每日一题第2887题(2026年全国高中数学联赛江苏选拔赛复赛填空11)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联江苏选拔赛复赛的填空题的第11题，难度中等。

题干中给出一个抽象函数的式子，要求满足条件的函数个数，还是按照抽象函数的大致步骤来，先看一下特殊点的函数值，例如f(0)之类的，那么就尝试令x=y=0或者单独的x=0，y=0，这样就可以得到f(0)=1，在有了x=0的函数值之后，又可以令x+y=0，得到f(x)f(-x)=1-x^2.

根据这个式子，有了f(x)和f(-x)的关系，根据右边的1-x^2，可以得到最特殊的f(1)f(-1)=0，那么必然有一个是等于0的，那就分情况讨论，不管是哪一个等于0，都有一个新的函数值了，那么接下来又可以令x或者y等于这个新函数值，整理之后就能得到函数表达式了，然后进行验证。