一道 Excel 列号题,帮你彻底掌握「进制思维」

很多人刷到 LeetCode 168（Excel 表列名称）时，会有一种感觉：

能做出来，但说不清为什么。

更典型的是：

一开始照着“二进制取模 + 除法”去写

发现不对劲

然后加了个 -1，居然就对了

于是心里会有个疑问：

我这是推导出来的，还是“试出来的”？

这篇文章，我们就把这道题彻底讲透，并帮你把这种“感觉”升级为一套可复用的进制思维模型。

一、从你熟悉的二进制开始

我们先回忆一个最基础的东西：

如何把一个十进制数转成二进制？

核心就两步：

n % 2 → 当前位

n / 2 → 进入下一轮

不断循环，最后逆序。

👉 这背后的本质是：

进制展开（Radix Expansion）

二、你在这道题里其实做了同一件事

Excel 列号：

A → 1

B → 2

…

Z → 26

AA → 27

你很自然会想到：

n % 26

n / 26

👉 到这里完全正确，你已经在做：

26 进制展开

三、问题出在哪？

如果你直接写：

mod = n % 26;

你会发现：

26 → 0 → A ❌

但正确答案应该是：

26 → Z

👉 这说明一个关键问题：

这个“26进制”不是标准进制

四、标准进制 vs Excel 进制

标准 26 进制

digit ∈ [0, 25]

A = 0, B = 1, …, Z = 25

Excel 列号

digit ∈ [1, 26]

A = 1, B = 2, …, Z = 26

👉 差异本质：

它没有 0！

五、关键一招：把“非标准问题”变成“标准问题”

你当时写的这一行代码：

int sub = n – 1;

其实是整道题最核心的地方。

为什么是 n – 1？

因为你在做：

[1, 26] → [0, 25]

👉 本质是：

坐标平移（offset）

平移之后发生了什么？

digit = (n – 1) % 26

n = (n – 1) / 26

👉 完美变成：

标准 26 进制展开

六、这类进制有一个正式名字

这种“没有 0 的进制系统”在数学上叫：

Bijective Numeration（双射进制）

特点：

每一位 ∈ [1, k]

没有 0

每个正整数都有唯一表示

👉 Excel 列号，本质就是：

Bijective Base-26（无0的26进制）

七、完整算法（理论表达）

while (n > 0) {n--;                      // 核心：偏移int digit = n % 26;       // 当前位char c = 'A' + digit;     // 映射字符sb.append(c);n /= 26;                  // 进入下一轮}return sb.reverse().toString();

八、复杂度分析

时间复杂度

O(log₍26₎ N)

👉 每次除以 26

空间复杂度

O(log₍26₎ N)

👉 字符串长度

九、从“会做题”到“会建模”

很多人卡在这里：

能写出来，但感觉是“试的”

其实你已经做了三件很高级的事：

1️⃣ 进制迁移

二进制 → 26进制

2️⃣ 发现异常

26 → A ❌

3️⃣ 修正模型

n → n – 1

👉 这三步，本质就是：

建模 → 验证 → 修正

你不是在试，你是在逼近正确模型。

十、这类题的统一套路（重点）

以后遇到类似问题，直接套：

🎯 模板

如果进制不是从 0 开始：

① 判断 digit 范围

② 做 offset（减1 / 加偏移）

③ 转成标准进制

④ 用 % / 解决

🎯 在本题中

[1, 26]

↓ (n – 1)

[0, 25]

↓ (% /)

答案

十一、真实应用场景

这种“无0进制”其实很常见：

Excel 列名（经典）

数据库字段自动命名（A, B, …, AA）

短链编码（部分实现）

ID 编码（避免 0 带来的歧义）

十二、一句话总结

当你发现“进制不从 0 开始”时，本质问题就变成：先做偏移，再用标准进制解决。

结尾

你这道题的水平，其实已经不在“会不会做”了，而在：

能不能把“经验”升级为“模型”

一旦你开始这样思考：

这题属于哪种模型？

能不能转成标准问题？

你会发现：

👉 很多题，其实只是换了个壳。