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专题02 数列解答题讲义
解题大招
【典例1】
（24-25 高三上·山东·月考）已知数列
为正项数列，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：构造数列
是恒为
的常数列，结合
可得出数列
的通项公式；
解法二：利用累加法结合
可求得数列
的通项公式；
（2）利用并项求和法结合分组求和法可求得
.
【详解】（1）解法一（构造常数列）：由
，且
，
可得
，
故数列
是恒为
的常数列，所以
，
又因为数列
为正项数列，所以
.
解法二（累加法）：由题意得：
且
，
有
，
，
，
，
将以上各式相加，得
，
1
将
代入上式即得
，且当
时也成立，所以
，
又因为数列
为正项数列，所以
.
（2）由（1）可得
，令
，其前
项和为
，
对任意的
，
，则
，
又因为
，
所以
.
【典例2】
（2025·辽宁·三模）已知数列
的前n 项积为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由
时，
代入求解即可;
(2)
,再利用错位相减法求和即可.也可以通过裂项相消法求和.
【详解】（1）当
时，
当
时，
成立，
综上可得
．
2
（2）解法一：
，
，
，
，
．
解法二：
，
设
，
所以
即
，
所以
，
所以
的前n 项和
．
【典例3】
（2025·广东汕尾·一模）记
为递增数列
的前
项和，
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和；
(3)记
的前
项和为
，证明：
.
3
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题设利用
分
和
结合等差数列定义即可依次求出数列的首项和通
项公式；
（2）由错位相减求和方法结合等比数列前n 项和公式即可求解；
（3）方法一：由
和放缩公式
结合裂项相消求和法计算求证
即可得证；
方法二：由数列的单调性和放缩公式得到
即可计算求证
.
【详解】（1）由题令
，则
，解得
，
当
时，
，
所以
，即
，
因为
，且
是递增数列，所以
，
所以
，即
是公差和首项均为2 的等差数列，
所以
.
（2）设
是数列
的前
项和，
因为
，所以
，
所以
，
则
，
4
两式相减得
，即
.
（3）方法一：
，
所以
，①
因为
，
所以
，②
①+②得
，
即
，所以
.
方法二：因为
是递增数列，所以
是递减数列.
所以
，
所以
，
所以
.
5
【典例4】
（25-26 高三上·江苏南京·月考）已知正项数列
的前
项和为
，且
．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)若数列
满足
，且
，求数列
的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据
，结合
可整理得到
，求得
后即可证得结论；
（2）方法一：根据等差数列通项公式可得
，根据
，采用累乘法可求得结果；
方法二：根据等差数列通项公式可得
，根据
可知常数列
，其中
，由此
可求得结果.
【详解】（1）由
得：
，
当
且
时，
，
，
即
，
又
，
，
；
，
，解得：
，
数列
是以为首项，
为公差的等差数列.
（2）方法一：由（1）得：
，
6
当
且
时，
，
，
，
当
时，
满足
，
综上所述：
.
方法二：由（1）得：
；
，
，
，
，令
，则数列
为常数列，
，
.
【典例5】
（25-26 高三上·黑龙江吉林·月考）设首项为2 的数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
为整数，且对任意
，
，求
的最大值；
(3)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)2
7
(3)
【分析】（1）方法一：由等比数列的定义代入计算，即可得到结果；方法二：由累乘法代入计算，即可
得到结果；
（2）方法一：由数列单调性的定义代入计算，即可得到
有最小值
，从而得到结果；方法二：
构造函数，求导即可判断其单调性，从而得到结果；
（3）由裂项相消法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）方法一：因为
，所以
.
又
，所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，
所以数列
的通项公式为
.
方法二：因为
，所以
.
由累乘法，
得
，
当
时，
，也满足上式，
所以数列
的通项公式为
.
（2）方法一：由题意可知
，
由（1）可知
，
易得
对
恒成立（当且仅当
时取等号），即
，
故
有最小值
，
故
，即
的最大值为2.
8
方法二：由题意可知
，
由（1）可知
，
设
，则
，
令
，则
，此时
单调递增.
又
，故
，故
，
即
，而
，
故
有最小值
，
故
，即
的最大值为2.
（3）易得
，
所以
.
【典例6】
（2025·浙江嘉兴·三模）记
为数列
的前
项和，已知
，
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，若对任意
，
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
9
【分析】（1）首先求出
，再利用数列通项公式与前
项和的关系
得到递推关系，因
为
，可求得数列
为等差数列，由此可写出数列
的通项公式；
（2）先写出数列
的通项公式，再求出数列
的前
项和为
，解法一是分部求和，解法二是分组求
和，解法三直接从问题入手，构造新数列
，求其最小值，则
不大于其最小值，此即为恒成
立，由此可得实数
的取值范围.
【详解】（1）
时，
，解得
或
，因为
，所以
，
时，
，得
，
因为
，所以
，又
，
故数列
是首项为3，公差为2 的等差数列，
所以数列
的通项公式为
；
（2）解法一：由
，所以
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
所以
，
10
因为对任意的
，
成立，
所以，当
为奇数时，即
，所以
，
不等号的右边可看作关于
的二次函数，对称轴为
，
因为
为奇数，所以
时，
，则
当
为偶数时，
，所以
，
同理可得，因为
为偶数，所以
时，
，则
，
综上，
.
解法二：由
，
当
为偶数时，
.
当
为奇数时，
，
所以
（下同解法一）
解法三：因为对任意的
，
成立，
则
，即求
的最小值，令
，
当
为奇数时，
11
则
，所以
最小值一定在
为奇数时取到，
当
为奇数时，
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
为奇数时，
，
则
的最小值为
，
所以
.
【典例7】
（2025·广西·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，满足
.
(1)当
时，分别求
的值，并猜想此时数列
的通项公式（直接写结论）；
(2)当
时，求
的最大值；
(3)当
时，记数列
的前
项积为
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）依题将数列的递推公式化简成
，依次赋值代入求出
，由此猜想数列的通
项公式；
12
（2）解法一：将
用
表示，即得
，设
，
，
利用求导求出
的最小值，即得
的最大值；解法二：设
，则易得
，即得
，
，设
，利用求导求出其最大值为
，
最后利用
与和角公式、二倍角公式即可求得；解法三：利用凸函数的琴生不等式易得；
（3）由（2），令
，
，推测出
，即得
，利用二倍角的正弦公式，将其化简为
，借助于正弦函数的值域即可求得其最大值.
【详解】（1）由
可得
，
因
，则
由此猜想，
.
（2）解法一：由
，可得
，
则
，
，
令
，
，
则
当
时，
，则
在
上单调递减，
13
当
时，
，则
在
上单调递增，
故
.
于是，
.
解法二：设
，因
，则可取
，
则
，
，
于是，
，
，
令
，则
，
由
，可得
，
，
当
时，
，则
，当
时，
，则
，
当
时，
，则函数
在
上单调递增；
当
时，
，则函数
在
上单调递减，
.
因
，记
，则有
，则
，
则
，即
，
即
，解得
，（负根舍去），
则
，故
.
14
解法三：由解法二已得：
，
，
对
，
，可知函数
为上凸函数，由琴生不等式得：
（当且仅当
，
即
时，能取到等号）
（3）由（2），令
，则
，
依此类推，可得
，而
则
，
当且仅当
，即
时取到等号，此时，
的最大值为
.
【典例8】
（25-26 高三上·江苏徐州·月考）在①
，②
，③
这三个条件中选择两
个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列
的前
项和为
，___________，___________，设等
比数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和为
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）选①②：由②解得
，利用
化简条件，最终求得
的通项公式；
15
选①③：由③解得
，利用
化简条件，最终求得
的通项公式；
选②③：由②得：
，由③得：
，联立方程组解得：
，利用
化简条件，最终求得
的通项公式；
（2）由(1)得
，利用错位相减法即可求
.
【详解】（1）选①②：
当
时，由②得：
，解得：
因为
，
当
时，
，两式相减得：
，解得：
，
方法一：
，所以
均成立，所以
方法二：
，累积法得
均成立，所以
选①③：
当
时，由③得：
，解得：
因为
，
当
时，
16
两式相减得：
，化简得：
对
也成立
当
时，
两式相减得
化简得
，所以数列
为
，公差
的等差数列，
所以
；
选②③：
当
时，由②得：
，即
（i），
当
时，由③得：
（ii），联立（i）（ii）解得：
接下来的过程与选①②，或与选①③的过程完全相同，都得到
；
设等比数列
公比为
，则
所以
，公比
，所以
（2）由（1）得
，利用错位相减法，
两式相减得：
17
所以
【典例9】
（2025·江苏·二模）若无穷数列
满足：，
，
，则称
为“均值递减数列”.
(1)已知无穷数列
的前
项和为
，若
为“均值递减数列”，求证：
，
；
(2)若数列
的通项公式
，判断
是否为“均值递减数列”，并说明理由；
(3)若两个正项数列
和
均为“均值递减数列”，证明：数列
也为“均值递减数列”.
【答案】(1)证明见解析
(2)是，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】法一：
（1）“均值递减数列”定义可得答案；
（2）求出
的前
项和为
，令
，则判断
的正负可得答案；
（3）设
，求出
，结合
，
得
，求和
由（1）的结论知
，
，可得答案；
法二：
（1）根据
为“均值递减数列”得
化简可得答案；
（2）判断出
的单调性，得
，设
前
项和为
，利
用归纳法可得答案；
（3）设
的前
项和为
，
的前
项和为
，设
的前
项和为
，利用归纳法可得答案.
【详解】（1）法一：
18
；
法二：
为“均值递减数列”，
关于
单调递减，
即
关于
单调递减，
，
；
（2）法一：
设
的前
项和为
，
令
，则
，判别式小于零，所
以
递减，
因此
是“均值递减数列”；
法二：
易知
时，
单调递减；
时，
单调递增且
时，
当
时，
单调递减且
，
且计算易得
，
设
前
项和为
，归纳假设
，
，
时，
，即
，即
，
，
，即
，
，
时，
成立.
19
而
成立，
对
且
恒成立，
也有
，
即
为“均值递减数列”；
（3）法一：
设
依题意
，
均为递减数列，
而
，
相乘展开得
，
由于
，
，则由补充不等式有
，
所以
，
求和得
，由（1）的结论知
，
，
所以
，
于是再由（1）的结论即可知
是“均值递减数列”；
法二：
设
的前
项和为
，
的前
项和为
，
和
均为均值递减数列，
由（1）知
对
恒成立，
20
由①②知
，
，记
的前
项和为
，
证对
，
，
时不等式显然成立，
设当
，
时，
成立，
即
，
，
，
，
，即
时，不等式也成立，
对
恒成立，
也为“均值递减数列”.
【典例10】
已知数列
为等差数列，
，其前
项和为
，数列
为等比数列，且
对任意的
恒成立.
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)是否存在
，
，使得
成立，若存在，求出所有满足条件的
，
；若不存在，
说明理由；
(3)是否存在非零整数
，使不等式
对一切
都成立？若
存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
；
21
(2)不存在，理由见解析；
(3)存在，
.
【分析】（1）法1，由题设可得
，
，
，利用等差、等比数列的
通项公式列方程求基本量，进而可得
、
的通项公式；法2：作差法可得
，令
，结合等差、等比数列的性质求参数，即可得通项公式.
（2）假设存在
，
满足条件，则
，根据左侧的奇偶性确定
，进而求
，即可
确定存在性.
（3）由
，设
，不等式转化为
，作商法
判断
单调性，讨论
的奇偶性结合恒成立求
的范围，进而可判断存在性.
【详解】（1）法1：设数列
的公差为
，数列
的公比为
.
∵
，
令
，2，3 得：
，
，
，又
，
∴
，即
，解得：
或
.
经检验
，
符合题意，
不合题意，舍去.
∴
.
法2：由
①，
则
②，
22
①②得，
，又
，也符合上式，
∴
，
由于
为等差数列，令
，则
，
∵
为等比数列，则
（为常数），即
恒成立，
∴
，
，又
，则
，
故
；
（2）假设存在
，
满足条件，则
，化简得
，
由
得，
为奇数，故
为奇数，故
.
∴
，即
，可得
，这与
矛盾，
∴不存在满足题设的正整数
，
；
（3）由
，得
，
设
，则不等式等价于
，
由
，则
，数列
单调递增.
假设存在这样的实数
，使得不等式
对一切
都成立，则
①当
为奇数时，得
；
23
②当
为偶数时，得
，即
.
综上，
，由
是非零整数，则存在
满足条件.
【点睛】关键点点睛：第二问，应用反证思想，假设存在参数使题设条件成立，进而求得参数，判断是否
有矛盾即可；第三问，构造新数列并应用作商法判断其单调性，最后讨论n 的奇偶性求新数列的最值求参
数的范围.
课后基础练
1．（2025·广东·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，其中
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求使得不等式
成立的
的值.
【答案】(1)
(2)1，2
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程求公差和首项即可得解；
（2）由等差数列的求和公式、通项公式化简不等式求解即可．
【详解】（1）依题意，
，解得
，
故数列
的公差
，
则
；
（2）
，
故
，即
，即
，解得
，
因为
，所以使得不等式
成立的
的值为1，2．
24
2．（2025·山东聊城·模拟预测）已知函数
.
(1)求
的解析式；
(2)设
，证明数列
为等比数列，并求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）由换元法求函数解析式；
（2）利用等比数列的定义即可证明，再由裂项相消法求解.
【详解】（1）解：令
，则
，
得
，
所以
.
（2）证明：由（1）可得
，
所以
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.
因为
，
所以
.
3．（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列
为等差数列，且
，数列
满足
．
(1)求数列
和
的通项公式；
25
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
求出
的通项公式，由等比数列定义求出
的通项公式；
（2）利用错位相减求和可得答案.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
由
，得
，
解得
.
所以
.
由数列
满足
，得
，
所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
；
（2）由（1），得
，
则
，
则
，
两式作差，得
26
所以
.
4．（2025·浙江嘉兴·一模）已知等差数列
的公差为
，前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
为数列
的前
项和，求使得
的
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列的前
项和公式建立方程组，解得数列的首项和公差，即可得到等差数列的通项
公式；
（2）由（1）可得等差数列的前
项和
，然后即可得到
，从而求出该数列的前
项和
，然后代入条
件中的不等式，解二次不等式即可求得
的范围，根据题意即可得到其最小值.
【详解】（1）由于
，
故
解得
所以
.
（2）由（1）知
，所以
，
则数列
是以4 为首项，3 为公差的等差数列；
所以
.
由
，得
，
即
，
27
则
，或
，
又因为
，所以
的最小值为4.
5．（2025·江西·模拟预测）已知数列
的首项
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用构造法可求
的通项公式；
（2）利用参变分离和数列的单调性可求
的最大项，从而可求参数的取值范围.
【详解】（1）数列
的首项
，可得
，
而
，故
，故
，
即数列
是首项和公比均为3 的等比数列，可得
，即
.
（2）若
恒成立，即为
，即
恒成立，
设
，可得
，.
即数列
是单调递减数列，可得
，
所以
，即实数的取值范围是
28
课后能力练
6．（2026·黑龙江大庆·二模）已知数列
满足
.
(1)证明：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)记
，若数列
的前
项和为
，求证：
.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义求证等比数列，再利用通项公式求解；
（2）求出数列
的通项公式，再根据裂项相消求出
，结合其单调性即可证明.
【详解】（1）因为
，所以
，
又
，所以
，
因为
，所以
，
结合以上递推关系可知，
，则
，
所以数列
是以
为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，所以数列
的通项公式为
；
（2）由（1）知
，
由
得
，
所以
因为得
，数列
为单调递增数列，
29
所以
，
所以
.
7．（2026·吉林长春·一模）已知
为数列
的前
项和，若
，
，且数列
为等差数
列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
的首项为2，且
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】先根据等差数列的通项公式求数列
的通项公式，进而得到
，再利用
求数列
的通项公式.
（2）利用累乘法求数列
的通项公式，再利用裂项相消求和法求
.
【详解】（1）由题意：
，
，
又数列
为等差数列，设数列
的公差为
，
由
.
所以
.
所以
.
当
时，
，
30
当
时，
.
时，上式也成立.
所以
.
（2）因为
，
所以
，
，
，…，
.
以上各式相乘，可得当
时，
，
又
，所以
，
，
所以
.
8．（2025·浙江宁波·一模）记
为正项数列
的前
项和，已知
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由
与
关系结合题意可得答案；
（2）由（1）结合累乘法可得
，从而可得
通项公式，然后由裂项求和法可得答案.
【详解】（1）当
时，可得
，
当
时，
，
.
31
作差可得
，
因为是正项数列，所以
，即数列
为等差数列，
所以
.
（2）由题可得
，
所以
，又
，
所以
，
又
也满足上式，
所以，
9．（2025·河北·二模）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)证明：
是等比数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由
与
的关系可得递推公式，根据等比数列的定义，可得答案；
（2）由（1）可得
的通项，利用错位相减法，可得答案.
【详解】（1）证明：因为
，
所以当
时，
，解得
；
当
时，
，
32
所以
，即
，
所以
，又
．
所以数列
是以4 为首项，3 为公比的等比数列．
（2）由（1）知，
．所以
，
则
，①
，②
—②有
．
所以
10．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列
中，
，
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求
的通项公式；
(3)令
，证明：
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列.
（2）根据（1）的结论可求数列
的通项公式.
（3）分析数列
的单调性，即可证明.
33
【详解】（1）因为
，且
.
所以
是以
为首项，以
为公比的等比数列.
（2）由（1）可得：
，所以
.
（3）
，
因为
，故
.
而
，
所以数列
为递增数列，所以
.
所以
成立.
课后压轴练
11．（2025·江苏·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，其中
，
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)若数列
的通项
，其前n 项和为
，求
（用n 表示）．
34
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）通过累乘求前
项和
，再由
与
的关系得通项；
（2）化简
后，利用余弦函数的周期性分组，详细计算每个周期内的和，再分三种情况累加剩余项，得
到前
项和.
【详解】（1）由
得
，结合
，
累乘得
.
当
时，
，
时
符合上式，故
.
（2）由三角恒等式
，得
，
结合
，故
.
因余弦函数周期为
，故
，即
的周期为3.
时，
；
时，
；
时，
.
分3 种情况求前
项和
：
①当
（
）时，前
项分为
个周期，
每个周期含
（
）.
35
计算一个周期的和：
，
前
项和为
个周期的和累加：
，
代入
，得
.
②当
（
）时，前
项是前
项加第
项（
）：
，
代入
，得
.
③当
（
）时，前
项是前
项加第
项（
）：
，
代入
，得
.
综上所述，
.
12．（2025·四川资阳·一模）已知数列
的首项
，且满足
.
36
(1)求证：
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)令
，数列
的前
项和为
.求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题设易得
，即可得证；
（2）由（1）可得
，进而根据等比数列的求和公式分组求和即可；
（3）由题设可得
，即可证明
，分析可得
，即证
，再
结合数学归纳法证得
，即可得到
，当且仅当
时取等，进而求证即
可.
【详解】（1）由
，则
，
又
，所以数列
是以4 为首项4 为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
，则
，
所以
.
（3）由
，
37
则
，
由于
，则
，
所以
.
由
，则
，
要证
，即证
，
由
，则
，
则
，
下面证明
，
当
时，
，即
；
假设
，
，
时，
，
则
时，
.
综上所述，
，则
，
所以
，
则
，当且仅当
时取等，
38
则
，即
.
综上所述，
.
13．（2025·陕西西安·模拟预测）等差数列
的前n 项和为
，数列
是等比数列，满足
，
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)若数列
满足
，
，求数列
的前2n 项和
，
(3)求
的最大值和最小值．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)最大值
，最小值
.
【分析】（1）通过基本量运算求得公差和公比，得到通项公式；
（2）将
分组，分别利用等差数列前
项和公式和错位相减法求得各组的和，得到
；
（3）利用
化简和式，讨论
的奇偶得到最值.
【详解】（1）设等差数列
公差为
，等比数列
公比为
，
则
，解得
，
所以
，
；
39
（2）由（1），
，
，
所以
令
，
即
①，
则
②，
①-②得：
，
整理得
所以
；
（3）因为
，设
所以
，
当
为奇数时，
，由反比例函数性质可知
随
增大而增大，
故
；
当
为偶数时，
，由反比例函数性质可知
随
增大而减小，
故
，
40
又当
时，
，介于
与
之间，
所以
的最大值为
，最小值为
.
14．（2025·安徽·模拟预测）若数列
满足：对任意
，总存在
，使得
，则称数列
是“可拆数列”.
(1)判断数列
是否为“可拆数列”？并说明理由；
(2)若首项为1 的等比数列
是“可拆数列”，求数列
的通项公式；
(3)若“可拆数列”
是递增数列，
，求使
成立的
的最值.
【答案】(1)数列
是“可拆数列”，理由见解析；
(2)
或
(3)
的最小值为
，最大值为
【分析】（1）根据可拆数列定义判断和证明即可.
（2）设等比数列
的公比为
，求得
，根据“可拆数列”定义，结合可拆数列定义进行验证，
最后得到通项公式.
（3）分析数列规律，列举计算得到
的最小值；结合可拆数列的定义结合条件可得
，进而可得
的最大值.
【详解】（1）数列
是“可拆数列”.
理由如下：假设数列
是“可拆数列”.
设
，当
，取
，
则
，
41
即存在
，使得
，
则数列
是“可拆数列”.
（2）设等比数列
的公比为
，则
，因为
是“可拆数列”，
所以对任意
，存在
，使得
，
于是
即
，
又
，所以
，
解得
或
，
当
或
时，
，即
，
于是对任意
，总存在
，
使得
，
所以数列
的通项公式为
或
（3）因为数列
是“可拆数列”，则对任意
，
当
时，
当
或
时，因为数列
为递增数列，所以
综上，对任意
，都有
又
，所以
，
，
，
，
，
，
，
42
，
.
又
，又数列
为递增数列，所以
，
当以上格式等号同时成立时
，故
因为数列
是“可拆数列”，
所以对任意
，存在
，使得
，
而
，所以对任意的
，必存在
，使得
，
又数列
为递增数列，
，
则
，
解得
，由
，得
，
当
时取等号，故
综上所述，使
成立的
的最小值为
，最大值为
.
15．（2025·山东聊城·模拟预测）已知有限数列
满足
，且
.现从
的前
，
项中选取
项，设这
项的和为
，再从前
项中剩
余的项里选取
项，设这
项的和为
.若
，则称为数列
的级和差数，
数列
的级和差数的全体构成集合
.已知数列
的前
项和为
，对任意
，向量
恒成立，且
.
(1)求数列
的前
项和
；
43
(2)分别判断13，365 是否为数列
的6 级和差数，并说明理由；
(3)若
，求的最小值.
【答案】(1)
(2)13 是，365 不是，理由见解析
(3)7
【分析】（1）根据题意，求得
和
，所以
，结合乘公比错位相减法求和，
即可得到答案；
（2）由（1）得
，结合验证法，即可得到答案；
（3）设
，且
的
级和差数为
，得到
，再由
为
的
级和差数，令
，求得
，令
，设
，求得
，结合
，即可求得的最小值.
【详解】（1）解：因为
，所以
，可得
，
所以
，则
，
可得
，
，
两式相减得
，
所以
.
（2）解：13 是
的6 级和差数，365 不是
的6 级和差数.
理由如下：
44
由（1）得
，所以
的前6 项为1，3，9，27，81，243；
因为
，所以13 是
的6 级和差数.
因为
，所以365 不是
的6 级和差数.
（3）解：由题意，可设
，
设
的
级和差数为
，且
，
，
则
，所以
，即
，
因为
，
所以当
，取
时，
为
的
级和差数.
令
，
因为
，所以
，
所以
，
令
，则
，
设
，则
，
则
，
因为
，所以对于任意的
都为
的
级和差数，
所以的最小值为
，其中
满足
，
45
当
时，
，所以的最小值为7.
46
