文档文本内容
2026 年高考考前平稳发挥练手卷
数学（全国Ⅰ卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】集合 ， ，
当 时， ，满足 ，因此 ，
当 时，由 ，得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
2．若 ，其中 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，
，故 ， ，
．
3．已知直线 、m、n与平面 、 ，下列命题正确的是（ ）A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】B
【分析】ACD可举出反例；B选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而由线面垂直得到面面垂直.
【详解】A选项，如图1，满足 ， ，但 不垂直，A错误；
B选项，如图2，因为 ，
所以作平面 ，使得 ，且 ，
则 ，
因为 ，则 ，又 ，故 ，B正确；
C选项，如图3，满足 ， ，但 不平行，C错误；
D选项，如图4，满足 ， ， ，但 不平行，D错误.故选：B
4．已知实数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】 时， ， ， ，
又 时，取 ， ，此时 ，
所以 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件.
5．在等比数列 中， ， 是方程 的两个根，则 （ ）
A．6 B．9 C．12 D．6或12
【答案】D
【分析】由韦达定理、等比数列通项公式的下标和性质求解即可.
【详解】因为 ， 是方程 的两个根，所以 ，
在等比数列 中，有 ，
所以 ，所以 或 ，
所以 或 ．
6．已知直线 是函数 图象的一条对称轴，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，得 ；是函数 的一条对称轴，
，解得 ；
， 当 时， 取得最小值，最小值为 .
7．已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 除以5所得的余数是1 D．
【答案】C
【分析】根据二项展开式的形式，结合选项，合理利用赋值法求解，即可得到答案.
【详解】对于A，令 ，可得 ，所以A错误；
对于B，令 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以B错误；
对于C，由 ，所以 除以5所得的余数是 ，所以C正确；
对于D，由二项式 展开式的通项为 ，
可得 为正数， 为负数，
所以 ，
令 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以D错误.
8．已知点 是双曲线 的右焦点， 是坐标原点，以 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于
点 ，若 的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】如图：由题有 ，由双曲线性质有 ，
所以 .所以 ，
所以 .又双曲线方程 ，则 ，
所以 ，则双曲线离心率 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 不是锐角三角形
B．若 ，则 是锐角三角形
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ACD
【详解】选项A：由 ，可得 ，则 或 ，
由于 为三角形的内角，
故 或 ，
为直角三角形或钝角三角形，故A正确；
选项B：当 时， ，对于任意 ， ，
恒成立， 为钝角三角形，故B错误；选项C：由 ，得 ，
由余弦定理得： ，
，
，故C正确；
选项D：由正弦定理 ，则 ，即 ，
，
，故D正确．
10．已知函数 ， 是其导函数，则（ ）
A． B． 的单调递减区间为
C． 是 的极小值点 D． 的图象的对称中心为
【答案】ABD
【分析】求出函数的导数后讨论其符号从而可判断ABC的正误，根据 可判断D的正误.
【详解】 ，故A正确；
当 或 时， ；当 时， ，
故 的单调递减区间为 ，故B正确；
由 符号变化可得 是 的极大值点，故C错误；
又，
故 的图象的对称中心为 ，故D正确.
11．在平行六面体 中， ， ，则（ ）
A．
B． 平面
C．
D．三棱锥 的外接球表面积为
【答案】BCD
【分析】取定空间的一个基底，利用空间位置关系的向量证明推理判断AB；利用空间向量数量积运算律计算判断
C；求出三棱锥外接球半径求解判断D.
【详解】在平行六面体 中，令 ，则 为空间的一个基底，
，
对于A， ， 不成立，A错误；
对于B，由 ，得 ，由菱形 ，
得 ，而 平面 ，则 平面 ，B正确；
对于C， ，则 ，C正确；
对于D，依题意，三棱锥 为正四面体，令正 的重心为 ，则 平面 ，， ，令正四面体 外接球半径为 ，
则 ，解得 ，所以三棱锥 的外接球表面积为 ，D正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在数列 中，已知 ， ，且数列 是等差数列，则 ________．
【答案】2
2 2 2 4
【详解】设b = ，数列 是等差数列，公差为d，则b = =1，b = =− ，
n a −3 3 a −3 6 a −3 5
n 3 6
3d=b −b =− 9 ，得 ，则b =− 4 +2× ( − 3) =−2，则 2 =−2， ．
6 3 5 8 5 5 a −3
8
13．若平面向量 满足 ，则 的最大值为________．
【答案】2
【分析】先通过模长相等推导得两向量垂直，再将所求模长平方后结合已知条件转化为关于 的表达式，即可求
得最大值．
【详解】由 ，得 ，
即 ，
化简得 ，即 ，
由 ，得 ，
所以 ，又 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
14．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 ， 两点，若准线 上的点 到直线
的距离为 ，则 __________．
【答案】8
【分析】先由准线上的点确定抛物线参数 ，利用点到直线距离求出直线 斜率，联立方程结合韦达定理与焦点
弦长公式求解弦长.
【详解】由抛物线 的准线方程为 ，
点 在准线 上，得 ，解得 .
因此，抛物线方程为 ，焦点 .
当直线 斜率不存在时，
直线 方程为 ，点 到直线 的距离为 ，
与题设距离 矛盾，故直线 斜率存在.
设直线 的方程为 ，整理为 ，
由点到直线的距离公式得 ，化简得 ，即 ，
两边平方后整理得 ，解得 .
联立 ，消去 得 ， ，
设 ， ，由韦达定理得 ，
由抛物线焦点弦长公式得 .四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数 .
(1)化简 的解析式，并求 的单调递增区间；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据两角差的余弦公式以及正弦函数的单调性求解即可.
（2）根据三角函数的诱导公式进行分类讨论即可.
【详解】（1） .
， ，
解得 ， .
所以 的单调递增区间为： .
（2）由题意 .
当 为奇数时： ，
( ❑√3) 5
∴a =❑√3⋅ − −1=− .
n 2 2
当 为偶数时： ，
❑√3 1
∴a =❑√3⋅ −1= .
n 2 2( 5) 1
前 项中：奇数项、偶数项各 项T =n − +n =−2n.
2n 2 2
16．如图，在四棱锥 中，底面ABCD是矩形， ， ．
(1)求证：平面 平面SAD；
(2)若异面直线SD与BC所成角为 ， 平面 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题设条件先证明 平面SAD，再由面面垂直的判定定理即可得证；
（2）由条件先证明 平面ABCD，建系后利用空间向量法结合 平面 求出 ，再利用空间向量夹角
的公式计算即得.
【详解】（1）因为ABCD是矩形，所以 ，
又已知 ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为SA∩AD=A,SA,AD⊂平面SAD，
所以 平面SAD，而 平面SAB，
所以平面 平面SAD.
（2）因为 ，所以SD与BC所成角的大小等于 ，
又 ，所以 ，
取AD、BC的中点分别为O、N，连SO、ON，
则 ，
由（1） 平面 ，又 平面ABCD，则得平面 平面ABCD，
又 平面SAD,AD为平面SAD和平面ABCD的交线，所以 平面ABCD，
故可以 为原点，ON、OD、OS分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则A(0,−2,0),B(2,−2,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2)，
因为 可得 ，
故得 ，则 ，又 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可取⃗a=(2,−1,2t+1)，
因为 平面 ，所以⃗a⊥⃗SB，则 ，解得 ，
所以M是SD的中点，OM是 的中位线，OM//SA,OM⊥SD，
由（1）知 ， 平面SDC，所以 平面SDC，
故 是平面SDC的一个法向量，且 ，
所以 ，
❑√42
所以sin〈⃗OM,⃗a〉=❑√1−cos2 〈⃗OM,⃗a〉= ，
7
故二面角 的正弦值为 ．
17．为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区
有25人患该疾病，用频率估计概率.
(1)从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率.
(2)从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设 为患该疾病的人数，求 的分布列及数学期望.(3)若接种了预防该疾病的疫苗，则只有 的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有 的概率患
该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率.
【答案】(1)
(2) 的分布列为
0 1 2
0.855 0.14 0.005
的期望为E(X)=0.15
(3)
【分析】（1）用频率估计概率，结合题意运算求解即可；
（2）可知随机变量 的可能取值为0，1，2，结合独立事件概率公式求分布列和期望；
（3）设相应事件，结合全概率公式可得 ，代入运算求解即可.
50
【详解】（1）用频率估计概率，从甲社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为p = =0.1.
1 500
25
（2）用频率估计概率，从乙社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为p = =0.05，
2 500
可知随机变量 的可能取值为0，1，2，
则P(X=0)=(1−p )(1−p )=0.855；
1 2
P(X=1)=p (1−p )+(1−p )p =0.14；
1 2 1 2
P(X=2)=p p =0.005；
1 2
所以 的分布列为
0 1 2
0.855 0.14 0.005
的期望为E(X)=0×0.855+1×0.14+2×0.005=0.15.
（3）设甲社区随机抽取1人，该人患该疾病为事件 ，则P(A)=p =0.1，
1
设该人接种了预防该疾病的疫苗为事件 ，则P(A|B)=0.05，P(A|B)=0.5，
因为 ，
8
即0.1=0.05P(B)+0.5[1−P(B))，解得P(B)= ，
9所以从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率为 .
18．已知椭圆 过点 ，离心率 ，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD
与椭圆E分别交于A，B，C，D四点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)求四边形ACBD面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆过点 和离心率 直接可得椭圆方程；
（2）根据直线 的斜率进行分类讨论，由弦长公式可得 ，再由 直接计算四边形的面积，由基
本不等式可得最小值.
【详解】（1）因为椭圆 过点 ，离心率 ，且 .
所以 ， ，即 ，得 ，
代入 ，得 ，即 ，所以 .
故椭圆 的标准方程为 .
（2）当直线AB的斜率存在且不等于零时，设斜率为 ．因为 ，所以直线CD的斜率为 ．
因为右焦点 ，所以直线AB的方程为 ，设 ， ．
由 ，消去y得 ．
则 ，
可得 ， ．
则 ，
同理可得 ．
因为 ，所以
．
当且仅当 ，即 时，等号成立，四边形ACBD面积有最小值 ；
当直线AB的斜率不存在时，或者斜率等于零时，AB与CD位置互换，
此时， ， ，或者 ， ，
所以 ．
因为 ，所以四边形ACBD面积的最小值为 ．
19．已知函数 .
(1)当 时，求函数 的图象在 处的切线方程；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围；(3)已知 ，若 ，且 ，证明： .
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求导，然后求出切点坐标和过切点的线的斜率，代入点斜式方程即可求解；
（2）利用二次求导分析原函数的取值范围，对 分类讨论，进而求解 的取值范围；
（3）构造新函数，利用二次求导和均值不等式进行求解.
【详解】（1）当 时， ，
因为 ，所以 ，
所以函数 的图象在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
若 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，则 在 上单调递增，
又 ，所以 在 上恒成立.
若 ，令 ，得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
又 ，所以 时， 单调递减， ，
与 在 上恒成立矛盾.综上所述，若 在 上恒成立，则 的取值范围是 .
（3）已知 ，由（2）可知 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，所以 在 上恒成立，即 在 上单调递增，
又 ，所以 时， 时， .
若 ，则 ，不合题意；
若 ，则 ，不合题意，所以 .
设 ，
则 .
设 ，
则 .
所以 在 上单调递减.
又 ，所以 ，从而 在 上单调递增.
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 .
又 在 上单调递增，所以 ，即 .
所以 ，即 .
