2026年广东高考物理第15题第3小问的4种解法

1 原题呈现

如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响.

（1）求、间的恒定电压；

（2）求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小；

（3）若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能.

图1 第15题图

2 解答第1小问

由图2可知，当小球刚与N板接触时，绳子与竖直方向的夹角为30°，小球在静止的时候受到重力、绳子的拉力、电场力，这是一个三力平衡问题，根据几何关系得

极板间电压与电场强度的关系为

联立以上各式解得极板间电压为

图2 三力平衡

3 解答第2小问

小球从N极板运动到M极板的过程中，重力做功为零，只有电场力做功，根据动能定理得

两根绝缘绳长度相等，相互垂直，小球与横杆相距为d，根据几何关系可知两根绝缘绳对小球产生的合力为

小球到达M极板前瞬间的受力分析如图3所示，根据向心力方程可得

联立以上各式解得单根绝缘绳的拉力为

图3 向心力分析

3 解答第3小问

3.1 等效重力法

小球能持续地做圆弧运动的条件是绳子不松弛，如果绳子松弛，意味着绳子对小球的拉力为零，小球在重力与电场力的合力下会做匀变速直线运动，不符合题意，因此绳子必须不松弛，即

解得

当遇到“重力、匀强电场、圆周运动”这样的物理模型时，最适合应用的方法是等效重力法，首先求出等效重力与竖直方向夹角的关系式

然后作与等效重力平行的直线，将直线平移直至穿过圆心，此时直线与圆周会有两个交点，本题是求最大动能，则需要寻找等效最低点，即在下方的点才是等效最低点.显然，角度不同，等效最低点的位置不同，动能最大值不同，则需要对角度进行分类讨论，以与N极板碰撞的瞬间作为分类的依据.

图4 等效重力法

当时，代入，解得，如图4的左图所示，绿色箭头表示等效重力的做功距离，由动能定理得

结合必要的数学知识和解得

联立以上各式解得最大动能为

当时，代入，解得，如图4的右图所示，等效重力点在N极板右侧，说明小球在与N极板碰撞前的瞬间，动能已经达到了最大，由动能定理得

解得

3.2 切向加速度法

小球受到重力、绳子拉力和电场力的作用，在做圆弧运动的过程中需要提供向心力，向心力产生向心加速度，向心加速度改变线速度的方向，但不改变线速度的大小；而改变线速度大小的是切向加速度，则需要分析小球在切向的合力.

当小球从M极板运动到最低点的过程中，受力情况与图3类似，只是角度可变，可知切向上的合力是重力分力与电场力分力之和，小球一直在加速.

当小球从最低点运动到N极板的过程中，受力情况与图2类似，只是角度可变，可知切向上的合力是重力分力与电场力分力之差，当重力分力小于电场力分力时，小球在加速；当重力分力大于电场力分力时，小球在减速.

综合以上分析，小球先做加速圆周运动，再作减速圆周运动，为了求解最大动能，则需要求解最大速度，当取最大速度时，切向加速度必然为零，即

解得

这个关键结果与等效重力法求得的结果相同，可知接下来的解题过程与等效重力法相同，不再赘述.

3.3 数学辅助角公式法

设小球与圆心的连线和竖直方向的夹角为，根据几何关系，设小球初末位置的水平位移和竖直位移分别为和，如图5所示.

图5 用角度和边长表示竖直位移和水平位移

由动能定理得

联立以上各式得

上式表示了小球在运动过程中所处不同的位置对应的不同动能，为了求出最大动能，需要对上式应用高中数学学过的辅助角公式，整理得

可知最大动能为

此时，当小球不与N极板发生碰撞，则取值范围是，代入上述 和，解得.

根据题意，小球能持续地做圆弧运动的条件是绳子不松弛，如果绳子松弛，意味着绳子对小球的拉力为零，小球在重力与电场力的合力下会做匀变速直线运动，不符合题意，因此绳子必须不松弛，即

解得

这说明还需要讨论，代入上述和，解得，说明小球在与N极板碰撞前的瞬间，动能已经达到了最大，由动能定理得

解得

3.4 数形结合法

如图6所示，以圆心位置为原点O，分别以水平向右和竖直向下为正方向，建立平面直角坐标系，设小球取最大动能对应的位置坐标为，根据动能定理得

变形整理得

小球运动的轨迹方程为

图6 建立平面直角坐标系 

观察以上式子，可知这是一条直线方程和一条圆轨迹方程，正是高中数学的高频考点：直线与圆的关系.如图7所示，设直线与y轴的交点为A，为了取最大动能，在角度一定的前提下，直角的截距要取最大，说明直线与圆有且仅有一个交点，即直线与圆相切，切点设为B，这说明三角形AOB是一个直角三角形.

图7 直线与圆相切

根据几何关系，∠AOB的大小刚好等于直线倾斜角的大小，而直线倾斜角的正切值等于直线方程的斜率，即

直角三角形的OA边为截距，OB边为半径d，则AB边可以用勾股定理求解，因此∠AOB的正切值可以表示为

联立以上两式解得

当小球不与N极板碰撞，角度的取值范围是，代入解得.

根据题意，小球能持续地做圆弧运动的条件是绳子不松弛，如果绳子松弛，意味着绳子对小球的拉力为零，小球在重力与电场力的合力下会做匀变速直线运动，不符合题意，因此绳子必须不松弛，即

解得

这说明还需要讨论，代入上述和，解得，说明小球在与N极板碰撞前的瞬间，动能已经达到了最大，由动能定理得

解得

4 解法对比

4种解法呈现“物理→数学→几何”的思维梯度，从定性到定量、从具象到抽象层层递进，但最终在临界条件和的表达式上实现了高度自洽——这正是物理规律内在统一性的生动体现.