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专题05 数列求和的方法
题型归纳
题型01 倒序相加法求和 .............................................................................................................................................................1
题型02 错位相减法求和 ...............................................................................................................................................................6
题型03 裂项相消法求和...............................................................................................................................................................11
题型04 分组（并项）法求和.......................................................................................................................................................16
强化训练..........................................................................................................................................................................................21
题型01 倒序相加法求和
如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n
项和.
【例1-1】已知数列
是公比为q（
）的正项等比数列，且
，若
，则
（ ）
A．4069
B．2023
C．2024
D．4046
【例1-2】已知
，则
（ ）
A．-8088
B．-8090
C．-8092
D．-8094
【变式1-1】（2025·辽宁·模拟预测）若
，数列
满足
，则
的值是（ ）
1
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A．2024
B．4048
C．3036
D．2025
【变式1-2】已知函数
是
上奇函数，若数列
的项满足：
（
）.则数列
的通项公式为：
.
【变式1-3】已知
，数列
的前
项和为
，点
均在函数
的图象上.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，令
，求数列
的前2024 项和
.
题型02 错位相减法求和
1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和时，常采用错位相减法.
2.用错位相减法求和时，应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一
步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
2
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【例2-1】已知数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
【例2-2】（2025·江西景德镇·三模）已知
分别是等差数列
和等比数列
的前
项和，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)若
为递增数列，
，求数列
的前
项和
．
【例2-3】（2025·新疆·模拟预测）已知
为等比数列，
是
，
的等差中项．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和．
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【变式2-1】（2025·安徽合肥·二模）已知
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和．
【变式2-2】（2025·广西·模拟预测）欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数
，欧拉函数
表示小
于或等于
的正整数中与
互质的数的个数．例如
（1，3，5，7 与8 互质）．
(1)求
，
，
的值；
(2)已知数列
满足
，求
的前
项和
．
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【变式2-3】（2025·辽宁大连·一模）已知首项相同的等差数列
的公差与等比数列
的公比大小相等，且
，
(1)求数列
和
的通项公式;
(2)令
，求数列
的前
项和
.
题型03 裂项相消法求和
1.裂项相消法的原则及规律
(1)裂项原则：一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.
(2)消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项.
2.常见的裂项技巧
①
1
n(n＋1) ＝1
n －
1
n＋1. ②
1
n(n＋2) ＝1
2(
1
n −
1
n＋2). ③
1
(2n−1)(2n＋1) ＝1
2(
1
2n−1 −
1
2n＋1).
5
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④
1
√n＋√n＋1 ＝√n＋1－√n. ⑤
1
n(n＋1)(n＋2) ＝1
2[
1
n(n＋1) −
1
(n＋1)(n＋2)].
【例3-1】（2025·四川巴中·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前
项和为
，求证：
.
【例3-2】已知等比数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前48 项和
.
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【例3-3】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记
为数列
的前n 项和，且满足
，
．
(1)求
；
(2)求
；
(3)令
，记数列
的前n 项和为
，证明：
．
【变式3-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列
是等差数列，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，求
.
【变式3-2】（2025·湖南·模拟预测）设正项数列
的前n 项和
，满足
．
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(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【变式3-3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
的前
项和为
.
(1)证明：
是常数列；
(2)设
，求数列
的前
项和.
题型04 分组（并项）法求和
1.分组求和法常见题型
8
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①若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前
n 项和.
②若数列{cn}的通项公式为cn＝{
an,n 为奇数,
bn,n 为偶数,
其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n 项和.
2.并项求和法常见题型
①数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n 项和.
②数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n 项和.
【例4-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）若
是等比数列，且
，则数列
的前8 项和为（ ）
A．689
B．716
C．729
D．1597
【例4-2】已知数列
的前
项和为
，若
则
.
【例4-3】（2025·河南·模拟预测）已知数列
和
满足
是等比数列，
是等差数列.
(1)求
和
的通项公式；
(2)求
和
的通项公式；
(3)求
的前
项和
.
【变式4-1】（2025·陕西·一模）已知等差数列
的前
项和为
，
，
．
(1)求
的通项公式；
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(2)若数列
是公比为3 的等比数列，且
，求
的前
项和
．
【变式4-2】（2025·天津·二模）已知数列
为等差数列，数列
为等比数列，
，
，
，且
的公比是
公差的
倍．
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)若数列
满足
，
，且当
，
.
（i）求证：
；
（ii）求数列
的前
项的和
．
【变式4-3】（2025·河南新乡·模拟预测）已知数列
各项均为正数，且满足
，
，
，
(1)求数列
的通项公式；
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(2)记
，数列
的前
项和为
，试证明：
，
一、单选题
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则
（ ）
A．1364
B．1363
C．1264
D．1263
2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河南·三模）函数
满足：
，
，且
，则
（ ）．
A．4900
B．4950
C．5000
D．5050
4．（2025·云南·模拟预测）已知对任意正整数对
，定义函数
如下：
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
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5．（2025·广东广州·模拟预测）已知
是首项为2，公比为2 的等比数列，记
，其中
，
记数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．9143
B．9145
C．10009
D．10154
二、多选题
6．（2025·全国·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
，则（ ）
A．
为等差数列
B．
C．数列
为递增数列
D．数列
的前
项和为
7．（2025·全国·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
，则（ ）
A．
B．数列
是等差数列
C．
D．
8．（2025·广东·模拟预测）记
为数列
的前
项和，若
，则（ ）
A．
的最小值为
B．
的最大值为
C．存在数列
，使得
D．存在数列
，使得
三、填空题
9．（2025·江西新余·模拟预测）设
，函数
表示不超过
的最大整数．若正项数列
中，
，且当
时，
，
为其前
项和，则
．
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10．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列
满足
，且数列
的前
项和为
，
则
.
11．（2025·四川成都·模拟预测）已知数列
满足
，则
．
（
表示不大于
的最大整数）
12．（2025·贵州·模拟预测）高斯（Gauss）是德国著名的数学家，是历史上最杰出的数学家之一，被誉为“数学王
子”.称
为高斯函数，其中
表示不超过
的最大整数，例如：
.设
，当
时，
的值域为 ；当
，
. .
四、解答题
13．（2025·广东广州·模拟预测）已知向量
，
，函数
，
的所
有大于0 的零点构成递增数列
．
(1)写出
的前6 项；
(2)记
的所有偶数项构成数列
，设
，求数列
的前n 项和
．
14．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列
中，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)给定正整数m，设函数
，求
．
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15．（2025·陕西·模拟预测）已知
是首项为
，公差为
的等差数列，
为
的前
项和．
(1)求
通项公式及
；
(2)设
是首项为，公比为的等比数列，求数列
的通项公式及其前
项和
．
16．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
(1)求证：
为等比数列；
(2)设
，记
的前
项和
，求满足
的最小正整数
．
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17．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
（
）.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)若
（
），求数列
的前
项和
.
18．（2025·安徽·模拟预测）已知数列
的前
项积为
，其中
，数列
的通项公式为
.
(1)求数列
及
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)求证：
.
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19．（2025·安徽·一模）已知函数
为函数
的导函数.
(1)证明：
；
(2)若函数
，请判断
在区间
上的零点个数，并说明理由；
(3)若函数
，证明：当
时，
.
16
