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2025 年高考数学全真模拟卷 02
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B D A D A C D C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABC ABD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【详解】（1）在三棱柱 中，四边形 是平行四边形，而 ，
则平行四边形 是菱形，连接 ，
如图，则有 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，则 ，
由 ，得 ，又 ， 平面 ，
从而得 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ；（2）在平面 内过 作 ，
由（1）知平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
则 平面 ，
以 为原点，以射线 分别为 轴， 轴， 轴正半轴建立空间直角坐标系，
如图，因为 ， ，
所以 为等边三角形，
又 是 的中点，则 ⊥ ，故 ，
由勾股定理得 ，
又 ，
则 ， ， ， ， ，
则有 ， ．
设平面 的一个法向量 ，则有 ，解得： ，令 得 ，而平面 的一个法向量 ，
依题意， ，
设平面 和平面 的夹角的夹角是 ，
则 ， ，
所以平面 和平面 的正弦值为
16．（15分）
【详解】（1）由题意得在数列 中，
令 ，得到 ，令 ，得到 ，
，
因为 依次成等差数列，所以 ，
即 ，解得 .
（2）由题意得首项为 ，
因为 ，
所以 ，故 是首项为1，公比为2的等比数列.
（3）由（2）可得 ，则 ，
由等比数列前 项和公式得 ，
，
.17．（15分）
【详解】（1）红色外观共 个， ，
米色内饰共 个， ，
红色外观且米色内饰有2个， ，
，
相互独立．
（2）当外观和内饰均同色，则每种情况中抽2个，概率为 ，
当外观和内饰均异色，则各种情况抽1个，概率为 ，
外观和内饰恰有1个同色，则概率为 ，
，
一等奖：外观和内饰均异色；二等奖：外观和内饰均同色，三等奖：外观和内饰恰有1个同色．
， ，
其分布列为
X 150 300 600
P
．
18．（17分）
【详解】（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ，所以 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
当 时， ， 随 的变化情况如下表所示：0
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
综上，当 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）当 时， ，所以 在区间 内单调递减，无最小值，不合题意．
当 时， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得最小值．
当 时， ，所以 在区间 内单调递增，无最小值，不合题意．
综上， 的取值范围为 ．
（3）证明：不妨设 ，
由题意得 消去 得 ，
设 ，代入上式得 ，
，
下证 ，
即证 ．
设 ，则 ，令 ，则 ，
所以 在区间 内单调递增，即 ，
所以 在区间 内单调递增，即 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ．
19．（17分）
【详解】（1）依得， ，又由 得， ，
解得 ，故椭圆 方程为 .
又椭圆 在点 处的切线 方程为 ，则 .
又 ，因此 .
（2）（i）设 ，则 ，代入 的楠圆方程得： .
又直线 的斜率 ，而 .
则由（1）可知 ，可知 .
因此 ，即 ，可得 ，
又 ，因此 .
同理可知： ，即 .
故 .（ii）①若直线 的斜率不为0时，则设直线 ，与椭圆 联
立可知， ，可得 ，即
.
因此 .
从而
.
.
②若直线 的斜率为0，则 ，
故 .
