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专题09 解答题15 题、16 题、17 题必会题
（6 阶题组）专项训练（三）
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.且
.
(1)求
的值；
(2)若
，
，求
的面积.
16．DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024 年末 DeepSeek-R1 一经发布，
引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAI GPT-4.为提升工作效率，M 公司引入DeepSeek，并对
员工进行了DeepSeek 培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.
(1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为
求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率；
(2)为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek 的能力，M 公司在培训过后举办了一次 DeepSeek
知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000 名
员工，试估计这些员工中成绩超过93 分的人数；(结果精确到个位)
(3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3 道题，每答对1 道
题奖励现金800 元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为
且每题答对与否都相互独立，记
甲获得总奖金为X 元，求X 的分布列与数学期望E(X).
参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，
P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.
17．如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为菱形，
，
是边长为2 的等边三角形，F
为BC 的中点.
(1)证明：
；
(2)若直线AP 与DF 的夹角的余弦值为
，求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．3 月9 日，在十四届全国人大三次会议举行的记者会上，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，体重
管理年实施的首期三年体重管理行动，目的是“在全社会形成重视体重管好体重，健康饮食积极参与运
､
､
动锻炼等良好的生活方式和习惯.”由于肥胖对人体健康的危害，某健康咨询机构为了了解居民是否有减
肥的想法，随机调查了400 名居民，得到如下
列联表：
有减肥的想法
没有减肥的想法
合计
男性居民
女性居民
合计
180
(1)求
的值，并完成上述列联表；
(2)根据小概率值
的独立性检验，能否认为性别与是否有减肥的想法有关？
(3)以样本估计总体，且以频率估计概率，若从男性居民中随机抽取4 人，记其中“有减肥想法”的人数
为
，求
的期望值.
附：
，其中
.
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
16．如图，在圆台
中，
，梯形
是圆台的一个轴截面，点
在圆台下底面的
圆周上，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)若点
在圆台的上底面的圆周上，且
，求平面
和平面
夹角的余弦值.
17．在前
项和为
的等比数列
中，
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前2025 项的和
；
(3)从集合
中随机取出四个元素
（其中
），记
，
求
的概率.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，证明：
.
16．甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为
.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为
，若上一局甲未获胜，则下一
局甲获胜的概率为
.
(1)当
时，求甲第二局获胜的概率.
(2)设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为
.
①求
；
②记这场比赛需要进行的局数为
，求
的分布列与期望.
17．如图，在高为6 的直三棱柱
中，底面
的周长为
分别为棱
，
上的动
点.
(1)若
，证明：
平面
.
(2)求
的最小值.
(3)若
，求平面
与底面
夹角的余弦值的最大值.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．已知函数
在
处取得极值
.
(1)求
，
；
(2)证明：
时，
.
16．如图，圆柱
中，
是底面圆
上的一条直径，
，
分别是底面
，
圆周上的一点，
，
，且点
不与
，
两点重合.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若二面角
为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
17．已知椭圆
的焦距为
，且过点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
作两条直线分别交椭圆
于
，
两点，若直线
平分
，求证：直线
的斜率为定
值，并求出这个定值.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．记
的角
的对边分别为
分别以
为边长的三个正三角形的面积依次为
，
，
，已知
．
(1)求角B；
(2)若
，求
的周长．
16．已知函数
，其中
.
(1)若曲线
在点
处与
轴相切，求
的值；
(2)若3 是函数
的极小值点，求
的值.
17．下图是某校高三学生“运动与健康”评价结果的频率分布直方图，评分在区间
，
上，分别对应为A，B，C，D 四个等级．为了进一步引导学生对运动与
健康的重视，初评获A 等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原
获B 等级的学生有
的概率提升为A 等级；原获C 等级的学生有
的概率提升为B 等级：原获D 等级的学
生有
的概率提升为C 等级．用频率估计概率，假设每名学生复评结果相互独立．
(1)若初评中甲获得C 等级，乙、丙获得D 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为C 等级的人数为
，求
的分布列和数学期望；
(2)从全体高三学生中任选1 人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是B 等级的概率．
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．如图，在三棱锥
和
中，
和
均是以
为斜边的等腰直角三角形，平面
平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值.
16．如图，在
中，
，点
在边
上，且
，且
．
(1)记
，求
的取值范围；
(2)若
的面积为
，求
的最小值．
17．已知椭圆
以双曲线
的实轴为长轴，且过点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
与双曲线
交于
两点，与椭圆
交于
两点，直线
平分线
段
平分线段
.
（i）求
的值；
（ii）求直线
与椭圆
的交点构成的四边形面积的取值范围.
直线
和
与椭圆
的交点分别为两组对
称点（关于原点对称），构成一个平行四边形（原点是对角线交点，对角线互相平分）
