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第 09 讲 数列求和及其综合应用（2 大考点+强化训练）
[考情分析] 1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.2.数列的综合问题，一般以
等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等.3.主要以选择题、
填空题及解答题的形式出现，难度中等．
知识导图
考点分类讲解
考点一：数列求和
1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有
的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：＝；
＝.
2．错位相减法求和，主要用于求{ab}的前n项和，其中{a}，{b}分别为等差数列和等比数列．
n n n n
规律方法 (1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差．
(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项．
(3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“S”和“qS”的表达式时
n n
应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S－qS”的表达式．
n n
考向1 分组转化法
【例1】（2024·河南南阳·一模）已知等比数列 的公比与等差数列 的公差均为2，且 ，
设数列 满足 ， ，则数列 的前20项的和为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·甘肃·一模）已知函数 （ 为自然对数的底）， ，记 为 从小到大的第 个极值点，数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【变式2】2024·四川宜宾·二模）数列 中， 是数列 的前 项和，已知 ，数列
为等差数列，则 .
【变式3】(2023·枣庄模拟)已知数列{a}的首项a＝3，且满足a ＋2a＝2n＋2.
n 1 n＋1 n
(1)证明：{a－2n}为等比数列；
n
(2)已知b＝T 为{b}的前n项和，求T .
n n n 10
考向2 裂项相消法
【例2】（2024·广东·模拟预测）令 ．则 的最大值在如下哪
个区间中（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ，若首项为 的数列满足 ，则数列 的前2024项和为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，
后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，
…，设从上往下各层的球数构成数列 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式3】(2023·沈阳质检)设n∈N*，向量AB＝(n－1,1)，AC＝(n－1,4n－1)，a＝AB·AC.
n
(1)令b＝a －a，求证：数列{b}为等差数列；
n n＋1 n n
(2)求证：＋＋…＋<.
考向3 错位相减法
【例3】（2024高三·江苏·专题练习）已知数列 中， ，设 为 前 项和， ，若数列
的前 项和 ，则若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【变式1】（多选）（2023·江苏徐州·模拟预测）函数 满足 、 ，都有 ，
且 ，则（ ）
A． B．数列 单调递减
C． D．
【变式2】（2024高三·江苏·专题练习）记数列 的前n项和为 ，且 ，设m为整数，
且对任意 ， ，则m的最小值为 ．
【变式3】(2023·全国甲卷)记S 为数列{a}的前n项和，已知a＝1,2S＝na.
n n 2 n n
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)求数列的前n项和T.
n
考点二：数列的综合问题
数列与函数、不等式，以及数列新定义的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、
数学建模等核心素养．解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将
新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解．
规律方法 数列的“新定义问题”，主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，关键是
将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系，主要考查的还是数列的基础知识．【例4】（2024高三·上海·专题练习）数列 各项均为实数，对任意 满足 ，定义: 行列式
且行列式 为定值，则下列选项中不可能的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式1】（2024·河南·模拟预测）对于数列 ，定义 为数列 的“加权和”．
设数列 的“加权和” ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·江苏徐州·一模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ．若 ，
则正整数k的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【变式3】(2023·武汉模拟)将1,2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{a}，对任意1≤i<j≤n，如果
n
a>a，那么称数对(a，a)构成数列{a}的一个逆序对．若n＝4，则恰有2个逆序对的数列{a}的个数为(
i j i j n n
)
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式4】(2023·郑州模拟)“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日
本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”．“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇
数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数a，按照上述规
0
则实施第n次运算的结果为a(n∈N)，若a＝1，且a(i＝1,2,3,4)均不为1，则a 等于( )
n 5 i 0
A．5或16 B．5或32
C．5或16或4 D．5或32或4
强化训练
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）数列 的前n项和为（ ）A． B． C． D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）杨辉是我国南宋时期著名的数学家和教育家，一生著作颇丰，如《详解九
章算法》和《算法通变本末》等，书中给出了若干二阶等差级数求和公式，如三角垛、四隅垛、方垛等．
如图是某同学模仿“垛积术”设计的一种程序框图，则输出 的值为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三·江苏·专题练习）在等差数列 中， ， ，记数列 的前 项和为 ，若
对任意的 恒成立，则正整数 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜
想： 是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 ，
不是质数．现设 ，数列 的前 项和为 ，则使不等式
成立的正整数 的最大值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．85．（2024·陕西·一模）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则数列 的前
2024项和为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）抛一枚硬币，若抛到正面则停止，抛到反面则继续抛，已知该硬币抛到
正反两面是等可能的，则以上操作硬币反面朝上的次数期望为（ ）
A． B．1 C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）若数列 ，对于 ，都有 （ 为常数）成立，则称
数列 具有性质 ．已知数列 的通项公式为 ，且具有性质 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东青岛·二模）设 表示不超过 的最大整数（例如： ， ），则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2023·广东广州·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则（ ）
A． 为递减数列
B．
C．若 ， ，则 的取值范围为
D．2．（2024高三·全国·专题练习）（多选题）数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，
377，610， 是意大利数学家莱昂纳多 斐波那契 在他写的 算盘全数 中提出的，
所以它常被称作斐波那契数列 该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前
面两个数的和．记斐波那契数列为 ，其前n项和为 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 不一定是偶数 B．
C． D．
3．（2024·山东烟台·一模）给定数列 ，定义差分运算： .若数列
满足 ，数列 的首项为1，且 ，则（ ）
A．存在 ，使得 恒成立
B．存在 ，使得 恒成立
C．对任意 ，总存在 ，使得
D．对任意 ，总存在 ，使得
三、填空题
1．（2024高三·江苏·专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ， ， 和 的等差中项为 ，
设 ，则数列 的前 项和 为
2．（2024·广西南宁·一模）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项
是 ，接下来的两项是 ，再接下来的三项是 ，依此类推，若该数列的前 项和为 ，若，则称 为“好数对”，如 ， ，则
都是“好数对”，当 时，第一次出现的“好数对”是 ．
3．（2024·河北·一模）已知等差数列 的公差与等比数列 的公比相等，且 ， ，
，则 ；若数列 和 的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列 ，
数列 的前 项和为 ，则使得 成立的 的最小值为 ．
四、解答题
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式及 ；
(2)设______，求数列 的前n项和 ．
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2024·吉林白山·二模）已知数列 的前 项和为 ，若数列 满足：①数列 项数有限为 ；
② ；③ ，则称数列 为“ 阶可控摇摆数列”.(1)若等比数列 为“10阶可控摇摆数列”，求 的通项公式；
(2)若等差数列 为“ 阶可控摇摆数列”，且 ，求数列 的通项公式；
(3)已知数列 为“ 阶可控摇摆数列”，且存在 ，使得 ，探究：数列 能否为
“ 阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
3．（2024·辽宁·二模）如果数列 ，其中 ，对任意正整数 都有 ，则称数列
为数列 的“接近数列”．已知数列 为数列 的“接近数列”．
(1)若 ，求 的值；
(2)若数列 是等差数列，且公差为 ，求证：数列 是等差数列；
(3)若数列 满足 ，且 ，记数列 的前 项和分别为 ，试判断是否
存在正整数 ，使得 ？若存在，请求出正整数 的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：
）4．（2024·天津·一模）记 是等差数列 的前 项和，数列 是等比数列，且满足 ，
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，
（ⅰ）求 的前 项的和 ；
（ⅱ）求 .
5．（2024·湖南·二模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ；数列 满足 ，
其中 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)对于给定的正整数 ，在 和 之间插入 个数 ，使 ， 成等差
数列.
（i）求 ；（ii）是否存在正整数 ，使得 恰好是数列 或 中的项？若存在，求出所有满足条件
的 的值；若不存在，说明理由.
