文档文本内容
第 04 讲 数列求和综合（附加错位相减法万能公
式）（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
利用定义求等差数列通项公式
2023年新Ⅱ卷，第18题,12分 分组 (并项)-奇偶项求和 等差数列通项公式的基本量计算
求等差数列前n项和
2023年全国甲卷（理科），
a S
错位相减法求和
利用 n与 n关系求通项或项
第17题,10分
a S
利用 n与 n关系求通项或项
2022年新I卷，第17题,10分 裂项相消法求和
累乘法求数列通项
利用等差数列通项公式求数列中的项
利用导数研究不等式恒成立问题
2022年新Ⅱ卷，第22题,12分 裂项相消法求和
含参分类讨论求函数的单调区间
2021年新I卷，第16题,5分 错位相减法求和 数与式中的归纳推理
由递推数列研究数列的有关性质
2021年新I卷，第17题,10分 分组 (并项)-奇偶项求和 利用定义求等差数列通项公式
求等差数列前n项和
2021年全国乙卷（文科）， 等差中项的应用
错位相减法求和
第19题,12分 等比数列通项公式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5-12分
【备考策略】1.熟练掌握裂项相消求和
2.熟练掌握错位相减求和
3.熟练掌握拆项分组求和法、并项转化求和法、倒序相加求和法，能综合解决数列的求和问
题
4.熟练掌握数列中不等式的综合问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常考查裂项相消求和、错位相减求和、奇偶并项求和，需
重点综合复习知识讲解
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式
S＝＝na＋d.
n 1
(2)等比数列的前n项和公式
①当q＝1时，S＝na；
n 1
②当q≠1时，S＝＝.
n
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项技巧：
（1） ；
（2） ；
（3）
（4）（5）指数型 ；
（6）对数型 .
（7）
（8）
（9）
（10） 等
4．倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
5．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的
推广．
万能公式：
形如 的数列求和为 ，
其中 ， ，
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a ＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并
n
求解．
考点一、公式法直接求和
1．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
2．（2021·全国·统考高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
3．（2020·海南·高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．（1）求 的通项公式；
（2）求 .
4．（2020·全国·统考高考真题）设等比数列{an}满足 ， ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 为数列{log an}的前n项和．若 ，求m．
3
1．（2023·湖北武汉·统考三模）已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ， ，
.
(1)求 的通项公式；
(2)若 恒成立，求正整数 的最大值.
2．（2023·贵州贵阳·校联考三模）设数列 的前 项和为 ，当 时，有
．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)若 ， ，求 的最大值．
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证：数列 的前n项和 .
4．（2023·广西·统考模拟预测）已知数列 为等比数列，其前 项和为 ，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求使 成立的正整数 的最大值.
考点二、分组转化求和
1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列 是首项为1，公差为d的等差数列，且 ， ， 是
等比数列 的前三项．(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
2．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 .
3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
1．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列 为单调递增的等比数列，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知数列 满足 ， ．
(1)令 ，证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)证明 是等比数列；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
考点三、裂项相消求和
1．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
2．（2023·河南安阳·统考三模）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
3．（2023·湖北·统考二模）设数列 前n项和 满足 ， ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
4．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知数列 的前 项和 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证： .
1．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）已知在等差数列 中， .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
2．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知数列 中， ，且 .
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)记数列 ，求数列 的前 项和 .
3．（2023·江西九江·统考三模）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；(2)求数列 的前n项和.
4．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若数列 满足 ，求证： ．
考点四、错位相减求和
1．（2020·全国·统考高考真题）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
2．（2020·全国·统考高考真题）设数列{an}满足a=3， ．
1
（1）计算a，a，猜想{an}的通项公式并加以证明；
2 3
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
3．（2021·全国·统考高考真题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
4．（2023·全国·统考高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列 是公差为3的等差数列，数列 是公比为2的等比数
列，且满足 ． 将数列 与 的公共项按照由小到大的顺序排列，构
成新数列 ．
(1)证明：(2)求数列 的前n项和 ．
2．（2023·校考模拟预测）数列 满足： ，等比数列 的前 项和为 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，试证明 .
3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 ．
4．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知数列 的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公
比都是 ，若对满足 的任意正整数 ， ，均有 成立．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
考点五、奇偶并项求和
1．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
2．（2023·山东烟台·统考二模）已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足 ，
且 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．3．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知 是各项均为正数的数列， 为 的前n项
和，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 ．
4．（2020·天津·统考高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
5．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列 与等比数列 的前 项和分别为：
，且满足： ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 求数列 的前 项的和 .
1．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知 是单调递增的等差数列，其前 项和
为 . 是公比为 的等比数列. .
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
2．（2023·浙江·校联考二模）设数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)求 的通项公式；(2)设 且 ，求数列 的前n项和为 ．
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 求 的前 项和 .
4．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列 的前n项和为 ，其公比 ， ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 ．
5．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，
.
(1)求证：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
从① 和② 这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，
并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.
考点六、数列求和之不等式综合
1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知数列 满足 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求证： .
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知数列 满足 ，当 时， .
(1)求数列 的通项公式；(2)已知数列 ，证明： .
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 的各项均为正数，其前 项和 满足 ，数列
满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围.
4．（2023·湖北武汉·统考三模）记 为数列 的前n项和，已知 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设单调递增等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列．
（ⅰ）求数列 的通项公式；
（ⅱ）设 ，试确定 与 的大小关系，并给出证明．
1．（2023·湖南·校联考二模）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，且 ，若 对于 恒成立，求 的取值范围．
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在等比数列 和等差数列 中，
， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)令 ， ，记数列 的前 项积为 ，证明： ．
3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）设正项数列 满足 ， ， ．数列
满足 ，其中 ， ．已知如下结论：当 时， ．
(1)求 的通项公式．(2)证明： ．
4．（2023·河北·模拟预测）在数列 中， ， .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)记数列 的前 项和为 ，若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范
围.
【基础过关】
1．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知等比数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且
， ， 成等差数列， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
2．（2023·江苏·统考一模）已知等比数列 的各项均为正数，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求 的前n项和 .
3．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）在数列 中， ， .
(1)求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知数列 满足： ， ，设 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， ，求证： ．
5．（2023·安徽马鞍山·统考二模）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，且 ， ， 成等比数
列.
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前n项和 .
6．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）在公差不为0的等差数列 中， ，且 ， ， 成等
比数列．
(1)求 的通项公式和前n项和 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和公式 ．
7．（2023·广东广州·统考三模）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和 ，求证： ．
8．（2023·山东烟台·校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
9．（2023·云南大理·统考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 ，求数列 的前 项和 ．
10．（2023·河北·校联考三模）已知等差数列 ，首项 ，其前 项和为 ，点 在斜率为1
的直线上．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 为数列 的前 项和，求证： ．
【能力提升】
1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列 满足 .(1)求数列 的通项；
(2)设 为数列 的前 项和，求证 ．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列 满足 ， .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
3．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 .
4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知 与 都是正项数列， 的前 项和为 ， ，且满足
，等比数列 满足 ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，求满足不等式 的自然数n的最小值．
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知等比数列 的公比 ，前n项和为 ，满足： .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
6．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)设单调递增的等差数列 满足 ，且 成等比数列.
（i）求 的通项公式；
（ii）设 ，证明： .
7．（2023·山东泰安·统考模拟预测）设 是公比不为 的等比数列， ， 为 ， 的等差中项.
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知 为正项等差数列， 为正项等比数列，
其中 ，且 ， 成等比数列， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和．
9．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设 为数列 的前 项和，已知 ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前 项和，当 时， ．若对于任意 ，有 ，求 的取值
范围．
10．（2023·湖南株洲·统考一模）数列 满足 ， .
(1)若 ，求证： 是等比数列.
(2)若 ， 的前 项和为 ，求满足 的最大整数 .
【真题感知】
1．（全国·高考真题）等差数列 的前n项和为 ，已知 ， 为整数，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
2．（全国·高考真题）等比数列 的各项均为正数，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设b＝log a＋log a＋…＋log a，求数列 的前 项和 .
n 3 1 3 2 3 n
3．（广东·高考真题）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且满足
，
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）证明：对一切的正整数 都有
4．（山东·高考真题）已知数列 的前n项和 ， 是等差数列，且 .（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 .求数列 的前n项和 .
5．（广东·高考真题）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 且
构成等比数列．
(1) 证明： ；
(2) 求数列 的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数 ，有 ．
6．（山东·高考真题）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 满足 ，求 的前 项和 .
7．（浙江·高考真题）设等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足：对每
成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 证明：
8．（全国·高考真题）设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且
.
（1）求 、 的通项公式：
（2）求数列 的前 项和 ．
9．（湖北·高考真题）设数列 的前 项和为 ， 为等比数列，且
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 前 项和 .
10．（重庆·高考真题）设数列 满足： ， ， ．
(1)令 ，求数列 的通项公式；(2)求数列 的前 项和 ．
