2）（ⅰ）设点 ，于是 ，
所以 或 ，
而 无解；由 得
又因为三角形 面积 ，所以 ，
于是，椭圆的方程为 ．
（ⅱ）设直线 ： 代入椭圆 的方程 中，得
由已知 ，即
同时 ， ， ，
易知四边形 为梯形，所以 ，
解得 ，所以 .
所以，直线 的方程为 ．
19．某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不
再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程 次后，箱子中普通卡片的张数记作 ， 的数学期
望记为 .
(1)求随机变量 的分布列；
(2)设 .
（ⅰ）用含 的式子表示 ；
（ⅱ）证明： 是等比数列，并求 .
【答案】(1)分布列见解析
(2)（ⅰ） （ⅱ）证明见解析
【分析】（1）先确定 的取值，再根据取球规则计算各取值对应的概率，从而得到分布列.
（2）第一问，根据 的取值及取球规则，用 表示 各取值的概率，再代入数学期望公式计算 .第二
问，先通过构造证明 是等比数列，然后求出 .
【详解】（1）根据题意， 的可能取值为 .
即二次抽卡均抽到普通卡片， ，
即二次抽卡恰好抽到一普通一稀有卡片， ，
即二次抽卡均抽到稀有卡片， ，
所以 的分布列为
4 5 6（2）（ⅰ）设第 次抽卡抽到稀有卡片为事件 ，
则 ，
.
.
（ⅱ）由（ⅰ）及 ， 得，
，
所以 ，又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 .
