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专项06 数列重难点
分析维度 具体内容
核心考点 1. 数列基本概念：通项公式、递推公式的定义，项数、前n项和（Sn）的含义，
Sn与an的核心关系；2. 等差数列：定义、通项公式、前n项和公式、等差中
项，下标和性质、奇偶项规律、连续片段和性质；3. 等比数列：定义、通项公
式、前n项和公式、等比中项，下标和性质、公比取值范围（含q=1的特殊情
况）；4. 通项求法：公式法、累加法、累乘法、构造法（构造等差等比数列）、
Sn与an关系法；5. 数列求和：分组求和、裂项相消法、错位相减法、倒序相加
法；6. 综合应用：数列的单调性、最值求解、恒成立/存在性问题、与不等式结
合、实际应用建模。
考查形式 1. 客观题（单选题+多选题）：5-10分，多为第4-9题，考查基本量计算、简单
性质应用、通项/求和基础运算，难度低-中档；2. 解答题：12分，固定为基础解
答题（多为第17题），命题模式固定：第一问求通项公式，第二问求前n项和，
偶尔增加第三问考查最值/范围；3. 新高考特点：弱化复杂偏怪递推，强化基础运
算和方法应用，多选题增加性质辨析，常与不等式结合考查范围、最值，极少单
独命制压轴题。
命题特点 1. 基础题（送分）：等差/等比数列“知三求二”（已知a1、d/q、n、an、Sn中
三项，求其余两项）、简单通项/求和，直接套用公式即可得分；2. 中档题（核心
得分）：利用数列性质简化计算、常规通项求法（累加法、累乘法）、核心求和
方法（裂项相消、错位相减），侧重方法套路；3. 难题（低频）：构造新数列求
通项、错位相减综合运算、数列不等式证明（放缩技巧）、含参数数列的恒成
立/存在性问题，难度中等偏上，占比低；4. 命题趋势：整体稳定，重基础、重运
算、重方法，题型固定、套路性极强，减少偏题怪题，强调逻辑严谨和步骤规
范。
重难点突破 1. 重点：① 等差、等比数列的通项公式、前n项和公式（熟练记忆、灵活套
用）；② Sn与an的相互转化（牢记n≥2时an=Sn-Sn-1，必验证n=1）；③ 裂项
相消法、错位相减法（高考解答题高频必考，掌握固定步骤）；④ 等差、等比数
列的常用性质（下标和、片段和等，简化计算）；2. 难点：① 由递推关系式构
造等差/等比数列（掌握常见构造模型）；② 含参数数列的最值、参数范围求解
（结合函数单调性或不等式）；③ 数列不等式证明（放缩技巧的灵活运用）；④
奇偶项分段数列、复杂递推数列的求解（分类讨论思想）。
关联模块 1. 直接关联：函数（数列是特殊的函数，单调性、最值可借助函数思想求解）、
不等式（数列不等式证明、范围求解）、三角函数（偶尔结合周期性考查）；2.
间接关联：导数（数列最值的高阶求解）、实际应用（建模求解，如增长率、累
加问题）、概率统计（计数问题的辅助）。
备考策略 1. 基础过关：熟记等差、等比数列的所有公式，熟练完成“知三求二”运算，牢
记Sn与an转化的核心步骤（必验证n=1）；2. 方法强化：专项突破四大通项求
法、四大求和方法，尤其是裂项相消、错位相减，总结固定解题步骤，杜绝计算
失误；3. 难点突破：总结构造数列的常见模型（如an+1=pan+q），分类刷题形成
思路；针对性练习数列不等式放缩、含参问题，掌握分类讨论思想；4. 规范作
答：解答题按步骤书写（通项推导、求和过程分步写），避免跳步导致的计算错
误；5. 实战训练：多练基础解答题，兼顾中档综合题，少练偏怪题，重点培养“套路化解题”思维。
易错点提醒 1. 等比数列求和时，忘记讨论公比q=1（q=1时Sn=na1，q≠1时用等比求和公
式）；2. 利用Sn求an时，忽略验证n=1的情况（导致首项错误）；3. 裂项相消
法中，拆分公式错误、剩余项数判断失误（前后剩余项数搞反）；4. 错位相减运
算量大，容易出现系数、常数项计算错误，或最后忘记除以（1-q）；5. 混淆数
列单调性与函数单调性（数列自变量为正整数，不能直接套用函数导数判断）；
6. 等比数列中，忽略公比q≠0、项的正负性判断，导致取值范围出错；7. 构造新
数列时，变形错误（如an+1+1=p(an+1)的构造漏加常数）。
一、基础核心考点（送分题，必拿分）
（一）数列基本概念
1. 定义：数列是按一定顺序排列的一列数，项与项数一一对应，项数为正整数。
2. 核心表示：
- 通项公式：直接表示第n项an与项数n的关系（如an=2n+1），可直接求任意项。
- 递推公式：通过相邻项的关系表示（如an+1=an+2），需结合首项推导后续项。
3. 前n项和Sn：Sn=a1+a2+…+an，核心关系：an=Sn-Sn-1（n≥2），必须验证n=1时是否成立（n=1时，
a1=S1）。
4. 考法：判断数列概念正误、利用Sn与an关系求首项/通项（客观题为主）。
（二）等差数列（基础必考）
1. 定义：从第二项起，每一项与它前一项的差为固定常数d（公差），即an+1-an=d（d为常数）。
2. 核心公式：
- 通项公式：an=a1+(n-1)d（a1为首项，n为项数）。
- 前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2 或 Sn=na1+n(n-1)d/2。
3. 关键性质：
- 等差中项：若a、A、b成等差数列，则2A=a+b。
- 下标和性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m、n、p、q为正整数）。
- 连续片段和：S n、S2n-Sn、S3n-S2n仍成等差数列。
4. 考法：“知三求二”（已知a1、d、n、an、Sn中三项求其余两项）、性质应用（客观题+解答题第一问）。
（三）等比数列（基础必考）
1. 定义：从第二项起，每一项与它前一项的比为固定非零常数q（公比），即an+1/an=q（q≠0）。2. 核心公式：
- 通项公式：an=a1·q^(n-1)（a1为首项，n为项数）。
- 前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 或 Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。
3. 关键性质：
- 等比中项：若a、G、b成等比数列，则G²=ab（G≠0）。
- 下标和性质：若m+n=p+q，则am·an=ap·aq（m、n、p、q为正整数）。
4. 考法：“知三求二”、公比q的取值判断、性质应用（客观题+解答题第一问）。
二、核心应用考点（中档题，核心得分区）
（一）通项公式四大求法（高考解答题第一问高频）
1. 公式法：直接判定数列是等差或等比数列，套用对应通项公式（基础送分）。
2. 累加法：适用于an+1-an=f(n)（f(n)为可求和的简单式子，如一次函数、分式），累加消去中间项求an。
3. 累乘法：适用于an+1/an=f(n)（f(n)为可约分的简单式子），累乘消去中间项求an。
4. 构造法：适用于复杂递推式（高频模型）：
- 模型1：an+1=pan+q（p、q为常数），构造新数列bn=an+q/(p-1)，转化为等比数列。
- 模型2：an+1=pan+qn（p、q为常数），两边同除以qn+1，转化为等差数列。
（二）数列四大求和方法（高考解答题第二问必考）
1. 分组求和：适用于“等差+等比”型数列（如an=2n+3^n），分开求等差、等比数列的和，再相加。
2. 裂项相消法：高频必考，适用于分式型数列（如an=1/[n(n+1)]），拆分通项为两项之差，消去中间项求和（注
意剩余项数）。
3. 错位相减法：高频必考，适用于“等差×等比”型数列（如an=n·2^n），步骤固定：乘公比→错位相减→化简求
和（注意计算准确性）。
4. 倒序相加法：适用于对称型数列（如an= n + (n+1)，与倒序后相加可提取公因式），低频考查。
三、高阶综合考点（难题，低频拉分）
（一）数列性质综合
1. 单调性与最值：利用函数思想（数列是特殊的正整数函数），结合作差法、作商法判断单调性，求最大项、最
小项。
2. 奇偶项分段数列：当递推式含(-1)^n时，分n为奇数、偶数讨论，分别求通项、求和。
（二）综合应用问题
1. 恒成立/存在性问题：含参数数列，求参数范围（结合不等式、函数最值求解）。2. 数列与不等式结合：证明数列不等式（常用放缩技巧，如1/n²<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n）。
3. 实际应用：建模求解（如增长率、存款利息、累加计数问题），转化为等差或等比数列求解。
四、高考考法与易错提醒
（一）考法总结
1. 客观题（5-10分）：侧重基础，考查公式应用、性质辨析、简单通项/求和，难度低-中档。
2. 解答题（12分）：固定模式，第一问求通项，第二问求和，偶尔加第三问考查最值/范围，难度中档。
3. 新高考趋势：弱化复杂递推，强化基础运算和方法套路，极少出现偏怪题。
（二）易错提醒
1. 等比数列求和忘记讨论q=1的情况，导致公式套用错误。
2. 利用Sn求an时，未验证n=1，导致首项错误。
3. 裂项相消拆分错误、剩余项数判断失误；错位相减计算出错。
4. 混淆数列与函数的单调性，忽略数列自变量为正整数。
5. 构造新数列时，变形错误（如漏加、漏乘常数）。
一、单选题
1．（2026·云南曲靖·二模）已知正项数列 的前n项和为 ， ， ，则下列选项正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知关系式得到数列 是首项为2、公差为1的等差数列，从而求得 的通项公式，则有
，应用放缩法、裂项法求和确定范围.
【详解】因为 ，所以 ，且 ，因此数列 是首项为2、公差为1的等差数列，则 ，
所以 ，令 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
，
因此 ， ．
2．（2026·陕西渭南·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：
.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把
这样的一列数所组成的数列 称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律： ，称为卡西尼
恒等式，根据卡西尼恒等式， （ ）
A．2025 B．-1 C．2026 D．1
【答案】D
【分析】利用卡西尼恒等式化简乘积的每一项，再根据指数和的奇偶性判断最终结果.
【详解】因为 ，所以 ，
当 为奇数时， ，
为偶数时， ，
所以
，
其中 项中奇数项有1013个，即有 个1相乘得 ，偶数项有 个，即有1012个 相乘得 ，故结果为
.3．（2026·江西·二模）在正项数列 中， ， ， ，若 ， 为数列
的前n项和，若 ，则正整数n的最大值为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【答案】B
【分析】由递推公式两边同时除以 ，再由等差数列的基本量法求出 ，再由累乘法得到 ，
最后利用裂项相消法可得.
【详解】由 ，得 ，
又 ，所以 是首项为2，公差为1的等差数列，所以 ，又 ，所以
，
所以当 时，
，
又 ，也符合上式，故 ，
则 ，
所以 ，
由 ，得 ，所以 ，解得 ，
所以正整数n的最大值为22．
4．（2026·河北沧州·二模）已知三个正数 ， ， 成等比数列，且 ， ，则 （ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】D
【分析】根据等比中项的性质结合已知即可求解．
【详解】因为三个正数 ， ， 成等比数列，所以 ，又 ，所以 ，则 ，
又 ，
所以 ．
5．（2026·上海浦东新·三模）已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，若
．已知 ，记 和 分别为数列 和 的前 项和，则下列结论正确
的是（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】B
【分析】通过等差数列、等比数列的通项公式的图像性质作出判断；通过不等式放缩 进行
证明.
【详解】依题意得， ，因为 ，所以 是一条线性增长的直线，增长速度
稳定；
，因为 ，所以 是指数增长的曲线，前期增长慢，后期会加速增长，
因为 ， ，所以当 ， ，
当 ， ，
因为 ， ，
所以 ；
，
，
接下来先证明： ．设 ，
则 ，
设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以当 ， ，即 ，
令 ，所以 ，所以
，即 ，
所以 ，
所以 .
6．（2026·湖南·一模）已知各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ，且满足 ， ， 成等差数列，则
（ ）
A．15 B．17 C．80 D．82
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解 的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结
果.
【详解】设各项均为正数的等比数列 的公比为 ，
∵ ， ， 成等差数列，∴ ，∴ ，∴ ， ，解得 .
则 .
7．（2026·山东滨州·二模）若 ， ， 成等差数列，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得， ，
即 ，则 ，
则 .
8．（2026·安徽·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，若 是数列 的最大项，则
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据数列 的通项公式 ，结合 为最大项得到关于 的不等式组并结合 确定
的值.
【详解】由题意得， ，又因为 ，
所以 ，
解得 ，又因为 ，所以 ．
9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知数列 满足 是数列 的前n项和，则 （ ）
A．-7 B．-6 C．6 D．7
【答案】B
【分析】通过递推式求出 ，然后代入求 即可.
【详解】由数列 满足 ，
可得 ，
所以 ．
10．（2026·广东东莞·二模）等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 （ ）
A．64 B．56 C．38 D．8
【答案】B
【分析】由等差中项的性质先求出 ，再代入等差数列的前 项和公式计算即可得解.
【详解】由等差中项的性质可知 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
二、多选题
11．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知 为等差数列，记 的前 项和为 ，前 项中所有偶数项的和为 ，
且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】根据等差数列的性质求出数列 的通项公式，然后依次判断即可.
【详解】已知 为等差数列，设等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，
由于 ，根据等差数列前 项和公式，有 ，化简得 ，
又因为前 项中所有偶数项的和为 ，且 ，即 ，得 ，化简得
，
联立 ，解得 ，所以数列 的通项公式为 ，
对于A， ，故A正确；
对于B，前 项中所有偶数项的和为 ，即 ，其中 构成首项为 ，公差为
的等差数列，
因此 ，故B错误；
对于C，由于 ， ，
所以 ， ，即 ，故C正确；
对于D，已知 ， ，
则 ，所以 ，
则 ，故D正确.12．（2026·湖北黄石·模拟预测）设数列 满足 ， ，记数列 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】 结合二次函数的性质可判断A；由放缩法可得 即可判
断B；由放缩法可得 ，再由累乘法可得 ，可判断C；由累加法可得
，即可判断D.
【详解】对于A， ，
因为 ，根据二次函数的性质，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B，
，
所以 ， ， ，， ，
所以 ，故B正确；
对于C， ，
， ，累乘可得
，
所以 ，故C错误；
对于D，因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，数列 的前 项和为 ，
所以
，故D正确.
13．（2026·重庆渝中·二模）已知 是等差数列 的前 项和， 为公差，且 ， ，则下列说法正确
的是（ ）
A． B．当 时， 取最小值C． D．
【答案】AD
【分析】根据等差数列性质可得 ， ，即可得 ，即可判断A；结合单调性分析数列 的正负性，
即可得 的最值，即可判断BCD.
【详解】因为数列 为等差数列，
则 ，即 ，
且 ，即 ，可得 ，
所以公差 ，故A正确；
可知等差数列 为递增数列，当 时， ；当 时， ；
所以当 时， 取最小值，故B错误；
所以 ， ，故C错误，D正确．
14．（2026·山东滨州·二模）已知无穷数列 的前n项和为 ，且对于任意 ， （ 且
），则下列结论正确的是（ ）
A．存在 ，使得 是常数列 B．任意 ， 有最大项，无最小项
C．存在 ，使得 是周期数列 D．任意 ， 不是递增数列
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用前 项和与第 项的关系求出通项公式，再逐一判断各个结论即可.
【详解】在无穷数列 中， ， ，
当 时， ，两式相减得： ，
而 ，即 ，
对于A，当 时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，又 ，所以 不是常数列
当 时， ，当 时， ，所以 不是常数列，
所以不存在 ，使得 是常数列，A错误；
对于B，当 时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
且 ， ，所以数列 是递减数列，
所以数列 有最大项为 ，没有最小项，B正确；
对于C，当 ，即 时， ，数列 是周期为 的周期数列，C正确；
对于D，当 时， ，当 时， ，所以 不是递增数列，
当 时， ，
若 ，则 恒成立， 是递减数列，
若 ，则 随 的增大，正负相间变化，即 不可能恒成立，
因此对于任意 ， 不是递增数列，D正确；
15．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．任意 B．任意
C．任意 D．任意
【答案】ABD
【分析】对A：由 可得 ；对B：由 可得 、
，作差后因式分解，并借助反证法计算即可得；对C：结合B中所得与数列性质，可得；对D：结合C中结论可得 ，再利用 计算即可得.
【详解】对A：由 ，得 ，故A正确；
对B：由 ，得 ，又因为 ，
则 ，
又 ，当 时，则 ，即 ，显然与 矛盾；
当 时，则 ，即 ，显然与 矛盾；
所以 且 ，即 递增，故B正确；
对C：由 ，根据B的结论知，
随 的增大， 无限趋近于0，则 无限接近于1，
又 ，令 ，且 递增，
则 ，即 ，
综上， ，故C错误；
对D：由 ，根据C的分析可知 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
综上， ，故D正确.
三、填空题
16．（2026·云南曲靖·二模）记 为等比数列 的前n项和，若 ，则 _____________．【答案】
【详解】若等比数列 的公比为 ，则 ，
而 ，则 ，其中 ，解得 ，
又 ，解得 ，故 ．
17．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知等比数列 中， ，则 ______；又数列 满足
， ，若 为数列 的前 项和，那么 ______．
【答案】
【分析】①根据等比数列的性质以及 即可求出 ；②通过 变形 ，
可得到数列 是一个周期数列，然后通过计算每一个周期内的和，从而求出数列 的前 项的和 .
【详解】①已知数列 是等比数列，设数列 的首项为 ，公比为 ，
由于 ，则有 ，解得 ，
所以 ；
②由于数列 满足 ， ，则有 ，
因此 ， ， ，
说明数列 是一个以 为周期的周期数列，且一个周期内的项为 ，
设数列 的通项公式为 ，
由于数列 是一个以 为周期的周期数列，将数列 按每 项为一组进行分组求和，
对于第 组，即 ，有 ，
对应的 的值为 ， ， ，则第 组的和为 ，
因此 .
18．（2026·湖南·一模）已知数列 的通项公式是 .设 为数
列 的前n项和，当 时， ______；若存在n，使得 ，则m的最小值为______.
【答案】 6 16
【分析】①分 和 两种情况讨论求解即可；②利用周期性，则 的正负只需考查 ，分奇偶项
求和即可求解.
【详解】当 ，即 时， ，不符合题意；
当 ，即 时，又 为偶数，所以 ，
即 ， ， ，解得 ；
综上，当 时， .
当 时， ，则数列 是周期数列，周期为 ，
所以 的正负，只需考查 即可，
当 时，奇数项构成首项 ，公差为 的等差数列，
偶数项构成首项为 ，公比为 的等比数列，
当 ， 时，，
，
∵ 时， ， ，
时， ， ，
所以若存在 ，使得 ，则 ，故 的最小值为16.
19．（2026·河北张家口·三模）已知数列 的首项 ，且 ，则 _____．
【答案】
【分析】根据递推关系，分别令 和 ，代入运算求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ， .
四、解答题
20．（2026·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 上的值域；
(2)若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；
(3)证明： .【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数判断 在 上的单调性即可求解；
（2）问题转化为 在 上恒成立，令 ，利用二阶导数求 的最
小值，对二阶导数的符号进行分类讨论，分 ， ， 三种情况进行讨论；
（3）利用（2）的结论可得 ，进而利用放缩可得 ，然后利用裂
项相消求和可证明不等式的左半部分，令 ，利用导数证明当 时， ，再
利用放缩可得 ，最后利用裂项相消求和可证明不等式的右半部分.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
令 ，则 ，即 ；
令 ，则 ，即 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
所以 的值域为 .
（2）由 ，得 ，
设 ，则 ，，
设 ，则 ，
所以当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 .
①当 时， 在 上单调递减，则 ，不满足题意；
②当 时， ，使得 ，
当 时， 在 上单调递减，则 ，不满足题意；
③当 时， 在 上单调递增，则 ，满足题意.
综上可得 ，即实数 的取值范围是 .
（3）由（2）得，当 时，任意 恒成立，
即 ，
所以 ，
所以
.
令 ，则 ，
存在 ，使得 .
则当 时， ；当 时， ，于是 在 上单调递增，在 上单调递减，而 ，
所以 ，即当 时， .
所以 ，
所以 .
综上所述， .
21．（2026·河南安阳·模拟预测）记数列 的前 项和为 ，已知 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为正整数，从集合 中随机抽取一个数，若抽到 ，则记随机变量 ，假设抽到 的概率
与 的值成正比，求 .（用 表示）
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由 ，求解即可；
（2）由 及 ，求得 ，从而得 ， ，利
用错位相减求出 的值，即可得答案.
【详解】（1）当 时，则有 ，
解得 ；
当 时，由 ，可得 ，
所以 ，
即 ，
所以数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，
所以 ；
（2）由题意可得 ， 为常数，
因为 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
即 ，
所以 ，
两式相减，得
，
所以 ，
所以 ，22．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ， ，求 的通项公式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，列出关于 和 的方程组，解方程组得到 和 ，再代入
等差数列通项公式得到 的通项；
（2）由 ，利用累加法，将 时的 ，代入
得 ，再验证 时是否满足所得表达式，最终得到 的通项.
【详解】（1）设等差数列 的公差为d，
由题意可得：
解得 ， ，
所以数列 的通项公式 ．
（2）由 可得：
，
，
…
，
通过累加可得 ，又 ，所以 ，
当 时， 符合 ，故 ．
23．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记 为等比数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的公比；
(2)求 的前n项和 ．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）通过等比中项进行转化，因式分解得到方程，分类讨论舍去矛盾式，进而求得公比.
（2）将数列通项写出代入进行裂项，利用裂项相消求得和.
【详解】（1）由等比数列性质得 ，
整理得 ，
若 ，所以 ，
两式相减，则 ，这与 为等比数列，各项均不为0矛盾，所以舍去.
所以 ， ，两式相减得 ，
故 的公比 ．
（2）由 ，令 则 ．此时 ，
，
故 的前n项和
24．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列 满足 ．(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 的通项公式为 ；
（2）因为 ，
所以 ，
则 ，
两式相减得
，
所以 ．
25．（25-26高二下·江西鹰潭·期中）设数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前n项和 ；(3)令 ，记数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据 ，得出 是等比数列，即可得结果；
（2）利用错位相减法求和即可；
（3）利用裂项相消法求出 ，结合数列单调性即可得结果.
【详解】（1）由 ，当 时， ，解得 ，
当 ， ，则 ，即 ，
故 是公比为3的等比数列， ，所以 ， 也适合此式， .
（2）因为 所以 ，.
从而 ，
，
两式相减得: ，
，解得
（3）由（1）可知： ， ，
，
，所以{ }为递增数列， ，
所以 .
26．（2022·上海松江·二模）在等差数列 中，已知 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2)
【详解】（1）因为 为等差数列，故 ，故 ，
设等差数列的公差为 ，则 ，
故 ，故 .
（2）由题设有 ，故 ，
故
.
27．（2026·安徽·模拟预测）已知数列 中， ， ， ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)记 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析【分析】（1）整理可得 ，结合等比数列的定义分析证明；
（2）由（1）可得 ，可得 ，结合等比数列求和公式分析证明.
【详解】（1）因为 ，则 ，可得 ，
且 ，则 ，
所以数列 是以2为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）可得： ，则 ，
可得 ．
当 时， ；
当 时，
；
综上所述： ．
28．（2026·河北张家口·三模）记等差数列 的前n项和为 ，公差 ，且 ， ， 成等比数列， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前n项和为 ，若对任意 ， ，求 的最小整数值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）由等差数列的通项公式、前n项和公式，结合等比中项的定义列出方程组，求解可得；（2）根据裂项相消求和法求得 ，分析其单调性，可得 的最小整数值．
【详解】（1）因为 ， ， 成等比数列，所以 ，则 ，
即 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
则 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
所以 ，
则 ，
因为对任意 ， ，且 单调递增，
所以 ，则 的最小整数值为1.
29．（2026·辽宁大连·三模）设数列 满足 ， 且 ．
(1)证明：数列 是等差数列，并求其通项公式；
(2)若 ，求正整数m的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）对递推式两边平方，利用三角恒等式转化，证明数列是公差为1的等差数列，结合首项求通项；
（2）由 求 ，将连乘积转化为可累乘的形式，解方程可得m的值.
【详解】（1）已知 ，两边平方得： .由三角恒等式 ，代入得： .
因此 是公差为 的等差数列，首项 ，
由等差数列通项公式得： .
（2）由 ， ，得： ，
因此乘积 ，
由题设 ，两边平方得 ，解得 .
30．（2025·天津宝坻·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，正项且公差不为零的等差数列 满
足 ，且 ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项的和；
(3)记 ， 为数列 的前 项积，证明：
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据 的关系求 ，根据已知及等差数列的通项公式求公差，进而得到 的通项公式，即可得；
（2）分组求和，结合错位相减法得到当 为偶数时， ，当 为奇数时：
，得到答案；
（3）计算出 ，利用 放缩证明出不等式左边，利用
证明出不等式右边
【详解】（1）由 ，则 时 ，且 ，
所以 ，显然 也满足，故 ，
设 的公差 且 ， ，而 ，
所以 且 ，
所以 ，则 ，
所以 ，即 .
（2）
，
令 ，则 ，两式相减可以得到： ，
.
令 ，
当 为偶数时： ；
当 为奇数时： ；
故当 为偶数时， ，
当 为奇数时： ，
.
（3）因为 ，所以 ，
证明不等式左边：
，
证明不等式右边：
，得证.
