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专项07 等式与不等式重难点
分析维度 具体内容
核心考点 1. 等式相关：等式基本性质、一元一次方程解法、二元一次方程组解法，核心用
于化简消元、等量代换；2. 不等式基本性质：八条核心性质、实数大小比较（作
差法、作商法），是不等式变形的核心依据；3. 常见不等式解法：一元二次不等
式、分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的求解方法；4. 基本不等式：核心
公式及变形、“一正二定三相等”使用条件、最值求解；5. 线性规划：可行域绘
制、目标函数（截距型、斜率型）最值求解、实际应用最优解；6. 综合应用：含
参不等式分类讨论、恒成立存在性问题、不等式证明、多变量最值求解。
考查形式 1. 客观题（单选题+多选题）：5-10分，多为第3-9题，考查不等式性质判断、
各类不等式求解、基本不等式最值、线性规划常规题型，难度低-中档；2. 解答
题：极少单独命制完整大题，多作为解题工具，融入函数、导数、数列、解析几
何、实际应用题中，分值隐含在综合题内；3. 新高考特点：弱化纯不等式大题，
强化工具性应用，侧重最值、取值范围求解，多选题增加性质辨析与易错点判
断。
命题特点 1. 基础题（送分）：一元二次不等式求解、利用不等式性质比大小、简单线性规
划、基本不等式简单最值，直接套用方法即可得分；2. 中档题（核心得分）：分
式/绝对值不等式求解、基本不等式凑定值求最值、简单含参不等式、线性规划最
优解判断，侧重方法应用；3. 难题（低频）：含参一元二次不等式完整分类讨
论、恒成立/存在性问题求参数范围、多变量不等式最值、不等式证明（放缩技
巧），难度中等偏上，占比低；4. 命题趋势：整体稳定，重应用、重工具性、重
逻辑严谨，减少偏怪题，强调“套路化解题”，核心考查范围与最值计算。
重难点突破 1. 重点：① 不等式八大基本性质（牢记乘除负数变号规则）；② 一元二次不等
式标准解法（求根→判开口→写解集）；③ 基本不等式“一正二定三相等”的
应用与最值求解；④ 绝对值不等式零点分段法、高次不等式穿针引线法；⑤ 线
性规划可行域绘制与目标函数最值判断；2. 难点：① 含参一元二次不等式分类
讨论（按二次项系数、判别式、根的大小分层）；② 恒成立与存在性问题的转
化（转化为函数最值）；③ 基本不等式多次凑定值、取等号条件判断；④ 绝对
值不等式复杂分段、多变量最值求解；⑤ 不等式证明的放缩技巧应用。
关联模块 1. 直接关联：函数（定义域、值域、单调性）、数列（取值范围、最值）、三角
函数（最值）、解析几何（范围问题）；2. 间接关联：导数（恒成立存在性问
题）、立体几何（最值）、概率统计（取值范围）、实际应用题（最优方案），
是高中数学所有综合大题的必备解题工具。
备考策略 1. 基础过关：熟记不等式八大性质，区分同向/异向、乘除正负的影响；熟练掌
握一元二次不等式、绝对值不等式的基础解法；2. 方法强化：专项练习基本不等
式凑定值技巧，牢记“和定积最大、积定和最小”；掌握穿针引线法、零点分段
法、分离参数法三大通用方法；3. 难点突破：系统练习含参不等式分类讨论，理
清分类顺序（先二次项系数，再判别式，最后根的大小）；总结恒成立问题的解
题套路（分离参数优先，分类讨论为辅）；4. 实战训练：多练不等式与函数、数
列的结合题，规范解题步骤，避免计算失误；重点练习线性规划画图与最值判
断，提高解题速度；5. 易错规避：针对性练习易错题型，牢记分母不为零、等号
成立条件、不等号变号规则。解题技巧 1. 实数比大小：优先用作差法（通用），选择题可采用特殊值代入排除法，正数
范围可考虑作商法；2. 不等式求解：高次不等式先因式分解，用穿针引线法（奇
穿偶回）写解集；分式不等式先移项通分，严禁直接交叉相乘（避免忽略分母不
为零）；3. 最值求解：基本不等式优先凑定值，无法取等号时，改用函数单调性
求解；线性规划快速绘制可行域，平移目标直线判断最值（注意截距正负）；4.
含参问题：优先分离参数，简化计算；无法分离时，按分类标准逐步讨论，避免
重复或遗漏；5. 绝对值不等式：优先用零点分段法去绝对值，复杂式子可结合几
何意义简化计算。
易错点汇总 1. 不等式两边同乘（或除以）负数，忘记改变不等号方向；2. 解分式不等式
时，忽略分母不能为零的限制条件；3. 乱用基本不等式，忽视“一正二定三相
等”中的任意一个条件；4. 解一元二次不等式时，忘记讨论二次项系数的正负
（尤其是含参题型）；5. 混淆恒成立与存在性问题的解题思路（恒成立求最值，
存在性求范围）；6. 线性规划中，看错目标函数的截距正负，导致最大值、最小
值判断颠倒；7. 绝对值不等式分段时，遗漏区间端点，或去绝对值符号时符号错
误；8. 含参不等式分类讨论时，重复讨论或遗漏特殊情况（如二次项系数为
0）。
一、基础核心考点（送分题，必拿分）
（一）等式相关基础
1. 等式基本性质：核心用于化简、消元、等量代换，是所有计算的基础，牢记等式两边同时加、减、乘（非零）、
除（非零）同一个数/式子，等式仍成立。
2. 核心方程解法：
- 一元一次方程：化简为ax=b（a≠0）形式，直接求解x=b/a；
- 二元一次方程组：采用代入消元法或加减消元法，转化为一元一次方程求解，核心是消元。
3. 考法：多作为综合题的辅助步骤，如化简求值、等量代换，偶尔在客观题考查简单方程求解。
（二）不等式基本性质与大小比较
1. 八大核心性质：重点牢记“同向可加、异向可减”“乘除正数不变号、乘除负数变号”，避免性质混淆导致变
形错误。
2. 实数大小比较方法：
- 作差法（通用）：若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b；
- 作商法（仅限正数）：若a/b>1（a、b>0），则a>b；反之则a<b，常用于指数、分式比较。
3. 考法：客观题判断不等式变形正误、比较两个实数/代数式大小，难度偏低。
二、核心应用考点（中档题，核心得分区）
（一）各类不等式解法（高频必考）1. 一元二次不等式（核心）：
- 解题步骤：先将不等式化为标准形式ax²+bx+c>0（或<0），求解对应一元二次方程的根，结合二次函数开口
方向，按“大于取两边、小于取中间”书写解集；
- 关键：注意二次项系数a的正负（决定开口方向），无根时结合判别式判断解集。
2. 分式不等式：
- 解题原则：严禁直接交叉相乘，优先移项通分，化为整式不等式（注意分母不为0），再求解。
3. 高次不等式：
- 解题步骤：先因式分解，将所有因式化为一次项形式，数轴标根，遵循“奇穿偶回”原则（奇次因式穿过数
轴，偶次因式不穿过），确定解集。
4. 绝对值不等式：
- 基础解法：零点分段法，找到绝对值内式子为0的零点，划分区间去掉绝对值符号，分段求解后合并解集；
- 简单形式：|x|>a（a>0）解集为x<-a或x>a；|x|<a（a>0）解集为-a<x<a。
（二）基本不等式（最值求解核心工具）
1. 核心公式：若a、b为正数，则a+b≥2√(ab)（当且仅当a=b时取等号），变形为ab≤(a+b)²/4。
2. 使用条件（缺一不可）：一正（a、b均为正数）、二定（和为定值或积为定值）、三相等（能取到a=b）。
3. 考法：客观题+解答题辅助，求函数最值、代数式最值，核心是“凑定值”（和定积最大、积定和最小）。
（三）线性规划（常规中档题）
1. 核心步骤：根据约束条件绘制可行域（注意边界虚实），确定目标函数类型（截距型、斜率型），平移目标直
线，找到最优解（最大值、最小值）。
2. 关键：准确绘制可行域，判断目标直线平移方向，注意最优解是否在整点上（实际应用题需验证）。
3. 考法：客观题为主，偶尔作为解答题辅助，考查最值求解、最优方案判断。
三、高阶综合考点（难题，低频拉分）
（一）含参不等式综合
1. 含参一元二次不等式：按“二次项系数→判别式→根的大小”分层分类讨论，避免重复或遗漏特殊情况（如二
次项系数为0，转化为一元一次不等式）。
2. 恒成立/存在性问题：
- 恒成立：a≥f(x)恒成立→a≥f(x)最大值；a≤f(x)恒成立→a≤f(x)最小值；
- 存在性：存在x使得a≥f(x)→a≥f(x)最小值；存在x使得a≤f(x)→a≤f(x)最大值；
- 技巧：优先分离参数，简化计算，无法分离时分类讨论。
（二）不等式综合应用1. 多变量最值：结合基本不等式、函数单调性、线性规划，转化为单变量问题求解，注意变量取值范围限制。
2. 不等式证明：常用放缩技巧、作差法、作商法，结合基本不等式、函数性质，侧重逻辑推理。
3. 实际应用：建模转化为不等式、线性规划问题，求解最优方案（如最大利润、最小成本）。
四、高考考法总结与易错提醒
（一）考法总结
1. 客观题（5-10分）：侧重基础，考查不等式性质、各类不等式求解、基本不等式最值、线性规划，难度低-中档；
2. 解答题：极少单独命题，多作为工具融入函数、导数、数列、解析几何，提供条件转化、范围求解；
3. 新高考趋势：弱化纯不等式大题，强化工具性，侧重最值、范围求解，多选题增加性质辨析。
（二）易错提醒
1. 不等式两边乘除负数，忘记改变不等号方向；
2. 解分式不等式忽略分母不为0，解绝对值不等式遗漏区间端点；
3. 乱用基本不等式，忽视“一正二定三相等”条件；
4. 含参二次不等式未讨论二次项系数正负，恒成立与存在性问题思路混淆；
5. 线性规划看错目标函数截距正负，判断最值颠倒。
一、单选题
1．（2026·江苏·三模）已知集合 ， ，则 中元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先解集合 中的一元二次不等式，再根据集合的交集运算求出 ，进而即可得到 中元素的个数．
【详解】由 ，解得 ，即 ，
所以 ，所以 中元素的个数是 ．
2．（2026·云南曲靖·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解不等式 得 ，故 ，解不等式 得 ，故 ，
所以 .
3．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“ , ”为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由命题“ ”为真命题，利用判别式，即可确定实数 的取值范围．
【详解】由命题“ ”为真命题，
，
解得： ，
4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意， ， ，
所以 .
5．（2026·河北沧州·二模）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 .
因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成立.6．（2026·上海浦东新·三模）已知 、 为非零实数，则使不等式 成立的一个充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若 ，则 ， ，此时不可能满足 .
若 ，则 ，令 ，则
，所以
当且仅当 （即 ）时取等号.
因此，不等式 成立的充要条件是
A. ：此时式子 ，与题目矛盾，排除.
B. ：这是不等式成立的充要条件，不是“充分不必要条件”，排除.
C. ：若 ，则 ，一定能推出不等式成立（充分性成立）；
但不等式成立只要求 ，也可以是 ，不一定是 （必要性不成立），所以这是充分不必要条
件
D. ：此时 ，式子 ，与题目矛盾，排除
7．（2026·天津滨海新区·三模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用作差法，结合对数运算性质，基本不等式可比较 两者大小，
再比较 三者大小关系可得答案.
【详解】 ，注意到 ， ，
则 ，从而 .
又注意到 ，从而 .
8．（2026·河南·三模）已知函数 ，正数 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析出函数 是 上的增函数且为奇函数，由已知条件可得出 ，然后再利用基本不等式中“
”的妙用即可求得结果.
【详解】已知函数 ，则 ，
因此函数 是一个奇函数，
又因为 在 上恒成立，因此函数 是 上的增函数，
由于正数 满足 ，则有 ，即得 ，
从而有 ，
因此 ，
根据基本不等式有 ，即 ，
当且仅当 ，即 时取等号，满足 为正数的条件，
所以 的最小值为 .
9．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知 ，且 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对于AB，利用不等式的性质可判断，对于C，使用作差法即可判断，对于D，结合余弦函数的单调性和
奇偶性即可判断.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，即 ，故A错误；
对于B，当 时， ， ，此时 ，故B错误；
对于C， ，
因为 ，所以 ，即 ，又因为 ，所以 ，
因此 ，即 ，故C正确；
对于D，余弦函数 在 上单调递减，所以 ，
又因为函数为偶函数，所以 ，故D错误.
10．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为 ，则 的最
大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正余弦定理和三角恒等变换公式可得 ，结合正切两角和差公式可得
，换元令 ，利用基本不等式可得最值.
【详解】由 及 ，可得 ，
化简可得 ，由正弦定理边角互化可得 ，
则有 ，即 ，
所以 ， ，
，令 ， ，
由均值不等式 ，当且仅当 ，即 时取等号，
此时 .
所以 的最大值为 .
故选：D.
11．（2026·吉林·三模）若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用对数函数的单调性将不等式转化为 ，再通过换元和均值不等式求出表达式的最小值，进而
求解 的范围.
【详解】由已知得 ，所以问题转化为 恒成立，
设 ，则 ，代入上式，所以问题转化为 时 恒成立，则只需 即可，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ，所以 ，解得 .
12．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方
案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案：
方案甲：第一次提价 ，第二次提价 ；方案乙：第一次提价 ，第二次提价 ；
方案丙：第一次和第二次均提价 ；
方案丁：第一次提价 ，第二次降价 ；
其中 ，则四个方案中提价最多的方案为（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【详解】设商品原价为 ，
对于甲：最终价格为 ；
对于乙：最终价格为 ；
所以甲、乙方案结果相同，
对于丙：最终价格为 ；
由均值不等式， ，所以方案丙的最终价格高于甲、乙，
对于丁：最终价格为： ，该式存在负项，所以明显小于
其他方案的结果，
综上，提价最多的是方案丙.
13．（2026·云南·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，若 在
上恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质，可得 在 上恒成立，再结合二次函数的图象性质，讨论对称轴和区间的
位置关系，即可求解.
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，
所以由 在 上恒成立，可得 在 上恒成立，
又当 时， ，其对称轴为 ，
若 ，即 ，则 在 上单调递增，则 ，
解得 ，所以 ，若 ，即 ，则 在 单调递减，在 上单调递增，
则 ，即 ，解得 ，所以 ，
若 ，即 ，则 在 上单调递减，则 ，
解得 ，所以 .
综上所述， 的取值范围为 .
14．（2026·河南濮阳·二模）如图，在等边三角形ABC中， ，点 是靠近 的三等分点，过 的直线分别
交射线AB，AC于不同的两点M，N， ，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的最小值是
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判
断即可.
【详解】对于A， ，所以A正确；
对于B，由A选项知 ，所以
.
在 中，利用余弦定理得 ，B错误；对于C，因为点 三点共线，所以存在实数 使得 ，
因为 ，由A知 ，
所以 ，所以 ，即 ，C正确；
对于D，由C可知 ，结合题意可知 ，
所以
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 取最小值为 ，D正确.
二、多选题
15．（2026·云南昆明·模拟预测）若函数 有两个极值点，设这两个极值点为 ，且 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】先对函数求导，将两个极值点转化为导函数对应的二次方程的两个正根，利用韦达定理直接判断选项
A，B；再根据根的范围确定 ，分析函数单调性，结合 处的函数值，判断 ， 与
的大小关系，验证选项C，D．
【详解】 ， ，
因为 有两个极值点 ，
所以 在 上有两个不同的根，
所以方程 有两个不同的正根，
根据韦达定理得 ， ，A正确，B错误；
因为 且 ，所以 ，
当 或 时， ；当 时， ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， ，C正确，D正确．
16．（2026·河南·模拟预测）已知 ， ， ，下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为1 B． 的最小值为2
C．ab的最大值为 D． 的最小值为2
【答案】BD
【分析】A直接利用基本不等式；B利用基本不等式求 的最值；C对 利用基本不等式；
D利用消元法求解.
【详解】对于A，因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
此时是最小值不是最大值，故A不正确；
对于B， ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
令 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ，所以 时，等号成立，故D正确.
17．（2026·江西宜春·模拟预测）若 ，则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】通过解分式不等式，根据指数函数，对数函数以及三角函数性质逐项分析即可.
【详解】由 ，解得： 或 ，
对于A，因为 ，所以 ，
由 ，故A正确；
对于B，由 ，故B错误；
对于C，由 ，故C正确；
对于D，由 ，故D正确．
18．（2026·河南郑州·一模）设 为坐标原点，若对于区域 中任意两点 ，都有
，则称 为“凸集”，则下列不等式所表示的区域中，是凸集的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD【分析】先明确每个不等式所表示的区域，再判断区域内任意两点的连线是否在区域内即可.
【详解】对于A：它表示的是一个菱形区域，任意两点的连线都在区域内，是凸集；
对于B：它表示的是椭圆及其内部，任意两点的连线都在椭圆内，是凸集；
对于C：它表示的是双曲线的两支及其外侧，分别取两支上的一点，连线会穿过中间空白区域，不是凸集；
对于D：它表示的是开口向上的抛物线及其内部，任意两点连线都在区域内，是凸集.
19．（2026·江苏南通·三模）设随机变量 ，其中 ，一组样本数据 的方差等
于 ，将该样本中每个数据按规则 变换，变换后数据的平均数等于 ，方差为16.下列说法正确的是
（ ）
A． 的最小值为5 B．
C． 的平均数为6 D．当 时，
【答案】ABD
【分析】选项A由已知条件结合均值不等式求出最值；选项B根据方差性质求解；选项C根据已知条件不能确定
为6；选项D根据正态分布的对称性确定.
【详解】 ，令 ，
，当且仅当 ，即 时等号成立
所以 的最小值为5，选项A正确；
样本数据 的方差等于 ，按规则 变换，方差为16.
所以 ，则 ，选项B正确；
变换后数据 的平均数等于 ， 随着 的变化而变化，
所以 的平均数不一定是6，选项C错误；
当 时， ，
， ，
所以 ，选项D正确.三、填空题
20．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知 为正实数，且直线 与曲线 相切，则 的最大值为
__________.
【答案】 /0.5
【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可.
【详解】由直线 与曲线 相切，
设切点为 ，由 ，且切线的斜率为 ，
所以 ，
代入曲线方程中得： ，
所以切点为 ，代入直线方程中得： ，
因为 ，所以 .
当 时取等号，所以 的最大值为 .则 的最大值为 .
21．（2026·安徽安庆·三模）一组数据19、5、4、13、a、b、1、2、16、3的第60%分位数为9（其中
），则 最小值为____.
【答案】
【分析】借助百分位数定义计算可得 ，再利用基本不等式求解即可得.
【详解】对10个数先排序：1、2、3、4、5、a、b、13、16、19，
，则 ，由 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立.
22．（2026·安徽·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值为________．【答案】
【详解】由题意得， ，
所以 ，
当且仅当 ， ，即 时，等号成立．
23．（2026·陕西榆林·三模）已知直线 经过函数 的图象的对称中心，则
的最小值为__________.
【答案】4
【分析】求出函数 的对称中心并代入直线中得 ， 化为 并结合 ，利用基本不
等式即可求得最值.
【详解】因为 ，
所以函数 的图象的对称中心为 ，
将点 代入直线 ，得 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值为4.
24．（2026·福建南平·二模）若 ， ，且 ，则 的最小值为________.
【答案】5
【分析】根据题意得 ，对 整理，再利用基本不等式求解.
【详解】由 得 ，所以 ，因为 ， ，所以 ，
所以 ，当且仅当时 等号成立，
所以 的最小值为5.
四、解答题
25．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 极值点的个数，并解不等式 ；
(2)求证：若 ，则
【答案】(1)2个； ；
(2)证明见解析
【分析】（1）求导 ，由 不同实根的个数判断；由
，利用穿根法求解；
（2）由 ，设 ，代入 求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
令 ，
因为 ，两个根为 ，
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，所以 在 处取得极值，所以有两个极值点；
由 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以 的解集为： .
（2）由 ，
设 ，
则 ，
，
所以 ，
所以当 时， .
26．（2026·安徽安庆·二模）设 .
(1)解不等式 ;
(2)设 ，若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因 ，则 ，
故 ，即 ，解得 ，
故原不等式的解集为 .
（2）因 ，
由 ，可得 为奇函数.
又 ，因 ， ，则
故 在 上单调递增.
故存在 使得 等价于存在 使得 ，
等价于存在 使得 ，
即存在 使得 ，
因 ， ，
则当 时， 取得最小值 ，故得 .
故实数 的取值范围是 .
27．（2026·河北保定·二模）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求A.
(2)已知点D在边 BC上，且 当 的面积最小时，判断 是否为等腰三角形?
若是，给出证明；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理结合条件得 ，再利用三角形的面积公式和基本不等式即可求解.【详解】（1）由正弦定理得： ，
所以 ，
又由余弦定理得： ，
又 ，所以 ；
（2）在 中，由正弦定理得 ①，
在 中，由正弦定理得 ②，
又 ，所以 ，
由①②得： ，
又 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 为 的角平分线，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，又 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
所以当 的面积取最小值 时， 为等腰三角形.
28．（2026·湖北武汉·模拟预测）甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为
，每道岗位实践题的难度系数均为 ，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；
已知甲笔试得满分的概率为 ，笔试各题是否答对相互独立.
(1)当 时，求 ；
(2)求甲能够进入面试的概率 的最小值及相应的 值.
【答案】(1)
(2) ；
【分析】（1）根据相互独立事件概率公式得甲笔试满分的概率，列方程求解；（2）甲至少答对3道题才能够进
入面试，列出所有可能求出甲能够进入面试的概率表达式，利用均值不等式求最值.
【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立，
所以甲笔试满分的概率为 ，则 ，
又 ，所以 .
（2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，
所以甲能够进入面试的概率 ，
因为 ，则 ，
则 ，
整理得 ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以甲能够进入面试的概率 的最小值为 ，相应的 值为 .29．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）某生鲜电商平台有 个待抽检的进口水果礼盒，需要筛查出携带有害生物的
礼盒．已知携带有害生物的礼盒占比为 ，如果逐个抽检，需要检验 次．平台质检部提出优化方案：随机
按 个礼盒一组分组，将每组 个礼盒的检测样本混合检验，若混合样本没有携带有害生物，说明该组 个礼盒的
检测样本全部合格，仅需检验 次：
若混合样本携带有害生物，说明该组至少有 个礼盒携带有害生物，需要对该组每个礼盒再分别检验 次．
(1)当 时，求一组礼盒携带有害生物的概率；（参考数据 ）
(2)设一组礼盒的检测次数为 ，求 的分布列及数学期望（用 表示）：
(3)如果携带有害生物的礼盒占比降为 ，按照 个礼盒一组，估算 取何值时，每个礼盒检验次数最少？并估算
此时检测的总次数．（提示：利用 进行估算）．
【答案】(1)
(2)期望为 ，分布列为
(3) ，总次数估计为 次
【分析】（1）根据条件，利用对立事件和独立事件同时发生的概率公式，即可求解；
（2）求出 的可能取值及对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解；
（3）根据条件得到 ，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】（1）设事件 为“一组礼盒携带有害生物”， ，
所以一组礼盒携带有害生物的概率为 .
（2） 的可能取值为 ，
， ，
所以 的分布列为
则 .（3）设一组礼盒的检验次数为 ， 的可能取值为 ， ，
， ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，
所以 时，每个礼盒检验次数最少，此时检测总次数估计为 次.
30．（2026·福建龙岩·三模）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 边上的中线 的长为2，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理以及特殊角的三角函数值求解即可.
（2）根据向量的模以及基本不等式得 ，再根据三角形面积公式求最值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 所以 ，
所以 ， ，
因为 ， ．
（2）因为 是 边上的中线，所以 ，
两边平方： ，
由（1）得 ，
代入已知条件得： ，
整理得 ，所以 ．
所以 ，当且仅当 时，
取到等号，所以 面积的最大值为 ．
