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【小学数学模型】04|蝴蝶模型两翅面积相等,上下按平方比
数学模型 · 小学数学 · 第 04 篇
04｜蝴蝶模型
两翅面积相等，上下按平方比
一、开门见山：这节课解决什么问题
同学们，把梯形的两条对角线一连，梯形被分成四块三角形，左右两块像蝴蝶的两只翅膀——这就是「蝴蝶模型」。小升初特别喜欢在这里出题：给你上下两块的面积求翅膀，给你上下底的比求某一块。看似眼花缭乱，其实四块面积之间只有两条规律在起作用。今天我们把这只「蝴蝶」彻底解剖，读完你就能秒杀这一类题。
二、知识清单：先把地基打牢
●等积模型：同底等高的三角形面积相等。蝴蝶模型「左右翅膀相等」正是从等积模型推出来的。
●金字塔（A 字型）相似的升级版——沙漏相似：上下两块三角形形状相同，面积比等于相似比的平方。
●共高三角形面积比等于底边比：两个三角形共用一条高时，面积之比就是底边长度之比。
●梯形的基本性质：一组对边平行（上底、下底），对角线交点把每条对角线分成两段。
三、概念讲透：这个模型到底在说什么
设梯形 ABCD 中 AD∥BC（AD 为上底，BC 为下底），对角线 AC、BD 交于点 O，四块三角形分别记作：上 △AOD、下 △BOC、左 △AOB、右 △DOC。蝴蝶模型有三条结论。
第一条：左右两翼相等，S△AOB=S△DOC。为什么？看 △ABC 与 △DBC：它们共用底 BC，顶点 A、D 都在与 BC 平行的上底所在直线上，由等积模型面积相等。这两个大三角形里都扣掉公共部分 △BOC，剩下的 △AOB 与 △DOC 自然相等——这就是蝴蝶两只翅膀一样大的由来。
第二条：上下两块相似，△AOD~△COB（沙漏结构），面积比 =ADBC2。因为 AD∥BC，内错角相等，两个三角形形状相同；相似比是上下底之比，面积照例要平方。
第三条：对角块面积乘积相等，S△AOD×S△BOC=S△AOB×S△DOC。这条可以用「共高三角形面积比等于底边比」推：S△AOBS△BOC=AOOC（共高），同理 S△AODS△DOC=AOOC，两个比相等，交叉相乘即得。结合第一条，左右两块各等于 S上×S下，这就是考场上的「秒杀公式」。
什么时候用？题干是「梯形＋两条对角线相交」，问四块面积关系，必用蝴蝶模型。注意边界：只有梯形才有左右翅膀相等，任意四边形只能用「共高比线段」的办法，不能乱套。
四、核心公式（每个字母都要认识）
●S△AOD：上块（夹上底 AD 的三角形）面积；
●S△BOC：下块（夹下底 BC 的三角形）面积；
●S△AOB、S△DOC：左、右两块「翅膀」的面积，二者恒相等；
●常见变形：S△AOB=S△DOC=S△AOD×S△BOC；S△AODS△BOC=ADBC2。
五、图形长什么样
模型结构示意图
1认图形：是不是梯形？有没有画出两条对角线？两个条件都满足才进入蝴蝶模型。
2标四块：上 S1、左 S2、下 S3、右 S4，在图上写好代号。
3. 选武器：
●知道上、下两块，求翅膀 ⇒ S2=S4=S1×S3；
●知道上下底之比 ⇒ 上下两块面积比 = 底比的平方；
●求梯形总面积 ⇒ 四块相加。
4验边界：若不是梯形（任意四边形），只用「共高比线段」，不许用翅膀相等。
六、标准解题流程
1标记四块三角形：上 S1、左 S2、下 S3、右 S4。
批注 一定要在图上标注字母，口述「上下左右」极易和题目里的顶点字母搅混。
2利用等积得左右两翼相等：S2=S4。
批注 这一步的理论依据是等积模型（△ABC 与 △DBC 同底等高各减去公共块），心里要能复述出来。
3利用乘积相等或相似比平方求未知块面积。
批注 知上下求左右用乘积开方；知底边比用平方比——两条路别走岔。
七、例题精讲：从基础到变式
例1（基础）
题目
梯形 ABCD 中 AD∥BC，对角线交于 O。已知 S△AOD=4，S△BOC=9，求 S△AOB。
例1 题图
审题关键
梯形＋对角线，给了上、下两块求翅膀——用乘积相等。
规范解答
由蝴蝶模型，S△AOD×S△BOC=S△AOB×S△DOC，且 S△AOB=S△DOC，所以S△AOB2=4×9=36⇒S△AOB=6
方法提炼
翅膀面积是上下两块的「几何平均」：翅膀 =上×下。
例2（变式）
题目
（变式）梯形上底 : 下底 =2:3，S△AOD（上块）=8，求 S△BOC（下块）。
例2 题图
审题关键
这次给的是「底边比」而非上下两块面积，路线换成沙漏相似。
规范解答
上、下两块相似（沙漏结构），面积比 =232=49，S△BOC=8÷4×9=18
方法提炼
给底边比就走「平方比」，给两块面积就走「乘积开方」——看菜下饭。
八、小升初常考题型精讲
题型一：知上下求翅膀型
题目
梯形 ABCD 中 AD∥BC，对角线交于 O。S△AOD=3，S△BOC=12，则 S△AOB=（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
题型一 题图
审题关键
上 3、下 12，求翅膀，直接乘积开方。
规范解答
S△AOD×S△BOC=S△AOB×S△DOC，且 S△AOB=S△DOC，所以 S△AOB2=36，S△AOB=6。
方法提炼
3×12=36 是完全平方数——出题人特意配好的数，放心开方。
题型二：底边比转面积比型
题目
梯形上下底之比为 1:2，对角线分出的上方三角形面积为 5，则下方三角形面积为 ____。
题型二 题图
审题关键
给底比求块面积，用沙漏相似的平方比。
规范解答
上下两块相似（沙漏结构），面积比 =122=14，下方 =5×4=20。
方法提炼
底边 1:2，面积 1:4——平方关系，一步放大四倍。
题型三：乘积开方进阶型
题目
梯形 ABCD 中 AD∥BC，对角线交于 O。S△AOD=8，S△BOC=18，则 S△AOB=（ ）
A．10 B．12 C．13 D．26
题型三 题图
审题关键
8 和 18 都不是平方数，但乘积是——考你算数是否稳。
规范解答
蝴蝶模型：S△AOB=S△DOC=8×18=144=12（上下两块之积等于左右两块之积，且左右相等）。
方法提炼
别被单块不是平方数吓住，看的是「乘积」。
题型四：四块拼总面积型
题目
梯形 ABCD 中 AD∥BC，对角线交于 O。S△AOD=2，S△BOC=8，则梯形 ABCD 的面积为 ____。
题型四 题图
审题关键
求整个梯形——先补出两块翅膀，再四块相加。
规范解答
左右两块相等，各为 2×8=4，S梯形ABCD=2+8+4+4=18
方法提炼
总面积 = 上 + 下 + 翅膀 ×2，一条龙算出。
题型五：任意四边形的边界型
题目
任意四边形 ABCD 的对角线交于 O。S△AOB=6，S△BOC=4，S△AOD=9，则 S△DOC=（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
题型五 题图
审题关键
注意「任意四边形」——翅膀相等不能用！只能用共高比线段。
规范解答
S△AOBS△BOC=AOOC=64=32（共高）；再看 △AOD 与 △DOC 共高（从 D 到 AC），S△AODS△DOC=AOOC=32，所以 S△DOC=9÷3×2=6。
方法提炼
任意四边形里「乘积相等」依然成立（6×S△DOC…用共高推），但「左右相等」失效——这就是边界。
九、真题再现：经典考题拆解
考题一（经典考题）
题目
梯形 ABCD 中 AD∥BC，AD:BC=1:3，对角线交于 O。已知 S△AOD=2，求梯形 ABCD 的面积。
考题一 题图
审题关键
给底边比和一块面积——先平方比求下块，再开方求翅膀，最后相加。
规范解答
面积比 =132=19，S△BOC=2×9=18；翅膀 S△AOB=S△DOC=2×18=6；S梯形=2+18+6+6=32
方法提炼
这是蝴蝶模型的「满配考法」，三条结论全部用上，步骤固定，练熟就是送分。
考题二（改编自常见考题）
题目
梯形 ABCD 中 AD∥BC，对角线交于 O，S△AOB=10，S△AOD=5。求 S△BOC。
考题二 题图
审题关键
给一只翅膀和上块，求下块——用乘积相等反解。
规范解答
由 S△AOD×S△BOC=S△AOB×S△DOC，且 S△DOC=S△AOB=10，得5×S△BOC=10×10⇒S△BOC=20
方法提炼
乘积相等是个「知三求一」的方程，任何一块未知都能解。
十、易错点与避坑指南
✗ 常见错误上下两块的面积比直接用上下底之比。
✓ 正确做法面积比是上下底之比的「平方」，如底比 1:2，面积比 1:4。
✗ 常见错误在任意四边形里也写「左右两块相等」。
✓ 正确做法梯形蝴蝶才有「左右相等」；任意四边形只能用共高比线段（乘积相等仍可用）。
✗ 常见错误上×下 开方时把加法当乘法，如 2×8 算成 10。
✓ 正确做法先算乘积 2×8=16，再开方得 4。
✗ 常见错误把「翅膀」和「上下块」的位置认反。
✓ 正确做法上块夹上底、下块夹下底、翅膀贴两腰，先在图上标好再算。