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专题05 数列求和的方法
题型归纳
题型01 倒序相加法求和 .............................................................................................................................................................1
题型02 错位相减法求和 ...............................................................................................................................................................6
题型03 裂项相消法求和...............................................................................................................................................................11
题型04 分组（并项）法求和.......................................................................................................................................................16
强化训练..........................................................................................................................................................................................21
题型01 倒序相加法求和
如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n
项和.
【例1-1】已知数列
是公比为q（
）的正项等比数列，且
，若
，则
（ ）
A．4069
B．2023
C．2024
D．4046
【答案】D
【详解】由数列
是公比为q（
）的正项等比数列，故
，
，故
，
即有
，
由
，则当
时，
1
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有
，
故
，
故
，
故
.
故选：D.
【例1-2】已知
，则
（ ）
A．-8088
B．-8090
C．-8092
D．-8094
【答案】D
【详解】
，
即
设
①，
则
②
+
①②得
，
所以
，
又
，
所以
.
2
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故选：D.
【变式1-1】（2025·辽宁·模拟预测）若
，数列
满足
，则
的值是（ ）
A．2024
B．4048
C．3036
D．2025
【答案】B
【详解】
，
，
则
.
因为
令
，得
；
；
；
…………
又
.
3
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故
故选：B
【变式1-2】已知函数
是
上奇函数，若数列
的项满足：
（
）.则数列
的通项公式为：
.
【答案】
【详解】因为函数
是
上奇函数，所以
，
所以
，
，
两式相加得：
，
即
.
故答案为：
【变式1-3】已知
，数列
的前
项和为
，点
均在函数
的图象上.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，令
，求数列
的前2024 项和
.
【详解】（1）因为点
均在函数
的图象上，
所以
，
4
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当
时，
，即
，
当
时，
，
因为
满足上式，
所以
；
（2）因为
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
①，
又
②，
+
①②，得
，
所以
.
题型02 错位相减法求和
1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和时，常采用错位相减法.
2.用错位相减法求和时，应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一
5
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步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
【例2-1】已知数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
【详解】（1）由
，得
，
又
，
是以1 为首项，3 为公比的等比数列，
，
，
即数列
的通项公式为
.
（2）由（1）知，
，
则
，①
得
，②
①－②得
，
故
．
【例2-2】（2025·江西景德镇·三模）已知
分别是等差数列
和等比数列
的前
项和，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)若
为递增数列，
，求数列
的前
项和
．
6
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【详解】（1）因数列
为等差数列，则
，解得
，
同理可得
，
因
，则
，又
，得
，
因数列
为等比数列，则
，解得
，
若
，则
，公比为
，公差为；
若
，则
，公比为
，公差为，
则
或
．
（2）因
为递增数列，则
，
，则
，
则
，
，
两式相减得，
．
【例2-3】（2025·新疆·模拟预测）已知
为等比数列，
是
，
的等差中项．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和．
【详解】（1）设
的公比为
，因为
为
，
的等差中项，
所以
，即
，
则
，解得
，
所以
.
（2）设
的前
项和为
，又
，
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，①
，②
①
②得
，
所以
.
【变式2-1】（2025·安徽合肥·二模）已知
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和．
【详解】（1）设公差为
，公比为
，
，故
，
，
，故
，
联立
，解得
或
（舍去），
故
，
；
（2）
，设数列
的前
项和为
，
则
，①
，②
两式①-②得
，
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所以
.
【变式2-2】（2025·广西·模拟预测）欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数
，欧拉函数
表示小
于或等于
的正整数中与
互质的数的个数．例如
（1，3，5，7 与8 互质）．
(1)求
，
，
的值；
(2)已知数列
满足
，求
的前
项和
．
【详解】（1）因为不超过正整数且与互素的正整数只有
，所以
;
因为不超过正整数且与互素的正整数只有
，所以
;
所有不超过正整数
的正整数有
个，其中与
不互素的正整数有
，
，
，
，
，共
个，
所以所有不超过正整数
，且与
互素的正整数的个数为
个，即
.
（2）由（1）可知，
两式相减得
.
【变式2-3】（2025·辽宁大连·一模）已知首项相同的等差数列
的公差与等比数列
的公比大小相等，且
，
(1)求数列
和
的通项公式;
(2)令
，求数列
的前
项和
.
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【详解】（1）设等差数列
的首项为
，公差为
，等比数列
的首项为
，公比为
，
由题意可知
，
根据题意可得
，解得
或
，
且
，等比数列单调递增，
，所以
等差数列
的通项公式为
，
等比数列
的通项公式为
.
（2）由（1）可知
，当
，
则
①，
②，
②①得
题型03 裂项相消法求和
1.裂项相消法的原则及规律
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(1)裂项原则：一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.
(2)消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项.
2.常见的裂项技巧
①
1
n(n＋1) ＝1
n －
1
n＋1. ②
1
n(n＋2) ＝1
2(
1
n −
1
n＋2). ③
1
(2n−1)(2n＋1) ＝1
2(
1
2n−1 −
1
2n＋1).
④
1
√n＋√n＋1 ＝√n＋1－√n. ⑤
1
n(n＋1)(n＋2) ＝1
2[
1
n(n＋1) −
1
(n＋1)(n＋2)].
【例3-1】（2025·四川巴中·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前
项和为
，求证：
.
【详解】（1）在等差数列
中，
，则
.
又
，所以该等差数列公差
.故
.
所以
，
故数列
的通项公式为
.
（2）因为
，所以
，
则
化简得
.
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因为
，所以
，故
.
【例3-2】已知等比数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前48 项和
.
【详解】（1）设公比为
，由
，有
，解得
.
又由
，有
，解得
.
故
，即数列
的通项公式为
.
（2）由
，
有
.
【例3-3】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记
为数列
的前n 项和，且满足
，
．
(1)求
；
(2)求
；
(3)令
，记数列
的前n 项和为
，证明：
．
【详解】（1）由
可知数列
是首项为1，公差为1 的等差数列，
故
，即
．
（2）当
时，
，
又因为
满足上式，故
；
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（3）
，
故
，故
．
【变式3-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列
是等差数列，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，求
.
【详解】（1）由
可得
，故公差
，
所以
，
（2）由于
，
故
【变式3-2】（2025·湖南·模拟预测）设正项数列
的前n 项和
，满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【详解】（1）由
得
，可知
，
两式相减得
，
即
，
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，
∵当
时，
，
则
是首项为1，公差
的等差数列，
的通项公式为
；
（2）
，
，
.
【变式3-3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
的前
项和为
.
(1)证明：
是常数列；
(2)设
，求数列
的前
项和.
【详解】（1）已知数列
的前
项和为
.
当
时，
.
当
时，
，∴
.
当
时，
，
∴
，
即
，
∴
，
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当
时也符合上式，∴数列
是常数列.
（2）由（1）知
，∴
，∴
，
，
∴
.
题型04 分组（并项）法求和
1.分组求和法常见题型
①若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前
n 项和.
②若数列{cn}的通项公式为cn＝{
an,n 为奇数,
bn,n 为偶数,
其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n 项和.
2.并项求和法常见题型
①数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n 项和.
②数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n 项和.
【例4-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）若
是等比数列，且
，则数列
的前8 项和为（ ）
A．689
B．716
C．729
D．1597
【答案】C
【详解】设等比数列
的公比为
，则
，
所以
，则
，
故数列
的前8 项和为
.
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故选：C.
【例4-2】已知数列
的前
项和为
，若
则
.
【答案】
【详解】由题意
.
故答案为：190.
【例4-3】（2025·河南·模拟预测）已知数列
和
满足
是等比数列，
是等差数列.
(1)求
和
的通项公式；
(2)求
和
的通项公式；
(3)求
的前
项和
.
【详解】（1）由
，
因为
是等比数列，
则公比为
，所以
，
因为
是等差数列，
则公差为
，所以
.
（2）由（1）得
，
则
.
（3）由（2）有
.
【变式4-1】（2025·陕西·一模）已知等差数列
的前
项和为
，
，
．
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(1)求
的通项公式；
(2)若数列
是公比为3 的等比数列，且
，求
的前
项和
．
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
由题意，得
，解得
，
则
.
（2）由（1）知，
，
因为数列
是公比为3 的等比数列，其首项为
，
则
，则
，
所以
.
【变式4-2】（2025·天津·二模）已知数列
为等差数列，数列
为等比数列，
，
，
，且
的公比是
公差的
倍．
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)若数列
满足
，
，且当
，
.
（i）求证：
；
（ii）求数列
的前
项的和
．
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，则等比数列
的公比为
，
，
，
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，
，解得：
，
，
，
，
.
（2）（i）由（1）得：
，
，
，
，
令
，又
，
，则
，
即
，
.
（ii）记
，
则
，
；
当
时，
，
；
经检验：
，
满足
，
综上所述：
.
【变式4-3】（2025·河南新乡·模拟预测）已知数列
各项均为正数，且满足
，
，
，
18
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(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
，试证明：
，
【详解】（1）正项数列
中，
，
，由
，得
，
则
，即
，
，于是
，
令
，则有
，因此
，即
，
，则
是以2 为公比，以
为首项的等比数列，
于是
，即
，解得
，
所以数列
的通项公式是
.
（2）由（1）知
，
，显然
是等比数列，
即
，
令函数
，求导得
，
当
时，
，则
，
，函数
在区间
上单调递减，
，
所以
一、单选题
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
，且
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，则
（ ）
A．1364
B．1363
C．1264
D．1263
【答案】D
【分析】根据题意推出
，然后由累加法即可求解.
【详解】由
，可得
①，
则有
②，
③，
④，
将①②③④左右分别相加，得
､
，
又
，即
，
故得
，
所以
，将以上式子
左右分别相加，得
､
，
又
，所以
.
故选：D.
2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
、
，再借助等比数列求和公式计算即可得.
20
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【详解】由
，则
，
由
，则
，故
，
则
、
、
、
，
则
.
故选：A.
3．（2025·河南·三模）函数
满足：
，
，且
，则
（ ）．
A．4900
B．4950
C．5000
D．5050
【答案】B
【分析】利用递推式依次求得
、
、
，最后令
，
，得到
，应用累加法求得
，最后应用分组求和及等差数列的前n 项和公式求结果.
【详解】令
，则
，可得
，
令
，则
，可得
，
令
，则
，可得
，
令
，
，则
，可得
，
当
时
，则
，
显然
也满足上式，
所以
，故
.
故选：B
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4．（2025·云南·模拟预测）已知对任意正整数对
，定义函数
如下：
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，
，令
，可判断A；利用累乘法可得
，判断B；利用二项式定理判断C；
，利用错位相减法求解判断D.
【详解】
，
，
令
，则
，
，则A 错误；
，
当
，
，
，
，
，
，
累乘得：
，
，
，
，
而对于
中令
，得
，矛盾，则B 错误；
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，则C 正确；
，
令
，
则
，
所以
，
所以
，
所以
，
则D 错误．
故选：C．
5．（2025·广东广州·模拟预测）已知
是首项为2，公比为2 的等比数列，记
，其中
，
记数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．9143
B．9145
C．10009
D．10154
【答案】D
【分析】由题意得
，结合题意可得
，当
时，
，利用等差数列的前
项和公式求出
这10 项和，当
时，
，这些项的和为
，利用分组求和法及等差数列、
等比数列的前
项和公式求解，再加上
时的10 项和即可求解.
【详解】由题意得
，
，
，
，
23
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所以
，
当
时，
，
共10 项，这10 项的和为
,
其余项有
项，
当
时，
，
这些项的和为
，
所以
.
故选：
.
二、多选题
6．（2025·全国·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
，则（ ）
A．
为等差数列
B．
C．数列
为递增数列
D．数列
的前
项和为
【答案】BCD
【分析】对
取倒数，采用构造法证明
为等比数列，判断A；利用
是首项为
，公比为
24
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的等比数列，求
判断B；对
化简为
，证明为递增数列判断C；
，
采用分组求和和错位相减法求和判断D.
【详解】由
得
，则
，即
为等比数列，故A 错误；
由
得
，所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
则
，整理得
，故B 正确；
由
得
，则数列
为递增数列，故C 正确；
由
得
，
数列
为首项为1，公差为2 的等差数列，则数列
的前
项和为
，
设数列
的前
项和
①，
则
②，
-
①②得，
，
即
所以
，所以
前
项和为
，故D 正确，
故选：BCD．
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7．（2025·全国·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
，则（ ）
A．
B．数列
是等差数列
C．
D．
【答案】ACD
【分析】令
直接代入计算可得A 正确，根据
的关系式以及等比数列定义即可求得数列
为等比数列，
可得B 错误，再求得数列
的通项公式可得C 正确，结合分组求和以及等比数列前
项和公式计算可得D 正确.
【详解】对于A，由
可得
，
即
，所以
，因此A 正确，
对于B，由
可得
，即
，
显然
不是定值，
因此数列
不是等差数列，即B 错误；
对于C，结合B 分析由
可知
，
即数列
是以
为首项，公比为2 的等比数列，
因此可得
，所以
，即C 正确；
对于D，
，即D 正确.
故选：ACD
8．（2025·广东·模拟预测）记
为数列
的前
项和，若
，则（ ）
A．
的最小值为
B．
的最大值为
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C．存在数列
，使得
D．存在数列
，使得
【答案】ABD
【分析】先求
，再利用
求
，根据
逐项验证即可判断.
【详解】由
，当
时，
，当
时，
，
所以
或
，
对于A：当
时，
的最小值为
，故A 正确；
对于B：当
时，
，
所以
的最大值为
，故B 正确；
对于C：由题意有
为奇数，当
时，
，
，
由
与
的奇偶性相同，同理
与
的奇偶性相同，又
与
的奇偶性相反，
所以
与
的奇偶性也相反，所以
为奇数，所以数列
中每项均为奇数，
所以
为5 个奇数之和必为奇数不等于0，
所以不存在数列
，使得
，故C 错误；
对于D：存在数列
，
，
且
，故D 正确；
故选：ABD.
三、填空题
9．（2025·江西新余·模拟预测）设
，函数
表示不超过
的最大整数．若正项数列
中，
，且当
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时，
，
为其前
项和，则
．
【答案】198
【分析】由题知
，继而可得
，利用放缩法
，结合裂项相消法可得
即可求.
【详解】由于当
时，
，所以
，
所以数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
，即
．又
，
即
，
所以
．
由于
，
则
，
，
所以
，
又由于
，
所以
，故
．
故答案为：198.
10．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列
满足
，且数列
的前
项和为
，
则
.
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【答案】
【分析】应用
得出
，再应用裂项相消法计算求解.
【详解】若
，则
；
若
，则
.
所以，
，即
.
又
也满足
，所以
.
由于
，
所以
.
故答案为：
.
11．（2025·四川成都·模拟预测）已知数列
满足
，则
．
（
表示不大于
的最大整数）
【答案】3
【分析】
的两边同时除以
，可得到
，然后累加即可得到答案.
【详解】当
时，
，易知当
时
．
当
时，
，两边同时除以
，
可得到
，即
，
所以
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，
显然
，故
，
，
所以
.
故答案为：3.
12．（2025·贵州·模拟预测）高斯（Gauss）是德国著名的数学家，是历史上最杰出的数学家之一，被誉为“数学王
子”.称
为高斯函数，其中
表示不超过
的最大整数，例如：
.设
，当
时，
的值域为 ；当
，
. .
【答案】
【分析】第一空：分
，
，
三种情况，计算可求值域；第二空，利用
，可
求得
，结合
，可求值.
【详解】第一空：当
，
，所以
，
当
，
，
，
当
，
，所以
，
所以当
时，
的值域为
；
第二空：
，
所以
，所以
，
又因为
，所以
，
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所以
，
所以
.
故答案为：①
；②
.
四、解答题
13．（2025·广东广州·模拟预测）已知向量
，
，函数
，
的所
有大于0 的零点构成递增数列
．
(1)写出
的前6 项；
(2)记
的所有偶数项构成数列
，设
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简可得
，令
，结合正弦函数的图象性
质可得
或
，取其中的正数构成递增数列
可得结果；
（2）由错位相减法求和可得结果.
【详解】（1）由题意
．
由
，得
．
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所以
或
．
即
或
，取其中的正数构成递增数列
．
知
的前6 项为
．
（2）由（1）知
，所以
．
所以
．①
．②
①－②，得
．
所以
.
14．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列
中，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)给定正整数m，设函数
，求
．
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）根据给定递推公式，变形并构造常数列求出通项公式.
（2）由（1）求出
及导数，再利用裂项相消法求出目标值.
【详解】（1）在数列
中，由
，得
， 即
，
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则数列
是常数列，而
，因此
，解得
，
所以数列
的通项公式是
.
（2）由（1）得，
，函数
，
求导得
则
，
而
，
所以
.
15．（2025·陕西·模拟预测）已知
是首项为
，公差为
的等差数列，
为
的前
项和．
(1)求
通项公式及
；
(2)设
是首项为，公比为的等比数列，求数列
的通项公式及其前
项和
．
【答案】(1)
；
(2)
；
【分析】（1）根据等差数列通项公式
，代入
，
求得
通项公式，再根据等差数列前
项和公式
求得
.
（2）由等比数列通项公式求出
的表达式，结合第（1）问中
通项公式得到
的通项公式，即可得
的公式，
构造
和
分别处理两个求和部分，再通过错位相减、化简即可得到结果.
【详解】（1）由已知得
，
，则
，
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所以
.
（2）由已知得
，
，又由（1）得
，
所以
，
则
.
令
，
则
，
所以
，
即
；
令
，则
，
所以
.
16．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
(1)求证：
为等比数列；
(2)设
，记
的前
项和
，求满足
的最小正整数
．
【答案】(1)证明见解析
(2)10
【分析】（1）对已知数列的递推公式两边取倒数，根据等比数列的定义，即可得证；
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（2）由（1）可得
，利用分组求和法及等比数列的前
项和公式可得
，可得
为
递增数列，由
即可求解.
【详解】（1）
，
是以1 为首项，
为公比的等比数列；
（2）由（1）得
，即
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
为递增数列，又
.
所以满足
的最小正整数为10.
17．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
（
）.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)若
（
），求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将递推公式配凑成
，即可；
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（2）由（1）求得
，由分组求和、错位相减法求和即可.
【详解】（1）证明：由
，
得
，
，且
，
所以数列
是首项为3，公比为3 的等比数列，
（2）由（1）知数列
是首项为3，公比为3 的等比数列，
所以
，
故
，
所以
，
设
①
所以
②
①－②得：
.
所以
，又
，
所以
.
18．（2025·安徽·模拟预测）已知数列
的前
项积为
，其中
，数列
的通项公式为
.
(1)求数列
及
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
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(3)求证：
.
【答案】(1)
，
(2)
(3)证明见解析
【分析】(1)因为数列
的前
项积为
，所以根据
,可求得数列
的通项公式．代入
，
可求得数列
的通项公式；
(2)由(1)可得数列
的通项公式，利用错位相减法可求得数列
的前
项和
；
(3)利用不等式对
进行适当放缩，再用裂项相消求和法求和，可证明不等式成立．
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
；
因为当
时，也满足
.故数列
的通项公式为
.
因为
，
所以数列
的通项公式为
.
（2）由(1)得，
，则
，
两边同乘以3，得：
两式相减得，
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所以数列
的前
项和
.
（3）由(1)得，
，则数列
单调递减，所以
且
，
所以
，
所以
，
所以：
，
故
得证.
19．（2025·安徽·一模）已知函数
为函数
的导函数.
(1)证明：
；
(2)若函数
，请判断
在区间
上的零点个数，并说明理由；
(3)若函数
，证明：当
时，
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出
的导数
，再分别计算
和
，通过三角函数的两角和
公式展开化简，证明二者相等；
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（2）先求出
的导数
，根据导数判断函数单调性，再结合零点存在定理确定
在
上的零点个数；
（3）令
，再求
的值，利用积化和差转换即可证明.
【详解】（1）证明：由题可得
，
，
.
故
.
（2）
，故
，
，设
，则
，
当
时，
，故
单调递增，
所以
，故函数
单调递减，
，
故函数
在
上无零点；
当
时，
，
设
，则
，
设
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
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且
，
故存在
，使
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
因为
，
故
，又因为
，
故函数
在
上有1 个零点.
综上所述，
在区间
内的零点个数为2.
（3）证明：令
，
所以
，
当且仅当
时，上式取得等号，但不可能成立，
所以当
时，
.
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