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2025二轮复习专项训练16
数列求和及其综合应用
[考情分析] 高考常考内容，主要考查等差、等比数列与常见数列求和的综合应用，主要
以解答题的形式出现，属于中档题．
【练前疑难讲解】
一、a 与S 的关系
n n
1．数列{a}中，a 与S 的关系
n n n
a＝
n
2．求数列通项公式的常用方法：
(1)公式法：利用等差(比)数列的公式求通项公式．
(2)在已知数列{a}中，满足a －a＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数
n n＋1 n
列的通项公式a.
n
(3)在已知数列{a}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项公
n
式a.
n
(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．
二、数列求和
数列求和常见方法：
(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重
新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并．
(2)错位相减法：主要用于求数列{a·b}的前n项和，其中{a}，{b}一个是等差数列，一个
n n n n
是等比数列．
(3)裂项相消法：将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干
项的方法，裂项相消法适用于形如的数列．
三、数列的综合应用
数列与函数、不等式的交汇：
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在
曲线上给出S 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利
n
用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列
为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题．
一、解答题
1．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知数列 的前 项和为 ， ，当 时，
.
(1)求数列 的通项公式；(2)设数列 ，求数列 的前 项和.
2．（2024·全国·高考真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列{b }的前 项和 ．
n
3．（2024·四川自贡·一模）已知数列 的前 顶和为 .且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 中， ，求数列 的前 项和 .
4．（2024·江苏·模拟预测）已知等差数列 和等差数列 的前 项和分别为 ， ，
， .
(1)求数列 和数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
5．（2024·广东茂名·一模）设 为数列 的前 项和，已知 是首项为 、公
差为 的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)令 ， 为数列 的前 项积，证明： .6．（2024·广东韶关·二模）记 上的可导函数 的导函数为 ，满足
的数列 称为函数 的“牛顿数列”.已知数列 为函数
的牛顿数列，且数列 满足 .
(1)求 ；
(2)证明数列 是等比数列并求 ；
(3)设数列 的前 项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，求t的
取值范围.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列 的各项均为正数，且 ，
则 （ ）
A．12 B．10 C．5 D．
2．（2024·四川内江·模拟预测）在数列 中，已知 ， ，则它的前
30项的和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·河北沧州·二模）已知数列 满足 ，记 的前
项和为 ，则（ ）A． B．
C． D．
4．（22-23高二下·广西钦州·阶段练习）刚考入大学的小明准备向银行贷款 元购买一台
笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，
分 次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为 ，设小明每个月
所要还款的钱数为 元，则下列说法正确的是（ ）
A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本
息还款法
C．小明第一个月还款的现值为 元 D．
三、填空题
5．（2024·河北保定·二模）已知数列 的前 项积为 ，若 ，则满足
的正整数 的最小值为 .
6．（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列 的项数为 ，且
，则 的前n项和 为 ．
四、解答题
7．（2024·云南·模拟预测）已知数列 .
(1)求 ；
(2)令 为数列 的前 项和，求 .
8．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列 的首项为1，且 .(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列{b }的前 项和 .
n
9．（2024·全国·二模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和为 .
10．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数 是高斯函数，其中 表示不超过 的最
大整数，如 ， .若数列 满足 ，且 ，记 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.
11．（2023·广东佛山·一模）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上
全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成
“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，
总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错
叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6
米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列 的通项公式，
该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；
(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前
m（ ）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的
堆叠规则，自下而上依次为 、 、 、……、 （ 表示高度为 的
方体连续堆叠 层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.
12．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最小值.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（21-22高二上·福建宁德·期中）已知数列 的前n项和为 且 ，若
对任意 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，若
数列 的前 项和为 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（22-23高二上·山东泰安·阶段练习）已知数列 满足
，设数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为等差数列 B．
C．数列 的前10项和为30 D．数列 的前 项和为
4．（2024·云南·模拟预测）设 是首项为 ，公差为 的等差数列； 是首项为 ，
公比为 的等比数列．已知数列 的前 项和 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟
大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数 就是以其名
字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数
的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果 互素，则 .请计算数列
的前 项和 .
6．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知数列 中， ， ， ，则
的前 项和 ．
四、解答题
7．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对 恒成立，则称数
列 为“上凸数列”．
(1)若 ，判断 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明
理由．
(2)若 为“上凸数列”，则当 时， ．
（ⅰ）若数列 为 的前 项和，证明： ；
（ⅱ）对于任意正整数序列 （ 为常数且 ），若
恒成立，求 的最小值．
8．（2023·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ，且
． ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
9．（2024·江苏宿迁·一模）已知 为公差不为0的等差数列 的前 项和，且
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求证： ．
10．（2024·贵州毕节·一模）已知数列 满足 .
(1)设 ，证明： 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
11．（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1的等差数列 满足： 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，求数列 的前 项和 .
12．（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列 的前 项和为 ，且数列 是公比
为2的等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
