ARTICLE · 1162380
小学数学可理解性读本(1)比一比:比较、度量、与单位
小学数学可理解性读本(1)比一比:比较、度量、与单位
人类最早遇到的数学问题，不是“算一算”，而是“比一比”。 我的羊比你的多吗？今年的收成比去年好吗？这块地比那块大吗？ 这些问题看起来简单，但一旦我们认真追问，就会发现“多和少”是一种非常含糊的语言。 数学的第一件事，就是把含糊变成准确。 桌子上左边放着3个大苹果，重量是1200克； 右边放着5个小苹果，重量是1000克。 谁多？ 如果按个数比，右边多（5个> 3个）； 如果按重量比，左边多（1200克> 1000克）。 “多”这个词，是含糊的。它没有告诉我们比的是什么——比个数？比重量？ 📖人教版数学一年级上册第一单元“准备课”，第一课就是“数一数”和“比多少”——教材让小朋友看图判断“哪边的苹果多”，就是在建立“按个数比较”的意识。这是小学数学的第一个动作。 很著名的一个脑筋急转弯是： 一吨棉花和一吨铁，谁多？ 按照脑筋急转弯的说法是：一样多。 但回答棉花多也是没错的----按照体积，确实是棉花多。 所以这只是脑筋急转弯，不是数学。 数学的第一个使命，就是回答这个问题：我们到底怎么比？ 回到比较苹果多少的问题： •如果我们按照“个”来比较，那我们就需要用“轮廓”去度量（点一点，数一数）：左边3个苹果，右边5个苹果→右边多。 •如果我们按照“重量”来比较，那我们需要用“克”去度量（称一称）： 左边有1200克，右边有1000克→左边“多”（更重） 度量方式不同，结论可能完全相反。所以每次比较，我们都需要先确认 ——按什么来比？ 然后用相应的“单位”去 “量” ，量出来的结果，就是数字。 这样我们就把含糊的“多少” ，变成了准确的“数字大小”。 比较数字的大小，就是数学的起步。（＞＜或者=）。 当我们说“3个苹果”的时候，我们说了两件事： 个：这是单位，告诉我们度量用的是“个”； 3：这是数字，告诉我们有3个这样的单位； 当我们说“1200克苹果”的时候，我们也说了两件事： 克：单位，告诉我们度量用的是“克”；（克砝码） 1200：数字，告诉我们有1200个“克”这样的单位； 数字加单位，就构成了数量。数量，就是量一量，然后数一数。 数量的伟大之处在于——它把含糊的“多少”，变成了可以精确比较的“大小”。 大量的水是多少？用来解渴，一桶水算大量； 用来救火，一桶水远远不够。 这种含糊的日常用语词在不同的场景下意思完全不同。 但1升水就不一样了——不管用来解渴还是救火，1升就是1升。它是1个长宽高各1分米的正方体容器那么多的水，接近3罐可乐那么多的水。 我们去参加课外活动，带它差不多够喝；但我们不会抄起3罐可乐去救火。 数字+单位，让“多少”从一根弹性的橡皮筋，变成了一把长度固定的尺子。 数学是研究数量关系（多少）和位置关系（在哪里）的学科。 数量是数学的底座，而单位－是数量的基石。 单位的本质就是给东西分组、打包。 12个鸡蛋装一盒——这个“盒”就是一个单位（1盒 = 12个）。把鸡蛋按12个一组打包，数起来方便——不用一个一个数，数几盒就知道了。 猎人打猎回来，怎么统计打了多少兔子？一个一个数太麻烦，他们用“一捆兔皮”“一筐鱼”来打包——“捆”和“筐”就是原始的单位。 所以：单位=一组东西的“标准包”。 这个“包”有多大，大家约定好了，就不用每次都数里面的东西。 比如长度单位，我们规定米原器的长度为【1米】，米原器就是长度的一个标准包。 3米，就是3个标准包，也就是3个米原器的长度。 案例：一打鸡蛋 你去超市买鸡蛋，老板问：“要多少？” 在很多国家，人们会说“一打”。 “打”就是个数的标准包——一个约定俗成的单位。 1打 = 12个，2打 = 24个，半打= 6个。 “打”不是国际单位制里的单位——它是约定俗成的、商业习惯留下来的单位。 但它做的事情，和“米”“千克”完全一样——把东西打包，方便沟通。 现在问题又来了： 如果是重量：我认为说的1千克和你说的1千克，是一样的吗？ 或者说：我每个月给你20000元零花钱，是不是很高兴？现在我又补充说这个元，指的是韩元，20000韩元折合人民币不到100。你还有那么高兴吗？ 所以光有单位还不够——单位必须统一。 在我国古代，这件事最早秦始皇完成过一次：公元前221年，秦始皇统一六国，做的第一件事就是“书同文，车同轨，统一度量衡”——全天下都用一个标准。 度：长度（差之毫厘、谬以千里）； 量：体积（车载斗量、升斗小民）； 衡：重量（锱铢必较、斤斤计较）。 括号中的成语，就是我们祖先曾经使用过的单位。我们现代常用的物理单位，起源于法国创立的米制。1875年17个国家签署了《米制公约》，“米”这个单位被刻在铂铱合金制成的米原器上，存放在法国巴黎的国际计量局——全世界所有卷尺、直尺的刻度，都以这个标准为准。 我们在拼多多上买了一把尺子，准不准？不是卖家说了算，也不是买家说了算。拿到城市里的计量中心去校对一下，才算。 城市的计量中心要和国家计量中心校对，国家计量中心要和国际计量局校对。这样就能保证全世界“单位”的统一。（有7个国际物理单位） 📖人教版二年级上册第一单元“长度单位”、二年级下册第八单元“克和千克”——教材就是在让我们熟悉这些世界通用的单位。 当然：日常生活中我们也会大量使用不通用的单位比如：斤、尺、码。但在正规的科技资料中，是一定要用国际通用单位的，不然就会陷入“中杯、大杯、超大杯”的混乱。 全世界统一的单位体系，叫国际单位制（SI）。它的核心是7个基本单位，所有其他单位都由这7个推导出来： 
小学阶段重点接触前三个：米、千克、秒。 这三个单位的定义，经历了几百年的“精益求精”—— 米的演变：从地球到光 •1889年：用铂铱合金“米原器”定义——一根刻了两条线的金属棒。 问题：金属会热胀冷缩，会变形。 •起初：1米 = 光在真空中1/299792458秒走的距离。用光速定义长度——因为光速是宇宙常数，永远不变。 秒的演变：从太阳到原子 •起初：1秒 = 1天的1/86400。 问题：地球自转不均匀——有的一天长一点，有的短一点。 •1967年：1秒改用铯原子振动定义。原子的衰变周期非常的恒定。 千克的演变：从金属块到物理常数 •起初：1千克 = 一块铂铱合金圆柱体（“千克原器”）的质量——锁在巴黎的保险柜里。 问题是：它居然在慢慢变轻，100年里轻了约50微克（一根睫毛的量）。 •2019年5月20日：1千克改用普朗克常数来定义。从此，千克不再依赖任何实物——任何一个国家、任何一个实验室，只要有精密仪器，都能自己“造”出1千克。（每次重新定义的具体做法和数值都非常精密，有兴趣可以查资料深挖——但核心故事就是“从实物到常数”。） “米”、“秒”、“千克”看起来是最平常不过的东西： 教室里有米尺，手表上有时分秒，菜市场有电子秤。 但它们的定义，是几百年来世界上最聪明的科学家不断“挑剔”出来的。每一次重新定义，都是因为上一版不够精确。 数学和科学的精神，就是永不满足于“差不多”。 7个基本的国际单位，是“规定”出来的。 由这些基本单位出发，就可以推导出其他单位，比如： 面积单位：米× 米=平方米 体积单位： 米 × 米× 米=立方米 速度单位：米÷秒= 米每秒 密度单位：千克/立方米= 千克每立方 是的，单位也是可以加减乘除的： 1平方米=1米×米=10分米×10分米=10×10×分米×分米=100平方分米 1.7 大单位和小单位 1米有多长？大约是我们伸开双臂的宽度。 1厘米大约是指甲的宽度。 1毫米呢？大约是一张银行卡的厚度。 有些东西用米记录比较合适（操场跑道）； 有些用厘米更直观（铅笔长度）； 有些非得用毫米不可（手机屏幕厚度）。 不同精度的需求，需要不同大小的单位。 我们常用的单位的换算关系，就是为了应付不同的情况： •长度：1千米 = 1000 米；1米 = 10 分米 = 100 厘米 = 1000 毫米 •重量：1吨 = 1000 千克；1千克 = 1000 克 •面积：1平方米 = 100 平方分米；1平方分米 = 100 平方厘米 这些单位都是前面某种单位的10倍或者1000倍——这套“千进制”和“十进制”，和我们第3章要讲的位值制密切相关，同样我们可以知道为什么有了“分数”还不够，还要设计出一套“小数”系统。 🏛️ 历史窗：英国的“码”是亨利一世鼻尖到拇指尖的距离，而“英尺”据说是某位国王脚的长度。英国的度量体系没有统一的进制关系——12英寸=1英尺，3英尺=1码，1760码=1英里，换算极其麻烦。 这也是为什么世界上绝大多数国家都用公制——统一的大单位+小单位换算体系，所有单位之间有整齐的倍数关系，非常便于计算和感知。 1厘米有多长，我们很容易就能学会。 反之：36码的鞋子到底多长？其实大家并没有准确的感知（大约是23厘米）。 幸运的是，大家的脚型也不一样。 人们本来也不是按照厘米买鞋，不然只能削足适履。 当时为什么鞋子的尺寸一直用码？ 因为穿鞋这件事： 第一不需要多人合作，第二不需要标准。--－鞋子合不合适，只有脚知道。没有看毫米和标准尺寸的。 衣服也同样如此。 但在更多的场合，是一定要标准和精确的。比如：你去任何一家五金店买一把合格的5号的螺丝刀，一定可以拧开5号螺丝。 这就是标准和精度。 1.8 精度与四舍五入、准确数与大约数 世界上真的存在一条5米长的绳子吗？ 严格来说，世界上没有5米的绳子。只有“精确到5米”的绳子。 如果我们用一根米尺去量（最小刻度是1米，误差不超过0.5米），那么4.5米到5.5米之间的绳子，都会记作“5米”。 如果换成分米尺（最小刻度是1分米，误差不超过0.05米），那么只有4.95米到5.05米之间的绳子，才会记作“5.0米”（也就是50分米）。 后面那种说法明显更精确。 易错点：“50米”和“500分米”一样吗？ 50米 = 500分米，数字上相等。 但说“50米”意味着用米尺量的，实际可能在49.5米~50.5米之间； 说“500分米”意味着用分米尺量的，实际可能在499.5分米~500.5分米之间。 在数值上 1.20 和 1.2 完全相等；不一样的是它们的“精度”——1.20 表示精确到百分位，1.2 只精确到十分位。 精度的信息隐藏在单位的选择里： A地到B的距离是45678.9米。如果开车从A地到B地，只需要知道大约是46千米，预估开车需要1小时就可以了----差上几百米，不差那一脚油钱。 如果我们需要在两地之间修一条水泥路，那必须要精确到米，45679米；方便去核算施工材料。 精确，是根据具体需要的取舍；四舍五入，是一种取舍的方式。 本章汇总： 数学最开始的问题，不是计算，而是统一。 为了把含糊的多少，变成准确的“大小”，我们需要做5件事： 1.选定方式——比个数（轮廓）还是比重量（轻重）？ 2.选定单位——用【个】还是用【千克】？（对应的单位） 3.用单位去度量——3（个）、5（个）；1000（克）、1200（克）（数字+单位 = 数量） 4.统一单位——我的“千克”和你的一样吗？（国际标准单位） 5.说清精度——理论上世界上没有完全相等的两个东西----在一定的精度下，我们认为它是相等的。 这五步，就是数学应用的秩序。 数学家伽利略说过一句话：“如果一件东西可以测量，我们就去测；如果不能，就想办法让它变得可测。” 化学家门捷列夫：“没有测量，就没有科学。” 在正式开始后面的旅程之前，让我们认识一个全书反复出现的老朋友——小木棒。 假设我们有123根小木棒，散乱地堆在桌上。怎么知道刚好是123根？ 一个一个点（沙场秋点兵的点）： 1.2、3……一直点到123。 这个动作的英文叫count——它本质上就是在做加法：+1，+1，+1……做了123次。 但我们不会真的每次都count，太慢了。 所以下一章，我们会学到“十进制”——把木棒按10根一捆、10捆一盒来打包。 123根 = 1盒（100根）+ 2捆（20根）+ 3根。 这就是位值。 再往后（第4章），我们会看到123+45，就是“1盒2捆3根”加上“4捆5根”——把同样单位的合并起来，数一数。加法就是“同一单位的合并”。 再往后（第4章末），123÷5——我们有123根木棒（1盒2捆3根），要平均分给5个人。怎么分？我们先拆盒、再拆捆……这就是带余数除法——也是除法竖式的底层逻辑。 请记住这123根小木棒。它们在后面几章会反复出现——每次出现，都帮你理解一个新的运算规则。不是在学“新东西”，而是换了一种方式看老朋友。 🔁 回头看 这一章讲的“单位”概念，在后面还会反复出现： •第3章：个、十、百、千……这是计数单位。123根木棒打包成1盒（百）+2捆（十）+3根（个）。 •第5章：1/2、1/3、1/4……这是分数单位——把“1”进一步切分。 •第6章：0.1、0.01、0.001……小数的数位也是单位——十分位、百分位、千分位。 •第7章：数轴上的单位（相邻两个整数的差）。 •第14章：面积单位（平方米）、体积单位（立方米）。 它们都是同一个意思：度量的颗粒。 每当我们遇到一个新的“单位”，问自己一句：它和第1章讲的单位，是不是同一个内涵？答案是肯定的。 📌 历史窗：长度的故事 为什么【米】叫“米”吗？“metre”来自希腊语“metron”，意思是“测量”。 1791年，法国国民议会决定：1米等于地球子午线（从北极到赤道）的一千万分之一。 法国科学家花了6年时间测量敦刻尔克到巴塞罗那的弧形距离，推算出一米的精确值。 后来发现这个定义不够精确——地球并不是一个完美的球体。 1889年，米改用“米原器”定义。1960年，改用氪原子光谱。 1983年至今，1米等于光在真空中1/299792458秒走的距离。 连“米”这个看起来最常见的东西，也在不断调整精度和稳定性： 因为它们是秩序的基础。 基础是一定要稳定的：就像我们排队，所有人向第一位同学看齐。如果第一个同学动来动去的，队伍就乱了。 ➡️ 往前看 现在我们已经有了“单位”这个基本工具。有了单位，我们就可以开始计数和记数了。（没有单位，就没有数量） 但是数字的记录和认识，仍然是一个很大的问题。 下面是一个罗马数字： DCCCLXXXVIII，你能认出是几吗？ 在古代，能认识数字和记录数字，就是高级知识分子了。特别是大数字，如果用罗马数字这种形式，是根本无法承载的。所以下一章，人类计数最伟大的发明——阿拉伯数字和十进制计数法，出场。 第1章习题 ⭐巩固 1.小明身高135厘米，小红身高1.4米。谁更高？（提示：先统一单位。） 2.一袋大米标注重量是“5千克±50克”。这意味着这袋大米的实际重量可能在什么范围内？ 3.1千米 = ____米 = ____分米 = ____厘米。为什么我们需要这么多种不同的单位？给每种单位找一个适合用来度量的场景。 4.把“打”换成标准单位：3打铅笔 = ____支；半打鸡蛋 = ____个；2.5打汽水 = ____罐。 ⭐⭐运用 5.一根绳子，对折一次，长度减半；再对折一次，再减半。对折了3次后，量了一下是25厘米。这根绳子原来有多长？ 6.小明用脚步量教室的长。他一步大约50厘米，走了12步。教室大约多长？如果他改用一把30厘米长的尺子来量，需要量几次？（可用计算器。） 7.为什么2019年之后，“千克”不再依赖巴黎的那块金属了？请用你自己的话回答：如果全世界的千克都依赖唯一的一块金属，会发生什么风险？ ⭐⭐⭐洞察 8.小木棒挑战：你有85根小木棒。如果10根捆成一捆，你能捆几捆？还剩几根？如果100根装一盒，你能装几盒？还剩多少捆和多少根？（这道题你在第3章会看到“升级版”——它本质上就是十进制位值的预习。） 9.精度思考：一根绳子，小明用米尺量是“4米”，小红用分米尺量是“4.0米”。谁的量法更精确？为什么？如果改用厘米尺量，会是多少厘米？（提示：考虑每种尺子的精度范围。） 10.查阅资料：除了“打”（12个），你还知道哪些“非标准”的约定单位？（提示：一“双”筷子是几根？一“对”耳环是几个？一“周”是几天？）这些单位有什么共同特点？ 📖 本章对应教材内容 •一年级上册“比多少”——选“个数”为标准 •二年级上册“长度单位”——选“厘米”为标准 •二年级下册“克”和“千克”——选“克”为标准 •二年级下册“表内除法”——“12个苹果，每3个装一袋”本质上是在理解“单位” •五年级下册“探索规律”——“度量衡的故事”专题，讲了长度、质量等单位的演变历史。 全本结构
上一章：
小学数字可理解性读本修订版：结构及序言（0）
本章的主要目的：
数学的结构化思维，不妨先从单位意识开始启蒙。
第1章 比一比：比较、度量与单位
1.1 谁多谁少
1.2 比较方式、度量和单位
1.3 数字 + 单位 = 数量
1.4 单位：度量的刻度、细胞、基准……
1.5 单位的标准
1.6 国际单位制：7个基本单位
题目：
科学家在1万米深处的海沟，发现了一种水母，呈现透明的薄片状态，形状是不规则的圆形和长方形组成的，测试这个水母的边缘，一共得到4个长度，a,b,c,d,单位是米。
下面哪个是可能是这个水母的面积公式？
A: a x bx c + d B、(a+b) x c x d C、1/2*π*a*（b+c)/d D、（a+b)x（c+d)
这是一道高三题目的改编题，如果你有这种单位推导的意识，小学也会做。如果没有，就算大学甚至于高中，也不知道怎么入手。
现代的工业社会一切都是要按标准进行的，就算是石头。
《建筑用鹅卵石、碎石》标准，由中国建筑材料联合会2022年4月15日发布，11月1日实施。