文档文本内容
第 05 讲 数列求和
目 录
模拟·基础演练.....................................................................................................................2
题型01 倒序相加法...........................................................................................2
题型02 分组求和法（两数列相加） ........................................................4
题型03 分组求和法（奇偶式）......................................................................8
题型04 并项求和法........................................................................................11
题型05 错位相减法 ...................................................................................13
题型06 裂项相消法之等差型 ....................................................................17
题型07 裂项相消法之根式型..........................................................................20
题型08 裂项相消法之指数型 ....................................................................22
题型09 裂项相消法之相加型 ....................................................................26
重难·创新演练..................................................................................................................28
真题·实战演练..................................................................................................................34
模拟·基础演练
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司考查重点：倒序相加、分组（普通/奇偶）、并项、错位相减、多类裂项求和，覆盖数列求和全部
主流方法，区分等差、等比、根式、指数等不同裂项形式，侧重式子变形、消项化简与分段分类运
算。
题型01 倒序相加法
1．已知函数 ，数列 满足 ，则数列 的
通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数 对任意 都有 ，
数列 满足 ①
又 ②
① ②得： ，
得 .
故选：B.
2．已知数列 是公比为 的正项等比数列，且 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由数列 是公比为 的正项等比数列，故 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又 ，可得 ，
所以 ，
由 ，则 ，所以 ，
所以 ，
则
，
故 ，
故选：B.
3．已知函数 ，数列 满足 .
(1)求证： 为定值，并求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由题意得
，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 ，
得到 ，
两式相加得 ，即 .
（2）由题意得 ，
则 ，
而 ，而 ，可得当 时， ，
令 ，因为反比例函数 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，故 得证.
4．定义在 上的函数 满足 ，数列 满足
，若存在 ，使不等式 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为对任意 ，有 ，
数列 ①，
将①式倒序得： ②，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司得： ，
因此 .
将 代入不等式，整理得：存在 ，使得 成立.
因为 ，
当且仅当 时等号成立，解得 ，
即 时 有最小值 ，故 ，即 的取值范围为 .
题型02 分组求和法（两数列相加）
5．已知数列 是公差不为零的等差数列， ， ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ， ．
由 ， ， ， 成等比数列，得 ，
即 ．
解得 或 （舍去）．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ．
（2）由（1）知 ，所以 ．
从而数列 的前 项和
.
6．已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，数列 满足 ， ．
(1)求 和 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和．
【答案】(1) ， .
(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，
由等差数列求和公式得 ，
化简得 ，
因为 且 ,所以 是常数，
因此 是等比数列，设其公比为 ，则 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
由等比数列通项公式得 ，
所以 ， .
（2）因为 ，
设数列 的前 项和为 ，则
所以数列 的前 项和为 .
7．已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设数列 的公差为 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为 ， ， 成等比数列，所以 .
又 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 .
因此 的通项公式为 .
（2）由（1）知 .
所以
，
所以 .
8．已知数列 的前 项和为 ，数列 是等差数列，且 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
经检验， 时符合上式，
所以， ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由上可知， ，
设 的公差为 ，则 ，
所以， ，
即 ．
（2）由(1)得 ，
则数列 的前 项和 为：
，
，
，
，
所以，数列 的前 项和 ．
题型03 分组求和法（奇偶式）
9．已知等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，设数列 的前 项和为 ，求 ；
(3)求 .
【答案】(1) ， .
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
，
解得
， .
（2）
（3）由（2）可知
若 为偶数，则
若 为奇数，若
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司若 ，则
综上， .
10．已知等差数列 中 ， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 和为 ，求 的值(结果可以用幂的形式表示）.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）知，当 为偶数时， ；当 为奇数时， ；
所以
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11．数列 的前n项和为 ，满足 ，若 .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）因为 ，故 ，
而 ， 故 ，
整理得 ，即 ，
故 ，所以 ，故数列 为等比数列；
（2）由（1）可得 ，
故
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12．已知数列 为等比数列， ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 为单调递增数列，且 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，或 .
(2)
【分析】
【详解】（1）∵ ， ， 成等差数列，
∴ ，
又 为等比数列，设公比为 ，
∴ ，
解得 ，或 ，
当 时， ； 当 时， ；
综上所述， ，或 .
（2）由题意，可知 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴
∴
，
，
.
题型04 并项求和法
13．设数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当 或 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ．
，
．
故选：D
14．已知等差数列 的公差为1，且 ， ， 成等比数列，则数列 的前20项和为（ ）
A．210或90 B．210 C． 或 D．
【答案】B
【详解】设等差数列 首项为 ，已知公差 ，故 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为 ， ， 成等比数列，由等比中项性质： ，
代入表达式得： ，整理得： ，解得 或 ，
若 ，则 ，等比数列不能含0项，故舍去 ，仅保留 ，故 ,
数列 的前20项和分组得： ，
对每组用平方差公式： ，
因此： .
15．设数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则 __________.
【答案】100
【详解】当 或 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ，
当 ， 时 .
∴ ，
∴ .
故答案为：100.
16．已知 为数列 的前 项和， ， ， ，且 ， .
(1)求 ；
(2)求 的值.
【答案】(1)
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)110
【分析】
【详解】（1）依题意， ， ，则 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
则数列 中所有的奇数项是以 为首项，公差为2的等差数列，
所以 ，即n为奇数时， ，
数列 中所有的偶数项是以 为首项，公差为2的等差数列，
所以 ，即 为偶数时， ，
所以 .
（2）由（1）可知， ， ，
则
.
题型05 错位相减法
17．已知数列 中， ， ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若数列 中， ，求 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）当 为奇数时，设 ，则 ，且 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
故 ；
当 为偶数时，设 ，则 ， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
综上所述， .
（2）由（1）可知 ， ，
所以 ，
①，
②，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司① ②得 ，
化简得 .
18．已知等差数列 和等比数列 的首项分别为1和2， 的前n项和为 ， ，且 ， ，
成等差数列， .
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)设 ， ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】
【详解】（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，
依题意得
又 ，解得
所以 ， ．
（2）设 ，
所以 ，①
，②
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司得：
．
即数列 的前n项和 ．
19．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
即 ，
解得 ， ，
所以 ．
因此数列 的通项公式为 .
（2）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
．
所以
，
即
所以
20．已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)求证：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)由 ，得 ，即 ，
又 ，∴ 为等差数列，首项为1，公差为4；
由 ，得 .
(2)
【分析】
【详解】（1）略
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）由（1）得 ，
①，
②），
① ②得，
，
∴ ．
题型06 裂项相消法之等差型
21．设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）解：因为 ，所以 ．
又 ，所以公差 ，
所以 ．
（2）由（1）知 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以
．
22．已知数列 为等差数列，数列 为公比大于0的等比数列，且
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 求数列 的前10项和
【答案】(1) ，
(2)
【分析】
【详解】（1）令 公比为 且 ，则 ，
整理 ，解得 ，或 （舍去），
故 ，
又 ，令 的公差为 ，则 ，
所以 ，可得 ，
故 ．
（2）由 ，
所以 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司23．已知数列 中， ，满足 ．
(1)证明数列 是等比数列；
(2)设 ， 为数列 的前 项和，求 ．
【答案】(1)由 ，得 ，
即 ，
又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
(2)
【分析】
【详解】（1）略；
（2）由（1）可知 ，所以 ，
所以 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 ，
所以 ．
24．已知数列{ }满足
(1)求数列{ }的通项公式 ;
(2)若 求数列{ }的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，则数列 为等差数列，
又 ， ， 数列 的公差为 ，
，所以 ．
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以
．
25．记正项数列 的前 项和为 ，已知 ．
(1)求 ；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)记 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)由（1）知 ，
由 ，
得
.
所以数列 的前 项和 ，
得 ，
因此， .
【分析】
【详解】（1）由正项数列 ，前 项和 ，
当 时， ，
整理得 ，
解得 舍去 .
当 时， ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，
即 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，即 是首项为5，公差为2的等差数列，
所以数列 的通项公式为 .
（2）略
题型07 裂项相消法之根式型
26．数列 的通项公式为 ，则这个数列的前63项之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意， ，
所以这个数列的前63项之和 .
故选：C
27．已知数列 的各项均为正数，前n项和为 ，且 ， ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，不等式 对任意正整数n恒成立，求实数 的取
值范围．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】(1)在正项数列 中， ，
则 ，所以 是等差数列.
(2) .
【分析】
【详解】（1）略
（2）由（1）知，等差数列 的首项 ，公差 ，则 ， ，
，于是 ，而 满足上式，
因此 ， ，
则 ，
，
显然 ，且数列 单调递增， ，
因此 ，又不等式 对任意正整数n恒成立，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
28．已知各项都是正数的数列 ，其前 项和为 ， ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明：由（1）得 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，
所以 ，
裂项得 ，证毕.
【分析】
【详解】（1）由题意得 ，
所以 ，又数列 是各项都是正数的数列， ，
所以 ， ，
当 时，有 ，
所以 ，
所以 ，故数列 是1为首项，2为公差的等差数列，
所以 .
（2）略
题型08 裂项相消法之指数型
29．设数列 的前 项积为 ，满足 ．
(1)设 ，求证：数列 是等比数列；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
当 时，由 且 可得 ，所以 ， ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当 时，由 得 ，
所以当 时结合 ， ，
可得当 时， ，故 ，
所以 ，
代入已知条件 ，得 ，
两边同除以 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，
所以数列 是等比数列.
又 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）因为数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.所以
因为 ，所以 ，
从而 ，则 ，
所以 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故 ，
所以 ，
解得 .
30．已知数列 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1） ， ，
是以1为首项，1为公差的等差数列.
，
.
（2） ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司.
31．已知 为等比数列 的前 项和，若 是 和 的等差中项，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，且数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求 的表达式以及 的取值范
围.
【答案】(1) ， .
(2) ，
【分析】
【详解】（1）设数列 的公比为 ，由 ， ， 成等差数列可得 ，
故 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 ，
故 ，即数列 的通项公式为 ， .
（2）由（1）可得 ，
故 ，
易知 单调递减，故 单调递增，
即 为递增数列，则 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又当 时， 且 ，所以 ，
故 ，所以 .
32．已知数列 满足： ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
【详解】（1） 时， ，解得 ，
时， ，化简得 ，
又 ，
所以 是以1为首项， 为公比的等比数列；
（2）由（1）可知： ，
所以
，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以
．
33．在数列 中， .
(1)证明数列 为等比数列，并求出 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前 项和 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由 ，得到 ，又 ， ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
则 ，得到 ，所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
则 ，
又 ，所以 .
题型09 裂项相消法之相加型
34．记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，已知 ， ，数列 满足
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，且
(1)求 的通项公式.
(2)证明：数列 是等比数列.
(3)若数列 满足 ，求 的前 项和的最大值、最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)最大值为 ，最小值为
【分析】
【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ,
由 得 ，即 ，解得
所以 .
（2）解：由（1）可知 ，则
由 ，可得 ，
所以 ， ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（3）解：由（1）可得
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设 的前 项和为 ，则
所以，当 为奇数时， ， 随着 的增大而减小，可得 .
当 为偶数时， ， 随着 的增大而增大，可得 .
所以 的最大值为 ，最小值为 .
35．已知数列 的前n项和为 ，且 ， .
(1)求
(2)若 ，求数列 的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为 ，且 ，
可知数列 是以首项为 ，公差为 的等差数列，
则 ，所以 .
（2）由（1）可知： ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当 时，则 ，
且 符合上式，所以 ，
可得 ，
设数列 的前n项和为 ，
则 ，
所以数列 的前n项和为 .
重难·创新演练
设题创新:融合奇偶分段并项、错位相减、裂项放缩，结合斐波那契、导数跨模块载体；新增子数
列重构、求和恒成立求参、求最小正整数，融合不等式综合，强化分类讨论与最值分析。
1．【新角度】（ 2026·山西大同·三模）已知数列 满足 ， ，则
______．
【答案】103
【详解】由题意得，
．
2．已知数列 的前 项和为 ，且 ，设 ， 是数列 的前 项和，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司若 ，则正整数 的最小值为（ ）
A．30 B．31 C．60 D．61
【答案】B
【分析】详解】因为 ，当 时， ；当 时， ，
；
综上 ；
因为 ，
故 ，
则
，
即 ，即 ，
解得 ，故正整数 的最小值为 ．
3．【新考法】已知数列 的前 项和为 ， ，则 _________．
【答案】324
【分析】详解】由 ，
当 为奇数时， 为偶数，
则 ， ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司两式相减得 ；
当 为偶数时， 为奇数，
则 ， ，
两式相加得 ，
则
．
4．【新情境】数列 ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利
数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，
满足 ， （ ， ），则 是斐波那契数列的第
______________项.
【答案】2027
【分析】详解】由题意知， （ ， ），
所以 （ ， ），
所以 ， ，……， ，
由累加法可得 ，
则 ，
所以 是斐波那契数列的第2027项.
5．【新考法】数列 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，则
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司=______．
【答案】1013
【分析】详解】由题设得， ，故 ，
所以 ，即 ，故
，
所以
.
6．已知等比数列 的前 项和为 ，满足 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，且数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)
，结合（1）得 ，则 ，
因此
，则 ，即数列 是递增数列，
又 ， ，所以 ．
【详解】（1）由 ，得 （ ），
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司两式相减得 ，则 ，
由数列 是等比数列，得数列 的公比为 ，
方法一：由 ，得 ，化简得
则 ，解得 ，所以数列 的通项公式为 .
方法二：由 ，得 ，
，解得 ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）略
7．【新考法】已知等差数列 中， ，前8项和为80.
(1)求 的通项公式；
(2)从 中依次取出第 项，按原顺序排成一个新数列 ，若 ，求数列 的前
n项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ，前8项和为80，
得 ；
（2）因为 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以由题意可知 ，
于是 ，
所以 .
8．【新载体】（ 2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ．
(1)证明：数列 是等比数列，并求出通项公式；
(2)设函数 的导函数为 ，数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ， ， ，
相减得 ，即 ，又 ，
所以数列 是以4为公比的等比数列，
所以 ．
(2)
【详解】（1）略
（2） ， ，
，
，
，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司相减得
，
整理得 ．
9．已知等差数列 的首项 ，且 ， ， 成等比数列，公差 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前n项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，求实数t的
取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由题意知 .
因为 成等比数列，故 .
又 ，所以 ， ， ，代入得
展开整理得 ，即 .
由 得 ，因此数列 的通项公式为
.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2） ，
数列 的前 项和
因为 ，所以 ，故 ，
因此 ，即 的最大值为 .
不等式 对任意 恒成立，等价于 ，
整理得 ，即 ，
解得 或 .
10．（ 2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 是公差为 的等差
数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，求使得 成立的最小正整数 的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，数列 是公差为 的等差数列，所以 ，
则 ，当 时， ，
整理得到 ，则 ，所以数列 是常数列，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又 ，则 ，所以 ．
（2）由题意知 ，
所以 ，
又 ，
所以 是递增数列，
又 ， ，
所以使得 成立的最小正整数 的值为 ．
真题·实战演练
高频考点：分组求和、错位相减、裂项相消、奇偶分段求和、并项求和；高考多选、解答题第二问
高频考查，中档综合题型居多，突出奇偶分类、不等式放缩、多方法混合运用热点。
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】(1) ；
(2)证明：方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
【分析】
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）略
2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数
列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明：
∴
【分析】
【详解】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）略
3．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
【答案】(1)
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）设 公差为d， 公比为 ，则 ，
由 可得 （ 舍去），
所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
而 显然成立，所以 ；
（3）因为
，
所以
，
设
所以 ，
则 ，
作差得
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
所以 ，
所以 .
4．（2026·天津·高考真题）已知等差数列 与等比数列 满足： ， ， ，
．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记 ， ， 或 ，记 为 中的元素个数．
（i）求 ；
（ii）求 ．
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii） .
【分析】
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 或 （公比不能为0，舍去），
所以
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）（i）由（1）知 为偶数， 为奇数，所以数列 和 没有相同项，
根据题意，集合 中的元素由数列 和 中小于等于 项组成，
小于 的正偶数有 个，由 得 ， ，
所以数列 中小于等于 的项有 个， 中小于等于 的项有 个，
所以 .
（ii）当 时， 中小于等于 的项有 个，
又 为偶数时， 中小于等于 的项有 个， 为奇数时， 中小于等于 的项有 个，
所以 ，
所以 ，
从 到 共有 项，
又 为奇数时，
所以
，
所以
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司令 ①，
则 ②，
①-②得
，
所以 ，
所以
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