【每周一题】第4期:初中数学每周一题——一题深耕,周周进阶

MATHEMATICS WEEKLY

每 周 一 题

第 4 期 · 原题呈现

人生没有无解的难题，就像数学总有多种思路，愿你步步有解，未来可期！

已知对于非零有理数 x，当 x > 0 时，|x| / x = x/x = 1，当 x < 0 时，|x| / x = -x/x = -1．请根据上面的知识解答下面的问题：

(1) 已知 a，b 是非零有理数，满足 ab < 0，求 |a|/a + |b|/b 的值．

(2) 已知 a，b，c 是非零有理数，当 abc < 0，求 |a|/a + |b|/b + |c|/c 的值．

(3) 已知 a，b，c 是非零有理数，满足 a + b + c = 0 且 abc < 0，求 |a|/(b + c) + |b|/(a + c) + |c|/(a + b) 的值．

已知 ∠MAN，点 C 在 ∠MAN 的平分线 AP 上，点 B、D 分别在 AM、AN 上，连接 CB、CD．

(1) 如图1，若 ∠ABC = ∠ADC = 90°，请直接写出线段 BC 与 DC 的数量关系；

(2) 如图2，∠ABC + ∠ADC = 180°，那么（1）中探究的结论是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由．

在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y = ax² − 2a²x  ( a ≠ 0 )．

(1) 当 a = 1 时，求抛物线的顶点坐标；

(2) 已知 M(x₁,y₁) 和 N(x₂,y₂) 是抛物线上的两点．若对于 x₁ = 3a，3 ≤ x₂ ≤ 4，都有 y₁ < y₂，求 a 的取值范围．

ANSWERS &ANALYSIS

第 3 期 · 答案解析

思路引导 · 详细解答 · 拓展点评

【答案】(1) 7；(2) |x − 3|；(3) －2，－1，0，1；(4) |x − 3| + |x − 5| 有最小值，最小值为 2；(5) 存在，点 P 所对应的数是 －3.5 或 2.5．

【分析】(1) 根据数轴上两点之间的距离等于这两点对应数的差的绝对值直接计算；

(2) 两点间距离的代数表示同样是差的绝对值；

(3) 由绝对值的几何意义，把距离之和转化为线段长度，列不等式找整数解；

(4) 利用三角不等式的"两点之间线段最短"，得到距离之和的最小值；

(5) 分情况讨论点 P 的位置，逐一验证．

【思路点拨】数轴上的距离公式是本类题的桥梁：数轴上两点之间的距离 = |a − b|。抓住了这一点，既能算具体距离，也能求最值与整数解．

【详解】(1) 解：数轴上表示 5 与 －2 两点之间的距离是 |5 − (−2)| = 7，

故答案为：7；

(2) 数轴上表示 x 与 3 的两点之间的距离可以表示为 |x − 3|，

故答案为：|x − 3|；

(3) ∵ |x + 2| + |x − 1| 表示数轴上有理数 x 所对应的点到 －2 和 1 所对应的点的距离之和，

且 |x + 2| + |x − 1| = 3，

∴ x 在 －2 与 1 之间，

∴ 这样的整数有 －2，－1，0，1，

故答案为：－2，－1，0，1；

(4) |x − 3| + |x − 5| 有最小值，

∵ |x − 3| + |x − 5| 理解为：在数轴上，有理数 x 所对应的点到 3 和 5 所对应的点的距离之和，

∴ 当 3≤x≤5 时，|x − 3| + |x − 5| 有最小值，最小值为 5 − 3 = 2；

(5) 数轴上存在一个点 P 到 －2 和 1 的距离之和是 6 的点，

设点 P 表示的数为 y，借助数轴，分 y≤－2、－2≤y≤1、y≥1 三种情况讨论，可得点 P 所对应的数是 －3.5 或 2.5．

故答案为：（1）7；（2）|x − 3|；（3）－2，－1，0，1；（4）有最小值，为 2；（5）存在，是 －3.5 或 2.5．

【答案】(1)见详解   (2) 18．

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．

(1) 利用 SAS 证明 △ABC≌△ADE，即可；

(2) 根据全等的性质，推出四边形 ABCD 的面积等于 △ACE 的面积，进行求解即可．

【思路点拨】本题的突破口是"两个直角"带来的两组等角：∠BAD 与 ∠CAE 都等于 90°，在同一角的内部减去同一个角 ∠CAD，得到的 ∠BAC 与 ∠EAD 必然相等，再配合已知的两组边，用 SAS 即可判定全等．面积问题则用"等量代换"把四边形拆成两个三角形．

【详解】（1）

 证明：∵ ∠BAD = ∠CAE = 90°；

∴ ∠BAD − ∠CAD = ∠CAE − ∠CAD，

∴ ∠BAC = ∠EAD；

在 △ABC 和 △ADE 中，

∴ △ABC≌△ADE(SAS)；

（2）解：

∵ △ABC≌△ADE，

∴ S_△ABC = S_△ADE，

∴ S_△ABCD = S_△ABC + S_△ACD = S_△ADE + S_△ACD = S_△ACE = 1/2AC² = 1/2 × 66² = 18．

故答案为：（1）见详解   （2）四边形 ABCD 的面积为 18．

【答案】（1）x = 1；（2）y = 3/2x² − 3x + 3/2 或 y = −x² + 2x − 1；

（3）当 a＞0 时，−1 < m < 3；

当 a＜0 时，m < −1 或 m > 3．

【分析】(1) 法①将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；法②用顶点公式 x = -b/(2a) 直接求解．

法①根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于 0，解一元二次方程，

即可得到 a 的值，进而得到其解析式；

法②顶点在 x 轴上，与 x 轴只有一个交点，△＝0；

法③根据顶点在 x 轴上，最大值或最小值为 0．

(3) 根据抛物线的对称性求得点 Q 关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到 m 的取值范围．

【思路点拨】本小题第（3）问是难点。两条切入路径：

路径一（对称性）：把已知点关于对称轴作对称点，两个点关于对称轴对称意味着横坐标之和等于对称轴横坐标的 2 倍，由对称轴立刻得到一个关于 m 的方程；

路径二（函数值大小）：抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，开口向下时离对称轴越远函数值越小，据此比较横坐标到对称轴的距离即可．切忌脱离 a 的符号谈结论，这正是本题分两种情况讨论的原因．

【详解】（1）∵ y = ax² − 2ax − 3 + 2a²，

∴ y = a(x − 1)² − a − 3 + 2a²，

∴ 其对称轴为：x = 1．

（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：(1, 2a² − a − 3)，

∵ 抛物线顶点在 x 轴上，

∴ 2a² − a − 3 = 0，

解得：a = 3/2 或 a = −1，

当 a = 3/2 时，其解析式为：y = 3/2x² − 3x + 3/2，

当 a = −1 时，其解析式为：y = −x² + 2x − 1，

综上，二次函数解析式为：y = 3/2x² − 3x + 3/2 或 y = −x² + 2x − 1．

（3）由（1）知，抛物线的对称轴为 x = 1，

∴ Q(3, y₂) 关于 x = 1 的对称点为 (−1, y₂)，数形结合画草图，

当 a＞0 时，若 y₁ < y₂，

则 －1 < m < 3；

当 a＜0 时，若 y₁ < y₂，

m ＜ －1 或 m ＞ 3．

故答案为：（1）对称轴 x = 1；（2）y = 3/2x² − 3x + 3/2 或 y = −x² + 2x − 1；（3）见上．

图文：吴清光

编辑：王鹏举

审核：闫永涛

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