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重难点培优01 不等式证明以及秒杀应用之权方和与柯西不
等式
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01 知识重构·重难梳理固根基.............................................................................................................1
02 题型精研·技巧通法提能力.............................................................................................................3
题型01 不等式的证明（★★★）...................................................................................................................3
题型02 直接应用二维柯西不等式（★★★★）...........................................................................................8
题型03 二维柯西不等式的变形（★★★★）...............................................................................................9
题型04 n 维柯西不等式（★★★）..............................................................................................................12
题型05 直接应用权方和不等式（★★★）.................................................................................................15
题型06 权方和不等式的变形（★★）.........................................................................................................16
03 实战检测·分层突破验成效...........................................................................................................18
重难知识巩固......................................................................................................................................................18
创新能力提升......................................................................................................................................................27
知识重构·重难梳理固根基
知识点01 柯西不等式
1、二维形式的柯西不等式
2、二维形式的柯西不等式的变式
3 、扩展：
，当且仅当
时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对
，并不是不等式的形状，但变成
就可以用柯西不等式了.
知识点02 权方和不等式
权方和不等式：若
，则
，当且仅当
时，等号成立.
证明1：
要证
只需证
即证
故只要证
，当且仅当
时，等号成立
即
，当且仅当
时，等号成立.
证明2：对柯西不等式变形，易得
在
时，就有了
当
时，等号成立．
推广1：
当
时，等号成立．
推广:2：若
，则
，当
时，等号成立.
推广3：若
，则
，当
时，等
号成立.
题型精研·技巧通法提能力
题型01 不等式的证明
【技巧通法·提分快招】
基本不等式链：
即调和平均值
几何平均值
算数平均值
平方平均值(注意等号成立的条件).
1．（1）若
，
，，
都是正数，求证：
；
（2）若
，
，都是正数，求证：
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）对
分别应用基本不等式即可证明；
（2）对
分别应用基本不等式即可证明.
【详解】证明 （1）由
，
，，
都是正数，利用基本不等式可知，
，
当且仅当
时，等号成立；
，当且仅当
时，等号成立.
所以
，
即有
，当且仅当
，
时，等号成立.
（2）由
，
，都是正数，利用基本不等式可知，
，当且仅当
时，等号成立；
，当且仅当
时，等号成立；
，当且仅当
时，等号成立.
所以
，
当且仅当
时，等号成立.
2．已知
，
，
，且
，证明：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立；
（2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立.
【详解】（1）因为
，
当且仅当
时等号成立，
故
，当且仅当
时等号成立，
故
成立.
（2）
,
由基本不等式有
，
，
，
故
，
当且仅当
时等号成立.
3．(1)已知
均为正实数，求证：
；
(2)已知
，求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）将
，
，
三式相加再转化即可证明；
（2）由
利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）因为
均为正实数，
所以
（当且仅当
时等号成立），
（当且仅当
时等号成立），
（当且仅当
时等号成立），
以上三式相加，得
（当且仅当
时等号成立），
所以
（当且仅当
时等号成立），
即
（当且仅当
时等号成立）．
（2）因为
,
则
，
因为
，
，由
得
当且仅当
时等号成立.
所以
.
4．已知
，且
.求证：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用
，对
进行变形，再根据基本不等式求证即可；
（2）先求
的展开式，再利用
进行变形，并根据基本不等式求得
的取值
范围，从而证得
.
【详解】（1）
，且
，
所以
.
因为
，当且仅当
时，等号成立；
，当且仅当
时，等号成立；
，当且仅当
时，等号成立.
所以
，当且仅当
时，等号成立.
所以
得证.
（2）
，且
，
.
因为
，当且仅当
时，等号成立；
，当且仅当
时，等号成立；
，当且仅当
时，等号成立.
所以
，当且仅当
时，等号成立.
所以
，即
，当且仅当
时，等号成立.
所以
得证.
5．已知
均为正实数.
(1)证明：
；
(2)证明
，并求
的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析，
【分析】（1）由基本不等式得
，再左右分别相加可得；
（2）由基本不等式结合立方和公式变形可证明；变形所求函数为
，再由前面证明结果可得.
【详解】（1）证明：由基本不等式得
，
左右相加得
，
当且仅当
时“
”成立，问题得证.
（2）证明：由已知
，故
，
，
当且仅当
时等号成立，
所以不等式
成立；
用
替换
，
替换
，
替换
得
，即
，
故
成立
当且仅当
，即
时，等号成立，
.
6．已知
，
，均为正数
(1)求证：
；
(2)若
，求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）分别对两个因式使用均值定理即可.
（2）先对原式进行变形简化，然后通过换元，最后使用柯西不等式即可.
【详解】（1）∵
，
，均为正数，
∴
，
，
均为正数，
∴由三个正数的均值定理，有
，当且仅当
时等号成立．
又∵
，
，
均为正数，
∴由三个正数的均值定理，
有
，当且仅当
时等号成立．
∴
，
当且仅当
时等号成立．
∴
.
（2）
,同理可得
,
∴
,
设
有
则原式=
由
可得
，
∴
，当且仅当
时等号成立，
∴
.
题型02 直接应用二维柯西不等式
【技巧通法·提分快招】
1、二维形式的柯西不等式
2、记忆方法：口诀：平和城，城和平
平：平方
城：同“乘”，相乘的意思
1．已知
，
，
，则
的最大值是______.
【答案】2
【分析】利用柯西不等式即可求解
【详解】由柯西不等式得
所以
，当
, 即
时等号成立.
所以
，即
的最大值是2
2．若
，则
的最大值为______．
【答案】6
【分析】由柯西不等式即可得到答案.
【详解】
，
当且仅当
，即
时取“=”.
所以
的最大值为6.
故答案为:6
3．设实数
，
满足
，求证：
.
【答案】证明见解析
【分析】由柯西不等式即可得证.
【详解】由柯西不等式知
．
4．已知
，求
的最值．
【答案】最大值为，最小值为
【分析】将已知不等式变形为
，利用柯西不等式可得出
，然后去绝对
值可求得
的取值范围，即可得解.
【详解】解：由已知得
，
由柯西不等式知：
．
所以，
，即
，
由此可得：
，易知
最大值为，最小值为
．
题型03 二维柯西不等式的变形
【技巧通法·提分快招】
二维形式的柯西不等式的变式
1．已知a，
，
，则
的最大值为（ ）
A．18
B．9
C．
D．
【答案】C
【分析】利用柯西不等式，即可求出
的最大值.
【详解】由题意，
，
当且仅当
时等号成立，
当
，
时，
故
的最大值为
.
故选：C.
【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.
2．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】由柯西不等式求解即可.
【详解】
，由
，解得
，
当
时，
，当
，
，
当
，则
，
此时
且
，
由柯西不等式可得
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
，即
，
所以函数
的最大值为2.
故选：C.
3．（25-26 高三上·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德
国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
，当且仅当
时等号成立.根据柯西不等式，已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】变形给定等式可得
，再将目标式化为
并利用二维柯西不等式求出最大
值.
【详解】由
，得
，即
，
由
，得
，则
，
由
，
，得
，
由柯西不等式得
，
因此
，当
，即
时取等号，
所以
的最大值为
.
故选：C
4．若
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先把已知整理成
的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进
行放缩，得到关于
的一元二次不等式进行求解.
【详解】由已知
整理得
，
由柯西不等式得
，
当
时取等号，
所以
，即
，
解得
，所以
的最小值为
.
故选：C．
5．若不等式
对任意正实数x，y 都成立，则实数k 的最小值为__________.
【答案】
/
【分析】运用柯西不等式进行求解即可.
【详解】由柯西不等式的变形可知
，整理得
，
当且仅当
，即
时等号成立，
则k 的最小值为
.
故答案为：
6．已知x，y 为正实数，
，求函数
的最大值．
【答案】
【分析】由柯西不等式进行求解.
【详解】x，y 为正实数，
，
由柯西不等式可得
，
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，故最大值为
.
题型04 n 维柯西不等式
【技巧通法·提分快招】
，
当且仅当
时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对
，并不是不等式的形状，但变成
就可以用柯西不等式了.
1．（2025 高三·全国·竞赛）设
，则
的最小值为_____．
【答案】
/0.4
【分析】根据柯西不等式的性质计算即可.
【详解】由柯西不等式得
，等号成立时
．
所以
的最小值为
．
故答案为：
.
2．已知正实数x、y、z 的和为1，则
的最小值为______．
【答案】
/
【分析】利用不等式构造定值求解即可.
【详解】解法一：（柯西不等式）∵x，y，
，
，
∴
，
则
．当且仅当
时取等号．
解法二：（均值不等式）
，
，
，
所以
．
当且仅当
时取等号．
解法三：（权方和不等式）
．
当且仅当
时取等号．
故答案为：
3．存在正数
使得不等式
成立，则
的最大值是_____________.
【答案】3
【分析】运用柯西不等式计算即可.
【详解】解:由柯西不等式可知
由
能成立
.
故答案为：3.
4．（2025 高三·全国·竞赛）若
，满足
，则函数
的最大值是_____．
【答案】
【分析】运用柯西不等式进行求解即可.
【详解】由柯西不等式得
，等号成立时
．
所以函数
的最大值是
．
故答案为：
5．已知
，求
的最小值．
【答案】12
【分析】利用柯西不等式求解即可.
【详解】根据柯西不等式，
，
所以
，
当且仅当
时，即
，
，
，
时取到等号，
所以
的最小值为12．
6．设正数
，
，满足
．
(1)求
的最小值；
(2)求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由柯西不等式即可求解；
（2）由柯西不等式即可得证.
【详解】（1）由柯西不等式知：
．
，
，
当
，
，
时，
取到最小值为
．
（2）由柯西不等式和（1）得
，
，所以
．
题型05 直接应用权方和不等式
【技巧通法·提分快招】
权方和不等式：若
，则
，当且仅当
时，等号成立.
1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形.
2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是
代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件.
1．（1）若
，且
，则
的最小值为________．
（2）已知正实数
满足
，则
的最小值为________．
【答案】
27
【分析】（1）（2）根据给定条件，利用权方和不等式求出最小值.
【详解】二元形式的权方和不等式：已知
，则有：
(当且仅当
时取等号)；
一般形式的权方和不等式：设
，实数
，则
(当且仅当
时取等号)．
（1）
，
，则
，
因此
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.
（2）
是正实数，
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为27.
故答案为：
；27
2．已知
，求
的最小值为______________
【答案】
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【详解】
当且仅当
时取等号
故答案为：60
3．已知正数
，
，
满足
，则
的最小值为______________
【答案】
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数
，
满足
，
所以
，
当且仅当
即
时取等号.
故答案为：
.
题型06 权方和不等式的变形
1．已知a，b 为正实数，
，且满足
，则
的最小值为__________.
【答案】2
【分析】直接根据权和不等式即可得结果.
【详解】由权方和不等式，可知
=
=
，
当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为2.
故答案为：2.
2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立.根据权方和不等式，函数
的最小值为_____
【答案】52
【分析】先将
转化为
，然后根据权方和不等式计算.
【详解】因为
，
因为
，所以
，
，
根据权方和不等式有：
，
当且仅当
时，即
时等号成立.
所以函数
的最小值为
.
故答案为：
3．（2025 高三·全国·竞赛）已知
是一个锐角，那么
的最小值是_____.
【答案】
【分析】利用权方和不等式的性质计算即可.
【详解】应用权方和不等式，有
等号成立时
．
所以
的最小值是
．
故答案为：
.
4．已知正实数
、
且满足
，求
的最小值___________.
【答案】
【分析】设
，
，
，由权方和不等式计算可得.
【详解】设
，
，
，
由权方和不等式，可知
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
实战检测·分层突破验成效
重难知识巩固
1．已知：
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用柯西不等式，可得
,解不等式即可.
【详解】解:利用柯西不等式，得
,
，
解得
.
故选:B
【点睛】本题是一道求代数式取值范围的题目，关键是掌握柯西不等式.
2．柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它
在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
，当且仅当
时即
时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】运用柯西不等式直接求解即可.
【详解】该函数的定义域为
，由柯西不等式可得：
，
当且仅当
时取等号，即当
时取等号，
故选：A
3．（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初命名的．
其具体内容为：设
，则
，当
且仅当
时，等号成立．根据权方和不等式，若
，当
取得最小值
时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由给定的权方和不等式定义处理即可.
【详解】由题意得，
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
．
故选：C．
4．（多选题）（2026·安徽芜湖·模拟预测）若非零实数
满足
，则下列结论一定成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】应用特殊值法判断A，由基本不等式判断B、C，应用柯西不等式判断D.
【详解】由
时，满足
，此时
，A 错，
由
，有
，当且仅当
时取等号，B 对，
由
，当且仅当
时取等号，C 对，
由
，则
，当且仅当
，即
时取等号，D 对.
5．已知
，且满足
，求
的最小值为_______________.
【答案】
/0.4
【分析】结合题意并利用柯西不等式求解即可.
【详解】由题意得
，
则由柯西不等式得
，
可得
，解得
，
当且仅当
时取等，此时
，
可得
的最小值为
.
故答案为：
6．已知x>0，y>0，且
，则x+2y 的最小值为____________ .
【答案】
【详解】解法一：设
，
可解得
，
从而
，
当且仅当
时取等号.
故答案为：
．
解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：
，
，
所以
，当且仅当
时取等号.
故答案为：
．
7．已知
，则
的取最小值时，
为_____________.
【答案】
【分析】利用柯西不等式求出
的最小值，再根据等号成立的条件求出
，进而可求出
的
值.
【详解】由柯西不等式得：
，
则
，则
，
根据等号成立条件知
，解得
，
，
，
所以
.
故答案为：
8．
的最小值为________.
【答案】
/
【分析】
，进而利用权方和不等式可求最小
值.
【详解】
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
9．已知
，
，
，
，求证：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由柯西不等式
，利用
即可证明；
（2）由柯西不等式，利用
即可证明.
【详解】（1）
，当
，即
时取等，
．
（2）
，当
，即
时取等，
．
10．已知
是正实数．
(1)证明：
；
(2)若
，证明：
；
(3)若
，求
的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）利用基本不等式进行累加求和证明即可；
（2）利用三元完全平方和公式来进行证明即可；
（3）利用代换法，结合均值不等式即可证明.
【详解】（1）由基本不等式可得
，
累加得
，
即
，当且仅当
时取等号；
（2）由（1）得
，
变形得
配方得
，
因为
，所以
，当且仅当
取等号；
（3）因为
，所以
，
因为
是正实数，所以
，同理可得
，
即
，
当且仅当
时取等号.
11．已知
．
(1)若
，证明：
；
(2)若
，证明：
；
(3)若
，证明
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）化简所求不等式，结合基本不等式来证得不等式成立.
（2）通过对
进行展开，结合已知条件
以及基本不等式来证明
.
（3）利用综合法以及基本不等式来证得不等式成立.
【详解】（1）要证
，因为
，两边同时平方，即证
.
展开
得
，已知
，所以即证
，
也就是证
，即证
.
对于
，有
，已知
，所以
，则
，
当且仅当
时等号成立.
所以
得证.
（2）根据二项式
，将
，
代入可得：
整理得
因为
，所以
已知
，可得
，即
，当且仅当
时取等号.
同时，由第一问可知
（当且仅当
时等号成立）.
将
和
代入
可得：
，当且仅当
时等号成立.
综上，若
，
得证.
（3）因为
，所以
，
以上三个式子相加得
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
因为
，且
，所以
，
所以
，所以
.
12．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，
它在数学的众多分支中有精彩应用，
维柯西分式型不等式为：若
，
为正实数，则
，当且仅当
时等号成立.若
都是正实数，且
.
(1)证明2 维柯西分式型不等式：
并指出等号成立条件；（提示：即证
）
(2)请写出3 维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求
的最小值；
(3)证明：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据基本不等式，以及题干所给条件，证明不等式即可.
（2）根据题干条件，写出不等式，再利用不等式求出最小值即可.
（3）对不等式进行换元，再根据题目定义，证明结果即可.
【详解】（1）由题意可知要证明
，只需证明
，
左边
，
右边
，
所以左边
右边，当且仅当
，即
时等号成立；
（2）3 维柯西分式型不等式为：若
均为正实数，则
，当且仅
当
时等号成立；
由3 维柯西分式型不等式可知
，
因为
，所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为.
（3）由柯西分式不等式可知
，当且仅当
时，即
时取等号；
由
可得
，
即
，
可得
，
当且仅当
时，即
时取等号.
令
，
则
等价于
，
，
即证
，即证
，
因为
恒成立，且
时取等号，故原命题得证.
13．若
，
，
，则不等式
，当且仅
当
时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，
称为该不等式的权，它的特点是分子
的幂指数比分母的幂指数高1 次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.
(1)若
，证明二维形式的权方和不等式：
.
(2)已知
，
，求
的最小值.
(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数
，
满足
，求
的最大值.
解：由权方和不等式得
，
所以
的最大值是5.
【答案】(1)证明见解析；
(2)60；
(3)解法不正确，理由见解析.
【分析】（1）将证明
转化为证明
，可以通过利用基本不等
式来证明；
（2）将
变形成
，利用权方和不等式结合已知
条件，即可求解；
（3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足.
【详解】（1）证明：
，当且仅当
时，等号成立.
因为
，所以
.
（2）
，
当且仅当
时，等号成立.
所以
的最小值为
..
（3）这种解法不正确.
原因如下：这种解法当且仅当
，即
时等号成立.
由
，消去
得
，因为
，所以本方程无实数解，
所以
，
的最大值不是5.
创新能力提升
1．已知空间向量
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】B
【分析】由空间向量的坐标表示计算
，然后由柯西不等式求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，即
时等号成立.
所以
，所以
的最小值为
.
故选：B
2．柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．
二维柯西不等式为
，当且仅当
时等号成立．已知
，直线
与曲线
相切，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到
与
的关系，然后
对所求式子进行变形，利用柯西不等式来求解最值即可.
【详解】设直线
与曲线
相切的切点为
，
由
得
，则
，即
，
则
，得
，
所以
，代入
得
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
，当且仅当
，即
等号成立.
故选：B.
3．已知
，则
的最小值为______.
【答案】
【分析】利用权方和不等式，可得答案.
【详解】解析
，当且仅当：
时等号成立.
故答案为：
.
4．（2025 高三·全国·竞赛）设
，且
，则
的最大值为_____．
【答案】
/
【分析】令
，则
，将已知条件变形为
，根据柯西不等式可得
的最大值.或者由对称性设
，将条件变形为
，再根据柯西不等式得
，进而得到
的最大值．
【详解】解法1：令
，则
.
所以已知条件可变形为
．
于是
，
当
，即
，即
，
即
时，取得等号．
解法2：由对称性，不妨设
，则题设条件变形为
．
又
，
当且仅当
时，取得等号．
所以
．
故答案为：
.
5．（2025 高三·全国·竞赛）若锐角
满足
，则
的最小值是_____.
【答案】
【分析】利用权方和不等式的性质计算即可.
【详解】
，
等号成立时
．
附：权方和不等式的证明．
(Hölder 不等式)设
，
则
．
取
，代入Hölder 不等式得
．
故答案为：
.
6．（2025 高三·全国·竞赛）实数
满足
，求
的最小值．
【答案】6400
【分析】
，根据
的符号及柯西不等式进行
求解．
【详解】注意到
，
若
，由柯西不等式，
可得
等号成立时
；
若
，同理可得
，
等号成立时
（如
）；
若
，不妨设
，则
，
等号成立时
；若
一正二负或一负二正时，
不妨设
，且
，
此时
．
综上，
的最小值为6400．
7．已知
均为正实数．
(1)证明：
．
(2)若
，求
的最小值．
(3)若
，求
的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)2．
【分析】（1）利用基本不等式有
，可证结论；
（2）（方法一）由
，可得
，则
，由（1）的结论可求最
小值；
（方法二）由
，可得
，消元得
，令
，结合基本不
等式求最小值．
（3）利用柯西不等式求最小值.
【详解】（1）证明：
．
因为a，b，c，d 均为正实数，所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，
所以
得证．
（2）解：（方法一）由
，可得
．
，
因为a，b 均为正实数，所以由（1）的结论可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为
．
（方法二）由
，可得
，则
，即
，所以
，
，
令
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为
．
（3）
．
因为a，b，c 均为正实数，所以
，
，
，
所以
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以
，
故
的最小值为2．
