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2025 二轮复习专项训练16
数列求和及其综合应用
[考情分析] 高考常考内容，主要考查等差、等比数列与常见数列求和的综合应用，主要
以解答题的形式出现，属于中档题．
【练前疑难讲解】
一、an与Sn的关系
1．数列{an}中，an与Sn的关系
an＝
2．求数列通项公式的常用方法：
(1)公式法：利用等差(比)数列的公式求通项公式．
(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数
列的通项公式an.
(3)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项公
式an.
(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．
二、数列求和
数列求和常见方法：
(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重
新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并．
(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n 项和，其中{an}，{bn}一个是等差数列，一个
是等比数列．
(3)裂项相消法：将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干
项的方法，裂项相消法适用于形如的数列．
三、数列的综合应用
数列与函数、不等式的交汇：
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在
曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利
用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列
为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题．
一、解答题
1．（23-24 高三上·山东青岛·期中）已知数列
的前
项和为
，
，当
时，
.
(1)求数列
的通项公式；
1
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(2)设数列
，求数列
的前
项和.
2．（2024·全国·高考真题）记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列{bn}的前
项和
．
3．（2024·四川自贡·一模）已知数列
的前
顶和为
.且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)在数列
中，
，求数列
的前
项和
.
4．（2024·江苏·模拟预测）已知等差数列
和等差数列
的前
项和分别为
，
，
，
.
(1)求数列
和数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
5．（2024·广东茂名·一模）设
为数列
的前
项和，已知
是首项为
、公
差为
的等差数列.
(1)求
的通项公式；
(2)令
，
为数列
的前
项积，证明：
.
2
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6．（2024·广东韶关·二模）记
上的可导函数
的导函数为
，满足
的数列
称为函数
的“牛顿数列”.已知数列
为函数
的牛顿数列，且数列
满足
.
(1)求
；
(2)证明数列
是等比数列并求
；
(3)设数列
的前
项和为
，若不等式
对任意的
恒成立，求t 的
取值范围.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（23-24 高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列
的各项均为正数，且
，
则
（ ）
A．12
B．10
C．5
D．
2．（2024·四川内江·模拟预测）在数列
中，已知
，
，则它的前
30 项的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2022·河北沧州·二模）已知数列
满足
，记
的前
项和为
，则（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高二下·广西钦州·阶段练习）刚考入大学的小明准备向银行贷款
元购买一台
笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，
分
次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月
所要还款的钱数为
元，则下列说法正确的是（ ）
A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法”
B．小明选择的还款方式为“等额本
息还款法
C．小明第一个月还款的现值为
元
D．
三、填空题
5．（2024·河北保定·二模）已知数列
的前
项积为
，若
，则满足
的正整数
的最小值为 .
6．（22-23 高二下·江苏南京·期中）已知数列
的项数为
，且
，则
的前n 项和
为 ．
四、解答题
7．（2024·云南·模拟预测）已知数列
.
(1)求
；
(2)令
为数列
的前
项和，求
.
8．（24-25 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列
的首项为1，且
.
4
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(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列{bn}的前
项和
.
9．（2024·全国·二模）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和为
.
10．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数
是高斯函数，其中
表示不超过
的最
大整数，如
，
.若数列
满足
，且
，记
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和.
11．（2023·广东佛山·一模）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上
全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成
“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，
总高度153.6 米.坊塔塔楼由底部4 个高度相同的方体组成塔基，支托上部5 个方体，交错
叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4 个方体高度均为33.6 米，中间第5 个方体也为33.6
米高，再往上2 个方体均为24 米高，最上面的两个方体均为19.2 米高.
5
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(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列
的通项公式，
该数列以33.6 为首项，并使得24 和19.2 也是该数列的项；
(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310 米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前
m（
）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2 米的情况下，采用新的
堆叠规则，自下而上依次为
、
、
、……、
（
表示高度为
的
方体连续堆叠
层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310 米？并说明理由.
12．（23-24 高二上·河北·阶段练习）已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，若
，求
的最小值.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（21-22 高二上·福建宁德·期中）已知数列
的前n 项和为
且
，若
对任意
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
6
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C．
D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列
满足
，若
数列
的前
项和为
，不等式
恒成立，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（22-23 高二上·山东泰安·阶段练习）已知数列
满足
，设数列
的前
项和为
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列
为等差数列
B．
C．数列
的前10 项和为30
D．数列
的前
项和为
4．（2024·云南·模拟预测）设
是首项为
，公差为
的等差数列；
是首项为
，
公比为
的等比数列．已知数列
的前
项和
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟
大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数
就是以其名
字命名的，称为欧拉函数.人教A 版新教材选择性必修二第8 页指出：欧拉函数
的函数值等于所有不超过正整数
，且与
互素的正整数个数．欧拉函数有很
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多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果
互素，则
.请计算数列
的前
项和
.
6．（23-24 高三下·湖北·阶段练习）已知数列
中，
，
，
，则
的前
项和
．
四、解答题
7．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对
恒成立，则称数
列
为“上凸数列”．
(1)若
，判断
是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明
理由．
(2)若
为“上凸数列”，则当
时，
．
（ⅰ）若数列
为
的前
项和，证明：
；
（ⅱ）对于任意正整数序列
（
为常数且
），若
恒成立，求
的最小值．
8．（2023·全国·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，且
．
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
8
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(2)若
，求数列
的前n 项和
．
9．（2024·江苏宿迁·一模）已知
为公差不为0 的等差数列
的前
项和，且
．
(1)求
的值；
(2)若
，求证：
．
10．（2024·贵州毕节·一模）已知数列
满足
.
(1)设
，证明：
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
.
11．（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1 的等差数列
满足：
成等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足：
，求数列
的前
项和
.
12．（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列
的前
项和为
，且数列
是公比
为2 的等比数列.
(1)求
的通项公式；
(2)若，数列的前n 项和为，求证：.
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