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数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练
考点目录
裂项相消法 错位相减法
分组与并项求和
考点一 裂项相消法例3．（25-26高二上·山东泰安·月考）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
例4．（2026·重庆九龙坡·一模）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ， .
(1)求 和 ；
(2)设 ，证明： .变式1．（25-26高三上·山东德州·期末）已知数列 的首项为2，前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，记数列 的前 项和为 ，求证： ．
变式2．（2026·黑龙江大庆·二模）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，若数列 的前 项和为 ，求证： .变式3．（2026·河北邯郸·模拟预测）设函数 的图象在 处的切线平行于直线 ，记
的导函数为 ，数列 满足： .
(1)试判断数列 的单调性，并给出证明；
(2)当 时，求证： .
变式4．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知数列 是首项为1且公差不为零的等差数列，且 成等比数列，
数列 的前 项和为 ，
条件① ，条件② ，条件③ ，
(1)求 的通项公式；
(2)选择三个条件中的一个，求 的通项公式；
(3)若 ，求数列 的前 项和 ．考点二 错位相减法
例1．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)证明： 是等比数列；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，求 的前 项和 .
例2．（25-26高二上·四川广安·期末）已知数列 的前 项和为 ，且
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式及前 项和 ．例3．（25-26高三上·辽宁·期末）记 为正项数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)等差数列 满足 ， ， .
（i）求 的通项公式；
（ii）求 的前 项和 .
例4．（25-26高三上·新疆喀什·月考）记 为数列 的前n项和，已知 ， 是公差为 的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求数列 的前n项和 .变式1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列 是公比大
于0的等比数列 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
变式2．（25-26高三上·山东济宁·期末）记 为正项数列 的前 项和，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .变式3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列 的前n项和为 ，且首项 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，令 ，求数列 的前n项和 ．
变式4．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知数列 的前 项和为 ，且 ，正项等比数列
满足 ，且 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)已知 ，记数列 的前 项和为 ，证明： ；
(3)已知 ，求数列 的前 项和.考点三 分组与并项求和
例1．（25-26高二上·河北邢台·月考）设数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明： 是等比数列.
(2)求 .
例2．（25-26高二上·山东济南·月考）已知 是数列 的前 项和，已知对于任意 ，都有 ，数
列 是等差数列， ， ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和 ，求 及 的最小值；
(3)设 ，求数列 的前 项和 ．例3．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知等差数列 的公差为 ，且 ，设 为 的前 项和，数列
满足 .
(1)若 ， ，且 ，求 ；
(2)若数列 也是公差为 的等差数列.
①求数列 的通项公式；②求数列 的前 项和 .
例4．（2026·广西柳州·二模）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .变式1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知数列 的首项 且满足
(1)求证: 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和
变式2．（25-26高二上·内蒙古·期末）已知数列 满足： ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．变式3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设数列 满足 ， 为数列 的前 项和，求 .
变式4．（25-26高二上·天津和平·期末）已知 ，正项数列 的前 项和为 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ；
(3)若 ，数列 的前 项和为 ，求 .
